数学分析续论A 卷复习资料
一. 计算题
1.
求函数11
(,)f x y y x
=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：
11
(,)f x y y x =
=，因此二重极限为0.
因为011x y x →
与011
y y x
→均不存在，
故二次极限均不存在。
2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0
z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别
具有连续的导数和偏导数,求dz
dx
.
3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z
z x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22
y x y x y
w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：
,(,),,22
y w x y x y z w w e μνμν+-====。
代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：
2222w w
w μμν
∂∂+=∂∂∂。
4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。
构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
令 2
2420,20.r h
F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ 解得2h r =
，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半
径为r =
高为h =时，制作圆桶用料最省。
5. 设3
2
2
()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.
解：由含参积分的求导公式
33222
2
3
2
2222()32y y x y
x y x y
x
y x y
x y y y
y
F y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰
3
2
7
5
22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰
375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。
6. 求曲线2
22222x y xy
a
b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.
解：利用坐标变换cos ,
sin .
x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩ 由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可
以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
(
),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。
则
(,)
2(,)
x y V d d ρθρθΩ
∂=∂⎰⎰
1
2
sin cos 200
2ab c d ab d π
θθθρρ
⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰
22
2
20
sin cos a b d c π
θθθ=
⎰ 22
2
2a b c =.
7. 计算曲线积分352L
z dx xdy ydz
+-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为
(
)cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛
= ⎝。
由Stokes 公式得
352L
zdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z z x y
αβγ
∑
∂∂∂
=∂∂∂-⎰⎰
dS ∑
=
221
x y +≤=⎰⎰
2π=
8. 计算积分S yzdzdx ⎰⎰,S 为椭球222
2221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.
二. 证明题
9.讨论函数3
2224
22,0()0,0
xy x y x y
f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和
可微性.
10.设(),F x y 满足： （1）在()
{}
00,,D x y x x a y y b =
-≤-≤上连续，
（2）()00,0F x y =，
（3）当x 固定时，函数(),F x y 是y 的严格单减函数。
试证：存在0δ>，使得在{
}
0x
x x δδI =-<上通过(),0F x y =定义了一个
函数()y y x =，且()y y x =在δI 上连续。
证明：（i ）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，()0,F x y 在[]00,y b y b -+上是y 的严格单减函数，而由条件（2）知()00,0F x y =，从而由函数()0,F x y 的连续性得 ()00,0F x y b ->， ()00,0F x y b +<。
现考虑一元连续函数()0,F x y b -。
由于()00,0F x y b ->，则必存在10δ>使得
()0,0F x y b ->， x ∀∈01(,)O x δ。
同理，则必存在20δ>使得
()0,0F x y b +<， x ∀∈02(,)O x δ。
取12min(,)δδδ=，则在邻域0(,)O x δ内同时成立 ()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。
于是，对邻域0(,)O x δ内的任意一点x ，都成立
()
0,0F x y b ->， (
)
0,0F x y b +<。
固定此x ，考虑一元连续函数(),F x y 。
由上式和函数(),F x y 关于y 的连续性可知，存在(),F x y 的零点[]0
,y y b y b ∈-+使得
(),F x y ＝0。
而(),F x y 关于y 严格单减，从而使(),F x y ＝0的y 是唯一的。
再由x 的任意性，
证明了对:δI =0(,)O x δ内任意一点，总能从(),0F x y =找到唯一确定的y 与x 相对应，即存在函数关系:f x y →或()y f x =。
此证明了隐函数的存在性。
（ii ）下证隐函数()y f x =的连续性。
设*x 是:δI =0(,)O x δ内的任意一点，记()**:y f x =。
对任意给定的0ε>，作两平行线
*y y ε=-， *y y ε=+。
由上述证明知
()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。
由(),F x y 的连续性，必存在*x 的邻域*(,)O x δ使得
()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ∀∈。
对任意的*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 的函数(),F x y ，它关于y 严格单减且
()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。
于是在()**,y y εε-+内存在唯一的一个零点y 使
(),0F x y =，
即 对任意的*(,)x O x δ∈，它对应的函数值y 满足*y y ε-<。
这证明了函数
()y f x =是连续的。
