第一节 常数项级数的概念和性质

第十一章 无穷级数 大纲要求
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
2．掌握几何级数与p 级数的收敛性
3．会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法 4．会用交错级数的莱布尼茨定理
5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念
7．掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件
10．掌握α)1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x ++的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数
11．了解幂级数在近似计算上的简单应用
12．了解傅立叶级数的概念和函数展开成傅立叶级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开为傅立叶级数，会写出傅立叶级数的和的表达式 第一节 常数项级数的概念和性质 ㈠本课的基本要求
掌握数项级数以及收敛、发散的定义，数项级数的基本性质和收敛的必要条件 ㈡本课的重点、难点
数项级数收敛、发散的定义为重点，收敛的必要条件为难点 ㈢教学内容
无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，本章包括常数项级数与函数项级数两部分。

介绍无穷级数的一些基本内容，并着重讨论如何将函数展开成幂级数及傅里叶级数的问题。

一．数项级数的概念
无穷级数概念的起源是很早的。

在我国，魏晋时代的刘徽就曾经用无穷级数的概念来近似计算圆的面积，略。

另外，无穷级数的思想也早已蕴含在无限循环小数的概念之中。

例如
++++=n 10
3103103312 这就将3
1
表示成了无穷多个分式之和。

由上可以总结出如下两条重要结论：
⑴无穷多个数相加后可能得到一个有限的确定的常数，从而无穷多个数相加在一定条件下是有意义的；
⑵一个有限的量有可能用无限的形式表达出来。

在初等数学中我们接触的加、减、乘、除四则运算都是在有限多个数（或有限多个函数）之间进行的，而从对上述例子进行的分析中我们看到，可以在无穷多个数之间进行加法运算。

这就大大开拓了人们的眼界。

这是人类在理性思维上的重要飞跃，它体现了有限与无限之间的辩证关系，也从一个新的角度反映了极限思想，这个思想就是无穷级数的思想。

定义1：设给定数列 ,,,,21n u u u ，则式子
n u u u +++21
称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数。

记作
∑∞
=1
n n
u
，即
∑∞
=1
n n
u
= n u u u +++21 ⑴
其中第n 项n u 称为级数的一般项或通项。

上述级数的定义只是一个形式上的定义，因为我们如果一项接一项地加下去，是永远也加不完的，这样的式子是否有和？如果有和，其和是什么？下面我们从有限项的和出发，用极限来研究这个问题。

作级数的前n 项的和 n n u u u S +++= 21 称n S 为级数⑴的n 项部分和，当n 依次取1，2，3，…时，则得到一个新的数列{}n S 。

,,,,2121211n n u u u S u u S u S +++=+==
数列{}n S 称为级数的部分和数列。

定义2：如果级数的部分和数列{}n S 有极限，即S S
n
n =∞
→lim ，则称级数⑴收敛，S 称为级
数⑴的和，记作
S= n u u u +++21=
∑∞
=1
n n
u
如果部分和数列{}n S 没有极限，则称级数⑴发散，发散的级数没有和。

当级数收敛时，其部分和n S 是级数的和S 的近似值，它们之间的差n S S -，称为级数的余项，记为n r ，即
++=-=++21n n n n u u S S r
用级数的部分和n S 作为和S 的近似值，其绝对误差就是n r ，这就是能借助级数作近似计算的基本依据。

按定义，级数
∑∞
=1
n n
u
与数列{}n S 同时收敛或发散，且在收敛时，有
n n n n
s u
lim 1
∞
→∞
==∑，即∑∞
=1
n n u ∑=∞
→=n
i i
n u
1lim
例1．讨论等级数（又称几何级数）
+++++=-∞
=∑120
n n n
aq aq aq a aq
的敛散性，其中
q a ,0≠是级数的公比。

结论：总之，当级数发散。

；当其和为时，等比级数收敛，且,111≥-<q q
a
q
例2．证明
∑
∞
=1
1n n
是发散级数。

)112
11(n n
n
n
=>+
++
例3．判别级数
∑∞
=-+1
)1(
n n n 的敛散性
解：11)1()23)12(-+=-+++-+-=n n n S n
，级数发散。

故得
∞=∞
→n
n S
lim 例4．证明级数
∑∞
=+-1
)12)(12/(1n n n 是收敛的，并求其和
解：∑
∑
∞
=∞
=+--=
+-1
1
)121
121(21)12)(12(1
n n n n n n 21
)1211(21)
1
21
1(21)]121121()5131()311[(21lim
lim =
+-==∴+-=+--++-+-=∞
→∞→n S S n n n S n n n n
2/1该级数收敛，其和为
二．数项级数的基本性质
由数项级数收敛性的概念，可得出下面由条性质 性质1 设k 为不等于0且与n 无关的常数，则级数
∑∑∞
=∞=1
1
n n
n n ku
u 与级数有相同的敛散性。

性质2 两个收敛级数的对应项相加，所得级数收敛且其和等于两个级数和相加，即设有两个收敛级数：
++++=++++=n n v v v u u u s 2121,σ
则级数σ±+±++±+±s v u v u v u n n 收敛于和 )()()(2211
性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。

性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛。

注意：收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛，例如 +-+-)11()11(收敛于零，但级数∑∞
=--=
-+-+-1
1
)
1(11111n n 却是发散的。

推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来的级数也发散。

书上例3运用了这种思想。

三．数项级数收敛的必要条件 定理：若级数
∑∞
=1
n n
u
= n u u u +++21收敛，则
0lim =∞
→n
n u
注：此定理仅仅是必要定理，其逆否命题即若0lim ≠∞
→n
n u
，则级数
∑∞
=1
n n
u
发散是判定级数
发散的一种常用方法。

例5．讨论级数
∑∞
=+1110n n n
的敛散性
例6．讨论级数
∑
∞
=-+-11
1
)1(n n n n
的敛散性 例7．讨论级数
∑∞
=+1
)/11ln(n n n 的敛散性
解：01)1
1ln()1
1ln(lim
lim
lim
≠=+=
+=
∞
→∞
→∞
→n n n n n n
n
n u
故该级数发散。

例8．讨论级数
∑∞
=1
)/cos(n n π的敛散性.
例9．利用等比级数、调和级数的敛散性以及无穷级数的性质判定已给级数的敛散性
⑴ +-+-33
229
89898 ⑵ ++++!4!3!2!1
⑶
++++8
1
614121 ⑷ ++++7453321
例10．判定调和级数
∑
∞
=1
1
n n 为发散级数 解：如图的所示，考察区间x
y n 1
]1,1[=+上曲线所围成的曲边梯形面积与阴影部分的面积之间的关系，可以看到，各矩形面积为
n
A A A A n 1
,,31,21,1321====
所以阴影部分的总面积即为n S ，显然它大于曲边梯形的面积，即
1
111
1
ln 1
1
31211++==>
=
++++=⎰
∑
n n n
i i n x dx x
A n
S
∞=+≥∞
→∞
→)1ln(lim lim n S n n
n 所以调和级数发散。

小结
作业：P.192.3(3),4(2)(3)(4)(5)。