太 原 市 201 7 ~2 0 1 8 学 年 第 一 学 期 高 二 年 级 期 末 考 试
数 学 （ 文 ） 试 卷
一、选择题
1 . 已 知 命 题p : ∀x ∈ R , x
2 ≥ 0 ，则 ⌝p 是
A . ∀x ∈ R , x 2 < 0
B . ∃x 0∈ R , x 02≥ 0
C .
∀x ∈ R , x 2 ≤ 0 D . ∃x 0∈ R , x 02
< 0 2 . 椭圆22
12516
x y +=的 短 轴 长 为 A . 4 B . 6
C . 8
D . 10
3. 已 知 函 数f (x ) =
1cos 2
x x +, 则f ' (0) = A . 12- B . 12 C . 1 D 32
4. 已 知 空 间 直 线 a , b , c ，且 a // b ，则“ b // c ” 是 “ c // a ”的
A. 充 分 不 必 要 条 件
B. 必要不充分条件
C . 充 要 条 件
D . 既不充分也不必要条件
5 . 抛 物 线y 2 = 4x 的 焦 点 坐 标 是 （ ）
A. (0 , 1)
B. (1, 0)
C. (2 , 0)
D. (0 , 2)
6 . 函数 f (x ) = xe x 的 单 调 减 区 间 是 （ ）
A. (-∞,1]
B. [-1, +∞)
C. [1，+∞)
D. (-∞, -1]
7 . 已知双曲线的一个 顶点是 (1 , 0) ， 其 渐 近 线 方 程 为y = ±2x ， 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 A 22
14y x -= B. 2214x y -= C 2214x y -=D 2
214y x -= 8 . 已 知 函 数f ( x ) = ax 2 + 2x + c 在 (1，+∞) 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A. (-∞, -1)
B. (-∞, -1]
C. (-1, 0)
D. [-1, 0)
9 . 已 知 命 题 “ ∀x ∈[1, 2], x 2 - 2ax +1 > 0 ” 是 真 命 题 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 （ ）
A. (-∞, 54)
B. (54
,+∞) C. (-∞, -1) D. (1,+∞) 10 . 函数 f ( x ) = x
ln x 的 图 像 大 致 为 （
） 1 1 . 已 知 直 线y = kx + 2 与双曲线22143
x y -=相交于 A , B 两 个 不 同 点 ， 则 实 数 k 的取值范 围是（ ）
A. (
B. (
C.
((37(, D. ( 12.已知直棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 ⊥ 底面 ABC ， AB ⊥ AC , AB = AC ，点 P 是侧面 ABB 1 A 1 内的
动点，点 P 到棱 AC 的距离等于到平面 BCC 1B 1 的距离，则动点 P 的轨迹是
A.抛物线的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.直线的一部分
二、填空题 13 . 命 题 “ 若 x > 1 ，则 x 2 > 1 ” 的 否 命 题 为 . 14 . 双 曲 线2
213
x y -=的 焦 点 坐 标 为 . 15. 函数 f ( x ) =sin x x
在点 (π , 0 处 的 切 线 方 程 为 . 16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 双 曲 线22
221x y a b
-= (a > 0, b > 0) 的 右 支 与 焦 点 为 F 的 抛 物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 相交于 A , B 两 个 不 同 点 ， 若4AF BF OF +=, 则 该 双 曲 线 的 离 心 率是
三、解答题
17 . 已 知 命 题 p ：直 线 y = x + m 经 过 第 一 、第 二 和 第 三 象 限 ， q ：方 程 x 2 + 2x + m = 0 无
实数根
. ( 1 ) 若 p ∧ q 是 真 命 题 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ；
( 2 ) 若 (⌝p ) ∨ q 是 假 命 题 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 .
18. 已 知 函 数f ( x ) = x 3 + ax 2
- 3x + b 在 x = -1 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 . ( 1 ) 求实数 a 的 值 ；
( 2 ) 求f ( x ) 的 极 大 值 与 极 小 值 的 差 .
19. 已 知 抛 物 线 C 的 准 线 经 过 双 曲 线2
2
13
y x -=的 左 焦 点 . ( 1 ) 求 抛 物 线 C 的 标 准 方 程 及 其 准 线 方 程 ；
( 2 ) 若 过 抛 物 线 C 焦点 F 的 直 线 l 与 该 抛 物 线 交 于A , B 两 个 不 同 点 ，且10AB =, 求 直 线 l 的方程 .
20. （ A ） 已 知 函 数f (x ) = ax 2 + (2a -1)x - ln x (a ∈ R )
（ 1 ）当 a =12
时，求 f ( x ) 的 单 调 区 间 ； （ 2 ）当 a >12时 ， 求 证 ： 不 等 式f ( x ) >12
在 [1，+ ∞) 恒 成 立 .
20. （ B ） 已 知 函 数f (x ) = ax 2 + (2a -1)x - ln x (a ∈ R )
（ 1 ）讨论f ( x ) 的
单 调 性 ； （ 2 ）若不 等 式f ( x ) ≥
12
在[1，+ ∞) 恒 成 立，求实数 a 的取值范围
21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 说 明 ： 考 生 在 ( A ) , ( B ) 两 小 题 中 任 选 一 题 解 答 . ( A) 已知点 F 1 , F 2 分别是椭圆 C : 22
221x y a b +=(a > b > 0) 的左，右焦点，点 A , B 分 别 是 其 右顶 点 和 上 顶 点 ， 椭 圆 C 的 离 心 率 e =1
2且221F A F B =-
( 1) 求椭圆 C 的 方 程
( 2) 若过点 F 2 的 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 M , N 两 个 不 同 点 ， 求 ∆F 1MN 面 积 的 最 大 值
(B)已知点 F 1 , F 2 分别是椭圆 C :
22
221x y a b +=(a > b > 0) 的左，右焦点，点 A , B 分别是其右顶点和上顶
点，22
F AB S ∆=且221F A F B =- (1)求椭圆 C 的方程
(2) ( 2) 若过点 F 2 的 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 M , N 两 个
不 同 点 ， 求 ∆F 1MN 面 积 的 最 大 值。
