高中数学 电子题库 第三章2 导数的概念及其几何意义 北师大版选修1-1

学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1.例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.中小学资料学习永无止境 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.小初高教育K12资源 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

第三章 §2一、选择题1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13(Δx )2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ，∴Δy Δx＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx ＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1.6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．10．求下列函数的导数．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)求y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． [答案] (1)y ′|x ＝1＝12 (2)y ′＝2x ＋a[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.lim Δx →0＝11＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1x ＋Δx ＋x .∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x＝12x . ∴y ′＝12x，∴y ′|x ＝1＝12.(2)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x (Δx )＋(Δx )2＋ax ＋a (Δx )＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋a (Δx )＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx ) ＝2x ＋a .一、选择题1．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] 由导数的定义可知f ′(x )＝x ， 所以f ′(1)＝1＝tan θ，故θ＝π4.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.3．已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0((Δx )2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2， ∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题5．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝__________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. ∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。

学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.配套K12学习（小初高）配套K12学习（小初高） ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.KK12配套学习资料配套学习资料K12页脚内容 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

§2导数的概念及其几何意义[对应学生用书P36]在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v －，通过平均速度v －来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题1：怎么求运动员在t 0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t 0，t 0＋Δt )间平均速度v －，当Δt 趋于0时，平均速度就趋于运动员在t 0时刻的瞬时速度．问题2：当Δx 趋于0时，函数f (x )在(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率即为函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当Δx 趋于0时，x 0＋Δx 就无限接近于点x 0，这样(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率就可以看作点x 0处的瞬时变化率．问题3：函数f (x )在x 0点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数f (x )在x 0点的导数．导数的定义函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .在函数y ＝f (x )的图像上任取两点A (x 1，f (x 1))，B (x 1＋Δx ，f (x 1＋Δx ))．问题1：f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 是函数f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数y ＝f (x )图像上A ，B 两点连线的斜率．问题2：Δx 趋于0时，函数y ＝f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率即为函数y ＝f (x )在x 1点的瞬时变化率，能否看成函数y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))处的切线斜率？提示：能．问题3：函数y ＝f (x )在x 0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数y ＝f (x )图像上点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数y ＝f (x )在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数． 2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．[对应学生用书P37][例1] 建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义． [思路点拨]导数的定义―→函数y ＝f (x )在x ＝100处的瞬时变化率―→解释f ′(100)的意义[精解详析] 当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)当x 趋于100时，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f ′(100)＝0.105， f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．[一点通]利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； 第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →Δy Δx.1.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，设函数y ＝f (x )从－1到1的平均变化率为v 1，从1到2的平均变化率为v 2，则v 1与v 2的大小 关系为( )A ．v 1＞v 2B ．v 1＝v 2C ．v 1＜v 2D ．不能确定解析：记v 1＝Δy 11＝tan α1，v 2＝Δy 22＝tan α2，易知α1＜α2，所以v 1＜v 2.答案：C2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则f ′(1)＝________.解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－[12＋1]＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 答案：23．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，求物体在3 s 末的瞬时速度．解：物体在3 s 末的瞬时速度，即求物体在t ＝3时的导数． ∵Δs Δt ＝f (3＋Δt )－f (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝(Δt )2＋5Δt Δt ＝Δt ＋5，∴函数在t ＝3处的瞬时速度为s ′(3)＝lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δx →0(Δt ＋5)＝5， 即物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.[例2] 求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．[思路点拨] 函数f (x )＝2x 在x ＝－2时的导数即为点(－2，－1)处切线的斜率，故可先求f ′(－2)，再求曲线的切线方程．[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数． 而f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[一点通]利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2－x ＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.π2 解析：f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 [(1＋Δx )2－(1＋Δx )＋1]－(12－1＋1)Δx＝lim Δx →0Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(1＋Δx )＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1， ∴α＝π4.答案：A5．求曲线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程．解：f ′(2)＝lim Δx →0 14(2＋Δx )2－14×4＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.[例3] 直线l ：y ＝x 求a 的值及切点的坐标．[思路点拨] 由导数的几何意义，切点处的切线为l ：y ＝x ＋a ，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[精解详析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. [一点通]求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标．6．抛物线y ＝x 2上某点处的切线平行于直线y ＝4x ＋1，则切点坐标为________． 解析：设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，∴2x 0＝4，∴x 0＝2，切点为(2,4)． 答案：(2,4)7．若曲线y ＝x 2－x ＋3的一条切线与直线y ＝x ＋1垂直，求切点坐标． 解：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)即为切线的斜率．∴f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－(x 0＋Δx )＋3－(x 20－x 0＋3)Δx＝lim Δx →0 (2x 0－1)Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →[(2x 0－1)＋Δx ]＝2x 0－1. 即切线斜率k ＝2x 0－1，又切线与直线y ＝x ＋1垂直， ∴2x 0－1＝－1，∴x 0＝0，y 0＝3. 故切点为(0,3)．8．求过点(0，－1)且与y ＝x 2相切的直线方程． 解：(0，－1)不在曲线y ＝x 2上，故(0，－1)不是切点．设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0，故切线的斜率k ＝2x 0. 又切线过点(0，－1)∴k ＝x 20＋1x 0，则2x 0＝x 20＋1x 0，解得x 0＝±1，当x 0＝1时，k ＝2，切线方程为y ＝2x －1， 即2x －y －1＝0.当x 0＝－1时，k ＝－2，切线方程为y ＝－2x －1， 即2x ＋y ＋1＝0.函数y ＝f (x )在x 0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．[对应课时跟踪训练(十二)]1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim Δx →f (1＋x )－f (1)x等于( ) A ．2 B ．1C.12D.14解析：lim Δx →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：可得f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx ＝lim Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0， 所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4. 答案：C3.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )． 答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2. ∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4. 答案：C5．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________. 解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12.答案：－126．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度， ∴s ′(0)＝lim Δt →s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →(Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程． 解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则 k ＝f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →03Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.。

2 导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第32页一、导数的概念1．定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，也称为y ＝f (x )在x 0点的导数．2．记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .二、与导数相关的概念 1．平均变化率与导数 平均变化率 导数表达式Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxf ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx几何意义曲线y ＝f (x )上过两点(x 0，f (x 0))和(x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的割线的斜率曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率图示2.切线的定义如表中图，当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋向于点A ，割线AB 将绕点A 转动，最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．[疑难提示]利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[想一想]1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？提示：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关．[练一练]2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案：C3．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量之比B．一个函数C．一个常数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C4．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为()A．1B．0C．－1 D．2解析：∵二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.答案：B授课提示：对应学生用书第33页探究一 导数概念的理解[典例] (1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)设f ′(a )＝3，求lim Δx →0f (a ＋3Δx )－f (a －Δx )2Δx的值．[解析] (1)∵f (x )＝x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴ΔyΔx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx )2－12Δx (1＋Δx ＋1) ＝Δx Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1.当Δx →0时，Δy Δx →12，∴f ′(1)＝12.(2)∵lim Δx →0f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝3，∴lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a －Δx )2Δx＝lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a )＋f (a )－f (a －Δx )2Δx＝32lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a )3Δx ＋12lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝32f ′(a )＋12f ′(a )＝2f ′(a )＝6.1．解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N ＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 2．利用导数定义求函数y ＝f (x )在某点处的导数的步骤： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)当Δx 趋于0时，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx .1．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数，y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解析：因为Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt ＝3，所以f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔt＝3.f ′(2)＝3的意义是：水流在2 s 时的瞬时流量为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.2．利用导数的定义求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解析：Δy ＝[1(1＋Δx )2＋2]－(11＋2) ＝1(1＋Δx )2－1＝－2Δx －(Δx )2(1＋Δx )2 Δy Δx ＝－2－Δx (1＋Δx )2， 当Δx →0时，ΔyΔx＝－2，∴函数y ＝1x2＋2在x ＝1时的导数为－2.探究二 导数几何意义的应用导数几何意义的应用—⎪⎪⎪⎪—求切线方程—求切点坐标—求参数—综合应用3．(1)求曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程；(2)求过点A (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． 解析：(1)∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x 在点(－2，－1)处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝li m Δx →0 1－2＋Δx＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.(2)∵当x ＝3时，f (3)＝32＝9， ∴点(3,5)不在曲线y ＝x 2上， 设切点为A (x 0，y 0)，即A (x 0，x 20)， 则过点A 的切线斜率 k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，∴过点A 的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即2x 0x －y －x 20＝0，又∵点(3,5)在切线上，∴6x 0－5－x 20＝0，即x 20－6x 0＋5＝0，∴x 0＝1或5，∴切点为(1,1)或(5,25)，∴切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.4．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：(1)平行于直线y ＝x ＋1； (2)垂直于直线2x －16y ＋1＝0； (3)倾斜角为135°.解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝4(x 0＋Δx )2－4x 20＝4x 20－4(x 0＋Δx )2x 20(x 0＋Δx )2＝－8x 0Δx －4(Δx )2x 20(x 0＋Δx )2， ∴Δy Δx ＝－8x 0－4Δx x 20(x 0＋Δx )2，∴当Δx 无限趋近于0时， Δy Δx 无限趋近于－8x 30，即f ′(x 0)＝－8x 30. (1)因为切线与直线y ＝x ＋1平行．∴由导数几何意义知f ′(x 0)＝1，即－8x 30＝1，∴x 0＝－2，y 0＝1.即P (－2,1)． (2)∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直，∴有f ′(x 0)·(－2－16)＝－1，∴－8x 30·18＝－1，∴x 0＝1，y 0＝4，即P (1,4)．(3)∵切线倾斜角为135°，∴f ′(x 0)＝tan 135°＝－1，∴－8x 30＝－1，∴x 0＝2，y 0＝1，即P (2,1)．5．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 解析：(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.∴y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，解得b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， ∴所求三角形的面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋223×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 6.如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f (t )＝4t －2t 2的图像，试根据图像，描述、比较曲线f (t )在t 0、t 1、t 2附近的变化情况．解析：(1)当t ＝t 0时，曲线f (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以在t ＝t 0附近曲线比较平坦．几乎没有升降．(2)当t ＝t 1时，曲线f (t )在t 1处的切线l 1的斜率f ′(t 1)<0，所以在t ＝t 1附近曲线下降，即函数f (t )在t ＝t 1附近单调递减．(3)当t ＝t 2时，曲线f (t )在t 2处的切线l 2的斜率f ′(t 2)<0，所以在t ＝t 2附近曲线下降，即函数f (t )在t ＝t 2附近也单调递减．由图像可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，说明曲线f (t )在t 1附近比在t 2附近下降得缓慢．因对导数的概念理解不透彻致误[典例] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________.[解析] lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 [f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2]＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，解决此类问题关键是变形分母中x 的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为 c lim Δx →0f (x 0＋kΔx )－f (x 0)kΔx(c ，k 为常数且kc ≠0)的形式．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.k12精品K12精品文档学习用 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于() A ．－4B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理(1)点P 处 (2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1解∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2解(1)k ＝li m Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →04Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3解lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4解因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练 1．C2.C3.D4.2 5．解因为lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。

[A 组 基础巩固]1．设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－Δx )Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．1B ．－1 C.12D ．－2解析：∵lim Δx →0f (1)－f (1－Δx )Δx ＝－1，∴lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)－Δx＝－1，∴f ′(1)＝－1.答案：B2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.又∵函数y ＝x 2＋ax ＋b 在x 0＝0处的切线方程是x －y ＋1＝0， ∴lim Δx →0 Δx 2＋aΔx ＋b －bΔx ＝a ＝1，故选A.答案：A3．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：∵点Q (2,1)在抛物线上， ∴由导数的定义可得，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝lim Δx →0 (1＋14·Δx )＝1，∴y ＝14x 2在点Q (2,1)处的导数为1.∴所求的切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案：B4．已知曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1B.12C ．－12D ．－1解析：令y ＝f (x )＝ax 2，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′(1)＝li m Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2a, 故a ＝1.答案：A5．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(2,8)D ．(2,8)或(－1，－4)解析：设P 0(x 0，y 0)，ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )3＋(x 0＋Δx )－2－(x 30＋x 0－2)Δx＝(3x 20＋1)Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 20＋1＋3x 0Δx ＋(Δx )2，f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx＝3x 20＋1. 所以3x 20＋1＝4，x 20＝1，x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝0， x 0＝－1时，y 0＝－4，所以P 0为(1,0)或(－1，－4)． 答案：B6．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝__________.解析：∵点P 为切点，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：27．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________． 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 2(1＋Δx )－(1＋Δx )3－(2－1)Δx ＝－1，∴曲线在(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝08．函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．解析：设函数y ＝x 2在点(x 0，y 0)处的导数值与其函数值相等， ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 2Δxx 0＋Δx 2Δx ＝2x 0，令y 0＝x 20，∴2x 0＝x 20，解得x 0＝0或x 0＝2，即在x ＝0或x ＝2处的导数值与其函数值相等． 答案：0或29．已知曲线y ＝2x 2＋2上一点P (1,2)，用斜率的定义求过点P 的切线的倾斜角α的大小和切线方程．解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋2－2×1＋2， ∴ΔyΔx ＝2(1＋Δx )2＋2－2Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx [2(1＋Δx )2＋2＋2] ＝4＋2Δx2(1＋Δx )2＋2＋2， ∴过点P 的切线的斜率k ＝lim Δx →0 ΔyΔx＝li m Δx →04＋2Δx 2(1＋Δx )2＋2＋2＝42＋2＋2＝1，∴tan α＝1，∴α＝45°，即过P 点的切线的倾斜角等于45°.由点斜式方程得过P 点的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.10．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解析：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14.∴该点为(14，98)．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1.∴该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2.∴该点为(2,9)．[B 组 能力提升]1．已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )． 答案：B2．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)3Δx＝( )A ．3B ．－13C.13D ．－32解析：f ′(1)＝1，lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)3Δx＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤13·f (1－Δx )－f (1)Δx ＝－13lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)－Δx＝－13f ′(1)＝－13.答案：B3．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为________． 解析：设切点为(x 0，x 20)，f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，由题意2x 0(－14)＝－1，所以x 0＝2，y 0＝4.k l ＝4，所以l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 答案：4x －y －4＝04．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为__________．解析：根据题意可知在点P 处切线的斜率为f ′(－2)＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：45．已知曲线y ＝x 2＋1，问：是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：假设存在实数a 满足条件．由Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx ＝2x ＋Δx ，得y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝2x 0. 由点斜式得切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)． 又切线过点(1，a )，y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，实数a 的取值范围是(－∞，2)．6．已知点M (0，－1)、F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解析：(1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－(13×23－4×2＋4)Δx ＝0.∴直线l 的斜率为0，故直线方程为y ＝－1. (2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线， ∴p2＝1，p ＝2，故抛物线方程为x 2＝4y .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( )A ．2B ．－12C ．－2 D.12解析：由导数几何意义知，f ′(3)＝－2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．不确定解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)1＝lim Δx →0 a Δx Δx ＝lim Δx →0a ＝a ， ∴a ＝2.答案：A3．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A 、B 处切线的倾斜角分别为α、β，则π2<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.答案：C5．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx的值是________． 解析：f (2＋Δx )－f (2)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )， ∴f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12(2＋Δx )， ∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 答案：－146．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.8．已知曲线y ＝f (x )＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：设切点为P (x 0，y 0)．由Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0＋Δx ，得f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0. 则切线的斜率为k ＝2x 0.由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过(1，a )，y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线， a 的取值范围是{a |a <2}．。

§3.2 导数的概念及其几何意义(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数在某一点的导数是( )A ．该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案： A2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析： f ′(2)＝Δt →0lim 14(2＋Δx )2－14×4Δx＝Δt →0lim ⎝⎛⎭⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.故选A.答案： A3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析： ∵Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋3)2Δt＝Δt 2＋5Δt Δt＝Δt ＋5 ∴s ′(3)＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(Δt ＋5)＝5. 答案： B4．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( ) A.24 B.22C.322D. 2解析： 因为抛物线过点(1,2)，所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2.所以所求的切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y ＝2x 2＋4x ＋1，则y ′|x ＝－1＝________，y ′|x ＝3＝________.解析： 当x ＝－1时，Δy Δx ＝2(－1＋Δx )2＋4(－1＋Δx )＋1－[2×(－1)2＋4(－1)＋1]Δx＝2Δx 当Δx →0时，Δy Δx→0， 当x ＝3时，Δy Δx＝16＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→16. 答案： 0 166．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析： y ′1x ＝1＝lim Δt →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－1Δx＝lim Δt →0(2＋3Δx )＝2. 所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0答案： 2x －y ＋4＝0三、解答题(每小题10分，共20分)7．利用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数．解析： 方法一：Δy ＝11＋Δx－11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－12. ∴f ′(1)＝－12. 方法二：Δy ＝1x ＋Δx －1x ＝x －x ＋Δx x 2＋x ·Δx ＝－Δxx 2＋Δx ·x (x ＋x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－1x 2＋Δx ·x (x ＋x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－x 2x 2. ∴f ′(x )＝－x 2x2， ∴f ′(1)＝－12. 8．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程． 解析： 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝lim Δt →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝lim Δt →0 －Δx Δx ·(x 0＋Δx )·x 0 ＝lim Δt →0 －1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 02. 故所求直线方程为y －y 0＝－1x 02(x －x 0)． 由点(2,0)在所求的直线上，得x 02y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1， 联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所以直线方程为x ＋y －2＝0.9．(10分)已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ，即x 2－x －6＝0. ∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δt →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δt →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δt →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处切线的斜率为－4，在点(3,13)处切线的斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0，在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.。

第三章 变化率与导数
第2.2节 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线（ )
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线2
41x y = 过点(—2，1），(2，1）的切线方程。

3、已知曲线12-=x
y 和其上一点，且这点的横坐标为—1，求曲线在这点的切线方程。

４、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点,求过点),(00y x 的切线方程.
５、求抛物线2
41x y = 过点（4，47)的切线方程
６、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐
标。

７、曲线2
23x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
参考答案：
1、B
2、答案提示：01=++y x ；01=--y x
3、答案提示：022=++y x
4、答案提示:))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示：0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示:（0，1)
7、答案提示：)23,1(。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章 3.2导数的概念与几何意义习题导学案 北师大版选修1-11. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t ∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04.若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A 、6B 、18C 、54D 、815.设函数)(x f 可导，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim0=（ ） A 、)1(f ' B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 6.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为10.高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.11. 一质量为3k g 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.1. 已知曲线22y x 上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2。

选修1-1 第三章 §2 课时作业23一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )＝( )A. 0B. －3xC. 3D. －3 解析：f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 －3(x ＋Δx )－1＋3x ＋1Δx＝lim Δx →0(－3)＝－3. 答案：D2．已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图像易知，点A 、B 处的切线斜率k A 、k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B3．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P (1，－52)，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°解析：∵点P (1，－52)在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，则过点P 的切线斜率为f ′(1)＝k ＝－1.∴点P 的切线的倾斜角为135°.答案：C4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．答案：B二、填空题5．曲线f (x )＝x 2在x ＝0处的切线方程为__________． 解析：f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－0Δx＝lim Δx →0Δx ＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y ＝0. 答案：y ＝06．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，P 点的横坐标是4，则f (4)＋f ′(4)＝____________________________________________________________.解析：由题意，f ′(4)＝－2.f (4)＝－2×4＋9＝1.因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1.答案：－17．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝__________.解析：因为f ′(a )＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为(23a,0)，由题设知三角形面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，解得a＝±1.答案：±1三、解答题8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．解：由导数的定义，得f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝lim Δx→0(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－2－(x3＋x－2)Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.9．已知曲线y＝1t－x上点P(2，－1)．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程．解：将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x.∴y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→011－(x＋Δx)－11－xΔx＝limΔx→0Δx[1－(x＋Δx)](1－x)Δx＝limΔx→01(1－x－Δx)(1－x)＝1(1－x)2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝1(1－2)2＝1；(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.。