高中数学第二章2.1.6点到直线的距离配套课件苏教版必修

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[问题情境] 构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点 之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上 节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点 到直线的距离及两条直线之间的距离．
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探究点 问题 1
点到直线的距离 我们已经证明了下图中的四边形 ABCD 为平行四边
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跟踪训练 1 已知点 A(1,3)， B(3,1)， C(－1,0)， 求三角形 ABC 的面积． 解 设 AB 边上的高为 h， 1 则 S△ABC＝ · AB· h， 2 AB＝ 3－12＋1－32＝2 2， AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离． y－3 x－1 AB 边所在直线方程为 ＝ ， 1－3 3－1 即 x＋y－4＝0. 设点 C 到 x＋y－4＝0 的距离为 h，
形，如何计算它的面积？
答 用两点间的距离公式可求得 AB＝ 41，因此，只要知 道 AB 边上的高，即点 D(或点 C)到直线 AB 的距离，就能 算出这个平行四边形的面积．
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问题 2 如何计算点 D(2,4)到直线 AB：5x＋4y－7＝0 的距离？
答 过点 D 作 DE⊥AB， 垂足为 E， 则点 D 到直线 AB 的距离就是线段 DE 的长(如图)．
2.1.6
【学习要求】
点到直线的距离
1．了解点到直线距离公式的推导方法． 2．掌握点到直线距离公式，并能应用于求平行线间的距离 等问题． 3．掌握两条平行直线之间的距离求法． 4．进一步掌握解析法解决几何问题的思路及方法． 【学法指导】 通过点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会寻 找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形 结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.
|Ax0＋By0＋C| 所以 d＝ . 2 2 A ＋B
可证明，当 A＝0，或 B＝0，上述公式也成立．
小结 点 P(x0 ， y0) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B
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例 1 求点 P(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2.
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．点到直线的距离公式：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋ B 的距离 d＝ .
2．设直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
|C1－C2| 2 2 A ＋ B 同时为 0)，则两直线间的距离 d＝ .
|－1＋0－4| 5 则 h＝ ， 2 2 ＝ 2 1 ＋1 1 5 因此，S△ABC＝2×2 2× ＝5. 2
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例2
求两条平行直线 x＋3y－4＝0 和 2x＋6y－9＝0 之间的
距离．
解 在直线 x＋3y－4＝0 上任取一点，例如取 P(4,0)，
则点 P(4,0)到直线 2x＋6y－9＝0 的距离 d 就是两平行直 线之间的距离， |2×4＋6×0－9| 1 10 ∴d＝ ＝ ＝ . 40 20 22＋62
解 (1)由点到直线的距离公式，
|2×－1＋2－10| 10 得：d＝ ＝ ＝2 5； 2 2 5 2 ＋1 (2)因为直线 3x＝2 平行于 y 轴， 所以
2 5 d＝3－－1＝3.
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小结
本题 (1)直接利用点到直线的距离公式即可得到相应
的距离；(2)可以运用公式(B＝0)，亦可利用该直线平行于 y 轴的性质求解．
于是有
Ax0＋By0＋C PR＝|x0－x1|＝ ， A
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Ax ＋By ＋C 0 0 PS＝|y0－y2|＝ . B
2 2 A ＋ B RS＝ PR2＋PS2＝ |AB| ×|Ax0＋By0＋C|.
由三角形面积公式可知 d· RS＝PR· பைடு நூலகம்S.
答 有，求法如下：
如图，设 A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 R (x1，y0)；
作 y 轴的平行线，交 l 于点 S(x0，y2)，将 R 点纵坐标代入 l By0＋C 的方程，得 x1＝－ A ， Ax0＋C 将 S 点横坐标代入 l 的方程，得 y2＝－ B .
通过求点 E 的坐标，用两点间距离公式求 4 DE.由 DE 垂直 AB，可知 DE 所在直线的斜率为5； 4 写出 DE 所在直线的方程： y－4＝ (x－2)， 即 4x－5y＋12＝0； 5 解 由 AB 和 DE 所 在 的 直 线 方 程 联 立 的 方 程 组 13 88 5x＋4y－7＝0， 得垂足 E 的坐标－41，41； 4x－5y＋12＝0，
利用两点间的距离公式，求出点 D 到直线 AB 的距离 DE＝ 13 88 19 2 － －2 ＋ －42＝ . 41 41 41
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问题 3
你能说出求点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0
(AB≠0)距离的一个解题思路吗？
A 答 由 PQ⊥l，以及直线 l 的斜率为－ ，可得 l 的垂线 PQ B B 的斜率为A， 因此，垂线 PQ 的方程可求出．
解垂线 PQ 与直线 l 的方程组成的方程组，得点 Q 的坐标， 用两点间距离公式求出 PQ，
即为点 P 到直线 l 的距离．
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问题 4 问题 3 中求点 P 到直线 l 距离的思路十分清晰， 但运 算量较大，那么有没有更好的方法？
小结 本题将点到直线的距离进行了灵活运用，使我们 通过点到直线的距离公式算出了平行直线间的距离．
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跟踪训练 2 求证：对于任意两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1 |C1－C2| ＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)之间的距离为 d＝ 2 . A ＋B2 证明 设 P0(x0，y0)是直线 l2 上任意一点，