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f ( x1 ) x2 x1 f ( x1 )
f ( x1 ) 0
将其作为方程根的第二次近似值，等等
得迭代公式
x n 1
f ( xn ) xn f ( xn )
3.牛顿法的计算步骤:
1) 精度 ，最大迭代次数 M ， x0 ） k 0 , x0 , f ( x0 ),f（
x a0
a
x b0 b
2.1 二分法
二分法的计算步骤： ⑴ 准备：计算 f (a ), f (b) ab , f ( x0 ) ⑵ 二分：计算 x0 2 ⑶ 判断：若 f ( x0 ) 0 ,则根为 x0 停
若 f (a ) f ( x0 ) 0 ，则 b : x0
若 f (a ) f ( x0 ) 0 ，则 a : x0 ⑷ 若 b a ，停 x* a b ;否则，转⑵。 2
则称迭代法是 p 阶收敛 定理
1) ( p ) ( x ) 在 x * 附近连续
2) ( x*) ( x*)
( p) ( p1) ( x*) 0 , ( x*) 0
则迭代格式 xn1 ( xn )在 x * 附近是 p 阶收敛
例
用两种收敛的迭代法求 x 2 3 0 的根，并讨 论方法的收敛速度。
优点：计算简单，方法可靠，只要求函数连续 缺点：收敛速度慢。 例3 设 f ( x ) x 3 1.8 x 2 0.15 x 0.65 0 ，试用 二分法求该方程在区间[0.5,1.25] 根的近似值。 解
f (0.5) 0 f (1.25) 0 f (0.875) 0 f (1.0625) 0 f (0.96875) 0 (0.875,1.25) (0.875,1.0625) (0.96875),1.0625)
a
x1பைடு நூலகம்b
例
讨论牛顿法求 xe x 1 0 在[0,1]上的根时的 收敛。
x 解 f ( x ) xe x 1, f ( x ) ( x 1)e , f ( x ) ( x 2)e x
1) f (0) 1, f (1) e 1
, f (0) f (1) 0
f ( x0 ) 0
f ( x1 ) 0
得迭代公式
x n 1
f ( xn ) xn f ( xn )
上述这种求方程 f x 0 的根迭代方法称为牛顿 法。由于这种方法的每一步都是用切线来逼近方 程，所以牛顿法又称为切线法。
2、几何意义 首先在方程 f x 0 根 x *的附近取一点 x0 过曲线 y f ( x )上的点 x , f x 作切线
在单根 x *某个邻域内 f ( x ) 0 , f ( x ) 连续
f ( x*) f ( x*) | ( x*) | 01 2 f ( x*)
f ( x*) 0
则牛顿法局部收敛。
牛顿法的收敛阶:
( x ) f ( x ) f f ( x) ( x) f ( x ) 2 2 [ f ( x )] [ f ( x )]
2.2 迭代法
一、基本思想 设 f ( x ) 0 的有根区间为 [a , b] 将其写成等价形式
x x
在 [a , b]取 x0 代入方程右端得
x1 x0
x2 x1
x3 x2
于是迭代公式为
x n 1 x n
如果 x 是连续函数，且 lim xn
唯一性 若 f ( x ) 在[a,b]单调，那么在(a,b)
f ( x ) 0 的根唯一
根的搜索（隔离）
寻找方程f(x)=0的有根区间，有两种方法： ⒈ 作图法
作 f ( x ) 的曲线或将方程变为 f1 ( x ) f 2 ( x ) 再作 f1 ( x ), f 2 ( x ) 的曲线估计出根的位置
则 x0 [a , b] 迭代格式 xn1 xn 发散,即
{ xk }不可能收敛到x *
定理 4 [局部收敛定理] 有一阶连续导数 (1) x 在U(x*)
(2) x * 1
则 迭代格式 xn1 xn 局部收敛
例
用迭代法求 x 3 x 1 0 在1.5附近的根， 讨论下列迭代格式的收敛性：
( x*) 0, ( x*) 0
故:对于单根牛顿法是2阶局部收敛；
定理2.6 [全局收敛性定理] P35 设函数 f ( x ) 在[a,b]上存在二阶导数，且满足
(1) f (a ) f (b) 0
存在
单调 唯一
(2) f ( x ) 0, x [a , b]
( x ) ( y ) L|x y|
则 （1）方程 x x 在 [a , b] 有唯一的解 x *
（2）x0 [a , b] 迭代格式 xn1 xn 收敛且
lim xk x *
k
证明
定理2 [全局收敛定理]P21 (1) x 在[a , b]有一阶连续导数
五、牛顿法
1.基本思想
P31
首先在方程 f x 0 根 x *的附近取一点 x0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o(( x x0 ) )
2
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 ) f ( x1 ) x2 x1 f ( x1 )
(2) x [a , b], ( x ) [a , b]
(3) 存在0 L < 1， x L 1
证明
则（1）方程 x x 在 [a , b] 有唯一的解 x *
（2）x0 [a , b] 迭代格式 xn1 xn 收敛且
lim xk x *
2
解 1) 0 x 3 4
x ( x ) 1 2
x k 1
2
x 3 x x 4
2
x2 3 ( x) x 4
3 0.134 1 ( 3) 1 2
2 xk 3 xk 局部收敛，且为线性收敛 4
3 1 3 3 2) x 3, x , 2 x x , x ( x ) x 2 x x
否则停。
4.牛顿法的收敛性:
f ( x) 因为牛顿法的迭代函数为 ( x ) x f ( x )
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ( x ) 1 2 [ f ( x )] f ( x ) f ( x ) [ f ( x )]2
3 x 32 2
x [1,2]
| ( x ) | 1
所以收敛
四、迭代法的收敛速度P23
定义 设迭代格式为 xn1 ( xn ), 收敛于 x*, 误差
ek x * xk , 若存在 p 1及C 0,使
| e k 1 | lim C p k | e | k
第 2 章
非线性方程的
数值解法
方程求根一般分为三步
第一步：根的存在性：是否有根；有几个 第二步：求根的隔离区间（有根区间）
此区间内只有唯一根 第三步：将根精确化
将近似根精确化，使其满组给定的精度
根的存在定理：
（1）f ( x )在[a,b]连续
（2）f (a ) f (b) 0
则f ( x ) 0在(a , b)有根
2) x [0,1], f ( x ) 0 3) x [0,1], f ( x ) 0
f (0) 4) 1, f (0) f (1) e 1 f (1) 2e
f (0) ab a b 1, f (0)
L (3)| xk x* | | xk xk 1 | ---事后误差估计 1 L Lk (4)| xk x* | | x1 x0 | ---事前误差估计 1 L
k
定理3 [发散定理]
(1) x x 在[a , b]有根x *
(2) x [a , b],| ( x ) | 1
f ( x )[ f ( x )]2 f ( x )2 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ( x ) 4 [ f ( x )]
f ( x) 2 f ( x ) [ f ( x )] f ( x*) 若f ( x*) 0, f ( x*) 0 , f ( x*) 0 ( x*) f ( x*)
x0 [ a , b ] x0 U ( x*)
二、迭代法的几何解释
yx
y x
x2
x1
收敛
x0
yx
y x
x2
x1 x0
发散
三、迭代法的收敛性 定理1 [全局收敛定理]P20
(1) x [a , b], ( x ) [a , b]
(2) 存在0<L<1， x , y [a , b]
0 0
y f x0 f x0 x x0
得切线与x轴的交点为
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
x2 x1 x0
再过 x1 , f x1 作切线
y f x1 f x1 x x1
得切线与x轴的交点为
f ( x0 ) 2) 迭代： x1 x0 , f ( x1 ), f ( x1 ) f ( x 0 ) k : k 1
3) 判断：若 f ( x ) 或 | x1 x0 | , x* x1 停，
1
若 k M且 f ( x1 ) 0, 则令
