江苏省高考数学复习 解析几何中的综合问题
1．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的内接矩形的面积最大值为________．
解析：设P (x ，y )为矩形的一个顶点，则x 2a 2＋y 2
b 2＝1≥2
x 2y 2a 2b 2＝2|xy |
ab
，所以S ＝4|xy |≤2ab ，当且仅当x 2a 2＝y 2b 2＝1
2
时等号成立．
答案：2ab
2．两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________． 解析：由题意得x 3＋y 4＝1(x >0，y >0)所以1＝x 3＋y
4≥2
xy 12即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12
时等号成立．
答案：3
3．和圆(x －3)2＋(y －1)2＝36关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是________． 解析：圆心(3,1)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标为(－1，－3)，半径不变，方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝36.
答案：(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝36
4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＝0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：由y 2＝2x －x 2≥0得0≤x ≤2， 所以x 2＋y 2＝2x ∈[0,4]． 答案：[0,4]
5．设A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫4，95，C (x 2，y 2)是右焦点为F 的椭圆x 2
25＋y
2
9＝1上三个不同的点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则x 1＋x 2＝________.
解析：根据圆锥曲线的共同性质可知A ，B ，C 到右准线x ＝25
4的距离成等差数列，则
2⎝⎛⎭⎫254－4＝254－x 1＋25
4
－x 2，即x 1＋x 2＝8. 答案：8
[典例1]
已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且满足|a |＋|b |＝4.
(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；
(2)如果过点Q (0，m )且方向向量为c ＝(1,1)的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当△AOB 的面积取到最大值时，求m 的值．
[解] (1)∵a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.
∴点P (x ，y )到点(3，0)，(－3，0)的距离之和为4，故点P 的轨迹方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意直线AB 的方程为y ＝x ＋m . 代入椭圆方程，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－85m ，x 1·x 2＝4
5(m 2－1)．
因此，S △AOB ＝12AB ·d ＝2
5
(5－m 2)m 2≤25×5
2＝1.
当5－m 2＝m 2时，即m ＝±
10
2
时，S max ＝1.
(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题． (2)求解解析几何中的最值问题，一般要先建立目标函数，再求最值，求最值的方法主要是配方法和利用基本不等式．
[演练1]
已知点A (－22，0)，B (－2，0)，动点P 满足AP ·AB ＝2|AB |·|BP |，若动点P
的轨迹记作曲线C 1.
(1)求曲线C 1的方程；
(2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D ⎝
⎛⎭
⎫
0，－
23作斜率为k 的直线l 交曲线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q .
解：(1)设P (x ，y )，则有AP ＝(x ＋22，y )，
AB ＝(2，0)，BP ＝(x ＋2，y )． ∵AP ·AB ＝2·|AB |·|BP |，
∴2x ＋4＝2·2· (x ＋2)2＋y 2. 化简得x 24＋y 2
2
＝1.
故曲线C 1的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)证明：由x 24＋y 2
2＝1，得Q (0，2)．
设直线l 的方程为y ＝kx －
23
，
代入x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－423kx －329
＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM ＝(x 1，y 1－2)，QN ＝(x 2，y 2－2)． ∴x 1＋x 2＝42k 3(1＋2k 2)，x 1·x 2＝－329(1＋2k 2). ∴QM ·QN ＝x 1x 2＋⎝
⎛⎭⎫kx 1－423⎝⎛⎭⎫kx 2－
423 ＝x 1x 2(1＋k 2)－423k (x 1＋x 2)＋329＝－32
9(1＋k 2)1＋2k 2－423k ·42k 3(1＋2k 2)＋32
9＝0. ∴QM ⊥QN .
即点Q 在以MN 为直径的圆上． [典例2]
已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，
△F 1MF 2是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2. [解] (1)因为b ＝2，△F 1MF 2是等腰直角三角形，所以c ＝2，所以a ＝22， 故椭圆的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)证明：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，
联立方程得，⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
8＋y 2
4＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得
(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.
由题知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2
x 2＝8，
所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2
x 2＝8，
即2k ＋(m －2)x 1＋x 2
x 1x 2
＝8.
所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝1
2k －2.
故直线AB 的方程为y ＝kx ＋1
2k －2，
即y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2. ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)， 则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2
x 0
＝8，
得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－1
2，显然直线AB 过点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 综上可知，直线AB 过定点⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2.
(1)本题主要考查椭圆的标准方程，直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明． (2)证明直线过定点时，可先用参数表示出直线方程，再根据方程的特点去证明． (3)证明函数式为定值时，一般是写出其表达式，消去参数，从而证明为定值． [演练2]
如图，已知椭圆的两个焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为22，离心率为
2
2
，点P 是椭圆上一点，且在第一象限内，1PF ·
2PF ＝1，过点P 作关于直线PF 1对称的两条直线P A 、PB ，分别交椭圆于A 、B 两点．
(1)求点P 的坐标；
(2)求证：直线AB 的斜率为定值． 解：(1)设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
因为椭圆的短轴长为22，离心率为2
2
， 所以2b ＝22，c a ＝2
2，
解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 2
2
＝1.
所以F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则1PF ＝(－x 0，2－y 0)，2
PF ＝(－x 0，－2－y 0)，所以1PF ·2PF ＝x 20－(2－y 2
0)＝1.
又点P (x 0，y 0)在椭圆上，则x 20
2＋y 2
04
＝1，
所以
x 20＝4－y 2
2，从而4－y 202
－(2－y 20)＝1，
解得y 0＝2或y 0＝－2(舍去)， 则点P 的坐标为(1，2)．
(2)证明：由(1)知PF 1∥x 轴，所以直线P A 、PB 的斜率互为相反数．设直线PB 的斜率为k ，不妨令k >0，
则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y －2＝k (x －1)，x 22＋y 24＝1，
得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0.
设B (x B ，y B )，则x B ＝(2－k )2－42＋k 2＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2.
所以x A －x B ＝
42k 2＋k 2
， y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k
2＋k 2.
所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B
x A －x B
＝2为定值． [典例3]
已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2
2
的椭圆C 经过点(6，1)． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l 1、l 2分别与椭圆交于A ，B 和C ，D ，那么是否存在常数λ使得AB ＋CD ＝λ·AB ·CD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由离心率e ＝c a ＝2
2，c 2＝a 2－b 2，
可得a 2－b 2a 2＝1
2，从而a 2＝2b 2，
故椭圆C 的标准方程为x 22b 2＋y 2
b 2＝1，
将点(6，1)代入椭圆方程可得b 2＝4，
易知a 2
＝8，则椭圆C 的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)原问题等价于1AB ＋1
CD ＝λ(λ为常数)．
不妨取椭圆C 的右焦点(2,0)， ①当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，
将其代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2.
根据弦长公式易得
AB ＝1＋k 2
·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝1＋k 2
· ⎝⎛⎭⎫8k 2
1＋2k 22－4·8k 2－81＋2k 2＝42(1＋k 2)1＋2k 2
，
从而易知，CD ＝42(1＋k 2)2＋k 2
，
所以1AB ＋1CD ＝328，AB ＋CD ＝328
AB ·CD .
②当直线AB 斜率不存在或为0时，AB 、CD 中一个是长轴的长度，另一个是通径的长度．
易得AB ＋CD ＝328
AB ·CD .
综上所述，存在常数λ＝32
8
，使得AB ＋CD ＝λAB ·CD .
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题．本题(2)的解法中将等式巧妙变形，即把问题转化为弦长的计算问题，体现了化归思想的重要作用．
[演练3]
已知A 、B 为椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B
的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线l ：x ＝m (m >2)于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点．
(1)当PF ∥l 时，求点P 的坐标；
(2)是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆过点F ？若存在，求出实数m 的值；若不
存在，请说明理由．
解：(1)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1. 连结PF ，当PF ∥l 时，将x ＝1代入x 24＋y 2
3＝1，
得y ＝±3
2
，则P ⎝⎛⎭⎫1，±32. (2)设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，易得直线AM 的方程为y ＝y 0
x 0＋2(x ＋2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，x ＝m ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，(m ＋2)y 0x 0＋2.
直线BN 的方程为y ＝y 0
x 0－2(x －2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝y 0x 0－2(x －2)，x ＝m ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，(m －2)y 0x 0－2.
∵点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2
3
＝1上，
∴x 204＋y 203＝1，变形得y 20
x 20－4
＝－34， ∴k MF ·k NF ＝(m ＋2)y 0x 0＋2m －1·(m －2)y 0
x 0－2
m －1
＝(m 2－4)y 20
(m －1)2(x 2
0－4)＝m 2－4(m －1)2·⎝⎛⎭⎫－34＝－3(m 2－4)4(m －1)2
. 要使以MN 为直径的圆过点F ，即要满足MF ⊥NF ，则k MF ·k NF ＝－1，解得m ＝4. 所以存在m ＝4，使得以MN 为直径的圆过点F . [专题技法归纳] 1．定点定值问题的求解策略： (1)从一般的情形进行论证．
(2)运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立．
2．求解最值问题应注意：
(1)如果建立的函数是关于斜率k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；
(2)如果建立的函数是关于点的坐标x ，y 的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题．
跟踪监测
1.(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物
线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6.
答案：2 6
2．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别
是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为____________．
解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55
. 答案：
55
3.(2012·湖北高考)如图，双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点
为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则
(1)双曲线的离心率e ＝________；
(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值
S 1
S 2
＝________.
解析：(1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，则a 4－3a 2c 2＋c 4＝0， 即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝
3＋52，故e ＝1＋5
2. (2)设∠B 2F 1A 2＝θ，则sin θ＝
b b 2＋
c 2，cos θ＝c
b 2＋
c 2
，
S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc
4a 2
·bc b 2＋c 2
＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：(1)1＋52 (2)2＋5
2
4．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程，得y 2－433
y －4＝0，
解得y A ＝
433
＋ 163
＋162
＝23(y B ＜0，舍去)，
故△OAF 的面积为1
2×1×23＝ 3.
答案： 3
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中
点为M ，若2 MA ·
MF ＋2BF ≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________． 解析：由题意得A (－a,0)，B (0，b )，M ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 2，F (c,0)，则MA ＝⎝⎛⎭⎫－a 2
，－b
2，MF ＝⎝⎛⎭⎫c ＋a 2
，－b 2.
由2 MA ·
MF ＋2BF ≥0可得c 2＋2ac －2a 2≤0， 解得e ∈[－1－3，－1＋ 3 ]．
又e ∈(0,1)，所以椭圆离心率的取值范围为(0，3－1]． 答案：(0，3－1]
6．若三角形三边所在直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．
解析：由已知条件可得三角形的三个顶点是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形可知该三角形为钝角三角形．而能够覆盖钝角三角形的面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，半径为5
2，则所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝5
4
. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝54
7．(2011·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2
＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，
若1F A ＝52F B ，则点A 的坐标是________．
解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )，2F B ＝(c －2，d )．
∵1F A ＝52F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n
5
.
∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2
＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6252
3
＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A
坐标为(0，±1)．
答案：(0，±1)
8．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2
27＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，
AM 为∠F 1AF 2的平分线，则AF 2＝________.
解析：根据角平分线的性质，AF 2AF 1＝MF 2MF 1＝1
2.
又AF 1－AF 2＝6，故AF 2＝6. 答案：6
9．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．
解析：如图，过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，
C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABC
D 的中位线，所以MN ＝AD ＋BC 2.由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝
3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－1
4，所以线段AB 中点到y
轴的距离为32－14＝5
4
.
答案：54
10．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．
解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p
2，－p ， 所以AB ＝2p ＝12，所以p ＝6. 又点P 到AB 边的距离为p ＝6，
所以S △ABP ＝12
×12×6＝36. 答案：36
11．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24
＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24
＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32
，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24
＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2
. 将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4
＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2
. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2
， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，
因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24
＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2
. 由OB ＝2OA ，得
x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24
＝1中，得4＋k 2
1＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，
解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
12．给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a 2＋b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F (2，0)，且其短轴上的一个端点到F 的距离为 3.
(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直，并说明理由．
解：(1)由题意可知c ＝2，b 2＋c 2＝(3)2，
则a ＝3，b ＝1，
所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. 易知准圆半径为(3)2＋12＝2，
则准圆方程为x 2＋y 2＝4.
(2)①当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设l 1的斜率不存在，
因为l 1与椭圆只有一个公共点，
则其方程为x ＝±3，
当l 1的方程为x ＝3时，
此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)， 此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1或y ＝－1， 即l 2为y ＝1或y ＝－1，显然直线l 1，l 2垂直；
同理可证直线l 1的方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2也垂直．
②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，
其中x 20＋y 20＝4.
设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝tx ＋y 0－tx 0，x
2
3＋y 2＝1，消去y ，得
(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.
因为x 20＋y 20＝4，
所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0.
设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，
所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，
所以t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．
综合①②知，l1，l2垂直．。
