(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十六)统计(含解析)

课时跟踪检测（六十三） 二项分布与正态分布1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.故选C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29 B.49 C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25＝400.故选A.6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P ABP A ＝1512＝25.故选C.7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4 )A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4解析：选A ∵X ～N (800,502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4，∴P (X ＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587解析：选D ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，∴P (0＜X ＜2)＝68.26%，则P (1＜X ＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A ．0.05B ．0.007 5C ．13D ．16解析：选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P ABP A＝0.050.15＝13.故选C. 10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝1513＝35. 答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×34＝364. 答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称，∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2.答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625. 所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681.(2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2，从而T服从N(2,0.24)，又σ＝0.24≈0.49，从而P(1.51＜T＜2.49)＝P(μ－σ＜T＜μ＋σ)＝0.682 6.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T＜2.98)＝P(μ＜T＜μ＋2σ)＝12P(μ－2σ＜T＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2.由题意知X服从B(10 000,0.477 2)，所以EX＝10 000×0.477 2＝4 772.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477 2)，P(X＝k)＝C k10 0000.477 2k(1－0.477 2)10 000－k＝C k10 0000.477 2k·0.522 810 000－k(k＝0,1,2，…，10 000)．设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。

课时跟踪检测（十六） 函数与导数的综合问题1．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a ∈R 且a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数．解：(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x ＞0)， 当a ＜0时，f ′(x )＞0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2＞0，得x ＞1a， 由f ′(x )＝ax －1ax 2＜0，得0＜x ＜1a， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数，等价于方程(ln x －1)e x＋x ＝m 的根的个数．令h (x )＝(ln x －1)e x＋x ，则h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0.∴1x ＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1≥0＋1＞0，∴h (x )＝(ln x －1)e x＋x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，∴h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e 1e ＋1e ，h (x )max ＝h (e)＝e. ∴当m ＜－2e 1e＋1e 或 m ＞e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有一个零点． 2．已知函数f (x )＝x e x. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在实数a 使得对于任意的x 1，x 2∈(a ，＋∞)，且x 1＜x 2，恒有f x 2－f ax 2－a＞f x 1－f ax 1－a成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝x e x， 所以f ′(x )＝(x ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)，f (x )有极小值f (－1)＝－1e，无极大值．(2)存在满足题意的实数a .理由如下：令g (x )＝f x －f a x －a ＝x e x －a e ax －a(x ＞a )，则f x 2－f a x 2－a ＞f x 1－f a x 1－a等价于g (x )在(a ，＋∞)上单调递增．又g ′(x )＝x 2－ax －ax ＋a eax －a2，记h (x )＝(x 2－ax －a )e x＋a e a，则h ′(x )＝[x 2＋(2－a )x －2a ]e x ＝(x ＋2)·(x －a )e x，故当a ≥－2，且x ＞a 时，h ′(x )＞0，h (x )在(a ，＋∞)上单调递增．故h (x )＞h (a )＝0，从而g ′(x )＞0，g (x )在(a ，＋∞)上单调递增，满足题意； 另一方面，当a ＜－2，且a ＜x ＜－2时，h ′(x )＜0，h (x )在(a ，－2)上单调递减． 故h (x )＜h (a )＝0，从而g ′(x )＜0，g (x )在(a ，－2)上单调递减，不满足题意． 所以a 的取值范围为[－2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝e x＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝0处的导数值为0. (1)求实数a 的值；(2)若f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，(ⅰ)求实数b 的取值范围； (ⅱ)证明：x 1＋x 2＜0.解：(1)因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝e 0＋a ＝1＋a ， 又f ′(0)＝0，所以a ＝－1.(2)(ⅰ)因为f (x )＝e x －x ＋b ，所以f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，也是最小值，且f (0)＝1＋b . 因为f (x )有两个零点x 1，x 2， 所以f (0)＝1＋b ＜0，所以b ＜－1， 即实数b 的取值范围是(－∞，－1)． (ⅱ)证明：因为f (x 1)＝0，f (x 2)＝0， 所以e x 1－x 1＋b ＝0 ①，e x2－x 2＋b ＝0 ②，由②－①得e x 2－e x 1＝x 2－x 1，即e x 1 (e x 2－x1－1)＝x 2－x 1. 令x 2－x 1＝t ，t ＞0，则e x 1 (e t－1)＝t ， 所以e x1＝te t －1，e x2＝t e te t －1.要证x 1＋x 2＜0，只需证e x 1e x2＜1，即证t e t －1·t e te t －1＜1，即证t 2e t＜(e t －1)2，即证t 2e t －(e t )2＋2e t－1＜0. 令m (t )＝t 2e t－(e t )2＋2e t－1， 则m ′(t )＝e t (t 2＋2t ＋2－2e t)．令n (t )＝t 2＋2t ＋2－2e t ，则n ′(t )＝2t ＋2－2e t.设φ(t )＝2t ＋2－2e t，则当t ＞0时，φ′(t )＝2－2e t＜0， 所以当t ＞0时，φ(t )单调递减，因为φ(0)＝0，所以当t ＞0时，φ(t )＜0，则n ′(t )＜0， 所以当t ＞0时，n (t )单调递减，又n (0)＝0，所以当t ＞0时，n (t )＜0，则m ′(t )＜0， 所以当t ＞0时，m (t )单调递减， 因为m (0)＝0，所以当t ＞0时，m (t )＜0. 综上可知，原式得证．4．若对任意实数k ，b 都有函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，则称函数f (x )为“恒切函数”，设函数g (x )＝a e x－x －pa ，a ，p ∈R.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)已知函数g (x )为“恒切函数”． ①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数h (x )＝g (x )e x－m 为“恒切函数”，求证：0≤m ＜316.(参考数据：e 3≈20) 解：(1)g ′(x )＝a e x－1，当a ≤0时，g ′(x )＜0恒成立，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞－ln a ；由g ′(x )＜0，得x ＜－ln a ， 所以函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若函数f (x )为“恒切函数”，则函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＋k ＝k 且f (x 0)＋kx 0＋b ＝kx 0＋b ，即f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝0.因为函数g (x )为“恒切函数”，所以存在x 0，使得g ′(x 0)＝0，g (x 0)＝0，即⎩⎨⎧a e 0x －x 0－pa ＝0，a e 0x－1＝0，解得a ＝e－x ＞0，p ＝ex (1－x 0)．设m (x )＝e x(1－x )，则m ′(x )＝－x e x，由m ′(x )＜0，得x ＞0；由m ′(x )＞0，得x ＜0，故函数m (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 从而m (x )max ＝m (0)＝1，故实数p 的取值范围为(－∞，1]．②证明：由①知当p 取最大值时，p ＝1，a ＝1， 故h (x )＝(e x－x －1)e x－m ， 则h ′(x )＝(2e x－x －2)e x. 因为函数h (x )为“恒切函数”， 故存在x 0，使得h ′(x 0)＝0，h (x 0)＝0， 由h ′(x 0)＝0，得(2ex －x 0－2)ex ＝0，即2ex －x 0－2＝0.设n (x )＝2e x－x －2，则n ′(x )＝2e x－1，由n ′(x )＞0，得x ＞－ln 2；由n ′(x )＜0，得x ＜－ln 2，故n (x )在(－∞，－ln 2)上单调递减，在(－ln 2，＋∞)上单调递增． 在单调递增区间(－ln 2，＋∞)上，n (0)＝0，故x 0＝0，则由h (x 0)＝0，得m ＝0.在单调递减区间(－∞，－ln 2)上，n (－2)＝2e －2＞0，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝2e -32－12≈2×(20)-12－12＝15－12＜0，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上存在唯一的x 0，使得2e 0x －x 0－2＝0，即e 0x＝x 0＋22，此时由h (x 0)＝0，得m ＝(e 0x －x 0－1)ex ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋22－x 0－1·x 0＋22＝－14x 0(x 0＋2)＝－14(x 0＋1)2＋14，因为函数r (x )＝－14(x ＋1)2＋14在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上单调递增，且r (－2)＝0，r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝316，所以0＜m ＜316.综上，0≤m ＜316.。

课时跟踪检测(一) 集合一、题点全面练1．已知集合M＝{|2＋－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝( )A．{－2,0,1} B．{1}C．{0} D．∅解析：选A 集合M＝{|2＋－2＝0}＝{|＝－2或＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.2．设集合A＝{|2－－2<0}，集合B＝{|－1<≤1}，则A∩B＝( )A．[－1,1] B．(－1,1]C．(－1,2) D．[1,2)解析：选B ∵A＝{|2－－2<0}＝{|－1<<2}，B＝{|－1<≤1}，∴A∩B＝{|－1<≤1}．故选B.3．设集合M＝{|＝2＋1，∈}，N＝{|＝＋2，∈}，则( )A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B ∵集合M＝{|＝2＋1，∈}＝{奇数}，N＝{|＝＋2，∈}＝{整数}，∴M⊆N.故选B.4.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{4} B．{2,4}C．{4,5} D．{1,3,4}解析：选A 图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A∩(∁U B)＝{4}，故选A.5．(2018·湖北天门等三地3月联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{|＝a＋b，a ∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知集合M ＝{|y ＝lg(2－)}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈M解析：选B ∵集合M ＝{|y ＝lg(2－)}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}，∴N ⊆M .故选B.2．(2019·皖南八校联考)已知集合A ＝{(，y )|2＝4y }，B ＝{(，y )|y ＝}，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7 解析：选B 由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.3．已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{|2＋a ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 解析：选A 因为P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2,3]，得Q ＝[－1,3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.4．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( ) A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M 解析：选B 由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋48－π4，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π8－π4或x ＝2k －18－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B. 5．(2018·安庆二模)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a＝( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1或－1或2解析：选C 因为B ⊆A ，所以必有a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .①若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，满足条件；当a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，满足条件．②若a 2－a ＋1＝a ，则a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，此时集合A ＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a ＝1应舍去．综上，a ＝－1或2.故选C.6．(2018·合肥二模)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R | 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧ 2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.(二)难点专练——适情自主选7．(2018·日照联考)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{(4,0)，(3,0)}C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{|－4≤≤4}，N ＝{y |y ∈R}，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.8．(2019·河南八市质检)在实数集R 上定义运算*：*y ＝·(1－y )．若关于的不等式*(－a )>0的解集是集合{|－1≤≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C．[0,1)∪(1,2] D．[－2,0]解析：选D 依题意可得(1－＋a)>0.因为其解集为{|－1≤≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，(1－＋a)>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.9．已知集合A＝{|3≤3≤27}，B＝{|log2>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{|1＜＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．解：(1)∵3≤3≤27，即31≤3≤33，∴1≤≤3，∴A＝{|1≤≤3}．∵log2>1，即log2>log22，∴>2，∴B＝{|>2}．∴A∩B＝{|2＜≤3}．∴∁R B＝{|≤2}，∴(∁R B)∪A＝{|≤3}．(2)由(1)知A＝{|1≤≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。

课时跟踪检测（十）指数与指数函数、题点全面练=3 •20 = 3.0.故选D.法二：由图可知0v a v 1, f （x ）的图象可由函数y = a x 的图象向左平移得到，故一 b > 0,则b v 0.故选D.1. 6 12的化简结果为（3 A. 2 B.C. 4 D .解析:1 原式=32•1-12 61 1• 4 6 ・3 61 1 -一+ — 3 32.函数f (x ) =a x —b 的图象如图所示，其中中正确的是（A. a >1, b v 0B. a >1, b > 0C. 0v a v 1,0 v b v 1D .0v a v 1, b v 0 解析：选D 法一：由题图可知 0v a v 1,当 x = 0 时，b € (0,1)，故—b >0,得 b v3. 2化简4a 32 C aJ 23 b 3的结果为（）A.2a 3bB .8a TC.D .6ab解析：选C6ab —1豊故选C.bB. 0v a v b v 1D. 1 v a v ba ，b 为常数，则下列结论4.设x> 0，且1 v b x v a x,则()A. 0v b v a v 1C. 1 v b v a解析：选C因为1v b x，所以b0v b x,因为X>0,所以b> 1,因为b x v a x,所以J x> 1,因为x> 0,所以a> 1,所以a> b,所以1 v b v a.故选C.b4 2 15. 已知a= (i⑵3, b= 25, c= 93，贝U a, b, c的大小关系是()A. b v a v cB. a v b v cC. b v c v aD. c v a v b4 1 ^4 2 2 1 2解析：选 A a= ( 2) 3= 22X3= 2空,b= 25, c = 9可=3了,2由函数y = x3在(0 ,+s)上为增函数，得a v c,由函数y = 2x在R上为增函数，得a>b,综上得c>a>b.故选A.6. 函数f (x) = a x+ b- 1(其中0v a v 1，且0v b v 1)的图象一定不经过()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C由0v a v 1可得函数y = a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0 v b v 1，所以一1 v b- 1v 0,所以0v 1- b v 1,y= a x的图象向下平移1-b个单位即可得到y= a x+ b- 1的图象，所以y= a x+ b- 1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限.故选 C.■x1 —2-, x>0,7. 已知函数f(x)=< x 则函数f (x)是()|2 —1, x v 0,A. 偶函数，在［0,+^)单调递增B. 偶函数，在［0,+^)单调递减C. 奇函数，且单调递增D. 奇函数，且单调递减解析：选C 易知f(0) = 0，当x>0 时，f(x) = 1-2-x, -f(x) = 2-x- 1,此时一x v 0, 则f( —x) = 2-x- 1 = -f (x);当x v 0 时，f (x) = 2x- 1,- f (x) = 1- 2x，此时一x >0,则f( - x) = 1-2-( - x)= 1-2x=- f(x).即函数f (x)是奇函数，且单调递增，故选 C.2、x&二次函数y=—x - 4x(x>- 2)与指数函数y=- 的交点有()A. 3个C. 1个B. 2个D. 0个. _ 2 2解析：选 C 因为二次函数 y =— x -4x =— (x — 2) + 4(x >- 2),=—1 时，y =- x 2- 4x = 3,在坐标系中画出y =— x 2-4x ( x >- 2)与y = 2 %的大致图象, ◎ 由图可得，两个函数图象的交点个数是 1.故选C. 结合指数函数的图象及选项可知 A 正确.故选A.99.已知函数 f (x ) = x - 4+ x —- , x € (0,4) x — I，当x = a 时，f (x )取得最小值 b ,则函数g (x ) =a |x +b|的图象为()解析：选A 因为x € (0,4)，所以x + 1 > 1,9 9所以 f (x )=x -4+不=x +1+石-5> 2当且仅当x =2时取等号，此时函数有最小值 所以 a = 2, b = 1,此时 g (x ) = 2lx +112x —1, x >- 1,曲)—1, X V - 1,此函数图象可以看作由函数 y = 空，x >0,E), X V 0 的图象向左平移1个单位得到.1,— J x —- 5 = 1,10•函数f(x) = £ j』+2x+1的单调递减区间为 ______________ .解析：设U=-x2+ 2x + 1,V y= 1 u在R上为减函数，•••函数f(x) = 1 —x2+2x+1的单调递减区间即为函数u=-x2+ 2x + 1的单调递增区间.2又u= —x + 2X+ 1的单调递增区间为(—g, 1], 「•f(x)的单调递减区间为(一g, 1].答案：(—g, 1]11.不等式12x2+axV 12x+a-2恒成立，则a的取值范围是2解析：由指数函数的性质知y= 1 x是减函数, 因为2宀“ V 22x+a-2恒成立, 所以x2+ ax> 2x + a—2恒成立,所以x2+ (a—2)x—a+ 2>0 恒成立, 所以△= (a—2)2—4( —a+ 2) V0,即(a —2)( a—2+ 4) V 0,即(a —2)( a+ 2) V0,故有一2 V a v 2,即a的取值范围是(一2,2). 答案：(一2,2)12.已知函数f(x)=(1)讨论f(x)的奇偶性；⑵求a的取值范围，使f(x) >0在定义域上恒成立. 解：(1)由于a —1工0,贝U a丰1,得X M0, 函数f (x)的定义域为{x| x M0}. 对于定义域内任意x，有1 1 3 =尸+2 x= f(x),•函数f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，•••只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f (x) >0, (1 1、3 则尸+1x> 0，a>0,且a^ 1). f( —x)=1 1(又••• x > 0,「. a > 1. •••当 a € (1 ,+s )时，f (x ) >0.二、专项培优练(一)易错专练一一不丢怨枉分1 .设y = f (x )在(—g, 1］上有定义，对于给定的实数K ,定义f K (X )= f x , f x W K ,x +1x…给出函数f (x ) = 2 — 4，若对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x )K f x > K.=f (x )，则()A. K 的最大值为0B. K 的最小值为0C. K 的最大值为1D. K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x ) = f (x )，贝U f (x ) w K在x wi 上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于 K 即可.令 2x = t ，则 t € (0,2］ , f (t ) = — t 2+ 2t =— (t — 1)2+ 1,可得 f (t )的最大值为 1 , • K > 1,故选 D.j,得 b v 4.由 2a v b , 得 b >2a >2, a v 号v 2,故 1 v a v 2,2 v b v 4.对于选项A 、B,由于b 2— 4( b — a ) = (b — 2)2+ 4(a — 1) >0恒成立，故 A 错误，B 正确; 对于选项C, D, a — (b — a ) = a + 2 1 — b + ，由于1 v a v 2,2 v b v 4,故该式的符号不确 定，故C 、D 错误.故选B.3.设a >0,且a z 1,函数y = a 2x + 2a x — 1在［—1,1］上的最大值是14,求实数a 的值.解：令 t = a x ( a >0,且 a z 1),则原函数化为 y = f (t ) = (t + 1)2— 2(t >0).①当 0v a v 1, x € ［ — 1,1］时，t = a x € |a , £ ,> 0，则 a x > 1.2.已知实数a ，b 满足》2a >b>j ,则()A. b v 2 b — aC. 解析：选B 由2> B. b >2 b — aD. a > b — a:得 a >1，由 2 a > bb> 4,得2，得>,故2a v b ,此时f(t)在a，1上为增函数.-a」所以f(t)max= f - = '+ 1 2— 2= 14.&丿'a丿所以「+ 1| = 16,解得a=—匸(舍去)或a=云.a 5 3②当a> 1 时，x€ [ —1,1] , t = a x€ I，a L」a」此时f(t)在1，a上是增函数.所以f(t)max= f(a) = (a+ 1)2—2= 14, 解得a= 3或a=—5(舍去).1 综上得a= 3或3.（二）交汇专练——融会巧迁移4.[与基本不等式交汇]设f (x) = e x,0 v a v b,若p= f ( ab) , q= ff b ，则下列关系式中正确的是（f aA. q= r v pB. p= r v qC. q= r > pD. p= r > qa +b —x解析：选 C ■/ 0v a v b, •••—厂 > ,ab,又f(x) = e 在(0 , +^)上为增函数，二f>f ( ab)，即q> p.又r = f a f b =a —b5.［与一元二次函数交汇］函数2 x+ 1在区间［—3,2］上的值域是解析：令t = 2 x,因为x€ ［—3,2］，所以故y = t2—t + 1 =1 3当t = 2时,y min= 4；当t = 8 时，y max= 57.故所求函数的值域为3,57答案:I3, 574',r =6.［与函数性质、不等式恒成立交汇 ］已知定义域为 R 的函数f (x ) =—21［b 是奇函数.2+ a(1)求a , b 的值；2 2⑵若对任意的t € R,不等式f (t — 2t ) + f (2t — k ) v 0恒成立，求k 的取值范围.解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数,—2 + 1从而有f (x ) = 2^—2 + 1又由 f (1) =— f ( — 1)知t+a (2)由(1)知 f (x ) = 2++^ — 2 + 2+1,由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2— 2t ) + f (2 t 2 —k ) v 0 等价于 f (t 2—2t ) v — f (2t 2— k ) = f ( — 2t 2+ k ).21从而△= 4 + 12k v 0,解得 k v — 3. 故k 的取值范围为所以f (0) = 0,即0，解得b = 1.1 —一+ 12 +因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得 t 2— 2t >— 2t 2 + k .即对一切 t € R 有 3t 2— 2t — k > 0,。

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。

课时跟踪练(五十六)A 组 基础巩固1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案：A2．(2019·凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )A.13B.33C.34D.223解析：不妨令椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点， 所以2b ＝2a3，即a ＝3b ，则c ＝a 2－b 2＝22b ， 则该椭圆的离心率e ＝c a ＝223.故选D.答案：D3．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y29－k ＝1(k <9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k .对照选项，知D 正确．故选D. 答案：D4．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：因为P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又因为|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，所以易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，因为△PF 1F 2的重心为点G ，所以S △PF 1F 2＝3S △GPF 1， 所以△GPF 1的面积为8，故选C. 答案：C5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意知，O (0，0)，F (－1，0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，所以OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又因为x 24＋y 23＝1，所以y 2＝3－34x 2，所以OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3.答案：38．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：满足MF →1·MF →2＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若点M 总在椭圆内部，则有c <b ，即c 2<b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，所以e 2<12，又因为0<e <1，所以0<e <22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2， 设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.B 组 素养提升11．(2019·衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15解析：由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.答案：D12．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：当0＜m ＜3时，椭圆C 的长轴在x 轴上， 如图(1)，A (－3，0)，B (3，0)，M (0，m )．图(1)当点M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB ≥120°，则|MO |≤1，即0＜m ≤1；当m ＞3时，椭圆C 的长轴在y 轴上，如图(2)，A (0，m )，B (0，－m )，M (3，0)．图(2)当点M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB ≥120°，则|OA |≥3，即m ≥3，即m ≥9.综上，m ∈(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案：A13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13＜k ＜12，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a，所以k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c ＝a －ca＝1－e .又因为13＜k ＜12，所以13＜1－e ＜12，解得12＜e ＜23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 14．如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为AF →·FB →＝1，即(a ＋c )(a －c )＝1＝a 2－c 2， 所以a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ ＝1，于是可设直线l 的方程为y ＝x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.因为MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)， 又y i ＝x i ＋m (i ＝1，2)，得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0， 所以2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)．经检验m ＝－43符合条件，所以直线l 的方程为y ＝x －43.故存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心，此时l 的方程为y ＝x －43.。

课时跟踪检测（五十二）直线与圆锥曲线1.过抛物线y 2= 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A , B 两点，它们的横坐标之和等 于2,则这样的直线（ ）A.有且只有一条 B .有且只有两条C.有且只有三条D .有且只有四条p解析：选 B 设该抛物线焦点为 F , A (X A , y A ) , B (X B , y B )，则 | AB = I AF + I FB = X A + 2 + X B + p = X A + X B + 1 = 3 >2p = 2.所以符合条件的直线有且只有两条.2. （2019 •张掖高三诊断）过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线I 与抛物线交于 A, B 两点,10若A, B 两点的横坐标之和为 y ，则| AB =（）16D.716 3.3. （2018 •聊城二模）已知直线I 与抛物线C: y 2= 4x 相交于A , B 两点，若线段 AB 的 中点为（2,1），则直线I 的方程为（）B . y =— 2x + 5D . y = 2x — 3解析：选 D 设 A (X 1, y 1) ,B(X 2,y 2)，则有卩2—仪，② ①—②得 y 2— y 2= 4(X 1 — X 2), y 2= 4X 2,②2x — y — 3 = 0.故选 D.2 24.（2oi9 •厦门模拟）过双曲线c ：x —中=i 的左焦点作倾斜角为nn 的直线I ，则直线i 与双曲线C 的交点情况是（）A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点且都在左支上1314B.TC. 5解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为10| AE | = p + X 1 + X 2. T p = 2, • | AB = 2+ —=3A. y = x — 1C. y = — x + 3 V i由题可知 X i M X 2. — X i —X 22,即卩k AB = 2,.・.直线l 的万程为y — 1 = 2( X — 2)，即D. 有两个交点分别在左、右两支上2 2X Vx + 13)，代入 C ：N —"9 = 1,整理得 23X 2- 8 .13X - 160 = 0, △= ( — 8 13) 2+ 4X 23 X 160> 0，所以直线I 与双曲线C 有两个交点，由一元 二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.5. 已知抛物线 y = — X +3上存在关于直线 x + y = 0对称的相异两点 A, B,则| AB =( )A .3 B .4 C .3 2D .4 2、, ______2 2解析：选C 由题意可设I AB 为y = x + b ,代入y =— X + 3得X + x + b — 3 = 0,设A (X 1, V 1) , B (X 2,y 2)，贝U X 1 + X 2=— 1, X 1X 2= b — 3, y 1+ y 2= X 1+ b + X 2+ b =— 1 + 2b .所以 AB 中点一 f 1 1 「 1 f 1 、坐标为 j — 2, — 2 + b ，该点在 x + y = 0 上，即一 + I — 2 + b = 0，得 b = 1，所以 | AB = 1 + 12 • 一 X 1 + X 2 2— 4X 1X 2= 3 2.6. (2019 •青岛模拟)已知点A 是抛物线C ： X 2= 2py (p >0)的对称轴与准线的交点，过 点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P , Q,若A AF Q 的面积为4,贝U p 的值为()1 A.2 B . 13C ・2D . 22—2pkx + p = 0,由△= 4k 2p 2 — 4p 2= 0,可得 k =± 1, 则 Qp , pj, P [-p ,1•••△ AP Q 的面积为 X2pX p = 4,••• p = 2.故选 D.2 2X y7.已知双曲线 C:二—2= 1(a > 0, b >0),过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A , B 两点,a b且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )解析：选D 直线I 的方程为解析：选 y = kx —2,D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为 y = kx —2.由$山2= 2py得X 23A. 2B. -2解析：选 B 设 A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，由 AB 的中点为 N (12 , 15)，得 X i + X 2= 24,屮+ y 2= 30,2 2 X i y ia 2—b 2 =1,X 2 y 2a 2 -b 2=i , 两式相减得:X i + X 2X i —Xy i + y 2 y i — y 2y i — y 2 X i —X b 2 X i + X 2 4b 2 a ~~y i+ y 2 ■=盲. 由直线AB 的斜率k == i ，、 c b 2 3 曲线的离心率 e = a = i + &2= 2-& （20i9 •福州模拟）已知抛物线E: y 2= 2px （p > 0）的焦点为F ,过F 且斜率为i 的直 线交E 于A B 两点，线段 AB 的中点为 M 线段AB 的垂直平分线交 X 轴于点C, MN L y 轴于 点N,若四边形CMN 的面积等于7,则E 的方程为（ A2 A. y = x 2B . y = 2x2 …C. y = 4xD . y 2= 8x解析：选C F$, 0 j,直线AB 的方程为y = x — 2.__ 2y = 2px ,联立得方程组py =x —222p可得 x — 3px + : = 0,设 A (x i, y i ) , B (X 2, y 2)，则 X i + X 2= 3p , 则 y i + y 2 = x i + X 2— p = 2p ,••• M§p , p ,••• N O , p )，直线 MC 的方程为 y =— x + 乎. ,0，•四边形CMNI 的面积为S 梯形 OCM — S A ONF = 又p >0, • p = 2,即抛物线E 的方程为y 2= 4x .故选C.2 2x y9. （20i8 •湖北十堰二模）如图，F i , F 2是双曲线 C ： - — 2= i （a > a b 0 , b >0）的左、右焦点，过 F i 的直线I 与C 的两个分支分别交于点A ,B 若厶ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. 4B. ,7解析：选B •••△ABF为等边三角形,•••原点到直线的距离0=咼1,2 2 y = kx + m• m = 1 + k，由f 2 2 得(1|x —y = 1—k2) x2—2mkx- ( m+1) = 0,『1 —k2M 0,'A = 4mF+4 i- k2m+i 11+m X1X2= 2- v 0, i k —1=4 m+1 —k2• k2v 1,2•/ 0< k v 1,•••当k2= 0时，X2—X1取最小值2 2.故选A.11. （2019 •安庆模拟）设抛物线x2= 4y的焦点为F,点A, B在抛物线上，且满足刁F =_ 3 入_B，若| _F| = 2,贝y入的值为 ______ .解析：设A（X1, y1）, B（X2, y2）,由抛物线x2= 4y得焦点F的坐标为（0,1）,•••I A B = |AF2| =|BF2|，/ F1AF = 60°.由双曲线的定义可得| AF| —| AF2| = 2a,•| BF| = 2a.又| BF2| —| BF| = 2a,「. | BF| = 4a.•••|AF = 4a, |AF| = 6a.在厶AFR中，由余弦定理可得|F i F2|2=|A冋2+ |A冋2—2| AR|AF|cos 60 ° ,•(2C)2= (6 a)2+ (4a)2—2X4 a x6a x1，即c2= 7a2,10. （2019 •贵阳模拟）已知双曲线X2—y2= 1的左、右顶点分别为A, A,动直线l : y =kx + m 与圆x2+ y2= 1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P（X1, y" , F2（X2 , y2）, 则X2 —X1的最小值为（）A. 2 2C. 4解析：选A ■/ l与圆相切,a=<7.故选B .c e=一a由于刘+X2= 1—k>,• X2 —X1 = V X1 + X2准线方程为y =— 1,•••| ^AF | = 3,•••屮+ 1 = I ，解得 y = 2, ••• X 1 = ± , 2,由抛物线的对称性取 X 1= 2,—述x + 1,,1，•直线AF 的方程为y =4y =-¥x +1,由*：x2=解得$x^/2,；1y= 2或 $ = — 2"y=2,•- B ( -2 2, 2)| "F B | = 2 + 1 = 3,-- > ------ > ------ > -------- > ••• AF =入 FB , • | AF | =入 | FB | , •3入，解得入=2 x 212.（2019 •武汉调研）已知直线MN 过椭圆2 + y = 1的左焦点F ,与椭圆交于 M N 两点.直 线P Q 过原点0且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P, Q 两点，则普MN解析：法一：由题意知，直线 MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x = m 什1,则直线fx = my+ 1,F Q 的方程为 x = my 设 Mx 1, yj , N (X 2, y ?), F (x 3 , y 3), Q(X 4, y 4). f x 2 212 + y = 122m1+ 2)y + 2my-1 = 0?w + y 2= — m ^2,中屮一 ^^2.m 1•“MN = ,1 + m | y 1 — y 2| = 2#2 •吊十？ x = my x 2 2 ?(m + 2) y 2— 2 = 0? y 3 + y 4= 0 ,月割A2+y =12 m + 2.•••|P Q|=1 + 吊|『3— y 4| =2 2m +1 m + 2.法二：取特殊位置，当直线 MN 垂直于x 轴时，易得|MN = 2b = ,2, |F Q| = 2b = 2,则 a答案：2 213. (2019 •石家庄重中高中摸底 )已知抛物线 C ： y 2= 2px (p > 0)，直线l : y = 3(x —答案：214. (2018 •深圳二模)设过抛物线y 2= 2px (p > 0)上任意一点R 异于原点O 的直线与抛 物线y 2 =8px ( p > 0)交于代B 两点，直线 OP 与抛物线y 2= 8px ( p > 0)的另一个交点为 Q 则 & ABQ ABO 解析：设直线 OP 的方程为y = kx (k z 0),y = kx , 联立得彳2 l y = 2px ,y= kx ,联立得t 2l y = 8px , •••I OP =答案：3215. 已知抛物线E ： y = 2px ( p >0)的焦点F , E 上一点(3 , m )到焦点的距离为4.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 过F 作直线l ，交抛物线E 于A , B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为—1,求直线l 的方程. 1),l 与C 交于A , B 两点，若| AB =罟，则.2y = 2px ,解析：由 $=申 x —1 , 2消去 y ，得 3x — (2p + 6)x + 3= 0，设 A (x i , y i ) , B (X 2,y 2)，由根与系数的关系，得 x i + X 2 = 2p + 63X i X 2= 1，所以 | AB = 2 X i + X 2 2— 4x i X 2= 2164=专，所以p = 2.p+69S^AB2| P Q|& ABO | OP解：(1)抛物线E：y2= 2px(p>0)的准线方程为x = —2,由抛物线的定义可知 3 —[ 2) = 4, 解得p = 2,二抛物线E 的方程为y 2 = 4x .⑵法一：由⑴得抛物线E 的方程为y = 4x ,焦点F (1,O), 设A , B 两点的坐标分别为 A (x i , y i ) , 0X 2, y 2), 则两式相减，整理得y —y = 4—(x i X 2).X 2 — X i y 2+ y i•••线段AB 中点的纵坐标为一i ,•直线 I 的方程为 y — 0=— 2(x — i)，即 2x + y — 2 = 0. 法二：由⑴ 得抛物线E 的方程为y 2= 4x ，焦点F (i,0), 设直线I 的方程为x = my^ i ,设A B 两点的坐标分别为 A (x i , y i ), B (X 2, y 2),•••线段AB 中点的纵坐标为一i , y i + y 2~2•直线I 的方程为x = — i y + i ，即2x + y — 2 = 0.i6. (20i9 •佛山模拟)已知直线I 过点F (2,0)且与抛物线 E y 2= 4x 相交于A , B 两点, 与y 轴交于点C,其中点A 在第四象限，O 为坐标原点.(i)当A 是PC 中点时，求直线I 的方程；⑵ 以AB 为直径的圆交直线 OB 于点D,求| OB •丨OD 的值.解：(1) ••• A 是PC 的中点，P (2,0) , C 在y 轴上，• A 点的横坐标为1,又A 在第四象限，• A (i , — 2).•直线I 的方程为y = 2x — 4.(2)显然直线I 的斜率不为0,x = my^ 2, 设I 的方程为x = my+ 2, A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，联立得方程组2 消去xl y = 4x , 得 y 2 — 4my- 8= 0,y 2 = 4x i , y 2 = 4X 2,•••直线l 的斜率由 y 2 =4X ，x = my+ i 2消去 x ，得 y — 4my- 4 = 0.4 y 2+ y i2“ y i • • y i y 2=— 8,故 X i X 2 =— 设 OD =入 OB =(入 X 2,入 y 2),则 A D = "OD - _O A =(入 X 2 - x i ,入 y 2— y i ),—> —>二 AD • OD =(入 X 2 — x i )入 X 2+ (入 y 2 — y i )入 y 2= 0,2 2 2 2即入X 2— 4入+入y 2 + 8入=0,易知入工0,入(x 2+ y 2) =— 4.• | OB •丨 OD = x 2 + y 2 •入 2x 2+ 入 2y 2=| 入 |( x 2 + y 2) = 4.17. (2019 •广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C:X i/孑=i(a >b >0)的上焦点为F i ,椭圆C 的离心率为 刁且过点i ,⑴求椭圆C 的方程; ⑵设过椭圆C 的上顶点A 的直线I 与椭圆C 交于点政B 不在y 轴上)，垂直于I 的直线 与I 交于点M 与x 轴交于点H,若F i B • F i H = 0，且|M(p = | MA ，求直线I 的方程.i解：(i )因为椭圆C 的离心率为,c i所以：=了，即a = 2c . a 2又 a 2= b 2 + c 2, 所以 b 2 = 3c 2, 即卩 b 2 = 3a 2, 42 2所以椭圆C 的方程为占+产=i. a 3 24a把点［i ,型6代入椭圆C 的方程中，解得 a 2 = 4.、一3丿 2 2 所以椭圆C 的方程为春+ X 3 = i. (2)由⑴ 知，A (0,2)，设直线I 的斜率为k (k z 0)，则直线I 的方程为y = kx + 2, •/ D 在以AB 为直径的圆上,—> —>'1,霜y =kx +2,2 2 x y _+「=i , [34 ,2 2得(3 k + 4)x + i2kx = 0.一12k设B(X B, y B)，得X B=录£4，「- 6k2+ 8所以y B=贡工了，2—12k - 6k + 8\ 3k2+4，3k2+ 4 .设M XM, y M)，因为| MO = I MA，所以点M在线段OA的垂直平分线上,1所以y M= 1,因为y心kX M+ 2,所以x心一匚，k设H(X H,0)，又直线HM垂直于直线I ,1 1所以k MH=-「，即k 1—厂一X Hk所以X H= k-k，即Hk-k，—> 又F i(0,1)，所以F i B =212k 4 - 9k \3k2+ 4，3k2+ 4，RH= 'k- k，-1 .-- > 因为F i B •> —12kF1H=O，所以市1 4- 9k2k 一3k T4 =0，解得k=±2.63 '所以直线I的方程为y =±+ 2.所以B。

课时跟踪检测（五十六） 题型上——高考3大题型逐一精研1.(2018·郑州一检)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －ab ＝0相切．3(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△P Q F 2的周长为4，求·2F 2P ―→ F 2Q ―→的最大值．解：(1)由题意知＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．化简得a 2＝2b 2，|－3ab |a 2＋4b2所以e ＝＝.1－b 2a 222(2)因为△P Q F 2的周长为4，所以4a ＝4，得a ＝，222由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，x 22①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P ，Q ，＝，＝，故·＝(－1，22)(－1，－22)F 2P ―→ (－2，22)F 2Q ―→ (－2，－22)F 2P ―→ F 2Q ―→ .72②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由Error!消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)F 2P ―→ F 2Q ―→＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)＋(k 2－1)＋k 2＋12k 2－22k 2＋1(－4k 22k 2＋1)＝＝－，7k 2－12k 2＋17292 2k 2＋1由k 2＞0可得·∈.F 2P ―→ F 2Q ―→ (－1，72)综上所述，·∈，F 2P ―→ F 2Q ―→ (－1，72]所以·的最大值是.F 2P ―→ F 2Q ―→ 722．(2019·沈阳教学质量监测)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆＋＝1上，过M 作x 轴x 29y 24的垂线，垂足为N ，点P 满足＝.NP ―→ 2NM ―→(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：＋为定值．1|AB |1|CD |解：(1)设P (x ，y )，易知N (x,0)，＝(0，y )，NP ―→又＝＝，∴M ，NM ―→ 12NP ―→(0，y 2)(x ，y 2)又点M 在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.x 29(y 2)24x 29y 28∴点P 的轨迹E 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝，163∴＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝，|CD |＝6，163∴＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－(x －1)，1k设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程，得Error!得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得Error!∴|AB |＝·＝，1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1x 248 1＋k 2 8＋9k 2同理可得x 3＋x 4＝，x 1x 2＝.188k 2＋99－72k 28k 2＋9则|CD |＝ ·＝.1＋1k 2 x 3＋x 4 2－4x 3x 448 1＋k 2 9＋8k 2∴＋＝＋＝.1|AB |1|CD |8＋9k 248 k 2＋1 9＋8k 248 k 2＋1 1748综上可得＋为定值．1|AB |1|CD |3．已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长x 2a 2y 2b 263为半径的圆与直线2x －y ＋6＝0相切．2(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请EA ―→ EA ―→ AB ―→说明理由．解：(1)由e ＝，得＝，63c a 63即c ＝a ，①63又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －y ＋6＝0相切，2所以a ＝＝，代入①得c ＝2，|6|22＋ －2 26所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为＋＝1.x 26y 22(2)由Error!得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.12k 21＋3k 212k 2－61＋3k 2根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，EA ―→ EA ―→ AB ―→ EA ―→ AB ―→ EA ―→ EA ―→ EB ―→则·＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)EA ―→ EB ―→＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝， 3m 2－12m ＋10 k 2＋ m 2－6 1＋3k 2要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝，73此时， 2＋·＝m 2－6＝－，EA ―→ EA ―→ AB ―→ 59所以在x 轴上存在定点E 使得2＋·为定值，且定值为－.(73，0)EA ―→ EA ―→ AB ―→ 594．(2019·惠州调研)已知点C 为圆(x ＋1)2＋y ＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足·＝0，＝2.M Q ―→ AP ―→ AP ―→ AM ―→(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且≤·≤时，求k 的取值范围．34OF ―→ OH ―→ 45解：(1)由题意知M Q 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|Q C |＋|Q P |＝|Q C |＋|Q A |＝2＞2|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a ＝，c ＝1，b ＝22＝1，a 2－c 2故点Q 的轨迹方程是＋y 2＝1.x 22(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒＝1⇒t 2＝k 2＋1.|t |k 2＋1联立Error!⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，－4kt 1＋2k 22t 2－21＋2k 2所以·＝x 1x 2＋y 1y 2OF ―→ OH ―→＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝＋kt ＋t 21＋k 2 2t 2－2 1＋2k 2－4kt 1＋2k2＝－＋k 2＋1 1＋k 2 2k 21＋2k 24k 2 k 2＋1 1＋2k2＝，1＋k 21＋2k 2所以≤≤⇒≤k 2≤⇒≤|k |≤，341＋k 21＋2k 24513123322所以－≤k ≤－或≤k ≤.22333322故k 的取值范围是∪.[－22，－33][33，22]。

课时跟踪检测（五十八） 排列与组合[A 级 基础题——基稳才能楼高 ]10 名同学中的 3人，每人 1 张，则不同分法的种数是1 张有 10 种分法；第2 张有 9 种分法；第3 张有 8种分法，则共有10x 9X 8= 720种分法.2•已知两条异面直线 a , b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平 面个数为 （）A . 40B . 16C . 13D . 10解析：选 C 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个 不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类 加法计数原理知，共可以确定 8＋5=13个不同的平面.3. （2019 •安徽调研）用数字0,1,2,3,4 组成没有重复数字且大于 3 000的四位数，这样的四位数有 （）A . 250 个B . 249 个C . 48 个D . 24 个解析：选C ①当千位上的数字为 4时，满足条件的四位数有 A 4= 24（个）;②当千位上 的数字为3时，满足条件的四位数有 A 4= 24（个）.由分类加法计数原理得所有满足条件的四 位数共有 24＋24=48（个），故选 C.4. （2019 •漳州八校联考）若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之 和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是（ ）A . 540B . 480C . 360D . 200解析：选 D 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字 1 奇 1 偶，有 C 15C 51A 22=50 种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C 41= 4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有 50X 4= 200（个）. 5.（2019 •福州高三质检）福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4A ．2 160C ．240B ． 720D ． 1201．将 3 张不同的奥运会门票分给 解析：选 B 分步来完成此事．第务，要求甲、乙两个展区各安排一个人， （ ）A . 90 种B . 180 种C. 270 种D. 360 种解析：选B可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A6种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有C4C2种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为A2C2C2= 180.故选B.6. （2019 •北京朝阳区一模）某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有 1 人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为（）A．18 B．24C．48 D．96解析：选B 甲连续两天值班，共有（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五）四种情况，剩下三个人进行全排列，有足=6种排法，因此共有4X 6= 24种排法，故选 B.[B 级保分题——准做快做达标]1•从集合｛1,2,3，…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8解析：选D 先考虑递增数列，以1 为首项的等比数列为1,2,4 ；1,3,9. 以2 为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.同理可得到4个递减数列，.••所求的数列的个数为2（2 ＋1＋1）= 8.2. （2019 •芜湖一模）某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A. 96 种B. 84 种C. 78 种D. 16 种解析：选 B 先确定选的两门，选法种数为C42= 6，再确定学生选的情况，选法种数为24-2= 14,所以不同的选课方案有6X 14= 84（种），故选B.3.（2019 •东莞质检）将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班，每个班至少1名,则不同分配方法的种数为（）A. 18B. 24C. 36D. 726X 6= 36（种），故选C.解析：选 C 先将4 人分成三组, 有C42= 6 种方法, 再将三组同学分配到三个班级有A33= 6 种分配方法,依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有4. （2019 •东北三省四市一模 ）6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必 须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有 （）A . 24 种B . 36 种C . 48 种D . 60 种解析：选A 由题意知将甲、乙两本书放在两端有 A 种放法，将丙、丁两本书捆绑，与 中，共有种排法，根据分步乘法计数原理，共有A 5A 4种排法，故选 A.6. （2019 •沈阳东北育才学校月考 ）已知代B , C, D 四个家庭各有2名小孩，四个家庭 准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4名小孩 （乘同一辆车的 4名小孩不考虑位置 ）， 其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车， 则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的 乘坐方式共有 （）A. 18 种 C 36种D 48种解析：选B 若A 家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有C 3CC ；= 12种乘坐方式，若A 家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B ，C, D 家庭中的一个，有 dCQ = 12种乘坐方式，所以共有 12+ 12= 24种乘坐 方式，故选 B.7 已知集合 M ={1 ， －2,3} ， N = { －4,5,6 ，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点 的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为 _____________________解析：分两类：一是以集合 M 中的元素为横坐标，以集合 N 中的元素为纵坐标有 3X2 =6个不同的点；二是以集合 N 中的元素为横坐标，以集合 M 中的元素为纵坐标有 4X 2= 8 个不同的点，故由分类加法计数原理得共有 6＋8=14个不同的点答案： 14& （2019 •洛阳高三统考）某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2个社团没有同学选报的报法有 ___________ 种（用数字作答 ）解析：法一：第一步，选 2名同学报名某个社团，有 C ・C= 12种报法；第二步，从剩 余的3剩余的两本书排列，有 A 3种放法，将相邻的丙、 放方法有A 2XA 3XA2= 24（种），故选A.5. （2019 •河南三门峡联考）5名大人带 头尾，则不同的排法种数有 （）A . A A 4种c. A A 6种丁两本书排列，有 A 2种放法，所以不同的摆2 个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在 B . A A 5种D. （A 7-4A 6）种A 5种排法，然后把2个小孩插进中间的4个空B. 24 种个社团里选一个社团安排另一名同学，有C i・C = 3种报法.由分步乘法计数原理得共有12X 3= 36 种报法法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C3种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法•由分步乘法计数原理得共有C2 ・A4= 36（种）.答案：369. （2018 •全国卷I ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________ 种.（用数字填写答案）解析：法一：（直接法）按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C2C4种，有2位女生参加有ce种.故共有cfc4=2x6+ 4= 16（种）.法二：（间接法）从2位女生，4位男生中选3人，共有C3种情况，没有女生参加的情况有C4种，故共有G —C4 = 20—4 = 16（种）.答案：1610. （2019 •江西师大附中月考）用数字1,2,3组成的五位数中，数字1,2,3均出现的五位数共有________ 个（用数字作答）.解析：使用间接法，首先计算全部的情况数目，共3X 3X 3X 3X 3= 243（个），其中包含数字全部相同（即只有1个数字）的有3个，还有只含有2个数字的有C • （2 X 2X 2X 2X2 —2）=90（个）.故1,2,3 均出现（即含有3个数字）的五位数有243—3—90=150（个）.答案：15011. 从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排.（1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？（用数字表示）解：（1）从4名男生中选出2人，有d种选法，从6名女生中选出3人，有C l种选法，根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有C24C63A55= 14 400（种）. （2）在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有C24C36A33A42= 8 640（种）.12. 用0,1,2,3,4 这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？（1）比21 034 大的偶数；（2）左起第二、四位是奇数的偶数.解：（1）可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2 时，有6 个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3 或4 时，有C21A33= 12 个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3 或4 时，有C21A33= 12 个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2 时，有3 个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3 时，有A33= 6 个五位数.故共有6 + 12+ 12+ 3+ 6= 39个满足条件的五位数.(2) 可分为两类：末位数是0，个数有A2•A 2= 4;末位数是2或4,个数有A2•C 2= 4.故共有4+ 4= 8 个满足条件的五位数.。

课时跟踪检测（五十三） 审题上——4大策略找到解题突破口1．已知椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且与椭圆E ：x 22＋y 2＝1有相同的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段P Q 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ， 即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .假设存在定点M (s ，t )满足题意，因为Q(4,4k ＋m )，则MP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km－s ，3m－t ，M Q ＝(4－s,4k ＋m －t )，所以MP ―→·M Q ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－s (4－s )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －t (4k ＋m －t )＝－4k m(1－s )－⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s ＋3＋t 2)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧1－s ＝0，t ＝0，s 2－4s ＋3＋t 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝0.所以存在点M (1,0)符合题意．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为22，离心率为63，点A (3,0)，P 是C上的动点，F 为C 的左焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰△ABP 的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c2解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，∴椭圆C 的方程是x 26＋y 22＝1. (2)设P (x 0，y 0)(－2＜y 0＜2，y 0≠0，x 0＞0)， 设线段AP 中点为M ，又A (3,0)， ∴AP 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 02，直线AP 的斜率为y 0x 0－3，由△ABP 是以AP 为底边的等腰三角形，可得BM ⊥AP ， ∴直线AP 的垂直平分线方程为y －y 02＝－x 0－3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 0＋32，令x ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 20＋x 20－92y 0， ∵x 206＋y 202＝1，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2y 20－32y 0，由F (－2,0)，∴四边形FPAB 的面积S ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫|y 0|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y 20－32y 0＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫2|y 0|＋32|y 0|≥53， 当且仅当2|y 0|＝32|y 0|，即y 0＝±32时等号成立，四边形FPAB 面积的最小值为5 3.3．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b2a＝1，故a ＝2b 2.又e ＝ca ＝32，则b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝2，b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由PM 是∠F 1PF 2的角平分线， 可得|PF 1||F 1M |＝|PF 2||F 2M |，即|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |.设点P (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)，又点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，M (m,0)， 则|PF 1|＝ －3－x 02＋y 20＝2＋32x 0， |PF 2|＝3－x 02＋y 20＝2－32x 0. 又|F 1M |＝|m ＋3|，|F 2M |＝|m －3|，且－3＜m ＜3，所以|F 1M |＝m ＋3，|F 2M |＝3－m . 所以2＋32x 02－32x 0＝3＋m 3－m，化简得m ＝34x 0，而－2＜x 0＜2，因此－32＜m ＜32.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. 4．(2019·贵阳检测)已知椭圆C 1的焦点在x 轴上，中心在坐标原点；抛物线C 2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点．在C 1，C 2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x 3 －2 4 2 y92822(1)求C 1，C 2(2)已知定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，P 为抛物线C 2上一动点，过点P 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)设C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上， 则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22也在椭圆上，分别将其代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.设C 2：x 2＝2py (p ＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上， 代入抛物线C 2的方程，得p ＝1， ∴C 2的标准方程为x 2＝2y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2， 由y ＝12x 2知y ′＝x ，故直线AB 的方程为y －12t 2＝t (x －t )，即y ＝tx －12t 2，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4t 2)x 2－4t 3x ＋t 4－4＝0，则Δ＝16t 6－4(1＋4t 2)(t 4－4)＝4(－t 4＋16t 2＋4)＞0， x 1＋x 2＝4t 31＋4t 2，x 1x 2＝t 4－41＋4t 2，∴|AB |＝1＋t 2·16t61＋4t22－4t 4－41＋4t21＋4t22＝21＋t 2·－t 4＋16t 2＋41＋4t2， 设点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18到直线AB 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－18－12t 21＋t2＝1＋4t281＋t2， ∴S △ABC ＝12·|AB |·d＝12·21＋t 2·－t 4＋16t 2＋41＋4t 2·1＋4t 281＋t2＝18－t4＋16t2＋4＝18－t2－82＋68≤1868＝174，当且仅当t＝±22时，取等号，此时满足Δ＞0.综上，△ABC面积的最大值为174.。

课时跟踪检测(一) 集合一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2019 •浙江考前热身联考)已知集合M= {x|y= .2x—x2}, N= {x| —1v x v 1}，贝U MJ N=( )A. [0,1)B. (—1,2)C. ( —1,2] D . ( —s, 0] J (1 ,+s)解析：选C 法一：易知M= {x|0 w x w 2}，又N= {x| —1v x v 1}，所以MU N= ( —1,2].故选C.法二：取x= 2,则2 € M 所以2€ M U N,排除A、B;取x = 3，则3?M,3?N,所以3?M U N,排除D,故选C.2. (2019 •浙江三地联考)已知集合P= {x| | x| v 2} , Q= {x| —1w x w 3}，贝U P A Q= ( )A. [ —1,2) B . ( —2,2)C. ( —2,3] D . [ —1,3]解析：选 A 由| x| v 2,可得一2v x v 2，所以P={x| —2v x v 2},所以P A Q= [ —1,2).3. (2018 •嘉兴期末测试)已知集合P={x|x v 1} , Q= {x|x>0}，则()A. P? Q B . C? PC. P? ?R C D . ?R P? Q解析：选D由已知可得?R P=［1 ,+s），所以？R P? Q.故选D.4. （2018 •浙江吴越联盟第二次联考）已知集合M= {0,1,2,3,4}则P的子集有_________ 个.解析：集合M= {0,1,2,3,4} , N F= {2,4,6} , P= M A N= {2,4}{4} , {2,4}，共4 个.答案：45. 已知集合A= {x|x>3}, B= {x|x>m},且A U B= A 则实数解析：因为集合A= {x| x > 3}, B= {x| x> m},且A U B= A,所以B? A如图所示，所以 3.答案：［3 , +s）二保咼考，全练题型做到咼考达标」-，］占‘& 1 23^4 5,N= {2,4,6} , P= M A N, ,贝U P的子集有？，{2}, m的取值范围是_________C. 3 D . 41. （2019 •杭州七校联考）已知集合A={x| x > 1} , B= {x|（x —1）（x —4）= 0},则集合A A B中的元素个数为（）A. 1 B . 2C. 3 D . 4解析：选 B A ={x |x v — 1 或 x > 1} , B= { — 2, - 1,1,2} , A n B = { — 2,2},故选 B. 2.(2019 •浙江六校联考)已知集合 U ={x |y = &} ,A ={x |y = log o x } , B = {y |y = — 2) 则A n ( ?UB )=()A.C. {x |x > 0}D . {0}解析：选C 由题意得，U= R, A ={x |x > 0}，因为y = — 2 v 0，所以B ={y |y v 0}，所 以?U B = {x | x >0}，故 A n ( ?U B ) = {x |x >0}.故选 C.23.(2019 •永康模拟)设集合 M = {x | x — 2x — 3>0}, N = {x | — 3v x v 3}，则()A. M P N B . N? MC. MIUN =RD . M n N= ?解析：选 C 由 x 2— 2x — 3>0,解得 x >3 或 x <— 1,所以 M = {x | x <— 1 或 x >3}，所 以 M U N= R.24.(2019 •宁波六校联考)已知集合 A = {x |x — 3x v 0} , B= {1 , a }，且A n B 有4个子 集，则实数a 的取值范围是()A. (0,3) B . (0,1) U (1,3) C. (0,1)D . (—a, 1) U (3 ,+s)解析：选B •/ A n B 有4个子集，••• A n B 中有2个不同的元素，/• a € A , A a 2— 3a v 0, 解得0v a v 3且a z 1,即实数a 的取值范围是(0,1) U (1,3)，故选B.5. (2018 •镇海中学期中)若集合 M = ix y = Ig 2^r, N= {x | x v 1}，则 M U N=()xT-JFA. (0,1)B . (0,2) C. ( —a, 2)={x |0 v x v 2}, N = {x | x v 1}. M U N= {x | x v2} = ( —a, 2).故选 C.6.设集合 A = {x | x 2— x — 2< 0}, B = {x | x v 1，且 x € Z}，贝U A n B = _______ 解析：依题意得 A = {x |( x + 1)( x — 2) w 0} = {x | —1< x < 2},因此 A n B= {x | —1< x v 1,x € Z} = { — 1,0}.答案：{ — 1,0}7. (2018 •嘉兴二模)已知集合 A = {x | — 1w x w 2}, B = {x | x 2 — 4x w 0}，贝U A U B =,An ( ?R B ) = ________________ .D . (0，+a) 解析：选C 集合M = y = ig解析：因为B= {x| x —4x w 0} = {x|0 w x w4}，所以A U B= {x| —1 w x w4};因为P R B={x| x v 0 或x>4}，所以A n(?R B = {x| —1 w x v 0}.答案：{x| —1w x w4} {x| —1w x v 0}又因为B ? A ,4②当一2m > m — 4,1 卩 m V 3时，A = {x | m — 4 v x v — 2n },3 又因为B ? A ,& 设集合 A ={( x , y )| y >| x — 2| , x >0},B= {( x , y )| y w — x + b }, A n B M ?.⑴b 的取值范围是 __________ ;⑵ 若(x , y ) € A n B,且x + 2y 的最大值为9，则b 的值是 _____________ .解析：由图可知，当y = — x 往右移动到阴影区域时， 才满足条 件，所以b >2;要使z = x + 2y 取得最大值，则过点(0 , b )，有0 9 + 2b = 9? b =-.9 答案：(1)[2 ,+^) (2)-9.已知集合A ={x |4 <2x w 16},B = [a , b ]，若 A ? B,则实数 a — b 的取值范围是解析：集合 A = {x |4 <2x w 16} = {x |2 2<2x <24} = {x |2 w x w 4} = [2,4]，因为 A ? B 所 以a w 2, b >4,所以a — b w 2— 4 = — 2，即实数a — b 的取值范围是(—^,— 2].答案：(一g,— 2]10.已知集合 心{x |( x + 2m )( x — m n 4) v 0}，其中 R ,集合 B = <x(1)若B ? A ,求实数m 的取值范围;⑵若A n B = ?，求实数m 的取值范围.={x | — 2v x v 1}.解：⑴集合B = =X1— x忌> 04当A = ?时，m ^ 3,不符合题意. 当 A M ?时，m M 3. ①当一2m vA = {x | — 2m v x v m — 4},1 — xx T 2>04m> 3,所以—2m w —-m — 4> 1,4 m> 3,2, 所以 5.rn- 4w — 2,综上所述，实数 m 的取值范围为i — m, — ~ U [5 ,+^). (2)由(1)知，B= {x | — 2v x v 1}. 4当A = ?时，m= 3,符合题意.t, 4当 A M ?时，m^ 3.4① 当一2n v m- 4,即卩 m>3时，A = {x | — 2n v x v m- 4}, 又因为A H B = ?，所以一2m>1或者m-4<— 2, 1 4即m K — 2或者m K 2,所以§v m K 2.4② 当一2m > m- 4,1 卩 m v 3时，A = {x | m- 4 v x v — 2n }, 又因为A H B = ?，所以m — 4>1或者一2m K — 2,4即或者m > 1，所以1 e m v 3. 综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.对于复数a , b , c , d ,若集合S ={a , b , c , d }具有性质"对任意 x , y € S,必有“ 1,xy € S',则当 b = 1, 时，b + c + d 等于()Q 2= bA. 1 B . — 1 C. 0D . i所以—2m> 1,4 n K3,n K —1,所以me —2,解析：选B •/ S= {a, b, c, d}，由集合中元素的互异性可知当a= 1时，b=—1, c2 =—1 ,.•• c =± i，由"对任意x, y € S,必有xy € S'知土i € S,- c = i , d=—i 或c= —i , d= i ,••• b+ c + d= ( —1) + 0=—1.2 .对于集合M N,定义M- N= {x| x € M 且x?N}, M® N= ( M—N) U (N- M)，设A=+8)jX X >- 4，X € R r, B = {x |x v 0, x € R}，贝U A ® B =(解析：选 C 依题意得 A — B = {x |x > 0, x € R}, B — A =< x |x v —专，x € R> ，故 A ® B13.已知函数f (x ) = x — ------------- 的定义域为集合 A,且B = {x € Z|2 v x v 10}, C = {x¥ x/7—x € R|x v a 或 x > a + 1}.⑴求：A 和(?R A n B ；(2)若A U C = R,求实数a 的取值范围. ------ 1解：⑴要使函数f (x ) = x — 3 — 寸7 — x 应满足x — 3>0,且7 — x > 0，解得3< x v 7 则 A = {x |3 w x v 7},得到?R A = {x |x v 3 或 x > 7},而 B = {x € Z|2 v x v 10} = {3,4,5,6,7,8,9} ,所以(?R A ) n B = {7,8,9}.⑵ C = {x € R|x v a 或 x >a + 1}，要使 A U C = R ,则有a >3,且a + 1v 乙解得3< a v 6. 故实数a 的取值范围为[3,6).-9u [0,9 4u(0，9u [0 ,+8).故选 C .9 -4,-9一4BC.D.。

课时跟踪检测（五十八）排列与组合一、题点全面练1．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18C．24 D．32解析：选C 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．2．(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.3．(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( ) A．6 B．12C．18 D．19解析：选D 从六科中选考三科的选法有C36种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C36－1＝19种．4．(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A．4种B．8种C．12种 D．24种解析：选B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法．5．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．48 B．72C．90 D．96解析：选D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13A34＝72种选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．6．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( ) A．16 B．24C．8 D．12解析：选A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.7．(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种．(用数字作答) 解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有C23C14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C13C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．答案：368．(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有________种．(用数字作答)解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有C12C13种情形，后考虑乙、丙两地，有A23种情形，共有C12C13A23＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C22种情形，乙、丙两地有A23种情形，共有C22A23＝6种情形．由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形．答案：42二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )A．12对B．15对C．18对 D．20对解析：选D 依题意，当A，B中均有一个元素时，有3对；当B中有一个元素，A中有两个元素时，有C13＋C13＋C12＝8(对)；当B中有一个元素，A中有三个元素时，有3对；当B中有两个元素，A中有三个元素时，有3对；当A，B中均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20(对)，选D.2．(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种B．24种C．36种 D．48种解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况．A2，A3，A4，ON上有三点B1，3.如图，∠MON的边OM上有四点AB2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．解析：用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C38个，再减去三点共线的情形即可．共有C38－C35－C34＝42(个)．答案：424．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种不同的放入方式．。

跟踪检测(六十五) 数系的扩充与复数的引入[基础训练]1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D.45答案：D 解析：解法一：设z ＝a ＋b i ，代入原式，得 (3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋4b ＋(3b －4a )i ＝|4＋3i|＝5，∴⎩⎨⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得a ＝35，b ＝45.∴z 的虚部为45.解法二：由题意可知，z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2答案：B 解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.3．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 ( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－1答案：B 解析：因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.4．[2019贵州遵义联考]复数53＋4i 的共轭复数为( )A ．3－4iB ．3＋4i C.35－45iD.35＋45i答案：D 解析：z ＝53＋4i ＝5(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝35－45i ，∴z ＝35＋45i.5．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案：D 解析：由|z －z 1|的几何意义，知复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，则z 对应的点是△ABC 的外心，故选D.6．[2019江西赣州模拟]若z ＝2＋i ，则4i z ·z －1＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1答案：A 解析：∵z ＝2＋i ，∴4i z ·z －1＝4i |z |2－1＝4i5－1＝i ，故选A.7．[2019山东青岛一模]已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ，则m ＋n im －n i的共轭复数为________．答案：i 解析：由m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ，可得 m ＝2，n ＝－2.则m ＋n i m －n i ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )2＝－i ， 故m ＋n i m －n i的共轭复数为i. 8．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案：－1 解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.9．已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________. 答案：－1＋i 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2＝(2)2(1－i )2＝2－2i ＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2×1 009＝i 1 009＝i 4×252＋1＝i. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝i 6＝i 4＋2＝－1，∴原式＝－1＋i.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．答案：(0,1) 解析：∵i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4 ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 017＝4×504＋1,2 018＝4×504＋2， ∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．[强化训练]1．[2019湖南株洲模拟]复数1＋2i2－i 的共轭复数是( )A.3i5 B ．－3i 5 C ．iD ．－i答案：D 解析：∵1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i ，∴共轭复数为－i.2．[2019江西赣州模拟]复数2－m i1＋2i ＝A ＋B i(m ，A ，B ∈R )，且A＋B ＝0，则m 的值是( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C 解析：由题意知，2－m i ＝(A ＋B i)(1＋2i)＝A －2B ＋(2A ＋B )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝A －2B ，－m ＝2A ＋B ，A ＋B ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝23，B ＝－23，m ＝－23.3．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i答案：C 解析：由M ∩N ＝{4}知，4∈M ，所以z i ＝4，z ＝－4i ，故选C.4．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1答案：D 解析：因为(a ＋i)2i ＝(a 2＋2a i ＋i 2)i ＝－2a ＋(a 2－1)i 是正实数，所以－2a >0，a 2－1＝0， 解得a ＝－1.5．[2019西安模拟]已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案：A 解析：由已知，得b 2＋b (4＋i)＋4＋a i ＝0， 即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧b 2＋4b ＋4＝0，a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.6．[2019河南重点中学联考]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若1－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝(2a ＋1)＋2i 的模等于( )A. 2B. 3C. 6D.11 答案：D 解析：因为1－i a ＋i＝(1－i )(a －i )a 2＋1＝a －1a 2＋1－a ＋1a 2＋1i 为纯虚数，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.所以|z |＝|(2a ＋1)＋2i|＝|3＋2i|＝32＋(2)2＝11.7．[2019江西南昌一模]欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e π3i 表示的复数位于复平面中的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A 解析：e π3i ＝cos π3＋i sin π3＝12＋32i 表示的复数在复平面内对应的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，位于第一象限，故选A.8．[2019K12联盟联考]已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足|z |≤1，则y ≥x ＋1的概率为( )A.34－12πB.14－12πC.34＋12πD.14＋12π答案：B 解析：复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |≤1，它的几何意义是以O (0,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分． 满足y ≥x ＋1的图象如图中圆内阴影部分所示， 则概率P ＝π4－12×1×1π＝14－12π. 9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i1＋i ，y ＝⎪⎪⎪ 4i 2⎪⎪⎪x i x ＋i ，则y ＝________.答案：－2 解析：因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i ，所以y ＝⎪⎪⎪ 4i2⎪⎪⎪⎪ x i x ＋i ＝⎪⎪⎪ 4i2⎪⎪⎪10＝－2.。

课时跟踪检测（五十六） 统计1．(2019·福州质检)下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C ．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号) 解析：选D 平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样中要求总体中的个体数有限不相符，故A 错误；一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故B 错误；50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C 错误．故选D.2．(2019·北大附中期末)某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则应在该学院的C 专业抽取的学生人数为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B C 专业的学生有1 200－380－420＝400名，由分层抽样知应抽取120×4001 200＝40名．故选B.3．从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样方法从2 015人中剔除15人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 015D ．都相等，且为140解析：选C 因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N，故从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为502 015.故选C. 4．(2019·广西南宁毕业班摸底)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.5．(2019·福州质检)某学校共有师生4 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：选C 设教师人数为x ，由题意知：2004 000＝200－190x，解得x ＝200，故选C. 6．(2019·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意得，n235×100%≤3%，解得n ≤7.05，所以若这批米合格，则n 不超过7.故选B.7．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )A ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8解析：选C 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误．第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误.1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确.1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.8．(2019·黄陵中学期末)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生体重(kg)，将他们的体重按[54.5,56.5)，[56.5,58.5)，…，[74.5,76.5]分组，得到的频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是( )A．20 B．30C．40 D．50解析：选C 由频率分布直方图可得体重在[56.5,64.5)的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选C.9．(2019·广西五市联考)如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )①2018年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2017年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①② B．②③④C ．②④D ．①③④解析：选B ①2018年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2017年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2017年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.10．如图是一容量为100的样本重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的平均数与中位数分别为( )A ．13,12B ．12,12C ．11,11D ．12,11解析：选B 平均重量为7.5×5×0.06＋12.5×5×0.1＋17.5×(1－5×0.06－5×0.1)＝12，设中位数为x ，则(x －10)×0.1＝0.5－5×0.06，解得x ＝12.故选B.11．(2019·榆林二中模拟)某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n 的值为________．解析：由频率分布直方图可得支出的钱数在[30,40)的同学有0.038×10n ＝0.38n 个，支出的钱数在[10,20)的同学有0.012×10n ＝0.12n 个，又支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，所以0.38n －0.12n ＝0.26n ＝26，解得n ＝100.答案：10012．(2019·河南高三联考)某班学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m ＝________.解析：由题意，得73＋79＋82＋85＋80＋m ＋83＋92＋938＝84，解得m ＝5. 答案：513．(2019·沈阳期末联考)为了了解2 000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为________．解析：采用系统抽样的方法从2 000名学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为11＋20×(5－1)＝91.答案：9114．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个数据分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5.∵平均数为7，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7.又∵样本方差为4，∴4＝15[(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋…＋(x 5－7)2]，∴20＝x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25－2×7×(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋72×5，∴x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25＝265.又∵42＋62＋72＋82＋102＝265，∴样本数据中的最大值为10.答案：1015．(2019·湖南长郡中学选拔考试)据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率．解：(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8＝500(分)，这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2＝502.5(分)，由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A 1，A 2，A 3，可以报考口语的3人为B 1，B 2，B 3，从这6人中任取2人，全部情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15种．这2人都可以报考口语考试的情况为(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共3种，则这2人都可以报考口语考试的概率P ＝315＝15. 16．(2019·新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值： x 甲＝110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)， 乙厂10个轮胎宽度的平均值： x 乙＝110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：x 1＝16×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195， 方差：s 21＝16×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝23， 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，平均数：x 2＝16×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195， 方差：s 22＝16×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝13， ∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对更好．。

课时跟踪检测（五十六） 数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋n ＋2(n ∈N *) ”，当n ＝1时，等式应为___________________．答案：1＋2＋3＋4＝＋＋22．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)3．(2018·海门实验中学检测)数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 24．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．答案：f (n )＝n 2＋n ＋225．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值应取为n ＝________.解析：不等式的左边＝1－12n1－12＝2－12n －1，当n ＜8时，不等式不成立，故起始值应取n ＝8.答案：86．平面内n (n ∈N *)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n 个圆把平面分成f (n )个区域，则f (n )＝________.解析：因为f (1)＝2，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)，则f (2)－f (1)＝2×1，f (3)－f (2)＝2×2，f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，即f (n )＝n 2－n ＋2.答案：n 2－n ＋27．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值．(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 解：(1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)．由于b ＞0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， 因为a 2a 1＝b ，所以b b －b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，故所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋，由基本不等式， 得2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标为 (1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，所以P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. 所以直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， 所以当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．9．已知数列{}a n ，当n ≥2时，a n ＜－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N*时，a n ＋1＜a n .证明：(1)当n ＝1时，因为a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， 所以a 1＞a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＜a k ，因为a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1＜a k ≤0，所以a 2k ＋1－a 2k ＞0，又因为a k＋2＋a k＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1，所以a k＋2－a k＋1＜0，所以a k＋2＜a k＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，a n＋1＜a n.10．(2019·南京模拟)把圆分成n(n≥3)个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法．(1)写出f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)(n≥3)，并用数学归纳法证明．解：(1)当n＝3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第3个有2种方法，可得f(3)＝24；当n＝4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)＝36＋48＝84.(2)证明：当n≥4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以，对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，…，a n－1均有3种染法．对于扇形a n，用与a n－1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形a n颜色相同的不同染色方法数就是f(n－1)，于是可得f(n)＝4×3n－1－f(n－1)．猜想f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．①当n＝3时，左边f(3)＝24，右边33＋(－1)3·3＝24，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥3)时，f(k)＝3k＋(－1)k·3，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝4×3k－f(k)＝4×3k－[3k＋(－1)k·3]＝3k＋1＋(－1)k＋1·3，即当n＝k＋1时，等式也成立．综上，f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·无锡中学检测)将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第n行的n个数之和为a n.(1)设S n＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1(n∈N*)，计算S2，S3，S4的值，并猜想S n的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．解：(1)S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 3＝1＋4＋5＋6＝16，S 3＝S 2＋a 5＝16＋11＋12＋13＋14＋15＝81， S 4＝S 3＋a 7＝81＋22＋23＋…＋28＝256，猜想S n ＝n 4.(2)证明：①当n ＝1时，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即S k ＝k 4， 由题意可得，a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －2＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －2＋2＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －2＋n＝n ·n n －2＋n n ＋2＝n n 2＋2，∴a 2k ＋1＝k ＋k ＋2＋1]2＝(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝4k 3＋6k 2＋4k ＋1，∴S k ＋1＝S k ＋a 2k ＋1＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4， 即当n ＝k ＋1时猜想成立，由①②可知，猜想对任意n ∈N *都成立．2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14a 2n －34na n ＋9n 2(n ∈N *)．(1)计算a 2，a 3，a 4的值，猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n与13的大小关系．解：(1)a 2＝4，a 3＝7，a 4＝10， 猜想：a n ＝3n －2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝3k －2， 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝14a 2k －34ka k ＋92k ＝14(3k －2)2－34k (3k －2)＋92k ＝14(9k 2－12k ＋4)－94k 2＋32k ＋92k ＝3k＋1，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②得数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ＝3n －2，当n ＝2时，1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140＞13，当n ＝3时，1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125 ＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 ＞18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332＞18＋316＋116＞13. 猜测：当n ≥2，n ∈N *时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＞13.用数学归纳法证明： ①当n ＝3时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a 2k＞13，则当n ＝k ＋1时，1a k ＋1＋1ak ＋＋1＋1ak ＋＋2＋…＋1a 2(1)k ＋＝⎝⎛⎭⎪⎫1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋＋1＋1ak ＋＋2＋…＋1a 2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21k +＋1a 22k +＋…＋1a 2(1)k ＋－1a k ＞13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21k +＋1a 22k +＋…＋1a 2(1)k ＋－1a k ＞13＋2k ＋1k ＋2－2－13k －2＝13＋k ＋k －－k ＋2－2]k ＋2－k －＝13＋3k 2－7k －3k ＋2－k －.由k ≥3，可知3k 2－7k －3＞0， 所以3k 2－7k －3k ＋2－k －＞0， 即1ak ＋＋1ak ＋＋1＋1ak ＋＋2＋…＋1a 2(1)k ＋＞13.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立，由①②可知，当n≥2时，1a n ＋1a n＋1＋1a n＋2＋…＋1a2n＞13.。

课时跟踪检测（五十六） 统计1．(2019·福州质检)下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C ．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号) 解析：选D 平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样中要求总体中的个体数有限不相符，故A 错误；一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故B 错误；50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C 错误．故选D.2．(2019·北大附中期末)某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则应在该学院的C 专业抽取的学生人数为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B C 专业的学生有1 200－380－420＝400名，由分层抽样知应抽取120×4001 200＝40名．故选B.3．从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样方法从2 015人中剔除15人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 015D ．都相等，且为140解析：选C 因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N，故从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为502 015.故选C. 4．(2019·广西南宁毕业班摸底)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.5．(2019·福州质检)某学校共有师生4 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：选C 设教师人数为x ，由题意知：2004 000＝200－190x，解得x ＝200，故选C. 6．(2019·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意得，n 235×100%≤3%，解得n ≤7.05，所以若这批米合格，则n 不超过7.故选B.7．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )A ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8解析：选C 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误．第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误.1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确.1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.8．(2019·黄陵中学期末)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生体重(kg)，将他们的体重按[54.5,56.5)，[56.5,58.5)，…，[74.5,76.5]分组，得到的频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是( )A．20 B．30C．40 D．50解析：选C 由频率分布直方图可得体重在[56.5,64.5)的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选C.9．(2019·广西五市联考)如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )①2018年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2017年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①② B．②③④C ．②④D ．①③④解析：选B ①2018年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2017年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2017年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.10．如图是一容量为100的样本重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的平均数与中位数分别为( )A ．13,12B ．12,12C ．11,11D ．12,11解析：选B 平均重量为7.5×5×0.06＋12.5×5×0.1＋17.5×(1－5×0.06－5×0.1)＝12，设中位数为x ，则(x －10)×0.1＝0.5－5×0.06，解得x ＝12.故选B.11．(2019·榆林二中模拟)某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n 的值为________．解析：由频率分布直方图可得支出的钱数在[30,40)的同学有0.038×10n ＝0.38n 个，支出的钱数在[10,20)的同学有0.012×10n ＝0.12n 个，又支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，所以0.38n －0.12n ＝0.26n ＝26，解得n ＝100.答案：10012．(2019·河南高三联考)某班学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m ＝________.解析：由题意，得73＋79＋82＋85＋＋m ＋83＋92＋938＝84，解得m ＝5.答案：513．(2019·沈阳期末联考)为了了解2 000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为________．解析：采用系统抽样的方法从2 000名学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为11＋20×(5－1)＝91.答案：9114．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个数据分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5.∵平均数为7，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7.又∵样本方差为4，∴4＝15[(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋…＋(x 5－7)2]，∴20＝x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25－2×7×(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋72×5，∴x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25＝265.又∵42＋62＋72＋82＋102＝265，∴样本数据中的最大值为10.答案：1015．(2019·湖南长郡中学选拔考试)据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率．解：(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8＝500(分)，这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2＝502.5(分)，由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A 1，A 2，A 3，可以报考口语的3人为B 1，B 2，B 3，从这6人中任取2人，全部情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15种．这2人都可以报考口语考试的情况为(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共3种，则这2人都可以报考口语考试的概率P ＝315＝15. 16．(2019·新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值： x 甲＝110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)， 乙厂10个轮胎宽度的平均值： x 乙＝110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：x 1＝16×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195， 方差：s 21＝16×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝23， 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，平均数：x 2＝16×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195， 方差：s 22＝16×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝13， ∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对更好．。

课时跟踪检测（六十） 随机事件的概率一、题点全面练1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )A.17 B.1235 C.1735D.1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735. 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13 B.12 C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P (A ∪B )＝( )A.13B.23C.12D.56解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P (A )＝12.事件B 为掷出向上为3点，所以P (B )＝16.又事件A ，B 是互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝23.6.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1，解得54＜a ≤43.7.若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________. 解析：∵A ，B 为互斥事件， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3. 答案：0.38.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.039.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人). 答案：6 91210.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415. 答案：815 141511.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.解：(1)购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：这1 00011 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.二、专项培优练(一)交汇专练——融会巧迁移1.[与数学文化交汇]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析：选B这批米内夹谷约为28254×1 534≈169石，故选B .2.[与数列交汇]现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()A.35B.12C.310D.15解析：选A 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P ＝610＝35. 3.[与不等式交汇]若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，则x ＋y 的最小值为________.解析：由题意，x ＞0，y ＞0，4x ＋1y ＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥5＋2 4y x ·x y ＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：9(二)素养专练——学会更学通4.[数据分析]某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.5.[数学建模]如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计概率，可得所求概率为0.44. (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率分布如下表：(3)1212记事件B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站. 用频率估计概率及由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， P (A 1)＞P (A 2)，故甲应选择L 1； P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P (B 2)＞P (B 1)，故乙应选择L 2.。

课时跟踪检测（四十六） 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．(2019·广西陆川中学期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －1＝0的位置关系是( )A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为＋2＋＋2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25 B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17 D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋－2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－32＝1.即d ＝|2k |1＋k2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为－2＋－2＝2，所截得的最短弦长为222－22＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254解析：选 C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝r 2，a 2＋＋2＝r 2，a 2＋－2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：选C 因为圆C 的圆心的坐标C (6,8)， 所以OC 的中点坐标为E (3,4)， 所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，故以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选B ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，∴直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P 为直线x ＋y －2＝0上的点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点为M ，N ，若∠MPN ＝90°，则这样的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 连接OM ，ON ，则OM ＝ON ，∠MPN ＝∠ONP ＝∠OMP ＝90°，∴四边形OMPN 为正方形， ∵圆O 的半径为1，∴|OP |＝2，∵原点(圆心)O 到直线x ＋y －2＝0的距离为2， ∴符合条件的点P 只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k2，当k ＝1时，|AB |＝212＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x－y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋－b 2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝54.答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝－2＋－2－2＝5.答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，a ＋2＋b ＋2＝52－r ，－a2＋－6－b2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32，∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18课时跟踪检测（四十七）系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系[A 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·昆明模拟)若点A ，B 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，弦AB 的中点为D (1,1)，则直线AB 的方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －2＝0解析：选D 因为直线OD 的斜率k OD ＝1，所以直线AB 的斜率k AB ＝－1，所以直线AB 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，故选D.2．(2019·湖北七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8解析：选B 由题意知O 1(0,0)与O 2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得5＜|m |＜3 5.再根据题意可得O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝5＋20＝25，∴m ＝±5，∴|AB |2×5＝25×5，解得|AB |＝4.故选B.3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴2－b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6.综上，实数b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.4．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a2＝1，解得a ＝±24.5．(2019·昆明高三质检)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2解析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，AC ＝6，∠ACD ＝60°，所以CD ＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |32＋1＝62，解得m ＝3±6，故选A. 6．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能解析：选C 由已知得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ＝|2c |a 2＋b 2＞2，所以c 2＞a 2＋b 2，在△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．7．(2019·武汉模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，得m ＝0.答案：08．(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.答案：39．(2019·广西两市联考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦长为23，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝410．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C 经过点(0,1)且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k2＝2， 所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. 由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516. [B 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )A ．－12B ．12C ．－43D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB ―→＝1×1×cos 120°＝－12.2．(2019·天津南开中学月考)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.23 B ．1 C.12D ．34解析：选B 因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－d 2＝2×12＝1，选B. 3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)．(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5， ∴|OC |＝2，|AM |＝1.∴MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线的方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0，因此MN 所在直线的方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.课时跟踪检测（四十五） 直线与方程[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( )A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C.5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选 A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2－＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)，∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝－3－2＋[5－－2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D.7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________．解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m2－3x 2＋23mx ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a＋3b的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)，∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a＋3b≥23a·3b＝23a ＋b＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.课时跟踪检测（四十一） 直线、平面垂直的判定与性质1．(2019·厦门期末)若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n解析：选D 选项A 中，m 与α的关系是m ∥α或m ⊂α，故A 不正确；选项B 中，n 与α之间的关系是n ⊥α或n 与α相交但不垂直或n ∥α，故B 不正确；选项C 中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C 不正确；选项D 中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．(2019·广西五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，α∩β＝m ，α∩γ＝n ，则m ⊥nC ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线D ．若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β解析：选D 对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.3．(2019·南昌调研)如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：选B 对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB 与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD ⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.4．(2019·唐山一模)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n解析：选B 由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.5．(2018·泉州二模)在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，易知E ，F ，G ，M ，N ，Q 六个点共面，直线BD 1与平面EFMN Q G 垂直，并且选项A 、B 、C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D 中的直线BD 1与平面EFG 不垂直，满足题意．故选D.6．(2019·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部解析：选B 如图，连接AC 1.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1，又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上．故选B.7．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：128．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K 作KM ⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK ⊥AF (如图②所示)，于是△DAK ∽△FDA ，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t ＝1DF ，又DF ∈(1,2)，故t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，19．(2019·唐山五校摸底)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC . 因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC 为三棱锥A ­PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2，于是S △PAB ＝12×22sin 60°＝ 3.设三棱锥C ­PAB 的高为h ，则13S △PAB ·h ＝13S △PBC ·AC ，13×3h ＝13×1×2， 解得h ＝63，故三棱锥C ­PAB 的高等于63. 10．(2019·南京模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB .(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB .证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP .又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP .(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD .又AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .② 由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .11．(2019·长郡中学选拔考试)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC ＝14AC ，所以ANNC＝3，即λ＝3.(2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，ANNC＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12＝3，所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝312.课时跟踪检测（四十） 直线、平面平行的判定与性质1．(2019·西安模拟)设α，β是两个平面，直线a ⊂α，则“a ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 依题意，由a ⊂α，a ∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；反过来，由α∥β，a ⊂α，可得a ∥β.综上所述，“a ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.2．(2019·四川名校联考)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 由题可得A 1M ＝13A 1B ，AN ＝13AC ，所以分别取BC ，BB 1上的点P ，Q ，使得CP＝23BC ，B Q ＝23BB 1，连接M Q ，NP ，P Q ，则M Q 綊23B 1A 1，NP 綊23AB ，又B 1A 1綊AB ，故M Q 綊NP ，所以四边形M Q PN 是平行四边形，则MN ∥Q P ，Q P ⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，则MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B.3．(2019·枣庄诊断)如图，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA ′，AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( )A ．2B ．2πC ．2 3D ．4解析：选D 连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D.4．(2019·成都模拟)已知直线a ，b 和平面α，下列说法中正确的是( ) A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b B ．若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥bC ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bD ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b解析：选B 对于A ，若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 异面，故A 错；对于B ，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN Q不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以M Q∥CD，所以AB∥M Q .又AB⊄平面MN Q，M Q⊂平面MN Q，所以AB∥平面MN Q.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MN Q.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接O Q，则O Q∥AB.因为O Q与平面MN Q有交点，所以AB与平面MN Q有交点，即AB与平面MN Q不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MN Q.故选A.6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.7．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1.答案：18．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D ，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④9．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：810．(2019·南宁毕业班摸底)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ； (2)求几何体ADEBC 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN .∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点， ∴GM ∥BE ，且GM ＝12BE ，NF ∥DA ，且NF ＝12DA .又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ，∴GM ∥NF 且GM ＝NF .∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)连接CN ，∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB ， 又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12，∵C ­ABED 是四棱锥，∴V C ­ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.11．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O . 连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线， 所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN . 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．(2019·河南八市联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，PA 的中点，点Q 是BC 上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PD Q ；(2)当BD ⊥F Q 时，求B QQ C的值．解：(1)证明：∵E ，Q 分别是AD ，BC 的中点， ∴ED ＝B Q ，ED ∥B Q ，∴四边形BED Q 是平行四边形， ∴BE ∥D Q.又BE ⊄平面PD Q ，D Q ⊂平面PD Q ， ∴BE ∥平面PD Q ，又F 是PA 的中点，∴EF ∥PD ， ∵EF ⊄平面PD Q ，PD ⊂平面PD Q ， ∴EF ∥平面PD Q ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ∥平面PD Q. (2)如图，连接A Q ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD . ∵BD ⊥F Q ，PA ∩F Q ＝F ，PA ⊂平面PA Q ，F Q ⊂平面PA Q ， ∴BD ⊥平面PA Q ，∵A Q ⊂平面PA Q ，∴A Q ⊥BD ，在矩形ABCD 中，由A Q ⊥BD 得△A Q B 与△DBA 相似， ∴AB 2＝AD ×B Q ， 又AB ＝1，AD ＝2， ∴B Q ＝12，Q C ＝32，∴B Q Q C ＝13.课时跟踪检测（五十八）排列与组合[A级基础题——基稳才能楼高]1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )A．2 160 B．720C．240 D．120解析：选B 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，则共有10×9×8＝720种分法．2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．(2019·安徽调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.4．(2019·漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480C．360 D．200解析：选D 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15 C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．5．(2019·福州高三质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服。

课时跟踪检测（一）集合一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·浙江考前热身联考)已知集合＝{＝}，＝{－＜＜}，则∪＝( )．[) ．(－)．(－] ．(－∞，]∪(，＋∞)解析：选法一：易知＝{≤≤}，又＝{－＜＜}，所以∪＝(－]．故选.法二：取＝，则∈，所以∈∪，排除、；取＝，则∉∉，所以∉∪，排除，故选.．(·浙江三地联考)已知集合＝{＜}，＝{－≤≤}，则∩＝( )．[－) ．(－)．(－] ．[－]解析：选由＜，可得－＜＜，所以＝{－＜＜}，所以∩＝[－)．．(·嘉兴期末测试)已知集合＝{＜}，＝{＞}，则( )．⊆．⊆．⊆∁．∁⊆解析：选由已知可得∁＝[，＋∞)，所以∁⊆.故选.．(·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合＝{}，＝{}，＝∩，则的子集有个．解析：集合＝{}，＝{}，＝∩＝{}，则的子集有∅，{}，{}，{}，共个.答案：．已知集合＝{≥}，＝{≥}，且∪＝，则实数的取值范围是．解析：因为集合＝{≥}，＝{≥}，且∪＝，所以⊆，如图所示，所以≥.答案：[，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·杭州七校联考)已知集合＝{＞}，＝{(－)(－)＝}，则集合∩中的元素个数为( ) ．．．．解析：选＝{＜－或＞}，＝{－，－}，∩＝{－}，故选.．(·浙江六校联考)已知集合＝{＝}，＝{＝}，＝{＝－}则∩(∁)＝( )．∅．．{＞} ．{}解析：选由题意得，＝，＝{＞}，因为＝－＜，所以＝{＜}，所以∁＝{≥}，故∩(∁)＝{＞}．故选.．(·永康模拟)设集合＝{－－≥}，＝{－＜＜}，则( )．⊆．⊆．∪＝．∩＝∅解析：选由－－≥，解得≥或≤－，所以＝{≤－或≥}，所以∪＝.．(·宁波六校联考)已知集合＝{－＜}，＝{，}，且∩有个子集，则实数的取值范围是( )．() ．()∪()．() ．(－∞，)∪(，＋∞)解析：选∵∩有个子集，∴∩中有个不同的元素，∴∈，∴－＜，解得＜＜且≠，即实数的取值范围是()∪()，故选.．(·镇海中学期中)若集合＝，＝{＜}，则∪＝( )．() ．()．(－∞，) ．(，＋∞)解析：选集合＝＝{＜＜}，＝{＜}．∪＝{＜}＝(－∞，)．故选.．设集合＝{－－≤}，＝{＜，且∈}，则∩＝.解析：依题意得＝{(＋)(－)≤}＝{－≤≤}，因此∩＝{－≤＜，∈}＝{－}．答案：{－}．(·嘉兴二模)已知集合＝{－≤≤}，＝{－≤}，则∪＝，∩(∁)＝.解析：因为＝{－≤}＝{≤≤}，所以∪＝{－≤≤}；因为∁＝{＜或＞}，所以∩(∁)＝{－≤＜}．答案：{－≤≤}{－≤＜}．设集合＝{(，)≥－，≥}，＝{(，)≤－＋}，∩≠∅.()的取值范围是；()若(，)∈∩，且＋的最大值为，则的值是．解析：由图可知，当＝－往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以≥；要使＝＋取得最大值，则过点(，)，有＋＝⇒＝.答案：()[，＋∞)()．已知集合＝{≤≤}，＝[，]，若⊆，则实数－的取值范围是．解析：集合＝{≤≤}＝{≤≤}＝{≤≤}＝[]，因为⊆，所以≤，≥，所以－≤－＝－，即实数－的取值范围是(－∞，－]．答案：(－∞，－]．已知集合＝{(＋)(－＋)＜}，其中∈，集合＝.()若⊆，求实数的取值范围；()若∩＝∅，求实数的取值范围．解：()集合＝＝{－＜＜}．当＝∅时，＝，不符合题意．当≠∅时，≠.①当－＜－，即＞时，＝{－＜＜－}，又因为⊆，所以(\\(＞()，,－≤－，－≥，))即(\\(＞()，≥，≥，))所以≥.②当－＞－，即＜时，＝{－＜＜－}，又因为⊆，所以(\\(＜()，,－≥，－≤－，))即(\\(＜()，≤－()，≤，))所以≤－.综上所述，实数的取值范围为∪[，＋∞)．()由()知，＝{－＜＜}．当＝∅时，＝，符合题意．当≠∅时，≠.①当－＜－，即＞时，＝{－＜＜－}，又因为∩＝∅，所以－≥或者－≤－，即≤－或者≤，所以＜≤.②当－＞－，即＜时，＝{－＜＜－}，又因为∩＝∅，所以－≥或者－≤－，即≥或者≥，所以≤＜.综上所述，实数的取值范围为[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．对于复数，，，，若集合＝{，，，}具有性质“对任意，∈，必有∈”，则当(\\(＝，＝，＝))时，＋＋等于( )．．－．．解析：选∵＝{，，，}，由集合中元素的互异性可知当＝时，＝－，＝－，∴＝±，由“对任意，∈，必有∈”知±∈，∴＝，＝－或＝－，＝，∴＋＋＝(－)＋＝－.．对于集合，，定义－＝{∈，且∉}，⊕＝(－)∪(－)，设＝，＝{＜，∈}，则⊕＝( )∪[，＋∞) ∪(，＋∞)解析：选依题意得－＝{≥，∈}，－＝错误!，故⊕＝错误!∪[，＋∞)．故选.．已知函数()＝－的定义域为集合，且＝{∈＜＜}，＝{∈＜或＞＋}．()求：和(∁)∩；()若∪＝，求实数的取值范围．解：()要使函数()＝－，应满足－≥，且－＞，解得≤＜，则＝{≤＜}，得到∁＝{＜或≥}，而＝{∈＜＜}＝{}，所以(∁)∩＝{}．()＝{∈＜或＞＋}，要使∪＝，则有≥，且＋＜，解得≤＜.故实数的取值范围为[)．。