高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.5空间向量运算的坐标表示(共22张ppt)

D1B1 中点，
1
（1）求 EF 与 A1C 所成角的余弦值。
（2）求证： EF DA1
3
z D1
A1
F
C1
B1
E
D
Cy
xA
B
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C
D1A1的中点，求 cos AF, EF
30 30
D1
C1
F
A1
B1
E
D A
C B
思考题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C(1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。 7 3
2
课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式，向量平行，向量垂直
2.思想方法： (1)类比思想 (2)用向量计算或证明几何问题时， 可以先建立直角坐标系， 然后把向量、点坐标化， 借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。
3.1.5空间向量运算的 坐标表示
2019年
11月
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学习目标
• 掌握空间向量的线性表示及其坐标表示 • 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 • 能用向量方法解决距离、角度、垂直、平行等几 何问题。
cos a,b a b
x1x2 y1y2 z1z2
| a | | b | x12 y12 z12 x22 y22 z22

要做的事情总找得出时间和机会；不愿意做的事情也总能找得出借口。 没有所谓失败，除非你不再尝试。
注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 人总是在失去了才知道珍惜！ 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 我们要以今天为坐标，畅想未来几年后的自己。 有理想在的地方，地狱就是天堂。 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 成功永远属于马上行动的人。 只有一条路不能选择――那就是放弃。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 一个人如果不能从内心去原谅别人，那他就永远不会心安理得。
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。 拼尽全力，逼自己优秀一把，青春已所剩不多。
Hale Waihona Puke

＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α)
＝13－12cos(θ－α)．
uuur ∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴1≤| AB|2≤25.
uuur ∴1≤| AB|≤5.
答案：B
6．已知 a＝(5,3,1)，b＝(－2，t，－25)，若 a 与 b 的夹角为钝角， 求实数 t 的取值范围． 解：由已知 a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－25)＝3t－552. ∵a 与 b 的夹角为钝角， ∴a·b<0，即 3t－552<0，∴t<5125. 若 a 与 b 的夹角为 180°， 则存在 λ<0，使 a＝λb(λ<0)，
[例2] 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[思路点拨] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再根据向量平 行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂 直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解．
uuur 5．若 A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则| AB|的取
值范围是
()
A．[0,5]
B．[1,5]
C．(1,u5u)ur
D．[1,25]
解析： AB＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)，
uuur ∴| AB|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2
[一点通] (1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空 间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐 标运算． (2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成 立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论．

k的值.
【解析】(1)因为 BuuCur=(-2,-1,2),且c∥BuuCur, 设c=λ BuuC=ur(-2λ,-λ,2λ), 得|c|= (2)2 ()2 (2)2 =3|λ|=3,解得λ=±1. 即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)因为a=
uuur AB
=(1,1,0),b=
【补偿训练】
已知点A(1,2,3),B(-2,-1,2),C(-1,1,-3).
(1)若
uuur AD
的模为2
30,
AuuDur 与
uuur BC
方向相反,求D的坐标.
(2)若|AuuEur|=|AuuBur|,
uuur AE
与
uuur AB
,
uuur AC
都垂直,求E的坐标.
【解析】(1)设D的坐标为(a,b,c),所以
1
uuur OP
1
uuur uuur AB AC
.
2
2
uuur AP
1
uuur uuur AB AC
.
2
【解析】AuuBur
2, 6,
3,
uuur AC
4,3,1,
uuur uuur
所以AB AC 6,3, 4.
1
uuur OP
1
6,
3,
4
(3,
3
,
2),
2
2
则点P的坐标为(3, 3 , 2). 2
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量 是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直 的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b 平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形 式,以达到简化运算的目的.

＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题

[典例] 已知向量a＝(5,3,1)，b＝ －2，t，－25 ，若a与b的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． [解析] 由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×－25＝3t－552， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－552<0，所以t<5125.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
5＝λy
∴x＝6，y＝125， ∴xy＝45.
答案：45
探究三 利用向量的坐标形式求夹角与距离 [典例 3] 如图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA＝CB ＝1，∠BCA＝90°，棱长 AA1＝2，M，N 分别是 A1B1， A1A 的中点． (1)求B→N的长； (2)求 cos〈B→A1，C→B1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.
A．－1
B．1
C．0
D．－2
解析：p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)， ∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选 A.
答案：A
3．若点 A(1,2,3)，B(－3,2,7)，且A→C＋B→C＝0，则点 C 的坐标为________． 解析：设 C(x，y，z)．由A→C＋B→C＝0 得 (x－1，y－2，z－3)＋(x＋3，y－2，z－7)＝0，
cos〈A→B，A→C〉＝|A→A→BB|··|A→A→CC|
＝
－14 14×2
＝－ 17 2
14， 17
sin〈A→B，A→C〉＝
1－1648＝
27 34.
∴S△ABC＝12|A→B|·|A→C2374＝3 21.
等价转化思想在两向量夹角问题中的应用
[解析] A→B＝(2,6，－3)，A→C＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(6,3，－4)＝3，32，－2， 则点 P 的坐标为3，32，－2. (2)设 P 为(x，y，z)， 则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)， ∵12(A→B－A→C)＝A→P＝3，32，－2， ∴x＝5，y＝12，z＝0， 则点 P 的坐标为5，12，0.

(1)―O→P ＝12(―A→B －―A→C )； (2)―A→P ＝12(―A→B －―A→C )．
空间向量的垂直与平行的判断 [例 2] 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设 a＝―A→B ，b＝―A→C . (1)设|c|＝3，c∥―B→C ，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k. [解] (1)∵―B→C ＝(－2，－1,2)，且 c∥―B→C ， ∴设 c＝λ―B→C ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3. 解得 λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
D.52，－72，32
3．1.5 空间ห้องสมุดไป่ตู้量运算的坐标表示
[提出问题] 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员 紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力分别为 F1，F2， F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3| ＝2 000 3 N.
空间向量的坐标运算
[例 1] 已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)， (4,5，－1)，(－2,2,3)．求点 P 的坐标，使：
5.探究两向量的夹角
[典例] 已知向量a＝(5,3,1)，b＝ －2，t，－25 .若a与b的夹 角为钝角，求实数t的取值范围．
[随堂即时演练]
1．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且
AC AB
＝
13，则点C的坐标为
()
A.72，－12，52
B.83，－3，2
C.130，－1，73
利用坐标运算解决夹角、距离问题
[例 3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC-A1B1C1 中，CA＝CB＝1，∠BCA ＝90°，棱 AA1＝2，N 为 A1A 的中点．

解得 λ＝±1.即 c＝(－ห้องสมุดไป่ตู้，－1,2)或 c＝(2,1，－2).
解析答案
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解 因为 a＝―A→B ＝(1,1,0)，b＝―A→C ＝(－1,0,2)， 所以 ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得 k＝2 或－52.
由平面向量的坐标运算，推广到空间向量 运算.
平面向量运算的坐标表示：
设a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 )则
a b (a 1 b1, a2 b2 )
;
a b (a 1 b1, a2 b2 )
;
a
(a1, a2 ) ;
ab
a1b1 a2b2
;
a
a a
a12 a22
D.5
解析 依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以 4k＋k－2－5＝0，解得 k＝75.
解析答案
1 2345 6
5.已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量―A→B 与―A→C 的夹角为_π3__. 解析 ∵―A→B ＝(0,3,3)，―A→C ＝(－1,1,0)，
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b a⊥b
模 夹角

)
A.13
答案:C
B.
2 3
C.
3 3
D.23
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
解析:设底面 ABCD 的中心为 O.如图,建立空间直角坐标系 Oxyz, 令正四棱锥的棱长为 2,
则 A(1,-1,0),B(1,1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,
2),E
1 2
,
1 2
,
2 2
, ������������ =
1 = ������(1-������2),
∴ ������ = ������(-3������),
解得 x=0 或 2.
1-������ = ������(������ + 1),
(2)∵a⊥b,∴a·b=0,
即(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0.
∴1-x2+(-3x)x+(x+1)(1-x)=0,
(2,1,3)·(2,0,-6) 22+12+32× 22+02+(-6)2
=
-14 14×2
10=- 1305.
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= 29且 λ>0,则
λ=
.
答案:3
解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
-
2 5
=3t-552.
因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0 且<a,b>≠180°.①

x
1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( ) 1 1 , 4 4 16
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4
15 BE1 DF1 15 16 所以 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , 1 ，1) . 4
B1
D
C
y
A
B
3 1 BE1 (1 , , 1) (1 , 1 , 0) (0 , , 1) , 4 4
1 1 DF1 (0 , ，1) (0 , 0 , 0) (0 , ，1). 4 4
3.1.5 空间向量运算的
坐标表示
向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）
表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算，推广到空 间向量运算.
平面向量运算的坐标表示： 设a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; (a1 , a2 ) ; a a1b1 a2b2 a b ; 2 2 a a a a a 1 2
;
2 2 2 2 a1 a2 b1 b2 ; cos a , b a / /b a b ( R) a1 b1 , a2 b2 ( R); a b a b 0 a1b1 a2b2 0
例2
如图,
在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，B1 E1

设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32.
| b |2 b b b12 b22 b32.
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向. （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向.
D
A
x
C
y
B
D(0 , 0 , 0)
,
1 F1(0 , 4
，1) .
3
1
BE1 (1 , 4 , 1) (1 , 1 , 0) (0 , 4 , 1) ,
DF1
(0 , 1 4
，1)(0 , 0 , 0) (0 , 1 4
，1).
11
15
BE1
DF1
00 ( ) 11 44
3.1.5 空间向量运算的 坐标表示
向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y） 表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算，推广到空 间向量运算.
平面向量运算的坐标表示：
设a (a1,a2 ),b (b1,b2 )则
a b (a1b1,a2 b2 ) ;
a b a1b1 a 2 b2 a 3b3 ;

第二十八页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
所以 c＝(2，－5，－4)，
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos〈a，c〉＝|c|·|aa|·|cc|＝
（1，2，－2）×（2，－5，－4） 2－10＋8
12＋22＋（－2）2
＝ 3 ＝0.
第二十九页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
类型 3 空间向量夹角的应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)已知 a＝(5，3，1)，b ＝(－2，t，－25)，若 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 t 的取 值范围．
3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
第二十六页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
[变式训练] 已知向量 a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－ 4，4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判断 a，b 的位置关系； (2)若 a∥c，求|c|； (3)若 b⊥c，求 c 在 a 方向上的投影． 解：(1)因为 a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)， 所以 b＝－2a，所以 a∥b.
(2)因为 a＝A→B＝(1，1，0)，b＝A→C＝(－1，0，2)， 所以 ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－ 4)． 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得 k＝2 或 k＝－52.
2．空间两点间的距离． 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点 间的距离 dAB＝|A→B|＝ （a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2.
第七页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

|
uuBuuEr 1 gDuFuu1ur BE1 | | DF1
|
15
16
15 .
17 17 17
44
例2 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1中，EF分别 是BB1，D1B1的中点， 求证EF⊥DA1.
证明：如图，不妨设正方体的棱 uuur uuur uuuur
长为 1 分别以 DA, DC, DD1 ，为 单位正交基底建立空间直角坐标
系 Dxyz.
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以
uuur EF
(
1
,
1
,
1
)
.
2 22
又
A1
(1 , 0 uuuur
,
1)
，
D(0
,
0
,
0)
，
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
所以
uuur EF
uuur
uuuur DA1
uuuur
(
1 2
,
1 2
,
1 2
自学导引
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)A→B＝_(a_2_－__a_1_，__b_2－___b_1，__c_2_－__c_1)_； (2)dAB＝|A→B|＝____（__a_2－__a_1_）_2_＋__（__b_2－__b_1）__2_＋__（__c2_－__c_1）__2__．
向量的 夹角
向量的 垂直
续表
cos〈a，பைடு நூலகம்〉＝|aa|· ·b|b|
＝