2019-2020年新冀教版初中数学九年级上册28.4垂径定理导学案.doc

垂径定理教学目标知识技能目标:1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.过程性目标:经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度目标:通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.重点难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.教学过程一、创设情境1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究归纳1.如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②CD⊥AB结论(等量关系):③AM=BM;④=;⑤=.证明:连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵☉O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合.∴=，=..证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.辨析:判断下列图形，能否使用垂径定理？注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦.通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.3.垂径定理逆定理的探索如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②AM=BM结论(等量关系):③CD⊥AB;④=;⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例:______例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接OC，设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.三、交流反思学生交流总结1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、检测反馈课本P76 随堂练习T1，T2五、布置作业课本P76 知识技能T1，T2，T3板书设计教学反思垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此，应该让学生大胆表述，并对每位学生的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼.。

垂径定理学习目标：1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.学习重点：垂径定理及其推论的推导.学习难点：垂径定理及其推论的运用.教学过程一、知识链接1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.3.半圆（或直径）所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是____.二、新知预习3.如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？答：________________________________________________.我们发现：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.这就是垂径定理.4.如图，在⊙O中直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.（1）若AE=BE，能判断除CD与AB垂直吗？AD与BD（AD或BC）相等吗？答：________________________________________________.（2）若AD=BD（或AC=BC），能判断CD与AB垂直吗？AE与BE相等吗？答：________________________________________________.于是我们得到垂径定理的推论：_____________________________________________.三、自学自测1．下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线一定经过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 一、要点探究探究点1：垂径定理及其应用问题1：如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应 用勾股定理解决问题． 【针对训练】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm问题2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 【针对训练】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm.探究点2：垂径定理的推论问题：如图所示，⊙O 的弦AB.AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A．100° B．110° C．120° D．130°【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．【针对训练】如图，点A.B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A.B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．二、课堂小结内容运用策略垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧. 垂径定理是这么么线段、弧相等的重要条件，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据.简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存，辅助线从圆心发，有弦就作弦心距，再连半径成斜边，构造直角三角形.垂径定理的推论平分弦（非直径）的直径_______弦，并且_______所对的两条弧垂径定理的推广如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个条件：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.当堂检测1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥A B 于点E ，则下列结论一定正确的个数有①CE＝DE ；②BE ＝OE ；③CB ︵＝BD ︵；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M3.如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ．若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为________．4.．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m ，拱顶高出水面4m .(1)求这座拱桥所在圆的半径．(2)现有一艘宽5m ，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．5.如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．当堂检测参考答案： 1.A 2. B 3.2 4.(1)连接OA ，根据题意得CD ＝4m ，AB ＝12m ，则AD ＝12AB ＝6m .设这座拱桥所在圆的半径为xm ， 则OA ＝OC ＝xm ，OD ＝OC －CD ＝(x －4) m ， 在Rt△AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2， 则x 2＝(x －4)2＋62， 解得x ＝6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5m . (2)货船不能顺利通过这座拱桥． 理由：连接OM. ∵OC⊥MN，MN ＝5m ， ∴MH＝12MN ＝2.5m .在Rt△OMH 中，OH ＝OM 2－MH 2＝6(m )， ∵OD＝OC －CD ＝6.5－4＝2.5(m )， ∴OH－OD ＝6－2.5＝3.5(m )＜3.6m . ∴货船不能顺利通过这座拱桥．5.作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．。

28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。

能利用垂径定理进行想的计算和证明。

掌握垂径定理的推论。

2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。

利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。

3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。

三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。

四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。

五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。

介绍赵州桥的历史及地理位置。

（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。

）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。

复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。

归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。

在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。

28.4 垂径定理-冀教版九年级数学上册教案一、知识点概述垂径定理是解决平面几何题目及三角学问题的基础。

垂径定理就是在在一个圆上，如果两条弦的垂径交点在圆心上，则这两条弦互相垂直。

二、教学目标1.掌握垂径定理的定义2.熟悉垂径定理的相关概念3.理解垂径定理的证明过程4.能够灵活应用垂径定理解决相关问题三、教学重难点1.垂径定理的定义和表述2.垂径定理的证明过程3.垂径定理在解决实际问题中的应用四、教学内容及方法1. 教学内容第一部分：引入垂径定理•讲解垂径定理的定义和相关概念•通过几何图形的举例来形象地说明垂径定理第二部分：垂径定理的证明过程•明确定理的前提和结论•通过割圆法和同位角的定义证明定理第三部分：垂径定理的应用实例•案例1：用垂径定理证明平行四边形对角线相等•案例2：用垂径定理证明正三角形的内角为60度•案例3：用垂径定理解决实际问题，如日食现象的解释等2. 教学方法•以讲解为主，配合适当的举例•结合黑板、教具等视觉辅助工具进行教学五、教学步骤第一步：导入让学生猜测下面这些几何图形中与垂径定理有关的内容，并引入本节课的主要内容。

第二步：讲解垂径定理的定义和相关概念针对垂径定理的定义和相关概念进行初步讲解，让学生明确概念，为后续教学打好基础。

第三步：说明定理的证明过程针对定理的证明过程进行详细说明，让学生理解和掌握证明的方法，同时可以适当与学生互动，提高学生的参与度。

第四步：垂径定理的应用实例通过案例让学生更好地理解和掌握垂径定理的应用。

第五步：课堂练习通过课堂练习让学生更熟练地运用垂径定理，同时可以发现学生在应用时的问题和不足，帮助同时提高学生的素质。

第六步：总结通过对本节课的教学和课堂练习的总结，让学生对垂径定理有更为深入的理解，帮助他们更好地运用该定理解决问题。

六、教学评价本节课的教学重点、难点和教学内容都比较独立且具体，方便学生更好地理解和掌握，同时教师需要针对学生的实际情况进行适当引导、解释和辅导，以达到教学效果的最佳化。

《28.4垂径定理》教学设计一、教材分析本节课是在学生学习了圆的有关性质之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习，它既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是进行圆的计算和证明的重要工具，它在教材中处于非常重要的位置。

因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着至关重要的作用。

二、学生分析本节课的教学对象是九年级学生，学生素质参差不齐，虽然学生已经学过轴对称、中心对称、圆的基本概念和勾股定理等知识，但根据九年级学生的心理特点（追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）再加上学生在学习积极主动性方面的差异，除了充分发挥学生的自主性外，还要在课堂上对学生进行适当点拨。

三、教学目标：知识目标：掌握垂径定理，学生会用定理解决有关计算和证明问题；能力目标：通过折叠得出垂径定理，并通过推理方式验证结论的正确性，培养学生的逻辑思维能力；情感态度和价值观：：通过联系发展的思想方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育四、教学重难点：重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的理解和灵活运用五、教学策略：根据本节课的特点，我主要选择“探究教学法”和“直观演示法”六、教学用具：圆形纸片、多媒体七、教学过程：教学过程设计意图师生活动一、引入新课：多媒体出示赵州桥图片，带着问题“由已知条件怎样求出桥拱的半径？”引出本节课的课题。

二、自主学习，合作探究（一）探究一：垂径定理1、学生动手，在事先准备好的纸上作图：任意作一条弦AB；过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.2、观察回答：问题1：沿着CD所在的直线将圆折叠,哪些线段重合？哪些弧重合？你得出什么结论?问题2：图形中的已知是什么?根据得出的结论, 你能说出证明过程吗?3、总结垂径定理：垂直于弦的直径这条弦,并且这条弦所对的. 4、用几何语言表示：. （二）探究二：垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗? 弧AD与弧BD(或弧AC与BC)相等吗?说明你的理由. 引入环节的设计：通过实例导入，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活，激发学生学习数学的兴趣探究环节的设计：让学生充分参与探讨，感受数学学习的过程，有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合思想师生活动：教师循序渐进的将问题一个个抛出，引导学生一步步进行思考总结并板书(2)若弧AD= 弧BD (或弧AC= 弧BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.小试牛刀：1、如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于点C,若AB=23，OC=1，则OB的长为．2、如图，点B,A,C,D在圆O上，OA⊥BC,∠AOB=50°，则∠ADC=．三、例题讲解：如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.活学活用：1、解决引入新课环节的问题赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)2、已知：如图，AB为圆O的直径，BC为弦，OD⊥BC于E,交弧BC于D，请写出四个不同类型的正确结论此环节的题目引用于华乐思智慧教学系统这三处练习的设计：由简入难，循序渐进，既让学生夯实基础，又提示学生一种添加辅助线的常见方法：过圆心做弦的垂线段或连接半径师生活动：学生讲述解题思路（培养学生逻辑思维和语言表达能力），并完成例题的解题过程，教师适当点拨此题目引用于华乐思智慧教学系统五、当堂检测：（一）基础题1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.弧AD=弧BD2.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你请算出大石头的半径（）A.40cmB.30cmC.20cmD.50cm3.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°4.在半径为10的圆O中，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则这两条平行弦AB和CD间的距离为（）（1题）（2题）（3题）（二）链接中考：1.如图所示,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点,则线段OP 的长的取值范围是（）A.OP≤5B.OP≥3C.3＜OP＜5D.3≤OP≤5 当堂检测环节两部分练习的设计：一是为了巩固基础，二是为了实现由知识向能力的转化师生活动：基础题学生独立完成，组内交流，教师适当点拨；链接中考题学生先先口述思路，然后独立完成2.（2017广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=54，BD=5，则OH的长度为（）A.52B.65C. 1D.67（1题）（2题）3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点且OA=OB，求证：AC=BD．五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、布置作业: 课本P166 A组2题和B组1题七、板书设计：28、4垂径定理一、垂径定理例题:二、垂径定理的推论小结环节的设计：是对本节课知识的整合，可以使学生对本节课有更深刻的认识八、教学反思在本节课的教学中，我努力做到:一、充分体现学生的主体地位。

页 28.4垂径定理
学习目标
垂径定理.
学习重点和难点
重点：通过探索掌握垂径定理.
难点：垂径定理的应用.
学习过程
一起探究
将画有圆(如右图)的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧 学生操作，交流. 结论：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分这条弦所对的 条弧平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分这条弦所对的 条弧. 垂径定理的应用
自学例题：
收获：应用垂径定理时，往往作 和 构造直角三角形，利用 定理计算有关线段长.
课堂练习
练习和习题
课堂检测：
1. 如图，已知O 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么
AB =______________．
2. 如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC
的中点，OE 交弦AC 于D .若AC =8cm ，DE =2cm ，则OD 的长为 cm ．
3. O 的半径为5cm ，弦A B C D ∥，68AB CD ==cm ，cm ，则AB 和CD 的距离是
Ａ．7cm Ｂ．8cm Ｃ．7cm 或1cm Ｄ．1cm
4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm ）． 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A ，B ，E 三个接触点，该球的大小就符合要求．
图（2）是过球心O A 及，B ，E 三点的截面示意图．已知O 的直径就是铁球的直径，AB O 是的弦，CD O E 切于点，AC CD ⊥，BD CD ⊥．请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
图（1） E 图（2）。

垂径定理教学目标：1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教学重点与难点重点：垂径定理及其逆定理．难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导：指导探索法．教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课1.前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．2.我们是用什么方法研究了轴对称图形？折叠．二、师生合作，探究新知1.同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．2.你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．按下面的步骤做一做：在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．②得到一条折痕CD．③在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．④将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．3.通过第一步，我们可以得到什么？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．4.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？AM ＝BM ，AC BC =，AD BD =．为什么呢？因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？如下图示，连接OA.OB 得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM ＝BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．因此AM ＝BM ，=，=．5.在上述操作过程中，你会得出什么结论？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA.OB ，则OA ＝OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA ＝OB ，OM ＝OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM ＝BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．∴=，=． 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O 中，AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是直径，于．6.想一想如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？如上图．连接OA.OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB 底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．你会得出什么结论？平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．为什么上述条件要强调“弦不是直径”？你能写出它的证明过程吗？如上图，连结OA.OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．三、例题讲解，巩固新知例已知：如图28-4-4，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.解：如图28-4-5，连接OA.设⊙O的半径为r.∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE∵AB=8，∴AE=BE=4在Rt△OAE中，222=+OA OE AEOE=OD-ED即222(2)4=-+ r r解得r=5，从而2r=10.所以直径CD的长为10.四、随堂练习，巩固提高如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等．理由：如下图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．五、课堂小结，反思提高1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．六、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？如下图示，连结OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE ＝12AB ＝30cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA ＝R ，OE ＝OF －EF ＝R －10．在Rt △AEO 中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．七、布置作业，课后促学教材练习题教学反思：。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的运算等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆的进一步性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的相关知识也有了一定的了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、证明、应用等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：垂径定理的证明。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解和证明垂径定理。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

3.实践操作法：学生通过实际的操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：圆规、直尺、铅笔、练习本。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式复习前述的圆的性质和运算，为新课的学习做好铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师通过多媒体展示垂径定理的定义和图形，引导学生观察和思考。

3. 操练（15分钟）教师引导学生分组讨论，共同证明垂径定理。

每组学生可以利用圆规、直尺等工具，通过实际的操作，尝试证明垂径定理。

教师在这一过程中给予适当的引导和帮助。

4. 巩固（10分钟）教师给出一些应用垂径定理的问题，让学生独立解决，巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考垂径定理的推广和应用，激发学生的学习兴趣。

6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，加深对垂径定理的理解。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一节内容是在学生学习了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦、圆心角等知识的基础上进行讲授的，为后续学习圆的其它定理和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有了初步的了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，因为这一定理涉及到空间几何的想象和理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作和几何推理，深入理解垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容和意义。

2.学会运用垂径定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的证明和应用。

2.原因：垂径定理涉及到空间几何的想象和理解，对于部分学生来说可能会感到困难。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索，发现垂径定理。

2.利用几何画板软件，直观展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。

3.结合实际例子，让学生运用垂径定理解决实际问题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示垂径定理的证明过程。

2.准备相关实际例子，用于引导学生应用垂径定理解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何找到一个点，使得这个点到弦的两端点的距离相等？2.呈现（10分钟）引导学生通过实际操作，发现垂直于弦的直径可以平分这条弦。

然后，给出垂径定理的定义和证明过程。

3.操练（10分钟）让学生利用垂径定理，解决一些实际问题，如：给定一个圆和一条弦，求证这条弦的中点到圆心的距离等于弦的一半。

4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固对垂径定理的理解和应用。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材的重要内容之一。

在此之前，学生已经学习了直线、圆等基本几何概念，为本节课的学习打下了基础。

本节课主要介绍垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理在解决与圆有关的问题时具有重要意义。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握垂径定理，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆等概念有了初步的了解。

但学生在学习过程中，可能对垂径定理的理解和运用存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、思考、操作等活动，逐步理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣和成就感。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。

2.难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。

五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生观察、思考，自主发现垂径定理。

2.合作交流法：分组讨论，让学生在团队合作中，共同解决问题，培养学生的沟通能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，通过实际操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、圆规、直尺等。

2.学具准备：学生每人一份教材、一份练习题、一份垂径定理的学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出垂径定理的概念，激发学生的学习兴趣。

问题：在一个圆形花园中，有一条直径，求证：这条直径垂直于任意一条弦，并且平分这条弦。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示垂径定理的证明过程，引导学生观察、思考。