2019-2020年新冀教版初中数学九年级上册28.4垂径定理导学案.doc

垂径定理教学目标知识技能目标:1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.过程性目标:经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度目标:通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.重点难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.教学过程一、创设情境1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究归纳1.如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②CD⊥AB结论(等量关系):③AM=BM;④=;⑤=.证明:连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵☉O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合.∴=，=..证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.辨析:判断下列图形，能否使用垂径定理？注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦.通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.3.垂径定理逆定理的探索如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件:①CD是直径;②AM=BM结论(等量关系):③CD⊥AB;④=;⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例:______例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接OC，设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.三、交流反思学生交流总结1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、检测反馈课本P76 随堂练习T1，T2五、布置作业课本P76 知识技能T1，T2，T3板书设计教学反思垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此，应该让学生大胆表述，并对每位学生的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼.。

垂径定理学习目标：1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.学习重点：垂径定理及其推论的推导.学习难点：垂径定理及其推论的运用.教学过程一、知识链接1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.3.半圆（或直径）所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是____.二、新知预习3.如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？答：________________________________________________.我们发现：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.这就是垂径定理.4.如图，在⊙O中直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.（1）若AE=BE，能判断除CD与AB垂直吗？AD与BD（AD或BC）相等吗？答：________________________________________________.（2）若AD=BD（或AC=BC），能判断CD与AB垂直吗？AE与BE相等吗？答：________________________________________________.于是我们得到垂径定理的推论：_____________________________________________.三、自学自测1．下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线一定经过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 一、要点探究探究点1：垂径定理及其应用问题1：如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应 用勾股定理解决问题． 【针对训练】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm问题2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 【针对训练】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm.探究点2：垂径定理的推论问题：如图所示，⊙O 的弦AB.AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A．100° B．110° C．120° D．130°【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．【针对训练】如图，点A.B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A.B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．二、课堂小结内容运用策略垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧. 垂径定理是这么么线段、弧相等的重要条件，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据.简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存，辅助线从圆心发，有弦就作弦心距，再连半径成斜边，构造直角三角形.垂径定理的推论平分弦（非直径）的直径_______弦，并且_______所对的两条弧垂径定理的推广如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个条件：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.当堂检测1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥A B 于点E ，则下列结论一定正确的个数有①CE＝DE ；②BE ＝OE ；③CB ︵＝BD ︵；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M3.如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ．若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为________．4.．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m ，拱顶高出水面4m .(1)求这座拱桥所在圆的半径．(2)现有一艘宽5m ，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．5.如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．当堂检测参考答案： 1.A 2. B 3.2 4.(1)连接OA ，根据题意得CD ＝4m ，AB ＝12m ，则AD ＝12AB ＝6m .设这座拱桥所在圆的半径为xm ， 则OA ＝OC ＝xm ，OD ＝OC －CD ＝(x －4) m ， 在Rt△AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2， 则x 2＝(x －4)2＋62， 解得x ＝6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5m . (2)货船不能顺利通过这座拱桥． 理由：连接OM. ∵OC⊥MN，MN ＝5m ， ∴MH＝12MN ＝2.5m .在Rt△OMH 中，OH ＝OM 2－MH 2＝6(m )， ∵OD＝OC －CD ＝6.5－4＝2.5(m )， ∴OH－OD ＝6－2.5＝3.5(m )＜3.6m . ∴货船不能顺利通过这座拱桥．5.作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．。

28.4 垂径定理一、教材分析垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

二、教学目标1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。

能利用垂径定理进行想的计算和证明。

掌握垂径定理的推论。

2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。

利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。

3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。

三、教学重点垂径定理的证明与简单应用。

四、教学难点垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。

五、教学过程教学环节师生活动设计意图情景导入出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。

介绍赵州桥的历史及地理位置。

（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。

）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。

复习就知新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就通过复习，对探究垂径定理做知识准备。

归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。

在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E。

28.4 垂径定理-冀教版九年级数学上册教案一、知识点概述垂径定理是解决平面几何题目及三角学问题的基础。

垂径定理就是在在一个圆上，如果两条弦的垂径交点在圆心上，则这两条弦互相垂直。

二、教学目标1.掌握垂径定理的定义2.熟悉垂径定理的相关概念3.理解垂径定理的证明过程4.能够灵活应用垂径定理解决相关问题三、教学重难点1.垂径定理的定义和表述2.垂径定理的证明过程3.垂径定理在解决实际问题中的应用四、教学内容及方法1. 教学内容第一部分：引入垂径定理•讲解垂径定理的定义和相关概念•通过几何图形的举例来形象地说明垂径定理第二部分：垂径定理的证明过程•明确定理的前提和结论•通过割圆法和同位角的定义证明定理第三部分：垂径定理的应用实例•案例1：用垂径定理证明平行四边形对角线相等•案例2：用垂径定理证明正三角形的内角为60度•案例3：用垂径定理解决实际问题，如日食现象的解释等2. 教学方法•以讲解为主，配合适当的举例•结合黑板、教具等视觉辅助工具进行教学五、教学步骤第一步：导入让学生猜测下面这些几何图形中与垂径定理有关的内容，并引入本节课的主要内容。

第二步：讲解垂径定理的定义和相关概念针对垂径定理的定义和相关概念进行初步讲解，让学生明确概念，为后续教学打好基础。

第三步：说明定理的证明过程针对定理的证明过程进行详细说明，让学生理解和掌握证明的方法，同时可以适当与学生互动，提高学生的参与度。

第四步：垂径定理的应用实例通过案例让学生更好地理解和掌握垂径定理的应用。

第五步：课堂练习通过课堂练习让学生更熟练地运用垂径定理，同时可以发现学生在应用时的问题和不足，帮助同时提高学生的素质。

第六步：总结通过对本节课的教学和课堂练习的总结，让学生对垂径定理有更为深入的理解，帮助他们更好地运用该定理解决问题。

六、教学评价本节课的教学重点、难点和教学内容都比较独立且具体，方便学生更好地理解和掌握，同时教师需要针对学生的实际情况进行适当引导、解释和辅导，以达到教学效果的最佳化。

《28.4垂径定理》教学设计一、教材分析本节课是在学生学习了圆的有关性质之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习，它既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是进行圆的计算和证明的重要工具，它在教材中处于非常重要的位置。

因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着至关重要的作用。

二、学生分析本节课的教学对象是九年级学生，学生素质参差不齐，虽然学生已经学过轴对称、中心对称、圆的基本概念和勾股定理等知识，但根据九年级学生的心理特点（追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）再加上学生在学习积极主动性方面的差异，除了充分发挥学生的自主性外，还要在课堂上对学生进行适当点拨。

三、教学目标：知识目标：掌握垂径定理，学生会用定理解决有关计算和证明问题；能力目标：通过折叠得出垂径定理，并通过推理方式验证结论的正确性，培养学生的逻辑思维能力；情感态度和价值观：：通过联系发展的思想方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育四、教学重难点：重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的理解和灵活运用五、教学策略：根据本节课的特点，我主要选择“探究教学法”和“直观演示法”六、教学用具：圆形纸片、多媒体七、教学过程：教学过程设计意图师生活动一、引入新课：多媒体出示赵州桥图片，带着问题“由已知条件怎样求出桥拱的半径？”引出本节课的课题。

二、自主学习，合作探究（一）探究一：垂径定理1、学生动手，在事先准备好的纸上作图：任意作一条弦AB；过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.2、观察回答：问题1：沿着CD所在的直线将圆折叠,哪些线段重合？哪些弧重合？你得出什么结论?问题2：图形中的已知是什么?根据得出的结论, 你能说出证明过程吗?3、总结垂径定理：垂直于弦的直径这条弦,并且这条弦所对的. 4、用几何语言表示：. （二）探究二：垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗? 弧AD与弧BD(或弧AC与BC)相等吗?说明你的理由. 引入环节的设计：通过实例导入，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活，激发学生学习数学的兴趣探究环节的设计：让学生充分参与探讨，感受数学学习的过程，有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合思想师生活动：教师循序渐进的将问题一个个抛出，引导学生一步步进行思考总结并板书(2)若弧AD= 弧BD (或弧AC= 弧BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.小试牛刀：1、如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于点C,若AB=23，OC=1，则OB的长为．2、如图，点B,A,C,D在圆O上，OA⊥BC,∠AOB=50°，则∠ADC=．三、例题讲解：如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.活学活用：1、解决引入新课环节的问题赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)2、已知：如图，AB为圆O的直径，BC为弦，OD⊥BC于E,交弧BC于D，请写出四个不同类型的正确结论此环节的题目引用于华乐思智慧教学系统这三处练习的设计：由简入难，循序渐进，既让学生夯实基础，又提示学生一种添加辅助线的常见方法：过圆心做弦的垂线段或连接半径师生活动：学生讲述解题思路（培养学生逻辑思维和语言表达能力），并完成例题的解题过程，教师适当点拨此题目引用于华乐思智慧教学系统五、当堂检测：（一）基础题1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.弧AD=弧BD2.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你请算出大石头的半径（）A.40cmB.30cmC.20cmD.50cm3.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°4.在半径为10的圆O中，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则这两条平行弦AB和CD间的距离为（）（1题）（2题）（3题）（二）链接中考：1.如图所示,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点,则线段OP 的长的取值范围是（）A.OP≤5B.OP≥3C.3＜OP＜5D.3≤OP≤5 当堂检测环节两部分练习的设计：一是为了巩固基础，二是为了实现由知识向能力的转化师生活动：基础题学生独立完成，组内交流，教师适当点拨；链接中考题学生先先口述思路，然后独立完成2.（2017广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=54，BD=5，则OH的长度为（）A.52B.65C. 1D.67（1题）（2题）3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点且OA=OB，求证：AC=BD．五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、布置作业: 课本P166 A组2题和B组1题七、板书设计：28、4垂径定理一、垂径定理例题:二、垂径定理的推论小结环节的设计：是对本节课知识的整合，可以使学生对本节课有更深刻的认识八、教学反思在本节课的教学中，我努力做到:一、充分体现学生的主体地位。

页 28.4垂径定理
学习目标
垂径定理.
学习重点和难点
重点：通过探索掌握垂径定理.
难点：垂径定理的应用.
学习过程
一起探究
将画有圆(如右图)的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧 学生操作，交流. 结论：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分这条弦所对的 条弧平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分这条弦所对的 条弧. 垂径定理的应用
自学例题：
收获：应用垂径定理时，往往作 和 构造直角三角形，利用 定理计算有关线段长.
课堂练习
练习和习题
课堂检测：
1. 如图，已知O 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么
AB =______________．
2. 如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC
的中点，OE 交弦AC 于D .若AC =8cm ，DE =2cm ，则OD 的长为 cm ．
3. O 的半径为5cm ，弦A B C D ∥，68AB CD ==cm ，cm ，则AB 和CD 的距离是
Ａ．7cm Ｂ．8cm Ｃ．7cm 或1cm Ｄ．1cm
4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm ）． 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A ，B ，E 三个接触点，该球的大小就符合要求．
图（2）是过球心O A 及，B ，E 三点的截面示意图．已知O 的直径就是铁球的直径，AB O 是的弦，CD O E 切于点，AC CD ⊥，BD CD ⊥．请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
图（1） E 图（2）。

垂径定理教学目标：1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教学重点与难点重点：垂径定理及其逆定理．难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导：指导探索法．教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课1.前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．2.我们是用什么方法研究了轴对称图形？折叠．二、师生合作，探究新知1.同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．2.你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．按下面的步骤做一做：在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．②得到一条折痕CD．③在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．④将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．3.通过第一步，我们可以得到什么？圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．4.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？AM ＝BM ，AC BC =，AD BD =．为什么呢？因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？如下图示，连接OA.OB 得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM ＝BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．因此AM ＝BM ，=，=．5.在上述操作过程中，你会得出什么结论？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA.OB ，则OA ＝OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA ＝OB ，OM ＝OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM ＝BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合．∴=，=． 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O 中，AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是直径，于．6.想一想如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？如上图．连接OA.OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB 底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．你会得出什么结论？平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．为什么上述条件要强调“弦不是直径”？你能写出它的证明过程吗？如上图，连结OA.OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．三、例题讲解，巩固新知例已知：如图28-4-4，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.解：如图28-4-5，连接OA.设⊙O的半径为r.∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE∵AB=8，∴AE=BE=4在Rt△OAE中，222=+OA OE AEOE=OD-ED即222(2)4=-+ r r解得r=5，从而2r=10.所以直径CD的长为10.四、随堂练习，巩固提高如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等．理由：如下图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．五、课堂小结，反思提高1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．六、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？如下图示，连结OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE ＝12AB ＝30cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA ＝R ，OE ＝OF －EF ＝R －10．在Rt △AEO 中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．七、布置作业，课后促学教材练习题教学反思：。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的运算等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆的进一步性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的相关知识也有了一定的了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、证明、应用等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：垂径定理的证明。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解和证明垂径定理。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

3.实践操作法：学生通过实际的操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：圆规、直尺、铅笔、练习本。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式复习前述的圆的性质和运算，为新课的学习做好铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师通过多媒体展示垂径定理的定义和图形，引导学生观察和思考。

3. 操练（15分钟）教师引导学生分组讨论，共同证明垂径定理。

每组学生可以利用圆规、直尺等工具，通过实际的操作，尝试证明垂径定理。

教师在这一过程中给予适当的引导和帮助。

4. 巩固（10分钟）教师给出一些应用垂径定理的问题，让学生独立解决，巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考垂径定理的推广和应用，激发学生的学习兴趣。

6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，加深对垂径定理的理解。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一节内容是在学生学习了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦、圆心角等知识的基础上进行讲授的，为后续学习圆的其它定理和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有了初步的了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，因为这一定理涉及到空间几何的想象和理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作和几何推理，深入理解垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容和意义。

2.学会运用垂径定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的证明和应用。

2.原因：垂径定理涉及到空间几何的想象和理解，对于部分学生来说可能会感到困难。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索，发现垂径定理。

2.利用几何画板软件，直观展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。

3.结合实际例子，让学生运用垂径定理解决实际问题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示垂径定理的证明过程。

2.准备相关实际例子，用于引导学生应用垂径定理解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何找到一个点，使得这个点到弦的两端点的距离相等？2.呈现（10分钟）引导学生通过实际操作，发现垂直于弦的直径可以平分这条弦。

然后，给出垂径定理的定义和证明过程。

3.操练（10分钟）让学生利用垂径定理，解决一些实际问题，如：给定一个圆和一条弦，求证这条弦的中点到圆心的距离等于弦的一半。

4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固对垂径定理的理解和应用。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材的重要内容之一。

在此之前，学生已经学习了直线、圆等基本几何概念，为本节课的学习打下了基础。

本节课主要介绍垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理在解决与圆有关的问题时具有重要意义。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握垂径定理，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆等概念有了初步的了解。

但学生在学习过程中，可能对垂径定理的理解和运用存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、思考、操作等活动，逐步理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣和成就感。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。

2.难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。

五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生观察、思考，自主发现垂径定理。

2.合作交流法：分组讨论，让学生在团队合作中，共同解决问题，培养学生的沟通能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，通过实际操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、圆规、直尺等。

2.学具准备：学生每人一份教材、一份练习题、一份垂径定理的学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出垂径定理的概念，激发学生的学习兴趣。

问题：在一个圆形花园中，有一条直径，求证：这条直径垂直于任意一条弦，并且平分这条弦。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示垂径定理的证明过程，引导学生观察、思考。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计4一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了直线、圆的基本性质和勾股定理等知识，而垂径定理则是这些知识的进一步延伸。

本节课主要介绍了垂径定理的定义、证明及其应用。

通过学习垂径定理，学生可以更好地理解和掌握圆的性质，为后续学习圆的方程和其他相关知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对圆的相关知识也有一定的了解。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的证明过程和应用方面存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理的定义、证明及其应用；2.过程与方法：培养学生运用勾股定理解决问题的能力，提高空间想象力；3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养团结协作、积极探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的定义、证明及其应用；2.难点：垂径定理的证明过程和应用方面的理解。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究垂径定理；2.利用几何画板等软件，直观展示垂径定理的应用；3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备几何画板等软件，用于展示垂径定理的图形；3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车轮子、地球仪等，引导学生关注圆的相关知识，激发学生的学习兴趣。

提问：你们对这些实例有什么认识？圆有哪些性质？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义：如果直径垂直于弦，那么它平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

通过几何画板软件，展示垂径定理的图形，让学生直观地理解定理。

3.操练（10分钟）让学生运用垂径定理证明一些简单的几何命题，如证明一条弦平分另一条弦等。

冀教版数学九年级上册28.4《垂径定理》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册28.4《垂径定理》是本册教材的重要内容之一。

此章节主要介绍垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理在几何学中具有广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和推理能力有所提高。

但是，对于垂径定理的理解和应用还需要进一步引导和培养。

学生在学习过程中需要具备观察、分析、推理的能力，同时需要善于发现图形中的规律和特点。

三. 教学目标1.理解垂径定理的定义和证明过程。

2.学会运用垂径定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

4.提高学生的图形观察和分析能力。

四. 教学重难点1.垂径定理的理解和证明。

2.垂径定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.讲授法：讲解垂径定理的定义、证明过程和应用。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用垂径定理解决问题。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

4.实践操作法：引导学生动手操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含垂径定理的定义、证明过程和应用案例的PPT。

2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决。

3.教学道具：准备一些几何图形模型，用于直观展示垂径定理。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：在一个圆中，如何找到一条弦的中点，使得这条弦被平分？2.呈现（10分钟）讲解垂径定理的定义和证明过程。

通过PPT展示垂径定理的证明步骤，并用几何图形模型进行直观展示，让学生理解并掌握垂径定理。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用垂径定理解决实际问题。

教师提供一些案例，引导学生动手操作，验证垂径定理。

4.巩固（10分钟）教师提问，检查学生对垂径定理的理解和掌握程度。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆相关的问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本知识，如圆的定义、圆的周长和面积等。

但他们对垂径定理的理解可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和实践活动，帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的动手能力和探究精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于挑战、合作探究的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究，培养他们的解决问题的能力。

3.小组合作学习：鼓励学生互相讨论、交流，提高他们的合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、垂径定理的相关例题和练习题。

2.学具准备：学生用书、笔记本、文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在一条直线上，有两个点A和B，且AB=10cm，点C在AB的垂直平分线上，求AC和BC的长度。

”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示垂径定理的定义和证明过程，让学生直观地了解垂径定理的内容。

3.操练（10分钟）教师给出几个与垂径定理相关的例题，让学生独立解答。

解答过程中，教师引导学生运用垂径定理，帮助他们巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让他们互相交流解题心得，共同提高。

同时，教师对学生在解答过程中遇到的问题进行解答和指导。

九年级数学教案（编号43）课题：垂径定理2 姓名：学习目标：会用垂径定理解决实际问题。

一、知识链接：【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.1、垂径定理是。

2、用符号语言表达垂径定理:已知，则有。

3、如图(1)，(1)AB=8，OE=1，则CD= 。

（2）OA=5，CD=8，则OE= 。

（3）OE=1，CE=3，则OC= 。

（4）OB=5，CE=4，则BE= 。

（5）OB=5，BE=1，则CD= 。

（6）CE=4，BE=2，则OC=（1）二、新知探究：学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,.1、如上图，在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥------赵州桥，其桥拱为圆弧形，如图，拱高（弧的中点到弦的距离也叫弓形高）为7.2m，跨度（弧所对的弦长）为37.4m，求桥拱的半径（精确到0.1m）三、典例分析：学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.1、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？四、题组训练: 学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生【A组】2、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【B组】3、有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？【C组】4、.如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？答案：一、知识链接：1、垂直于弦的直径平分弦并且平分这条弦所对的两条弧2、因为CD 是直径，CD ⊥AB 于P 所以PA=PB 弧AC=弧BC 弧AD=弧BD3、152 3 2 2 6 5二、 新知探究 设拱桥的半径为rm.∵AB=37.4m ，∴根据垂径定理可得AD=21AB=18.7m. 又∵CD=7.2m ，OD=r-CD ，∴OD=（r-7.2）m.在Rt △AOD 中，AD 2+OD 2=OA 2，∴18.72+（r −7.2）2=r 2.∴r ≈27.9m.答：拱桥的半径约为27.9m.(1)∵直径AB=26m ，∴OD=1/2AB=1/2×26=13m ，∵OE ⊥CD ，∴DE=1/2CD ，∵OE:CD=5:24，∴OE:ED=5:12，∴设OE=5x ，ED=12x ，∴在Rt △ODE 中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m ；(2)由(1)得OE=1×5=5m ，延长OE 交圆O 于点F ，∴EF=OF −OE=13−5=8m ，∴8/4=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满。

.图1图2垂径定理教学目标：1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；2、能利用垂径定理进行相关的计算和证明；3、通过观察、比较、推理、归纳等活动，培养推理能力及概括问题的能力。

4、培养学生积极探索数学问题态度及方法。

使学生体验知识和发展探索和解决问题的过程，让学生品尝成功的喜悦，从而激发求知的热情．教学重点： 垂径定理的证明与简单应用教学难点； 垂径定理的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法 教学手段： IP 系统多媒体辅助教学．教 具： 多媒体 硬纸板制作的圆 透明的纸片教学过程一、复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在以前的学习中学过哪些轴对称图形？2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？3、圆有多少条对称轴？不妨折折看。

（设计意图 通过展示使学生进一步巩固所学知识，为学习后面内容做铺垫）二、探索新知1、操作、探索拿出事先准备好圆O ，任意画一条非直径的弦CD ，作一直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）。

沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？ （设计意图 引导学生利用手中工具进行操作、观察得出结论，体会探究知识的方法） 垂径定理：_________________________________ ___________________________________________. 命题的题设与结论为：题设：___________________________________ 结论:_____________________________________. 数学表达式表示为：_______________________________________________________ 2、大家谈谈如图，在⊙0中，直径CD 与弦AB(非直径)相交于点E1）若AM=BM,能判断CD ⊥AB 吗？弧AD 与弧BD （或弧AC 与弧BC ） 相等吗？说出你的理由。

2) 若弧AD 与弧BD （或弧AC 与弧BC ）相等，能判断CD ⊥AB 吗？AM 与BM 相等吗？●OAB CDM └.（设计意图趁热打铁，通过2个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。

28.4 垂径定理一、教材分析教材的地位和作用：垂径定理既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

二、学情分析：学生已经学习了点关于直线的对称，勾股定理，利用这两个知识点学习垂径定理应该得心应手，九年级的学生仍然比较好奇、好动、好表现、但在学习的积极性主动性方面也有较大差异，课堂上应注意他们的学习情况适时点拨。

三、教学目标：1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理，能利用垂径定理进行相关的计算和证明2、通过观察、比较、操作，推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力3、利用圆是轴对称图形，独立探究垂径定理培养学生积极探索数学问题态度及方法四、教学重点、教学难点：教学重点：垂径定理及其应用教学难点：对垂径定理的应用及辅助线的做法五、教法学法分析：教学过程中注重学生探究能力的培养，还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，扩展学生的创造性思维，同时注意加强学生的思维的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想，发掘学生的创新精神。

六、教学用具：圆形纸片，彩笔，多媒体七、教学过程（一）创设情境，导入课题咱们学校的供水管道损坏，现在工人师傅要为小区换管道，他测量出管道有积水部分的最大深度是2CM，水面的宽度为8CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？（课本例题改编）导出课题《垂径定理》[通过实例导入，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活。

](二)小组探究：探究1：把准备好的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？通过交流，得出(1)圆既是轴对称图形也是中心对称图形(2)圆的对称轴有无数条经过圆心的每一条直线（不能说直径）都是它的对称轴[目的是培养学生的动手能力，在动手过程中，积极鼓励学生，发挥他们的主观能动性，为了下面的探究打下基础]探究2：怎样找到点A关于直线CD的对称点呢？【目的是让学生进一步了解点关于直线的对称，为后面的学习打基础】探究3：①请用折叠的方法在⊙O上找到两个点A，B使点A，B关于直径C D对称。

28.4垂径定理*一、教学目标知识目标1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.能力目标1.通过探索垂径定理的过程,培养学生动手实践、观察分析、逻辑思维和归纳概括的能力.2.让学生经历“实验——观察——猜想——验证——归纳”的探究过程,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.通过本节课的学习,发展学生的数学思维,让学生体验数学来源于生活又应用于生活.情感与价值观目标1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.3.经历将已学知识应用到未学知识的探索过程,激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、教学重点难点重点垂径定理及其应用.难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.三、教学过程复习提问:1.什么是轴对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的?4.直径是圆的对称轴正确吗?师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线).设计意图通过生活实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生学习兴趣,探索圆的对称性,引出本节内容,为本节课的学习做好铺垫.学习新知知识点1、垂径定理教师引导操作、思考、回答:在自己课前准备的纸片上作图:1.任意作一条弦AB.2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?6.你能用语言叙述这个命题吗?7.你得到的结论怎样用几何语言表示?如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为 E.求证AE=BE,,.证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∴.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.∴.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,∴AE=BE,,.设计意图通过学生动手操作、观察、分析、交流,教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质,经历知识的形成过程,培养学生观察能力和归纳概括能力,提高分析问题、解决问题的能力,同时感受圆的对称美.知识点2、垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.思考(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?与(或与)相等吗?说明你的理由.(2)若(或),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.解:(1)CD⊥AB,(或).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.由垂径定理可得,.(2)CD⊥AB,AE=BE.理由是:连接OA,OB,如图所示,∵,∴∠AOD=∠BOD,又∵OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO,∴∠AEO=∠BEO,AE=BE,∴CD⊥AB.追加思考:(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点 E.若把AE=BE,CD⊥AB,中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.设计意图通过教师提出的问题,学生合作交流,共同分析解答,提高学生合作意识,加深对垂径定理的理解和记忆,通过追加思考,师生共同分析得出垂径定理中五个条件:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧中,以其中两个为条件,可以得到其他三个结论.三、例题讲解例1、如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.教师引导思考:1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形)2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长)3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解)解:如图所示,连接OA.设☉O的半径为r.∵CD为☉O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=8,∴AE=BE=4.在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.设计意图以问题的形式,教师引导,师生共同分析解决,降低了例题的难度,体会方程思想在数学中的应用,同时掌握一类题型的解题方法,应用垂径定理计算时,常作辅助线构造直角三角形,体会数形结合思想在解题中的应用,提高学生分析问题的能力.知识拓展1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.四、课堂小结1.垂径定理和推论及它们的应用.2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题.3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.五、布置作业教材第165页习题A组第1,2,3题.教材第166页习题B组第1,2题.六、课后反思。

28.4 垂径定理综合点利用垂径定理解决实际问题应用概述垂径定理及其推论是圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据，常利用弦的一半，弦心距，半径构成满足垂径定理的基本图形，利用垂径定理解决实际问题．【例题】某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶差距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？分析：本题是垂径定理在解决实际问题时的典型应用，常作的辅助线是连接弧的中点和圆心，连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解．解：如图，连接OA ，过点O 作OC⊥AB，垂足为D ，交AB ︵于点C ．由垂径定理，得OC 平分弦AB 和AB ︵，AD ＝12AB ＝30cm. 设⊙O 半径为r ，因为CD ＝10，所以OD ＝OC －CD ＝r －10，由勾股定理，得AD 2＋OD 2＝OA 2，即302＋(r －10)2＝r 2，解得r ＝50(cm)．∴2r＝2×50＝100(cm)．答：修理人员应准备内径为100cm 的管道．规律总结连半径，应用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解．迁移训练1．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( )A．16B．10C．8D．62．某某是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为( )A．4m B．5m C．6m D．8m分析解答1．解析：在Rt△BOC中，OB＝10，OC＝6，由勾股定理得BC＝OB2－OC2＝102－62＝8，由垂径定理可知AB＝2CB＝2×8＝16.答案：A2．解析：连接OA．∵桥拱半径OC为5m，∴OA＝5m.∵CD＝8m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(m)．由垂径定理可知AB＝2AD＝2×4＝8(m)．答案：D易错点1对弦的概念理解不清易错指津在利用定理求弦长时，正确理解弦的概念，不能误认为弦心距是弦．【例1】如图，点P 是半径为5cm 的⊙O 内一点，OP ＝3cm ，且AB⊥CD 于点P ，试求出经过点P 的最长的弦和最短的弦．常见错解：过点P 的最长的弦的长度为10cm(即直径AB 的长)，过点P 最短的弦的长度为3cm(即OP 的长度)．正确解答：过点P 的最长的弦的长度为10cm(即直径AB 的长)，过点P 最短的弦的长度为8cm ，即CD ＝2CP ＝2OC 2－OP 2＝8(cm)．误区分析经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径，最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦，此时不能误认为这点与圆心的连线是最短的弦．易错点2在解决圆的有关计算时，因考虑不周而漏解易错指津当在题目中没有给出图形时，需要我们自己画出图形，要画出所有符合条件的图形，这时就需要分类讨论．在分析问题时，不仅要从条件方面进行正方向思考，有时还要从结论方面进行逆向思考，对所有的情况逐一进行分析、探讨，并做到“不重复”、“不遗漏”，保证分类讨论的科学性与合理性，否则就会漏解．【例2】⊙O 的半径为13cm ，弦AB∥CD，AB ＝10cm ，CD ＝24cm ，求AB 与CD 间的距离． 常见错解：如图②，过O 点作ON⊥AB 于N ，交CD 于M ，连接OB ，OD.因为AB∥CD，所以OM⊥CD，所以AN ＝BN ＝12AB ＝5，CM ＝DM ＝12CD ＝12. 在Rt△BON 中，ON ＝OB 2－BN 2＝132－52＝12.在Rt△DOM 中，OM ＝OD 2－DM 2＝132－122＝5.所以MN ＝ON －OM ＝12－5＝7(cm)．正确解答：如图①②，过O 点作ON⊥AB 于N ，(或延长NO)交CD 于点M ，连接OB ，OD. 因为AB∥CD，所以OM⊥CD，所以AN ＝BN ＝12AB ＝5，CM ＝DM ＝12CD ＝12. 在Rt△BON 中，ON ＝OB 2－BN 2＝132－52＝12；在Rt△DOM 中，OM ＝OD 2－DM 2＝132－122＝5.(1)当两弦在圆心两侧时，如图①，此时MN ＝OM ＋ON ＝17(cm)．(2)当两弦在圆心同侧时，如图②，此时MN ＝ON －OM ＝12－5＝7(cm)．答：两平行弦AB ，CD 之间的距离为17cm 或7cm.误区分析因为两弦的位置不确定，所以要分类讨论，画出符合条件的两种图形，再作解答．进行分类讨论时，要注意：一是要在同一条件下进行，二是不能重复出现，三是必须符合题中的实际要求．产生错解的原因在于考虑问题不全面，本题有两种情况，错解只考虑AB ，CD 在圆心O 同侧的情况，而忽略了另一种情况，即AB ，CD 在圆心O 的两侧的情况．。

冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。

本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，需要通过实例来让学生理解并掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。

教材中通过大量的图片和例子来说明垂径定理，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是对于垂径定理这样的抽象概念，学生可能还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要通过实例和具体的操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

同时，学生对于数学的应用能力也有待提高，因此在教学过程中，需要设计一些实际问题来让学生运用所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和掌握垂径定理，并能运用到实际问题中。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等过程，培养自己的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，培养对数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解和掌握垂径定理。

2.实例教学法：教师通过具体的例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

3.问题解决法：教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

六. 教学准备1.教师准备PPT，其中包括垂径定理的定义、例子、应用等内容。

2.教师准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现垂径定理的定义和例子，让学生在直观的感受中理解抽象的数学概念。

3.操练（10分钟）教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。