【师说】高中数学人教A版选修课时作业变化率与导数

课时作业2 导数的概念知识点一 瞬时速度1.一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 C解析 Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝18[4＋4Δt ＋(Δt )2－4]＝18[(Δt )2＋4Δt ]，∴Δs Δt ＝18Δt ＋12.∴当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于12.即t ＝2时，瞬时速度为12.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．直线答案 D解析 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0b －b Δx＝0，所以f (x )的图象为一条直线．3．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．t ＝1 B ．t ＝2 C ．t ＝3 D ．t ＝4答案 B解析 设物体在t 时刻的速度为零，则li m Δt →0Δs Δt ＝0，Δs Δt ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )＋4t 2－16t Δt ＝－8Δt ·t －4Δt 2＋16ΔtΔt＝－8t －4Δt ＋16，∴li m Δt →0ΔsΔt＝－8t ＋16＝0，∴t ＝2.知识点二 导数的定义 4.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关 答案 B解析 由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.5．若f ′(x 0)＝1，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx＝( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1答案 B解析 f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝1，∴li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－1，∴li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx ＝12×(－1)＝－12.6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 知识点三 导数的实际意义7.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解 根据导数的定义，得Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt＝3，所以f ′(2)＝lim Δt →0Δy Δt＝3.f ′(2)的意义是：水流在2 s 时的瞬时流速为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.一、选择题1．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0答案 A解析 ∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0ΔsΔt＝at 0.2．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝li m Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝li m Δx →0f (Δx )Δx＝－1，∴选B.3．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2答案 D解析 f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.4．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x 0)＝－aB ．f ′(x 0)＝－bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b答案 C解析 ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a .∴f ′(x 0)＝a .故选C.5．已知奇函数f (x )满足f ′(－1)＝1，则li m Δx →0f (Δx －1)＋f (1)Δx等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 A解析 由f (x )为奇函数，得f (1)＝－f (－1)，所以li m Δx →0f (Δx －1)＋f (1)Δx＝li m Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝f ′(－1)＝1.二、填空题6．已知自由落体的运动方程为s (t )＝5t 2，则t 在2到2＋Δt 这一段时间内落体的平均速度为______，落体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 20＋5Δt 20解析 由题物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 这一段时间内的平均速度为v －＝5(2＋Δt )2－5×22Δt ＝20＋5Δt ，则当Δt →0时v －→20，即t ＝2时的瞬时速度为20.7．设函数y ＝f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 答案 1解析 Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝a (－1＋Δx )3＋2－a (－1)3－2＝a (Δx )3－3a (Δx )2＋3a Δx .∴Δy Δx ＝a (Δx )3－3a (Δx )2＋3a Δx Δx ＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a . 当Δx 无限趋近于0时，a (Δx )2－3a Δx ＋3a 无限趋近于3a .∴f ′(－1)＝3a ＝3，∴a ＝1.8．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝1＝________. 答案510解析 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4＝5＋Δx －5，所以Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx.所以y ′|x ＝1＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →05＋Δx －5Δx＝li m Δx →0(5＋Δx －5)(5＋Δx ＋5)Δx (5＋Δx ＋5)＝li m Δx →015＋Δx ＋5＝510. 三、解答题 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解 当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解 位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0Δs Δt ＝li m Δt →0⎝⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D )(A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0),所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s)(C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s)解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A.3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )(A)与x0,h都有关(B)仅与x0有关,而与h无关(C)仅与h有关,而与x0无关(D)与x0,h均无关解析:因为f′(x0)=,所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A )(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1(C)y=x+1 (D)y=-x-1解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D )(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.解析:===-1.答案:-17.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是.解析:===-3+=-3f′(3)+=-3f′(3)+2=8.答案:88.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.解:(1)y′===(2x+Δx+1)=2x+1.y′x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).所以所求三角形的面积S=××-=.【能力提升】9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )(A)[-1,-] (B)[-1,0](C)[0,1] (D)[,1]解析:设点P(x0,y0),则f′(x0)====(2x0+2+Δx)=2x0+2.结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.故选A.10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列{}的前n项和为S n,则S2 018的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列{}的前n项和为S n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A.11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y′==2x0=1,得x0=,所以P(,),故点P到直线y=x-2的最小距离d==.答案:12.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点为P(1,1).因为y′====[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,所以y′=3.所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).【探究创新】13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为.解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9. 即f′(x0)=3+2ax0-9.所以f′(x0)=3(x0+)2-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.答案:-3。

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引] 1．函数的变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解令t 0＝6598，Δt为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案 B解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于()A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ， 简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能是( ) A ．大于0B．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s 答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。

1．1.3导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx)＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→0limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1y ＝x3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.。

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________，简记作：Δy Δx. ①平均速度；②曲线割线的斜率．瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即__________＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度 ②切线斜率.2.导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记为____________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx ______.一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 答案知识梳理 1.定义 实例平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：Δy Δx .①平均速度； ②曲线割线的斜率．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2.lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.2.已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8 解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋5.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋5. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝10. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.3. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.4.若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.5.已知f (x )＝ln xx 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x6.(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________． 解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2.答案：27.(2019·浙江金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x 2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)8.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________．解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2. 由已知图象可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝3.故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316.答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －14.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝9 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝2. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－16.即y ＝4x －18或y ＝4x －10.8.已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)．由题意得⎩⎨⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0. 由⎩⎨⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[能力提升]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2019·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C ．22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.1.(2019·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x＋x e x，f ″(x )＝2e x＋x e x＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③2.(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝cos πx ＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b ＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝－πsin πx ＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝03.设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋3. ④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－2.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.4.(2019·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋10和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋10)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋10)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝10x ＋7. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋10x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋10＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝7.②由f′(x)＝10得－6x2＋6x＋10＝10，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝10x＋7.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

2020年高中数学人教A 版选修2-2 课时作业《变化率问题 导数的概念》一、选择题1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线2.设函数y=f(x)=x 2-1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03.设函数f(x)在点x 0附近有定义，且有f(x 0＋Δx)-f(x 0)=aΔx＋b(Δx)2(a ，b 为常数)，则( )A ．f′(x)=aB ．f′(x)=bC ．f′(x 0)=aD ．f′(x 0)=b4.如果质点A 按照规律s=3t 2运动，则在t 0=3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．815.已知f(x)=x 2-3x ，则f′(0)=( )A ．Δx -3B ．(Δx)2-3ΔxC ．-3D ．06.已知函数f(x)=2x 2-4的图象上一点(1，-2)及邻近一点(1＋Δx，-2＋Δy)，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx)27.甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲=v 乙D ．大小关系不确定8.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li m Δx→0 f Δx Δx=-1，则f′ (0)=( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29.已知f(x)=2x ，且f′(m)=-12，则m 的值等于( ) A ．-4 B ．2 C ．-2 D ．±2二、填空题10.设f(x)=ax ＋4，若f′(1)=2，则a=________.11.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．12.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．13.已知函数f(x)=-x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t=________.14.一物体的运动方程为s=7t 2＋8，则其在t=________时的瞬时速度为1.三、解答题15.质点按规律s(t)=at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t=2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．16.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x>0，1＋x 2，x≤0，求f′(4)·f′(-1)的值．17.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．答案解析1.答案为：D ；解析：当f(x)=b 时，瞬时变化率li m △x －0 Δy Δx =li m △x －0 b －b Δx=0，所以f(x)的图象为一条直线．2.答案为：A ；解析：Δy Δx =f 1.1－f 11.1－1=0.210.1=2.1.3.答案为：C ；解析：f′(x 0)=li m △x －0 f x 0＋Δx －f x 0Δx=li m △x －0 (a ＋b·Δx)=a.4.答案为：B ；解析：∵s(t)=3t 2，t 0=3，∴Δs =s(t 0＋Δt)-s(t 0)=3(3＋Δt)2-3·32=18Δt＋3(Δt)2.∴Δs Δt=18＋3Δt.∴li m △x －0 Δs Δt =li m △x －0 (18＋3Δt)=18，故应选B.5.答案为：C ；解析：f′(0)=li m △x －0 0＋Δx 2－30＋Δx －02＋3×0Δx=li m △x －0 Δx 2－3Δx Δx=li m △x －0 (Δx -3)=-3.故选C.6.答案为：C ；解析：Δy Δx =f 1＋Δx －f 1Δx =21＋Δx 2－4＋2Δx =2Δx 2＋4Δx Δx=2Δx＋4.7.答案为：B ；解析：设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 甲=k AC ，s 2(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 乙=k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．8.答案为：B ；解析：∵f(x)图象过原点，∴f(0)=0，∴f′(0)=li m Δx→0 f 0＋Δx －f 0Δx =li m Δx→0 f Δx Δx=-1，∴选B.9.答案为：D ；解析：f′(x)=li m △x －0 f x ＋Δx －f x Δx =-2x 2，于是有-2m 2=-12， m 2=4，解得m=±2.10.答案为：2；解析：∵f′(1)=li m △x －0f 1＋Δx －f 1Δx =li m △x －0 a 1＋Δx ＋4－a ＋4Δx=a ，∴a=2.11.答案为：v 1＜v 2＜v 3；解析：v 1=k OA ，v 2=k AB ，v 3=k BC ，由图象知k OA ＜k AB ＜k BC .12.答案为：28π3； 解析：∵Δy =43π×23-43π×13=28π3，∴Δy Δx =28π32－1=28π3.13.答案为：-2；解析：∵Δy =f(1)-f(t)=(-12＋1)-(-t 2＋t)=t 2-t ，∴Δy Δx =t 2－t 1－t =-t.又∵Δy Δx=2，∴t=-2.14.答案为：114； 解析：Δs Δt =7t 0＋Δt 2＋8－7t 20＋8Δt =7Δt＋14t 0，当li m Δx→0 (7Δt＋14t 0)=1时，t=t 0=114.15.解：∵Δs =s (2＋Δt)-s(2)=[a(2＋Δt)2＋1]-(a×22＋1)=4aΔt＋a(Δt)2，∴Δs Δt=4a ＋aΔt， ∴在t=2时，瞬时速度为li m △x －0 Δs Δt=4a,4a=8，∴a=2.16.解：当x=4时，Δy =-14＋Δx ＋14=12-14＋Δx =4＋Δx－224＋Δx =Δx 24＋Δx 4＋Δx＋2. ∴Δy Δx =124＋Δx 4＋Δx＋2. ∴li m Δx→0 Δy Δx =li m Δx→0 124＋Δx 4＋Δx＋2=12×4×4＋2=116.∴f′(4)=116. 当x=-1时，Δy Δx =f －1＋Δx －f －1Δx =1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx=Δx -2， 由导数的定义，得f′(-1)=li m Δx→0(Δx -2)=-2， ∴f′(4)·f′(-1)=116×(-2)=-18.17.解：位移公式为s=12at 2， ∵Δs =12a(t 0＋Δt)2-12at 20=at 0Δt＋12a(Δt)2， ∴Δs Δt =at 0＋12aΔt，∴li m Δx→0 Δs Δt =li m Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12aΔt =at 0， 已知a=5.0×105m/s 2，t 0=1.6×10-3s ，∴at 0=800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

课时作业变化率与导数一、选择题．已知函数＝－在＝处的增量为Δ＝，则Δ的值为( )．－．．．[解析](＋)－()＝×－－＋＝－.故应选.[答案]．如果某物体作运动方程为＝(－)的直线运动(的单位为，的单位为)，那么其在末的瞬时速度为( )．－．－．．[解析]物体运动在末的瞬时速度即为在处的导数，利用导数的定义即可求得．故应选.[答案]．设函数()可导，则等于( )．不存在．′()．以上都不对′()[解析]＝＝′()．故应选.[答案]．设函数()＝＋，若′()＝，则等于( )．．－．．－[解析]∵′()＝＝＝，∴′()＝＝.故应选.[答案]．设函数()＝，则等于( )．－．－[解析]＝＝＝－.故应选.[答案]．函数＝－在处的切线方程是( )．＝．＝－．＝－．＝＋[解析]∵′＝＝＝，∴′＝.∴切线方程是＋＝，即＝－.故应选.[答案]．曲线＝在＝处的( )．切线方程为＝．切线斜率为．切线方程为＝．没有切线[解析]∵′()＝＝＝Δ＝，∴过点()的切线方程为：－＝(－)，∴＝.故应选.[答案]．抛物线＝在点()处的切线方程为( )．＋－＝．－－＝．＋－＝．－＋＝[解析]∵()在抛物线＝上，∴本身是切点，∴切线斜率＝′()＝＝＝(\\(()Δ＋)))＝.∴切线方程为－＝×(－)．故应选.[答案]二、填空题．＝－＋在＝处的导数是．[解析](＋Δ)＝(＋Δ)－(＋Δ)＋＝＋··Δ＋··Δ＋Δ－－Δ＋.∴(＋Δ)－()＝＋Δ＋·Δ＋Δ－·Δ－－(－＋)＝Δ＋Δ＋Δ.∴＝(Δ＋Δ＋)＝.[答案]．设()＝＋，若′()＝，则等于．[解析]＝。

第一章第一节第课时变化率与导数【课标学习目标】．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率．．理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)．．理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程．【情景引入】你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭”程度．【知识探究】．已知函数＝()，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数＝()从到的平均变化率．习惯上用Δ表示－，即Δ＝，可把Δ看作是相对于的一个“增量”，可用＋Δ代替；类似地，Δ＝.于是，平均变化率可以表示为．．一般地，如果物体的运动规律是＝()，那么物体在时刻的瞬时速度就是物体在到＋Δ这段时间内，当Δ→时平均速度的极限，即＝＝.．一般地，函数＝()在＝处的瞬时变化率是＝.我们称它为函数＝()在＝处的导数，记作或，即′()＝＝.．导数的几何意义是，即＝.．当＝时，′()是一个确定的数．这样，当变化时，′()便是的一个函数，我们称它为()的(简称)．＝()的导函数有时也记作′，即′()＝′＝.[答案]－()－()′()′＝．曲线＝()过点(，())的切线的斜率＝′()．导函数导数【例题讲解】题型一求瞬时速度【例】以初速度(>)竖直上抛的物体，秒时的高度为()＝－，求物体在时刻处的瞬时速度．【分析】先求出Δ，再用定义求当Δ→时的极限值．【解析】∵Δ＝(＋Δ)－(＋Δ)－＝(－)Δ－(Δ)，∴＝－－Δ，当Δ→时，→－.故物体在时刻的瞬时速度为－.【评析】瞬时速度即是平均速度在Δ→时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度。

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（18）变化率与导数1.若函数23(),(),()f x x g x x h x x ===在[]0,1上的平均变化率分别记为123,,m m m ,则下面结论正确的是( ) A.123m m m == B.123m m m >> C.213m m m >>D.123m m m << 2.函数()f x x =从1到a 的平均变化率为14,则实数a 的值为( ) A.10B.9C.8D.73.已知函数()f x 的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'C ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'D ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<4.已知曲线4ln (1)y a x x x=+>在每一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是( )A.(,5)-∞B.(,4)-∞C.(,5]-∞D.(,4]-∞5.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+6.曲线3222y x x =-+在点()1,1处的切线方程为( ) A ．2y x =-+B ．y x =-C ．2y x =-D ．y x =7.已知函数()223f x x ax ax b =+++的图像在点()()1,1f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点,则实数b 的取值范围是( ) A.()5,27-B.[]5,27-C.(]1,3-D.[]1,3-8.已知()f x 为奇函数,当0x <时, ()2e e (e x f x x -=-是自然对数的底数),则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是( )A. e e y x =-+B. e e y x =+C. e e y x =-D. 112e 2e+e e y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭9.函数()2ln 2f x x x x =++在点()(1,)1f 处的切线方程为( ) A.33y x =-B.3y x =C.31y x =+D.33y x =+10.若曲线()ln y x a =+的一条切线为e y x b =- (e 为自然对数的底数),其中,a b 为正实数,则11e a b+的取值范围是( ) A.[)2,e B.(]e,4C.[2,)+∞D.[e,)+∞11.函数2()3f x x =在[]2,6内的平均变化率为___________.12.函数()()sin 2f x a x a R =+∈在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =-+，则a =__________． 13.曲线21()ln 2f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =______. 14.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 15.已知函数2()12f x x =-。

课时作业3 导数的几何意义知识点一导数的几何意义1.下列说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 B解析由图象易知，点A，B处的切线斜率k A，k B满足k A<k B<0.由导数的几何意义，得f′(x A)<f′(x B).知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案 C解析根据函数在一点处的导数的定义，可知选C.知识点三求曲线在某点处的切线方程4.若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝( )A．1 B．2C ．3D ．4答案 C解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0[2(x 0＋Δx )2－4(x 0＋Δx )＋a ]－(2x 20－4x 0＋a )Δx＝li m Δx →0(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.5．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，f (0)＝2，则在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2＋c ，所以f ′(1)＝lim Δx →0a (1＋Δx )2＋c －a －cΔx＝lim Δx →0(2a ＋a ·Δx )＝2a ＝2，所以a ＝1.又因为f (0)＝2，所以c ＝2，所以f (x )＝x 2＋2.所以f (1)＝3.故在点(1，f (1))处的切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.6．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →01－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.一、选择题1．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案 D解析 Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ，li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0 －11＋Δx ＝－1，斜率为－1，倾斜角为3π4.3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.又y ′＝li m Δx →0(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx＝2x ＋a ，∴过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)答案 C解析 f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0(3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线的方程为( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝2x －1D ．y ＝2x ＋1答案 C解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得x 0＝1，所以y 0＝x 20＝1，k＝2x 0＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.故选C.二、填空题6.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处的切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图可知f (x )在点P 处的切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98，所以f (2)＋f ′(2)＝98.7．曲线y ＝x 2－x ＋1在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 k ＝y ′|x ＝2＝li m Δx →0(2＋Δx )2－(2＋Δx )＋1－3Δx ＝li m Δx →03Δx ＋(Δx )2Δx＝3.当x ＝2时，y ＝3，即切点为(2,3)，切线方程为y －3＝3(x －2)，令x ＝0，则y ＝－3.∴切线与y 轴交点的纵坐标为－3.8．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝lim Δx →0(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 三、解答题9．已知曲线y ＝f (x )＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.(1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在P ，Q 处的切线方程． 解 将点P (2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，所以y ＝11－x. y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →0Δx [1－(x ＋Δx )](1－x )Δx ＝lim Δx →01(1－x －Δx )(1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.10．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解 ∵f ′(x )＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . ∵g ′(x )＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0(x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－12－1m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh等于( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0B [法一：lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →0f x 0＋h －f x 0＋f x 0－f x 0－hh＝lim h →0f x 0＋h －f x 0h ＋lim h →0f x 0－f x 0－hh＝f ′(x 0)＋lim h →0f [x 0＋－h ]－f x 0－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)． 法二：lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2f ′(x 0)．] 二、填空题6．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.13 [Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.] 7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．v 3>v 2>v 1 [∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1.]8．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________．2[物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝limΔt→0s t＋Δt－s tΔt＝limΔt→02t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2Δt＝limΔt→02Δt－6tΔt－3Δt2Δt＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]三、解答题9．若函数f (x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，求a的值．[解]∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.∴f ′(1)＝limΔx→0f 1＋Δx－f 1Δx＝limΔx→0aΔx2＋2aΔxΔx＝limΔx→0(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时平均速度．[解](1)初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2) v＝limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.1．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)C [lim Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx ＝13lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝13f ′(1)．] 3．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．[x 3，x 4] [由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f x 2－f x 1x 2－x 1，f x 3－f x 2x 3－x 2，f x 4－f x 3x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．]4．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.2.1 2.001 [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.] 5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2t ≥3， ①29＋3t －320≤t ＜3， ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt ＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12.所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

2019-2020学年人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.已知()f x 为可导函数，且)4(2f '=，则02()l )i (2mh f h f h h→--+=A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】B2.如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f +'=A ．12B ．1C ．2D ．0【答案】C【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ． 3.已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则yx∆∆等于 A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x =-，所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =，则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ． 4.已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(1,1)D ．11(,)28-- 【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．5.已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为________________． 【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．6.若函数()f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则000))lim ((x f x f x x x∆→--∆=∆________________．【答案】2【解析】由题意可得0000(())lim ()2x f x f x x f x x ∆→--'∆==∆．7.设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=________________． 【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．8.曲线2()f x x=在点(2,1)--处的切线方程为________________． 【答案】240x y ++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2． （1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2）30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1） 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=，则1 3.0530.5(m /s)0.1s v t ∆===∆．（2） 3.0130.01(s)t ∆=-=，2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义，可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t∆→∆===∆瞬时．12．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =． （1）求函数()f x 在0x x =处的导数； （2）求函数()f x 的解析式；（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-；（3）证明见解析．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为20020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----． 令1x =得0011x y x +=-，则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-． 令x y =得021y x =-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --． 又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以，所围成的三角形的面积为定值2．。