26.3实际问题与二次函数练习导学案

实际问题与二次函数(最大利润）1.求下列二次函数的最大值或最小值：⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x ( 0≤x≤4)（1）某一商品的进价是每个70元，以100元售出，则每个利润是多少？若一天售出50个，则获得的总利润是多少？（2）小王以每件120元的价格进回20件衣服，又以每件160元的价格全部卖出，问这次销售活动小王共盈利多少元？（3）提出问题：某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？探究一:某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析:调整价格包括涨价和降价两种情况设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润Y随之变化。

我们先来确定y随x变化的函数式。

涨价x元时，每星期少卖10x 件，销售量可表示为: 销售额可表示为:买进商品需付: 所获利润可表示为:∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元.思考：1 怎样确定x的取值范围？ 2 在降价的情况下，最大利润是多少？例2.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件。

请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？自我检测题1、某商场进价为40元的商品，按每件50元出售时，可卖出500件。

若商品每件涨价1元，则销售减少了10件。

为赚取更多的利润，该商品的价格应定为多少元？2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：280w x=-+．设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？3.某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

26.3实际问题与二次函数（探究3）学习目标: 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，二次函数的知识解决实际问题学习重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一重要模型．学习难点: 利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便． 学法指导：经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验．教学过程一、预学1、函数y=a x 2(a ≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是______，对称轴是______，当a______0时，开口向上，当a______O 时，开口向下．1、抛物线y=241x 的顶点坐标是______,对称轴是______,开口向______；抛物线y=-3x 2的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______．二、互学1、合作交流小乔家门前有一座抛物线形拱桥 如图所示当水面在L 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4m,水面下降1 m 时，水面宽度增加多少?①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表 示的二次函数．从而求出水面下降1 m 时，水面宽度增加多少(如图26-3-11所示)? ②由上图可设这条抛物线表示的二次函数为：③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为多少？怎么求横坐标？完成此题2、展示交流（1）、有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．①如图26-3-12所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：②设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米。

求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．‘（2）、已知二次函数图象经过点(2，-3)．对称轴为x=l，抛物线与x轴两交点距离为4．则这个二次函数的解析式为____________（3）、某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26-3-15所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）（）A、6.9米B、7.0米C、7.1米D、6.8米三、评学1、总结：本节探索了“抛物线”形拱桥水面宽、高等问题，了解到实际问题可借用函数思想方法来解决，学会“转化”思想．2、反思：用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么?(1)建立恰当的平面直角坐标系．注意体会．(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式。

九年级数学学科导学案主备人： 审核人 审批领导 授课时间 编号 2612课题26.3.3实际问题与二次函数——桥洞问题课型 自学互学展示课例2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m ，顶部C 离地面的高度为4.4m ，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m ，装货宽度为 2.4m 。

这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、试一试有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽度是 m ，水位上升4 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m 速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处．三、重点练习如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）学习目标 1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题．重点 体会二次函数中的建模思想 难点体会二次函数中的建模思想环节预设学习过程一、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ． 2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m 3．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m 二、立体引领例1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？课后 反思2 0.5 0.4单位：m 4634ＯＮ ＭＣ Ｄ ＡＢ x yCABO。

26.3.1实际问题与二次函数导学案(第1课时)一．课题导入（投篮机的游戏）二．教学目标，重点，难点学习目标：1、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

2、体会二次函数是一最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

三、思究（展）（一）复习旧知1 . 二次函数c=2的图象是一条，它的对称轴是，+bxy+ax顶点坐标是 . 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当 a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。

2,二次函数1=xy的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，函-(32-)4+数y有最值，是。

3.二次函数9x=xy的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，函数-822+y有最值，是。

（二）自主思考，合作探究问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？思考提示：已知条件：要求的问题：数量关系：要满足的条件:解：（三）归纳总结，知识构建用二次函数解决实际问题有那些步骤？有那些需要注意的问题？四、思做（展）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，求小敏在投球的过程中，球距小敏的头最高的时候球到地面的最高高度是多少？（小敏的手距离地面1.6m）五、课堂小结这节课你学到了什么？六、课堂反思。

实际问题与二次函数导学目标知识点：利用二次函数探索商品销售利润问题中的最大（小）值，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。

课 时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、求下列二次函数的最大值或最小值：（1）322-+-=x x y （2）x x y 42+=2、请写图中所示的二次函数图像的解析式：若33-≤≤x ，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。

又若03x ≤≤，该函数的最大值、最小值分别为（ ）（ ）。

3、知识回顾经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。

单价商品利润=商品定价－商品售价1△（价格变动量）=商品定价－商品售价2（或者直接等于商品调价）；销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格；商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率；总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－其他成本4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销售得知这种服装每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）可看成是一次函数关系：2043+-=x t 。

（1）写出商场卖这种服装每天销售利润y （元）与每件的销售价x （元）间的函数关系式；（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？二、课堂导学实验探究：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。

已知商品的进价为每件40元，如何家价才能使利润最大？[议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析:（调整价格包括涨价和降价两种情况）1、先来看涨价的情况：设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润y 随之变化。

九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（快乐预习+轻松尝试）导学案（1）新人教版学前温故(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条______；(2)对称轴是直线__________，顶点坐标为()，；(3)①当a＞0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．②当a＜0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．新课早知1．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，所以当x＝__________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值____________．2．二次函数y＝2(x－1)2＋3的最大值是( )．A．2 B．1 C．3 D．－13．利用二次函数求最大利润时，如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最______就是所求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清自变量的取值在对称轴______侧还是______侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内，函数表达式不同时，我们需要分段讨论，求出每种情况下的________，然后综合考虑．4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．答案：学前温故(1)抛物线(2)x＝－b2a －b2a4ac－b24a(3)上低下高新课早知1．－b2a 4ac－b24a2.C3．大值左右最大值4．70二次函数在利润方面的应用【例题】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x 之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)分析：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，每件的销售利润为(13.5－x－2.5)，所以y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)，整理得y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)．(2)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k时，能直接看出当x等于多少时，最值的大小．解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝－100x2＋600x＋5500(0≤x≤11)．(2)y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)，配方得y＝－100(x－3)2＋6 400，当x＝3时，y的最大值是6 400，即降价3元时，利润最大．所以销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．点拨：求二次函数的最值问题时，通常将二次函数解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k.1．已知二次函数y＝(x＋1)2＋(x－3)2，当y取最小值时，x的值是( )．A．－1 B．3 C．2 D．12．某青年企业家准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于当地建设．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间每间将支出各种费用20元/天(没住宿的不支出)．则房价每天定为( )元时，度假村的利润最大．A．110 B．105 C．115 D．1203．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数，则y与x之间的关系式是________，销售所获得的利润w(元)与价格x(元/件)的关系式是__________．4．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(其中0＜x≤11)．(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元．(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．5.司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间，之后汽车还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的关系是s＝t v＋k v2，其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k＝0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t＝0.7 s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11 m/s，则该汽车的刹车距离为________ m．(精确到0.1 m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17 m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46 m．假如该志愿者当初是以11 m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1 m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11 m/s至17 m/s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40 m至50 m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01 s)答案：1．D 将y＝(x＋1)2＋(x－3)2化简为y＝2x2－4x＋10＝2(x－1)2＋8，因此当x ＝1时，y取最小值．2．C 设有x个房间空闲，则住宿了(30－x)个房间．每天的房价为(60＋5x)元，于是度假村的利润y＝(30－x)(60＋5x)－20(30－x)，其中0≤x≤30，则y＝(30－x)×5×(8＋x)＝5(240＋22x－x2)＝－5(x－11)2＋1 805.因此当x＝11时，y取得最大值1 805元，即每天房价定为115元/间时，度假村的利润最大，故应选C.3．y＝－30x＋960w＝(x－16)(－30x＋960)4．解：(1)①10＋7x②12＋6x(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x≤11，∴w有最大值．∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．5．解：(1)17.38(2)饮酒后，当v＝17时，s＝46，代入s＝tv＋0.08v2，得t≈1.35(s)．若饮酒时的车速为11 m/s，则刹车距离s＝1.35×11＋0.08×112＝24.53(m)．而未饮酒时的刹车距离为17.38 m，所以增加24.53－17.38≈7.2(m)．(3)由题意知，17t＋0.08×172＜40，解得t＜0.99.所以反应时间应不超过0.99秒．。

22.3 实际问题与二次函数（1）导学案一、学习目标1、会建立二次函数模型解决实际问题（主要利用抛物线的最大值或最小值）；2、能分析实际问题中的数量关系，利用二次函数选择最佳方案，会做二次函数的综合题；二、自主学习1、阅读教材 49页“问题”。

小球高度h 与小球运动时间t 的关系式是_______________。

注意自变量t 的取值范围是____________。

这样，题目的问题就转化为讨论“二次函数的最大值问题”。

观察教材图22.3-1可看出：抛物线的顶点是函数的图象的最高点，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有 值。

即：当t=_________2b a-==时，h 有最大值________442==-ab ac 。

也就是说，当t 是_____m 时，小球高度h 最大值为___________ 2、一般地，因为抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当a b x 2-=时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值a b ac 442- 。

3、教材 “探究1”学习：矩形的一边长是l ，根据题意60m 是矩形的周长，那么矩形的另一边长就表示成________；而矩形面积S 就可写出来：S=__________，整理后是S=__________；注意自变量l 的取值范围是____________。

当l =_________2b a -==时，S 有最大值________442==-ab ac 。

也就是说，当l 是15m 时，场地的面积S 最大(S=225m 2)(请思考：此时的矩形是什么特殊矩形？)4、小结：充分挖掘实际生活问题中变量与变量之间的变化关系，利用相关的代数与几何知识，建立二次函数的数学模型，再通过二次函数的图象与性质进行最值确定和方案设计，可以解决大量的二次函数应用题。

（读两遍）一、 合作探究1、一直角三角形的两直角边之和是20cm ，求它的最大面积。

2、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出120个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获取最大利润，应降价多少元？3.某广告公司设计一幅周长12m 的矩形广告牌，广告设计费是每平方米1000元；设矩形一边长为x(m)，面积为S(m 2) （1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设4.某商店经销成本为每千克40元的水产品，据市场分析：若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

实际问题与二次函数—知识讲解(复习)【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 【思路点拨】(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；(2)利用配方法求售价及最大销售利润.举一反三：2 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）类型二、利用二次函数求图形面积问题123．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160 m ，问分隔墙在地面上的长度x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?【思路点拨】利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x 的函数关系式，写成顶点式即可求出面积的最大值．举一反三：4.如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。

教材通过引入实际问题，让学生了解二次函数在现实生活中的应用，培养学生的应用意识。

教材内容由浅入深，先介绍了一元二次方程的解法，再引入二次函数的图像和性质，最后运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的理论知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但将二次函数应用于实际问题，可能对学生来说较为抽象。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，将二次函数知识应用于实际问题。

同时，运用案例分析法、讨论法等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生思考和讨论。

2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数图像和性质。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣。

例如：抛物线在实际生活中有哪些应用？让学生思考和讨论，引导学生进入本节课的学习。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示二次函数的图像和性质，让学生直观地了解二次函数。

同时，教师简要回顾二次函数的一般形式和性质，为解决实际问题打下基础。

3.操练（10分钟）教师提出一个实际问题，让学生尝试运用二次函数解决。

例如：一个抛物线形的长椅，其长度为10米，宽度为4米，求长椅上任意一点到端点的距离。

学生分组讨论，尝试找出解决问题的关键。

《实际问题与二次函数》第一课时导学案《实际问题与二次函数》第一课时导学案学习目标1.通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

2.能用配方法或公式法求二次函数的最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。

一、课前复习26.3实际问题与二次函数（第1课时）学案1、二次函数解析式的顶点式，它的对称轴是，顶点坐标是.二次函数的对称轴是,顶点坐标是，当x=时，y的最值是.2.二次函数的一般式是它的图像的对称轴是，顶点坐标是.当a>0时，开口向，有最点，函数有最值，是.当a3二次函数m的对称轴是,顶点坐标是，当x=时，y的最值是。

.二、活动一：利用二次函数求图形面积的最值问题阅读课本26.3实际问题与二次函数（第1课时）学案(问题---探究一前）完成下列问题1.在问题中，矩形的周长为m,若一边长为l，则另一边长为2.矩形的面积公式=所以在这里s=,即s=。

3.根据函数图象可知，这个函数图象是的一部分，这条开口向，有最值，即当l=时，s有最大值归纳：1.一般的，因为抛物线26.3实际问题与二次函数（第1课时）学案的顶点是最点，所以当X=时，二次函数26.3实际问题与二次函数（第1课时）学案有最值。

2.在日常生活中，经常遇到求某种图形的面积最大等问题，这类问题可以利用二次函数图象和性质进行解决，也就是把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题。

3.解决这类问题时要注意自变量的取值范围，保证自变量和函数具有实际意义。

4.遇到图形面积问题往往要联系二次函数顶点坐标。

跟踪训练：已知矩形周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y（1）求出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）当x取何值时，矩形面积最大？并求出最大值。

活动二：利用二次函数求最大利润的问题知识准备关于销售问题的一些等量关系：单件商品利润=—。

总利润=×或总利润=—。

（以下问题只列式不计算）某商品进价为40元，售价为60元，卖出300件，则利润为元①若售价上涨x元，则利润为元；②若售价下降x元，则利润为元；③若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格上涨x元，则销售量为件，利润为元④若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格下降x元，则销售量为件，利润为元；自主探究问题1：某商品现在的售价为每件60元，，每星期可卖出300件。

26.3 实际问题与二次函数第2课时实际问题与二次函数(2)学前温故抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点时，a＞0，当____________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值________；抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最高点时，a＜0，当________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值________．新课早知1．用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为______问题再建立__________求解，解要符合实际题意，要注意数与形的结合．2．对面积最值问题应该设图形的一边长为自变量，所求面积为________，建立二次函数的模型；再利用________有关知识求得最值，要注意函数自变量的__________．几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中__________、用料的________，以及动态几何中的____________．3．一个长方形的长是x cm，宽是(10－x) cm，当x＝__________时，长方形的面积最大．4．用40 m长的绳网围成一个长方形区域养鸡，设长方形的长为x m，当x＝__________m 时，这个长方形区域的面积最大，是__________m2.答案：学前温故x＝－b2a 4ac－b24ax＝－b2a4ac－b24a新课早知1．数学函数模型2．因变量二次函数取值范围面积的最值最佳方案最值的讨论3．5 cm 设面积为y cm2，根据题意，得y＝x(10－x)，即y＝－(x－5)2＋25.故当x＝5时，面积最大．4．10 100 设面积是y m2，根据题意，得y＝x(20－x)，即y＝－(x－10)2＋100.故当x＝10时，面积最大，最大面积是100 m2.二次函数在几何方面的应用【例题】如图①，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m,120 m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m，2x m.图①(1)用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的11125时，横、纵通道的宽分别是多少？(2)如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3 168x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．(以下数据可供参考：852＝7 225,862＝7 396,872＝7 569)分析：通过观察图①，可将图①通过平移转化为如图②所示，则绿化部分的长为(200－4x) m，宽为(120－3x) m；转化为如图③所示，则三条通道的总面积等于纵、横小路的面积和减去公共部分的面积．解法一：(1)如图②所示，通道的总面积S ＝120×200－(200－4x )(120－3x )＝－12x 2＋1 080x .由S ＝11125×200×120，得x 2－90x ＋176＝0，解得x ＝2或x ＝88.又x ＞0,4x ＜200,3x ＜120，解得0＜x ＜40， 所以x ＝2，得横、纵通道的宽分别是6 m,4 m. (2)设花坛总造价为y 元．则y ＝3 168x ＋(200×120－S)×3＝3 168x ＋(24 000＋12x 2－1 080x )×3＝36x 2－72x ＋72 000＝36(x －1)2＋71 964， 当x ＝1，即纵、横通道的宽分别为3 m,2 m 时，花坛总造价最低，最低总造价为71 964元．解法二：(1)如图③所示，通道的总面积S ＝3x ·200＋2x ·120×2－3x ×4x ＝－12x 2＋1 080x .以下同解法一． 点拨：解这类题的关键是将不规则图形转化为规则图形，同时整体代换的思想方法在解题中起到了化难为易的作用．求解实际问题的最值问题时，需建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解．1．一个菱形的对角线之和为10 cm ，其最大面积为( )．A ．24 cm 2B ．25 cm 2C ．12.5 cm 2D ．12 cm 22．如图，点P 的坐标是(1，－3)，则此抛物线对应的二次函数有( )．A ．最大值1B ．最小值－3C ．最大值－3D ．最小值13．y ＝2x 2＋4x ＋5有最__________值，是__________；y ＝－x 2＋3x 有最__________值，是__________．4．有一块长方形的铁片，把它的四个角各自剪去一个边长是4 cm 的小方块，然后把四边折起来做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，则盒子的容积y (cm 3)与铁片宽x (cm)的函数关系式为__________．5．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是多少？答案：1．C 设菱形的一条对角线的长的一半为x ，由题意，得S ＝12x ·10－2x2×4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋252. 2．B 抛物线开口向上，有最小值．3．小 3 大 94利用配方法或公式法求最值．(1)y ＝2x 2＋4x ＋5＝2(x ＋1)2＋3，最小值是3；(2)y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，最大值是94.4．y ＝8x 2－96x ＋2565．解：设一段铁丝的长度为x cm ，两正方形的面积之和为y cm 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20－x 42， 整理，得y ＝18x 2－52x ＋502，所以y 最小＝4×18×502－⎝ ⎛⎭⎪⎫5224×18＝252， 即面积之和的最小值是252cm 2.。

初四数学26.3实际问题与二次函数（利润最大问题）学习目标：1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。

2、会运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

前置作业（A层）1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当x= 时，y有最 _____值是。

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当 a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。

当函数取得最值时，自变量x=_______________3.商品的总利润=________________________一、自主探究（１、已知卖出一件商品的利润为１０元，则卖出５０件的利润为多少元？２、在一星期内某商店的销售额为２５０００元，其中共支出２００００元，则在这一星期内共获利多少元？3.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

要想每周获得6000元的利润，该商品定价应为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为若设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为，每周的销售量可表示为，一周的利润可表示为，要想获得6000元利润可列方程。

若设商品定价为x元那么每件商品的利润可表示为，每周的销售量可表示为，一周的利润可表示为，要想获得6000元利润可列方程。

二．合作交流问题1.已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？问题2.已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。

如何定价才能使利润最大？问题3.已知某商品的进价为每件40元。

第1课时实际问题与二次函数〔1〕一、新课导入1.导入课题:问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h〔单位：m〕与小球的运动时间t〔单位：s〕之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？本节课我们学习利用二次函数解决几何问题.2.学习目标:〔1〕能建立二次函数模型解决与几何图形相关的实际问题.〔2〕会用二次函数的图象和性质解决实际问题.3.学习重、难点:重点：用二次函数解析式表示几何图形中的数量关系，能求最大值或最小值.难点：建立二次函数模型.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第49页“问题〞.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学方法：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：①求h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象的顶点坐标.h=-5〔t-3〕2+45,其顶点为〔3，45〕.②由a= -5 可得，图象的开口向下 .③结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图.④根据图象可得，当t=3时，h有最大值45.⑤利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：明了学生是否会求实际问题中的最值.②差异指导：根据学情分类指导.〔2〕生助生：同桌间相互交流、改正.4.强化：依据实际问题中的数量关系，构造数学模型，利用二次函数求最值.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第49页至第50页的“探究1〞.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学方法：完成下面的探究提纲.〔4〕探究提纲：①矩形场地的周长是60m，一边长是l m，那么另一边长是〔30-l〕m，场地面积S=l(30-l)m2.②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：，ll>⎧⎨->⎩300.解不等式组得l的范围是0<l<30.③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口向下，对称轴是直线l=15，顶点坐标是(15,225〕，与横轴的交点坐标是〔0，0〕，〔30，0〕，与纵轴的交点坐标是〔0，0〕.④根据l的取值范围及③画出函数图象的草图，由图象知：点(15,225)是图象的最高点，即当l=15时，S有最大〔选填“大〞或“小〞〕值.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：实际问题中二次函数图象草图的画法.②差异指导：根据学情指导学生画图象草图和识图.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：〔1〕利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：第一，根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；第二，确定自变量的取值范围；第三，根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；第四，根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.〔2〕练习：如图是一块长80m、宽60m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直、宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.解：由题意可得y=〔80-x 〕〔60-x 〕＝x 2-140x +4800,且x ,x ,≤≤⎧⎨≤≤⎩060080 ∴0≤x ≤60.三、评价1. 学生的自我评价〔围绕三维目标〕：在这节课的学习中你有何收获？还有什么疑惑？2. 教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：点评学生学习中的积极性、学习方法、学习效果等.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本课时重点在于利用二次函数解决图形的最大面积问题，教学过程中注重引导学生通过分析实际问题构造数学几何模型.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔60分〕1.〔30分〕如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC+BD=10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？解：设AC ＝x ，四边形ABCD 面积为y ，那么BD ＝10-x . ∴()()y x x x =-=--+21125105222. ∴当x ＝5时，y 有最大值252. 即当AC 、BD 的长均为5时，四边形ABCD 的面积最大.2.〔30分〕用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园〔如以下列图〕,墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解：设矩形的长为x m ，面积为ym 2，那么矩形的宽为x ⎛⎫- ⎪⎝⎭152m. ∴＝x y x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭21151522.又＞x x <≤⎧⎨-⎩2018150，∴0<x ≤18.∴当x =15时，y 有最大值2252. 即当矩形的长为15m 、宽为152m 时，菜园的面积最大，为2252m 2. 二、综合应用〔20分〕3．〔20分〕如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形，当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？解：令AB 长为1，设DH ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，那么DG ＝1-x .∴ ()y x x =-⨯-211412 ()x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭21120122. 当x =12时，y 有最小值12. 即当E 位于AB 中点时，正方形EFGH 面积最小.三、拓展延伸〔20分〕4.〔20分〕矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？解：设矩形的长为x cm,圆柱的侧面积为ycm 2，那么矩形的宽为〔18-x 〕cm,绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.有y=2πx 〔18-x 〕＝-2π〔x -9〕2+162π〔0＜x ＜18〕.当x =9时，y 有最大值为162π.即当矩形的长、宽各为9cm 时，圆柱的侧面积最大.第2课时教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 重点难点1．重点：〔1〕多边形的内角和公式．〔2〕多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n 边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，那么n边形的内角和等于〔n一2〕·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理〞来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：〔以五边形为例〕分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，那么得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝〔5—2〕×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=〔n一2〕×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，那么可以〔5－1〕个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为〔5—1〕×180°一180°＝〔5—2〕×180°用同样的方法，也可以把n边形分成〔n一1〕个三角形，把不是n边形内角的∠AOB 舍去，即可得n边形的内角和为〔n一2〕×180°．三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：此题要求∠B与∠D的关系，由于∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。

26.3 实际问题与二次函数主备：李江华 审核：叶天明 柯琼英 时间：2010年12月____日一、学习目标：1．知识目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题 2．能力目标：在运用中体会二次函数的实际意义 二、重难点：1．重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题2．难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题 三、前置学习1．导学过程：阅读教材P22——P25。

2．在完成．．上一步的基础上．．．．．．．完成下面的填空。

3．二次函数c bx ax y ++=2在2=x 和4=x 处函数值相同，那么这个函数的对称轴是___________ 4．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（_______,__________）5．一般地：如果抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；如果抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最高点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。

6．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是35321212++-=x x y ， 问此运动员把铅球推出多远？四、展示交流1．用总长为40m 的栅栏围成矩形草坪，当矩形的长和宽为多少时，草坪的面积最大？最大面积为多少? 2．【变式一】为改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym ². (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？m3．【变式二】为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图4）.若设绿化带的CD 边长为xm ，绿化带的面积为ym ². (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？4．【变式三】用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？五、自学评价 1．【变式四】某农场主计划建一个养鸡场，为节约材料，鸡场一边靠着一堵墙(墙足够长)，另三边用40米竹篱笆围成，现有两种方案无法定夺： ①围成一个矩形；②围成一个半圆形.设矩形的面积为 S 1平方米，半圆形的面积为 S 2 平方米 ，半径为r 米。

26.3 实际问题与二次函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握求实际问题中抛物线的解析式的方法；2、掌握求二次函数最值的方法；3、掌握利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；【重点难点】1、求实际问题中抛物线的解析式的方法；2、求二次函数最值的方法；3、利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；知识概览图利用二次函数的知识解决生活中的实际问题，应注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，如物体运动规律问题、销售问题、利润问题、几何变化问题等，先将问题抽象成二次函数模型，再利用二次函数的知识解决这些实际问题．新课导引如右图所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图，位于地面O处正上方53km的A处的直升机向目标C发射防空导弹，已知点C距离地面2.25 km，与点O的水平距离为7 km，当导弹运行到距地面的最大高度3 km时，相应的水平距离为4 km(即图中的点D)，如果导弹的运行轨迹为抛物线，那么按此轨迹运行的导弹能否击中目标C?请说明理由．【问题探究】解决此问题的关键是如何将日常生活中的实际问题转化为数学问题，如何建立数学模型，并且将所得到的解代回到实际问题中，验证是否具有实际意义．教材精华知识点1求实际问题中抛物线的解析式有关函数的应用题主要考查应用数学知识分析和解决实际问题的能力，应用题所涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，但涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生产、生活等方方面面，且文字冗长，有时很难抓住要领，所以要运用函数知识来观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学问题并建立数学模型，列出函数关系式是解决问题的关键．拓展解决与抛物线有关的实际问题的一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系．(2)将已知条件转化为点的坐标．(3)合理地设出所求函数的解析式．(4)代入已知条件或点的坐标，求出解析式．(5)利用解析式来解决问题．知识点2 求二次函数最值的方法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当自变量为全体实数时，求最大(小)值的常用方法有三种：(1)配方法：y =ax 2＋bx ＋c =a (x 2＋b a x )＋c =a (x 2＋b a x ＋224b a )－a ·224b a ＋c =a (x ＋2b a )2＋244ac b a-． 若a ＞0，则当x ＝2b a-时，y 最小值＝244ac b a -； 若a ＜0，则当x ＝2b a-时，y 最大值＝244ac b a -． (2)公式法：直接利用上述关系式经过配方得到的结论．(3)判别式法：在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，把y 看作是已知数，得到关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋(c －y )＝0，若x 是任意实数，则有Δ＝b 2－4a(c －y )≥0，∴4ay ≥4ac －b 2．当a ＞0时，y ≥244ac b a -，即y 最小值＝244ac b a-； 当a ＜0时，y ≤244ac b a -，即y 最大值＝244ac b a-. 若需求出x 的值，只需将y ＝244ac b a-代入方程ax 2＋bx ＋(c －y )＝0中，即可求出x 的值．拓展 上述三种方法中，前两种是最常用的方法，应正确地选择适当的方法求二次函数的最值．知识点3利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值二次函数就是反映客观世界中变量间的关系和变化规律的一种常见的数学模型，利用二次函数解决实际问题，首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，然后求出函数的解析式，再通过解析式和图象来解决实际问题．通过前面的学习，我们已经体会到二次函数是一类最优化问题的数学模型，运用它来解决实际问题必须具备两个条件：其一，会从实际问题中建立数学模型；其二，会根据函数的图象及其性质求出最大(或最小)值．拓展 (1)本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中函数的变量之间的关系．(2)当抛物线中出现直角三角形时，有时需要分类讨论，当没有指明哪个角是直角时，要分三种情况来讨论，即每个顶角都有可能是直角．(3)数形结合思想在本节中得到了广泛的应用．课堂检测基础知识应用题1、求下列二次函数的最值．(1)y ＝－x 2＋2x －1； (2)y ＝3x 2－6x ＋1；(3)y ＝2x 2＋3； (4)y ＝－x 2＋6x ＋8．2、当一枚火箭竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)之间的关系可以用关系式h ＝－5t 2＋150t ＋10来表示，经过多长时间火箭能够到达最高点?最高点的高度是多少?综合应用题3、有一种葡萄，从树上摘下以后不保鲜，最多只能存放一周，如果放在冷藏室里保鲜，则可以延长存放时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期间的个体重量基本保持不变，现有一个体户，按市场价格购进了200千克这种葡萄，并放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克葡萄的价格每天可上涨0.2元，但是存放一天需付各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．(1)设x天后每千克葡萄的市场价为p元，写出p与x之间的函数关系式；(2)若存放x天后将葡萄一次性出售，设葡萄的销售总金额为y元，写出y与x之间的函数关系式；(3)该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润ω?最大利润ω是多少?(本题不要求写出自变量x的取值范围)探索创新题4、(1)如图所示，求抛物线的解析式及抛物线顶点M的坐标；(2)若点N为线段BM上一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时(点N不与点B、点M重合)，设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．体验中考张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图26－73所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米，矩形ABCD 的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当x为何值时，S有最大值?并求出最大值．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析求二次函数的最值，即求抛物线顶点的纵坐标．当a＞0时，二次函数有最小值；当a＜0时，二次函数有最大值．解：(1)∵a＝－1＜0，∴二次函数有最大值．∵y＝－x2＋2x－1＝－(x2－2x＋1)＝－(x－1)2，∴当x＝1时，y取最大值，即y最大值＝0．(2)∵a＝3＞0，∴二次函数有最小值．又∵y＝3x2－6x＋1＝3(x2－2x＋1)－3＋1=3(x－1)2－2，∴当x=1时，y取最小值，即y最小值＝－2．(3)∵a＝2＞0，∴二次函数有最小值．∴当x＝0时，y取最小值，即y最小值＝3．(4)∵a＝－1＜0，∴二次函数有最大值．又∵y＝－x2＋6x＋8＝－(x2－6x＋9－9)＋8＝－(x－3)2＋17，∴当x＝3时，y取最大值，即y最大值＝17．【解题策略】对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号决定了函数有最大值还是最小值．当自变量的范围取全体实数时，最大值或最小值就是抛物线顶点的纵坐标．2、分析求火箭到达的最高点及到达最高点所需要的时间，即是求抛物线的顶点坐标，因此解决本题的关键是求出抛物线的顶点坐标．解：由h＝－5t2＋150t＋10，得h＝－5(t－15)2＋1135，∴当t＝15 s时，h有最大值，且h最大值＝1135 m．答：经过15 s火箭能够到达最高点，最高点的高度是1135 m．【解题策略】此题中当函数取得最大值时，自变量的取值符合自变量的取值范围，若不符合，还应考虑在自变量的取值范围内的函数的最值情况．3、解：(1)p＝2＋0.2x.(2)y＝(2＋0.2x)(200－x)＝－0.2x2＋38x＋400．(3)ω＝y－20x－2×200＝－0.22＋38x＋400－20x－400＝－0.2x2＋18x，当x=182-⨯（-0.2）=45时，ω最大=240184⨯⨯-⨯（-0.2）（-0.2）=405(元)．即存放45天后出售，可获得最大利润405元．【解题策略】此类问题主要是根据题意列出函数关系式，再利用求二次函数的最值问题来解决．4、分析△PAC为直角三角形应分三种情况来讨论，即∠PAC＝90°，∠APC＝90°，∠ACP＝90°．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把点(0，－2)代入解析式，得－2＝a×1×(－2)，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2，其顶点M坐标是19,24⎛⎫-⎪⎝⎭．(2)设线段BM所在直线的解析式为y＝k x＋b，点N的坐标为N(t，h)，∴02,91,42k bk b=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得3,23,kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴线段BM所在直线的解析式为y＝32x－3，∴h=32t－3，其中32＜t＜2，∴S=12×l×2＋122232t t⎛⎫+-⎪⎝⎭=2351,42t t-++∴S与t之间的函数关系式是S＝－34t2＋52t＋1，自变量t的取值范围是12＜t＜2(3)存在符合条件的点P，且坐标是P157,24⎛⎫⎪⎝⎭，P235,24⎛⎫-⎪⎝⎭．理由如下：设点P的坐标为(m，n)，则n＝m2－m－2．PA2＝(m＋1)2＋n2，PC2＝m2＋(n＋2)2，AC2＝5．下面分三种情况进行讨论：①若∠PAC＝90°，则PC2＝PA2＋AC2，∴222222,(2)(1)5, n m mm n m n⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩解得m1＝52，m2＝－l（舍去），∴点P157,24⎛⎫⎪⎝⎭．②若∠PCA＝90°，则PA2＝PC2＋AC2，∴222222,(1)(2)5,n m m m n m n ⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩ 解得m 3＝32，m 4＝0(舍去)，∴点P 235,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． ③观察图象可知，当点P 在对称轴的右侧时，PA ＞AC ，所以边AC 的对角∠APC不可能是直角．综上所述，符合条件的点P 有两个，分别为P 157,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 235,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解题策略】 当已知一个三角形是直角三角形，但又没有指明哪个角是直角时，要分三种情况进行讨论，即每个角都有可能是直角．体验中考解：(1)由题意得S ＝AB ·BC ＝x (32－2x )，∴S ＝－2x 2＋32x ．(2)∵a =－2＜0，∴S 有最大值．∴当x =2b a-=322(2)-⨯-=8时， S 最大值=2243244(2)ac b a --=⨯-=128． ∴当x ＝8时，S 有最大值，是128．。

数学九年级上册《实际问题与二次函数（3）》导学案—建立适当坐标系解决实际问题设计人：审核人：【学习目标】1、能从实际问题中分析，找出变量间的二次函数关系，并能利用二次函数的图像和性质求出实际问题的答案。

2、通过探索“拱桥型问题”的解决过程，体会建立适当坐标系是解决实际问题的关键，并获得解决问题的经验。

【学习重点】依据题意，建立适当坐标系解决问题。

【学习难点】如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。

【学习方法】通过自学初步理解如何建立适当坐标系解决实际生活中的“拱桥型问题”、“投掷问题”、“喷水问题”等问题，在做练习过程发现自己建立坐标系的不足时要及时与同伴交流，共同提高，通过练习强化理解。

自学阅读课本51页探究3，回答下列问题。

1、课本中是如何建立坐标系的？2、依据所建坐标系，怎样设函数关系式？3、由题中哪句话可知抛物线过点（2，-2）？那么它一定经过点（2,2）吗？4、已知抛物线上点的纵坐标，如何求点的横坐标？5、数轴上两点之间的距离怎样求？6、依据课本方法建立坐标系，完整写出解题过程。

（画图）你还有其它建立坐标系的方法解决此问题吗？要求：1、画图，写出解题过程。

2、独立思考，拿出方案，小组讨论、比较选择简便方法黑板展示。

（提示：利用两根式或者顶点式设二次函数关系式）1、以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。

2、以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系。

自学中我的困惑：研学1、两人对学把有疑惑的问题记下来带到小组内解决。

2、小组群学：由小组长负责，先确定要讨论的问题，再确立讨论顺序和规则，并安排记录讨论成果和疑问。

3、全班互动：由大组长主持，进行组间质疑，解决各小组的疑问。

4,组内预演，组长合理分工。

示学1、口头回答自学中的1-5题。

独立完成自学6，组内互阅，找出标准答案。

2、各小组黑板展示研学内容。