1.2.4正弦、余弦定理复习
学习目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理的应用。 2熟练掌握并正确应用正弦余弦定理 学习重点：
熟练掌握并正确应用正弦余弦定理
学习难点：熟练掌握并正确应用正弦余弦定理
课堂过程：
一、复习引入：
1．正弦定理：R C c
B b A a
2sin sin sin ===
2、三角形面积公式：
C
ab B ca A bc S ABC sin 21
sin 21
sin 21===∆
3、正弦定理的变形：
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
R c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===
c b a C B A ::sin :sin :sin =
4余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22
-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
2
2-+=
C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+=
在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题
时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
ABC ∆ ;
π=++C B A C
B A
C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sin C
B A C
B
A =+=+
的形状。
断、根据所给的条件，判例ABC ∆1A b B a cos cos 1=）（B b A a cos cos 2=）（
解：）（1A b B a cos cos = )2()2(222222bc
a c
b b a
c b c a a -+⋅=-+⋅∴222222a c b b c a -+=-+∴2
222b a =∴b a =∴为等腰三角形。ABC ∆∴
得
法二：由A b B a cos cos =A
B R B A R cos sin 2cos sin 2=0cos sin cos sin =-∴A B B A 0
sin =-）（即B A B
A =∴ 解：）（2
B b A a cos cos = )2()2(2
22222ac b c a b bc a c b a -+⋅=-+⋅∴0
422422=+--∴b c b a c a 0
))((22222=---∴b a c b a 022222=--=∴b a c b a 或角形。为等腰三角形或直角三ABC ∆∴2
22b a c b a +==∴或
得
法二：由B b A a cos cos =B
B R A A R cos sin 2cos sin 2=B
A 2sin 2sin =∴B
A B A 2222-==∴π或2π
=+=B A B A 或即
=2的形状。，判断中已知例2：在ABC C b a ABC ∆∆cos
C b B A b a cos 2sin sin ==法一：由正弦定理得：
b
a a
b
c b a C 22cos 222=-+=法二：由余弦定理得：为等腰三角形ABC ∆∴
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已
知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可
以结合两者运用。
例3 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比，试证明：△ABC 为正三角形。
证明：∵a 、b 、c 成等比，∴b 2=ac
∵A 、B 、C 成等差，∴2B=A+C ，
又由余弦定理得：
60cos 2cos 222222ac c a B ac c a b -+=-+=,22ac c a ac -+=∴0)(2=-c a 即，∴a=c
又∵B=60o ，∴△ABC 是正三角形。
ac
c a -+=22又A+B+C=180o ，∴B=60o ，A+C=120o
例C
B A B A ，求角）（满足、的两根，角03sin 2=-+的面积。的长度及的度数，边AB
C c ∆0
2322=+-x x b a 是方程、4 锐角三角形中，边 解：2
3sin 03sin 2=
+∴=-+）（，）（B A B A 为锐角三角形ABC ∆ o B A 120=+∴o
C 60=∴的两根
是方程、边02322=+-x x b a 232==+∴ab b a ，C
ab b a c cos 2222-+=∴ab b a 32-+=）（6612=-=2323221sin 21=⨯⨯==∴∆C ab S ABC 6=∴c
三、课堂练习：
假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为195米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为140米，求货物开始下滑时BC 的长
解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mg
θμμcos mg N f ==
当θθμsin cos mg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑
当θμ
tan =
时， θtan 3.0=， '42163.0arctan ==θ
∠BAC='0223'206'4216
=+
在△ABC 中:
