人民教育A版2.3等差数列求和2编号13导学案

专心 爱心 用心1高中数学 2.3 等差数列的前n 项和(2)教案 新人教A 版必修5【使用说明】1、用30分钟先自学课本P 49-P 50，然后完成问题导学。

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

一、学习目标：1. 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；2. 在具体的的问题情境中，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能解决相应问题。

二、问题导学：问题1：结合课本4个具体例子分别得到怎样的数列，请把它们都写下来。

问题2：回忆数列的等差关系和等差数列的定义。

观察前面得到的4个数列，说说它们有什么共同特点，由此得到等比数列的定义。

问题3：回顾等差数列的通项公式的推导过程，同学们能推导出等比数列的通项公式么？问题4：类比等差中项，归纳等比中项概念并用式子表示。

问题5：结合课本P50探究，思考等比数列与指数函数的关系。

三、合作、探究、展示 例1.47(1)27,3,q a a ==-求241(2)18,8,q a a a ==求与579(3)4,6,a a a ==求51423(4)15,6,a a a a a -=-=求例2.在利用电子邮件传播的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少台计算机？例3.某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2000年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2005年需退耕多少公顷？（结果保留到个位）例4：求下列各数的等比中项： （1）77+- （2）422422(0,0)a b aab b ab ++≠≠与四、达标检测1. 在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递___数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递___数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是____数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是___数列.2. 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 723. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 6五、小结。

§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2. 2．等差数列前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1 答案 D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ， S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12答案 A解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝95×59＝1. 6．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9 ＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ，(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，则前n 项和S n 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)×(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0， 故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.9．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.答案 10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n a 1＋a n 2＝31n 2＝155，得n ＝10.10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列在n ＝k 时，前n 项和S n 取到最小值，则k 的值是________．答案 10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －1d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110n －1≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ， 得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a 1·n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 三、解答题11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n n －12d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n n ≤5，n 2－10n ＋50 n ≥6.能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．S n >na 1>na n B ．S n >na n >na 1 C ．na 1>S n >na n D ．na n >S n >na 1 答案 C解析 方法一 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2， 解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .方法二 ∵a n ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，S n ＝－2， na 1＝2，na n ＝－6， ∴na 1>S n >na n .14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．。

一、有关复习复习 1：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求 S5.复习 2：等差数列 { a n中，已知a 3511，求n8} 1 ， a a和 S .二、新课导学◆ 典型例题例 1 已知等差数列5，42，34，....的前n项和为S n，求使得S n最大的序号n的值. 77变式：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求数列{ a n}的前n项和 S n的最小值 .例 2 数列｛ a n｝是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负 .(1)求数列的公差 .(2)求前 n 项和 S n的最大值 .(3)当 S n＞0 时，求 n 的最大值 .变式：等差数列 {a n } 中， a10, s8s12，该数列的前多少项和最小？小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法 .（ 1）利用 a n : 当 a n >0，d<0，前 n 项和有最大值，可由 a n ≥0，且 a n 1 ≤0，求得 n 的值；当 a n <0， d>0，前 n 项和有最小值，可由 a n ≤0，且 a n 1 ≥0，求得 n 的值 （ 2）利用 S n ：由 S n d n 2 (a 1d)n ，利用二次函数配方法求得最大（小）值时 n22的值 .例 3.在等差数列｛ a n ｝中，已知第１项到第 10 项的和为 310，第 11 项到第 20 项的和为 910，求第 21 项到第 30 项的和。

结论：数列 {an } 是等差数列 前 n 项和是 S n , 那么,S m , S 2m S m , , Sk 1 mS km ,kN 仍成等差数列 ,公差为 m 2d ( m 为确立的正整数 ) ◆ 着手试一试练 1 数列 a n 是等差数列， a 1 50,d0.6 .（ 1）从第几项开始有 a n 0 ；（ 2）求此数列的前 n 项和的最大值 .练 2 在等差数列 {a n } 中，已知前 4 项和是 1，前 8 项和是 4，则 a 17+a 18+a 19+a 20 等于 ______.例 4 在项数为 2n+1 的等差数列中，全部奇数项和为 165，全部偶数项和为 150，求 n 的值 .小结：等差数列奇数项与偶数项的性质以下：1°若项数为偶数 2n，则S偶－S奇＝n d ；S奇＝a n (n 2)；S偶a n 12°若项数为奇数 2n＋1，则S奇－＝an 1； S偶＝；S偶na n 1； S奇( n 1)a n 1S偶＝n .S奇n 1例 5 已知两个等差数列｛ a n｝｛、b n｝，它们的前 n 项和分别是 S n、S n′，若Sn2n3,S n'3n1求a 9 . b9例 6 已知数列 { a n} 的前 n 项和S n12n n2，求数列{| a n|}的前n项和T n.三、学习小结1.数列通项 a n和前n项和 S n关系；2.等差数列前项和最大（小）值的两种求法 .3.等差数列奇数项与偶数项的性质◆ 当堂检测1.以下数列是等差数列的是（） .A. a n n2B. S n2n1C. S n2n21D.S n2n2n2.等差数列 { a n } 中，已知S1590 ，那么 a8（）.A. 3B. 4C. 6D. 125.在等差数列｛ a n｝中，已知 a14＋a15＋a17＋ a18＝ 82，则 S31＝ __________.6. 在等差数列中，公差 d＝1，S100145 ，2则 a1 a3 a5 (99)7.已知数列｛ a n｝的前 n 项和是 S n=32n－ n2,求数列｛｜ a n｜｝的前 n 项和 S n′ .。

2.3 等差数列前n 项和(1)【学习目标】1.探索等差数列的前n 项和公式的推导方法；2.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题. 【重点难点】1．重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.2．难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【学习过程】 一、自主学习：任务1: 等差数列的通项公式 和其变形公式 . 任务2: 等差数列重要推广公式 二、合作探究归纳展示探究1：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =? 新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，. 小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件：三、讨论交流点拨提升例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：①从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.． 四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（..）. A ．5880..B ．5684..C ．4877..D ．45663.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = 五、学后反思1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.【课后作业】1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？。

高二数学导学案1编号12 §2.3.1 等差数列的前n 项和 第一课时制作人： 审核人： 高二数学组 使用时间：2016.9学习目标：1、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用。

（重点） 2、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

（难点） 预习导航：在上课前必须认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。

1、等差数列的定义： 2、等差数列的通项公式： 3、等差数列的下标和性质： 4.看课本P42了解高斯的“小故事”: 5．数列的前n 项和：6、等差数列的前n 项和公式：等差数列{}n a 中，问题探究：探究问题（一）等差数列的前n 项和公式：1、等差数列{}n a 中说明：公式推导的方法：探究问题（二）等差数列的前n 项和公式2、等差数列{}n a 中典例分析 例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例2．已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个 等差数列的前n 项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于1a 与d 的二元一次方程，由此可以求得1a 与d ，从而得到所求前n 项和的公式.例3.已知等差数列{a n }中，d=21, a n =23,S n =215-,求a 1和n课堂训练：1、根据下列条件求等差数列{a n }的前n 项和S n 。

（1）a 1=5，a n =95，n=10（2）a 1=100，d=-2，n=50，（3）a 1=14.5，d=7，a n =32，2、（1）求正整数的前n 个数的和， （2）求正整数的前n 个偶数的和，3.求数列5,4,3,2，……前多少项的和是-30？课堂小结：1.这节课学到了什么 2.各小组表现如何课后作业：1、已知等差数列{a n }中，a 1=20，a n =54，Sn=999，求n2、等差数列-10，-6，-2,2……的前 项的和为54？。

等差数列的前n 项和一、课型：新授课 二、课时：2课时三、教学目标 知识与能力：（1）掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

过程与方法：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点：等差数列前n 项和公式及简单应用。

五、教学难点：获得等差数列前n 项和公式推导的思路。

六、教学方法：问题引导法 七、教具：PPT 、教案 八、教学过程 1．目标解读：（1）掌握等差数列的前n 项和公式，并能进行简单计算； （2）经历并理解等差数列前n 项和公式的发现和推导过程。

2．复习回顾：（1）等差数列的通项公式：（2）等差数列的性质：n m l k N n m l k +=+∈+,,,,时，有：3．问题导学：上节课我们已经学习了有关等差数列的一些基本性质,那么这节课我们就来探讨一下等差数列的前n 项和公式.问题一: 古算书<<张邱建算经>>中卷有一道题:今有与人钱,初一人与一钱；次一人与二钱;次一人与三钱；以次为之,转多一钱,共有百人。

问:共与几钱?教师：题目中我们可以得到哪些信息?要解决的问题是什么?学生：第一人得一钱, 第二人得二钱, 第三人得三钱,以后每个人都比前一个人多得一钱,共有100人,问共给了多少钱?教师：很好,问题已经呈现出来了,你能用数学语言表示吗?学生:用n a 表示第n 个人所得的钱数,由题意得: 1a =1, 2a =2, 3a =3,……, 100a =100.只要求出1+2+3+……+100即可.教师：高斯在他10岁的时候就神速的算出了结果,他的算法很高明,请问他是如何算的? 学生: 1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101⨯50=5050.教师: 上述问题我们可以看成是等差数列1,2,3,……,100,……的前100项和，即100321100a a a a S ++++= ， 根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法.问题二：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

会用等差数列的前n ：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .⑴184188a a n =-=-=，，；⑵114.50.715a d n ===，，.※ 典型例题例1 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.三、总结提升※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.A ．5880B ．5684C ．4877D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）A. 24B. 26C. 27D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .主备人：李国平 审核：任超民 年级组长： 使用时间：。

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2.3。

2 等差数列的前n项和（二）2。

3.2 等差数列的前n项和(二）（共 1 课时)一、知识与技能1。

进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2。

了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3。

会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n 的最值。

二、过程与方法1。

经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2。

学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

教学重点熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点灵活应用求和公式解决问题.导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式：(1)2)(1n n a a nS +=；(2）2)1(1dn n na S n -+=。

师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法,本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示,请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式。

《等差数列的前n 项和》教学设计【课题】等差数列的前n 项和【教材】人民教育出版社《数学》必修5 【课时】1课时【教材分析】1、教学内容《等差数列的前n 项和》为现行高中教材必修5 第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。

2、地位与作用本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

【学生学情分析】1、学生知识基础情况：课堂学生为高二年级的的学生，学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

经过高一的学习，学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能够在教师的引导下解决一些简单问题。

2、任教班级学生特点：我班学生大多来自农村，入学基础薄弱，基础知识较一般，但是学生思维较活跃，学习态度认真，只是处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

【教学目标】1、知识与能力：A:知识(1) 掌握等差数列前n 项和公式;(2) 掌握等差数列前n 项和公式的推导过程;(3) 会简单运用等差数列的前n 项和公式。

B:能力(1) 通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2) 利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

(3) 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2、过程与方法:(1) 启发式教学。

从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

2.3.2 等差数列的前 项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？二、讲授新课：1. 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ （是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例1、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额⨯112⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦存期＋存期（存期＋）利率. 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。

2.3等差数列的前n项和(教案)第一课时教学目标一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平三、情感态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感教学重点探索并掌握等差数列的前n项和公式教学难点等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学方法: 1、引导法：采用“问题情境——建立模型——解析、讲解--拓展与应用”的模式展开导学。

2、情景教学法；充分联系生活，尽可能增加导学过程中的趣味性、实践性、利用媒体教学课件和实物模型等丰富学生的学习资源，让学生动手操作和自主参与。

3、小组合作学习法：通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究。

教学分析本节课是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法本节课关键问题是掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题，因此我们要鼓励学生多角度，多方法的分析解决问题，培养学生的发散性思维，避免思维的单一性，引导学生形成实事求是的态度，形成敢于质疑、善于思考以及乐于合作的学习习惯.教师应千方百计的调动学生参与课堂的积极性，让学生成为课堂的主人。

教学过程一，复习等差数列及其性质二，导入“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时就巧妙的解决了“1+2+…100=?”这个问题他分析出1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” ，高斯的方法很巧妙，那么能不能推广呢？请大家看咱们PPT上的图片，图片所展示的是印度泰姬陵印度泰姬陵a j M a h a 是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)很显然,1+2+3+……+99+100用高斯算法即可，可是假设它是有101层呢？用高斯配对就不太方便了，那么如何改良一下高斯算法呢？结合ppt 图片启发思考，得出：1+2+3+……+99+100+101=s101+100+99+……+2+1=s2s=(1+101)x101/2=5151 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法现在我们将求和问题一般化：(1)求1到n 的正整数之和，即求1+2+3+…+(n -1)+n .(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决(2)如何求等差数列{a n }的前n 项的和S n①因为S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，S n =a n +a n -1+…+a 2+a 1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q ， 所以2)(1n n a a n S +=.(Ⅰ②因为S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+…+［a 1+(n -1)×d ］，所以S n =na 1+［1+2+3+…+(n -1)］d =na 1+2)1(-n n d 即S n =na 1+2)1(-n n d .(Ⅱ方法一是用“倒序相加法”，方法二用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ,有利于我们的记忆强调：如果已知等差数列的首项a 1，项数为n ，第n 项为a n ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a 1，项数为n ，公差d ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅱ)来进行 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？每个公式中都是5个量如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二另外呢，还可以从函数角度认识等差数列的求和公式，这个内容我们下节课再研究。

2．3等差数列前n 项和导学案使用说明与学法指导1、用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。

2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。

3、各组c 级的同学对加*题目不作要求。

4、将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处。

一、学习目标：1、掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法2、熟练掌握等差数列中的五个基本量1,,,,n n a d n s a 之间的关系并能够做到知三求二。

3、感受应用函数，数形结合思想研究，解决数列问题的思想方法。

二、问题导学1、你明白了高斯算法的奇妙之处吗？试求：1+2+3+4+…+n =？2、等差数列{}n a 的前n 项和有几种表示？它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质？3、一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？三、自学检测1、已知数列{}n a 的前n 项和为：①2n ；②2n +6；③n 2；④n 2-1；⑤n 2+2n ；⑥n 2+n +1；⑦n 3；⑧0，在上述各数列中构成等差数列的有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个2、已知数列{}n a 的通项公式262n a n =-，则使其前n 项和n S 最大的n 的值为（ ）A.11或12B.12C.13D.12或13 3. 根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和.n S ： （1）184,18,8a a n =-=-=； （2）114.5,0.7,32n a d a ===；4、已知数列{}n a 的前n 项和为212343n s n n =++，求这个数列的通项公式。

四、合作探究例1：根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数：（1）120,54,999n n a a S ===，求d 及n ；（2）1,37,629,3n d n S ===求1a 及n a ；（3）151,,566n a d S ==-=-，求n 及n a ；（4）2,15,10,n d n a ===-求1a 及.n S拓展1：等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =. （1） 求数列的通项公式； （2） 若 241n S =，求n .例2：设数列{}n a 的前n 项和为,n S 点(,)nS n n（n ∈N *）均在函数9y x =-+的图像上.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 求n S 的最大值..例3：等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和.拓展2：设数列{}n a 的通项公式为n a =2n-7，则1215||||||a a a +++=______________拓展3：已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-+. （1）求这个数列的通项公式； （2）求前n 项和最大值；※（3）求数列{||}n a 的前n 项和.n T五、我的学习总结（1）知识与方法方面（2）数学思想及方法方面。