【精品】2018学年广东省深圳高级中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

深圳市高级中学2017－2018学年第一学期期中考试高二文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则)(B C A ⋃⋂= A ．{}1B ．{}2C ．{}4D ．{}1,22．已知向量()1,1λ=+m ，()2,2λ=+n ，若()()+⊥-m n m n ，则λ= A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-3．已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤4．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩．若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是 A ．()(),21,-∞-+∞ B ．()1,1-C ．()2,1-D ．()1,2-5．为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象 A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度6．已知，过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．2B ．1C ．12-D ．127．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．2233125100x y -= B ．2233110025x y -= C ．221520x y -= D ．221205x y -=8．若()42f x ax bx c =++满足()12f '=，则()1f '-=A ．1-B ．2-C ．2D ．09．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 A．B ．12-C ．12D10．设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分不．．．必要．．的条件是 A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．0m ≠C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭11．若正数,x y 满足315x y+=，则34x y +的最小值为 A ．245B ．285C ．5D ．612．椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =M 的离心率e 的取值范围是A ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12⎡⎢⎣⎦C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤　x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。

广东深圳第二高级中学2018-2019学度高二上学期年中考试数学文试题高 二 〔文科〕数 学 试 题石文静第一卷【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.假设数列}{n a 的通项公式为)2(+=n n a n ，那么下面哪个数是那个数列的一项A.18B.20C.24D.302.以下关系式中，正确的选项是 A.22b a b a >⇒> B.ba b a 110<⇒>>C.22bc ac b a >⇒>D.c b c a b a -<-⇒>3.数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+〔N n +∈〕,那么4a 的值为 A.4B.8C.15D.314.在等差数列{}na中，假设686=+a a ，那么数列{}n a 的前13项之和为A.239B.39C.2117D.785.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且C c B b A a sin sin sin =+，那么ABC ∆的形状是A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且45,60,1,B C c ===那么最短边的边长等于127.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么n S 等于A 、122n +-B 、3nC 、31n -D 、2n8.不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，那么不等式250bx x a -+>的解是A.3-<x 或2->xB.21-<x 或31->xC.3121-<<-x D.23-<<-x9、数列{}na满足1a ，12a a -，23a a -，…，1--n n a a 是首项为1，公比为2的等比数列，那么=na A.12-n B.121--n C.12+n D.14-n 10、以下关于数列的说法： ①假设数列{}n a 是等差数列，且p q r +=〔,,p q r 为正整数〕那么p q r a a a +=； ②假设数列{}n a 前n 项和2)1(+=n Sn，那么{}n a 是等差数列；③假设数列{}{}n n n n a a a a 则满足,21=+是公比为2的等比数列；④假设数列{}na满足{}n n n a a S 则,12-=是首项为1，公比为2等比数列.其中正确的个数．．为 A 、1B 、2C 、3D 、4第二卷非选择题【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分、 11.二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥++000834y x y x 表示的平面区域的面积是.12.实数()b a b a <,的等差中项是23，正等比中项是2，那么=a ，=b .13、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列,2b =,那么=Aa sin .14.函数mx m mx x f +-+=)12(2012)(2的定义域是R ，那么实数m 的取值范围是.【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分。

高级中学2018-2019学年第二学期期中测试高二文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．xy e－＝ B ．3y x ＝ C ． y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。

以上推理中 （ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为（ ） A ．25-B ．25i -C ．25D ．25i 5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l , 过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠ =( )A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是( )A. (－C ． (0,1)D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.125 B. C. 510.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ．78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则(2015)f = ( )A ．2-B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q关于直线2sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 。

深圳中学2017-2018学年第一学期期中试题 年级：高二（理科） 科目：数学（标准、实验、荣誉）考试时长：90分钟 卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试卷上无效，选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦擦干净，解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超过答题框． 一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3C =，2a =，1b =，则c 等于（ ） ABCD ．12．下列结论正确的是（ ） A ．若ab bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <Da b >3．在ABC △中，若sin 2cos sin C A B =⋅，则此三角形必为（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．275．数列{}n a 满足112 , 0212 1 , 12n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，若135a =，则2015a =（ ）A ．15B ．25 C ．35D ．456．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22co s s i n s i n s i n B A C B =，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 成等比数列D ．2a ，2b ，2c 成等差数列7．已知函数()121f x x x =+--，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．2 , 23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1 , 23⎛⎫⎪⎝⎭C ．2 , 33⎛⎫⎪⎝⎭D ．1 , 33⎛⎫⎪⎝⎭8．在直角坐标系中，定义()1*1n n nn n n x y x n y y x ++=-⎧∈⎨=+⎩N 为点() , n n n P x y 到点()111 , n n n P x y +++的一个变换：深中变换．已知()10 , 1P ，()222 , P x y ，…，() , n n n P x y ，()111 , n n n P x y +++是经过“深中变换”得到的一列点，设1n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么10S 的值为（ ） A．(312B．(312+C．)311D．)311二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 在ABC △中，135B =︒，15C =︒，5a =，则此三角形的最大边长为________． 10．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于________．11．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为________． 12．已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为n a =________． 13．已知实数x ，y 满足2102101x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩≥≤≤，则347x y +-的最大值是________．14．以()0 , m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()20 , m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推，以()0 , n m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以n m 为分母组成不属于1A ，2A ，…，1n A -的分数集合n A ，其所有元素和为n a ，则12n a a a +++= ________．三、解答题（4大题，共44分）15．（本小题满分10分）ABC △中，7BC =，3AB =，且sin 3sin 5C B =． （1）求AC 的长； （2）求A ∠的大小； （3）求ABC △的面积． 16．（本小题满分10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米． （1）用含x 的表达式表示池壁面积S ；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12 1 , n n a S n n +=+∈N ≥，数列{}n b 满足21n nn b a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ； 若数列{}n c 满足()21nn n a c a =-，且{}n c 的前n 项和为n K ，求证：3n K <．18．（本小题满分12分）设二次函数()()()24f x k x kx k =-+∈R ，对任意实数x ，有()62f x x +≤恒成立；正项数列{}n a 满足()1n n a f a +=．数列{}n b ，{}n c 分别满足12n nb b +-=，2214n n c c +=．（1）若数列{}n b ，{}n c 为递增数列，且11b =，11c =-，求{}n b ，{}n c 的通项公式； （2）在（1）的条件下，若()()()*1 , 12n b g n n n f n =∈-N ≥，求()g n 的最小值；（3）已知113a =，是否存在非零整数λ，使得对任意*n ∈N ，都有()1333312111log log log 112log 2111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++>-+-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．深圳中学2015-2016学年第一学期期中试题解析——叶晋飞一、选择题 1．B 2．C 3．A解析：在ABC △中，()πC A B =-+∴sin 2cos sin C A B =()sin 2cos sin A B A B ⇒+=sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin 0A B A B A B A B A B ⇒+=⇒-=()sin 0A B A B ⇒-=⇒=∴ABC △为等腰三角形4．B解析：{}n a 为等差数列3S ⇒，63S S -，96S S -也或等差关系 即9，27，789a a a ++为等差数列关系78945a a a ⇒++= 5．B解析：135a =代入到递推式中得215a =，同理可得325a =，445a =，535a =；因此{}n a 为一个周期为4的一个数列．∴201545033325a a a ⨯+=== 6．D解析：222222222cos sin sin sin 222Ba cb B A C ac b a c b ac+-=⇒⋅=⇒+=由等差中项定理可得2a ，2b ，2c 或等差数列． 7．A解析：当1x ≥时，()()()1121312f x x x x x >⇒+--=-+>⇒<∴12x <≤① 当11x -<≤时，()()()211211323f x x x x x >⇒+-->⇒>⇒>∴213x <<② 当1x <-时，()()()11211314f x x x x x >⇒-++->⇒->⇒>无解③ 综上，解集为2 , 23⎛⎫⎪⎝⎭．8．C ．解析：由11n n nn n n x y x y y x ++=-⎧⎨=-⎩，()()120 , 1 1 , 1P P ⇒，()30 , 2P ，()4 2 , 2P ，()50 , 4P ，()6 4 , 4P ． 1121a PP ==，2a =3a =4a =11n n a -=⋅数列{}n a 为首项11a =公比q()()105101112131112S ⋅--===-二、填空题9． 10．3- 11．560解析：等差数列2，6，10，…，190的通项为()21442n a n n =+-⋅=-等差数列2，8，10，14，…，200的通项为()21664n b n n =+-⋅=-数列{}n a 与数列{}n b 首项112a b ==，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{}n c ，首项12C =，公差为4与6的最小公倍数，12d =，∴()21121210n C n n =+-⋅=- ()()11012101021056022n n C C nS S +⋅⨯-+⨯=⇒==12．121n +- 2解析：(){}11211211n n n n n a a a a a ++=+⇒+=+⇒+为首项为114a +=，公比2q =的等比数列11114242121n n n n n a a --+⇒+=⋅⇒=⋅-=-13．1414．12n m -解析：1121m a m m m -=+++221222121m a a m m m -=+++-()1231121n n n n n nm a a a a a m m m--=+++-++++ ()1231211121n nn n n n nm a a a a m m m m m -⇒++++=+++=+++- ()()1231111122n nn n n m m m a a a a m -+--⇒++++==三、解答题15．（1）由正弦定理所得sin 35535sin 533C AB AC AB B AC ==⇒=⋅=⋅=（2）由余弦定理所得222957151cos 2235302AB AC BC A ABAC 22+-+--∠====-⨯⨯又∵在ABC △中∴2π3A ∠=（3）11sin 3522ABC S AB AC A =⋅⋅∠=⨯⨯=△16．（1）由题意得水池底面积为480016003=（平方米） 池壁面积160096002336S x x x x ⎛⎫=+⋅=+⎪⎝⎭（平方米） （2）设水池总造价为y ，所以960061201600150120240000297600y x x ⎛⎫=+⨯+⨯+= ⎪⎝⎭≥ 当且仅当96006x x=即40x =米时，总造价最低为297600元． 17．（1）∵12n n a S +=+①∴12n n a S -=+② 当2n ≥时①-②112n n n n n a a a a a ++-=⇒= 数列{}n a 为公比2q =的等比数列当1n =时，2124a a =+= 2124a a =⨯=也满足12n n a a += ∴111222n n n n a a q --==⋅= （2）21212n nn n n b a --== 1223135212222n n n n T b b b n T =+++-⇒=++++ ③ 231113232122222n n n n n T +--=++++ ④ ③-④：2311122221222222n n n n T +-=++++-12311211112222232n n n n T +-⎛⎫⇒=-+⋅+++ ⎪⎝⎭111122213214312212n n nnn n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-+⎣⎦⇒=-+⋅=--∴3232n nnT +=-（3）由（2）所得()()()211221122121212121nn n n n n n n C --⎛⎫=<=-⨯ ⎪----⎝⎭- 123n n k C C C C =++++ ()2222248213721nn n k ⇒=++++- 214811111122229771515312121n n n k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒<+++⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1481111112294971515312121n n n k -⎛⎫⇒<+++⨯-+-++- ⎪--⎝⎭4221294921n n k <++-- ∵4192<，221149212n -<-∴1123322n n k k <++=⇒<证毕． 18．（1）数列{}n b 为递增数列，则112n n n n b b b b ++-=-= ∴{}n b 为公差2d =的等差数列11b =． ∴()11221n b n n =+-⨯=-（*n ∈N ） 由22211244n n nnC CC C ++=⇒= 又∵数列{}n C 为递增数列∴1122n n n nC C C C ++=⇒= ∴数列{}n C 公比2q =的等比数列，首先11C =- ∴()()11*122n n n C n --=-⋅=-∈N（2）()62f x x +≤恒成立，即()2462k x kx x -++≤恒成立()()24620k x k x ⇒-+--≤恒成立()()()224042684020k k k k k k -<<⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨=-+-<-⎪⎪⎩⎩△≤ ∴()222f x x x =-+则()222f n n n =-+()()()2221422122441122112222n n n g n n n n n nn n ---====-+-----+-∴()212g n n=-为关于n 的单调递增函数，又∵1n ≥． ∴()()min 21212g n g ===-- （3）由（2）得()()22211222222f x x x x x x ⎛⎫=-+=--=--+ ⎪⎝⎭()1n n a f a +=又∵()12f x ⇒≤正项数列{}n a 满足10 , 2n a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦令12n n b a =-则()2211111222222n n nn n b a a a a ++⎛⎫=-=--+=- ⎪⎝⎭ 2111lg lg 2lg 22lg lg 22lg 22n n n n b a a b +⎛⎫⎛⎫⇒=-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1lg lg22lg lg2n n b b +⇒+=+ 又∵1111lg lg 2lg lg 2lg 233b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭∴112211111lg lg 2lg 2lg 2lg 3323n n n n n n b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⇒=⇒=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33312111log log log 111222n a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11222333log 23log 23log 23n -=⋅+⋅++⋅ 02113log 2322n n -=⋅+++()03212log 212n n -=+-3log 221n n =+-要证()133log 221112log 2n n n n λ-+->-+-⋅+恒成立即证()1212n n λ->-⋅恒成立当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1∴1λ< 当n 为偶数时，12n x ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-∴2λ>-． 又∵λ为非零整数∴1x =-．。

2018-2019学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，第12小题，共60分）1．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞±2}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|﹣2＜x＜2}2．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．（5分）已知{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，则S5等于（）A．36B．25C．20D．494．（5分）等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2等于（）A．1B．2C．3D．65．（5分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则公比q等于（）A．B．2C．或2D．﹣26．（5分）在△ABC中，已知b2+c2﹣a2+bc=0，则角A等于（）A．B．C．D．7．（5分）如果△ABC三边a，b，c满足bcosA=acosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则a5=（）A．B．C．D．9．（5分）下列不等式成立的个数是（）①；②；③a2+b2≥﹣2ab；④．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞）D．（1，+∞）11．（5分）某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（）A．20×（1.01）5万B．20×（1.01）4万C．万D．万12．（5分）关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知△ABC的面积为，a=3，b=2，则C=或．14．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为．15．（5分）一元二次不等式ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式ax2﹣x+c＜0的解集为．16．（5分）求和：=．三、解答题：（本大题共6题，共70分，其中第22题是A层必做，B层选做）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=﹣5，a8=7（1）求数列的通项公式；。

2017-2018学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩（∁U B）=（）A．{1}B．{2}C．{4}D．{1，2}2．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣13．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤14．（5分）已知函数f（x）=．若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）5．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．09．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|mx+1=0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是（）A．B．m≠0 C．D．11．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．612．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中．则椭圆M的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为．14．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB长为5．若a=4，那么△ABF2的周长是．16．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a1+++…+=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设△ABC的内角为A，B，C，且sinC=sinB+sin（A﹣B）．（I）求A的大小；=，求△ABC的周长．（II）若a=，△ABC的面积S△ABC18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•2n﹣1}的前n项和T n．19．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．20．（12分）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A 是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．21．（12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点．22．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，且椭圆C经过点P（2，3），过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求△PF1G的面积S的取值范围．2017-2018学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩（∁U B）=（）A．{1}B．{2}C．{4}D．{1，2}【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴∁U B={1，3，5}，∴A∩（∁U B）={1}．故选：A．2．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=．若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）【解答】解：函数f（x）=，由f（x）的解析式可知，f（x）的图象经过原点，且x≥0，f（x）递增；x＜0时，f（x）递增，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a，即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．5．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos （2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选：B．6．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为=1．故选：D．8．（5分）若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，∴f′（x）=4ax3+2bx，∴f′（﹣x）=﹣4ax3﹣2bx=﹣f′（x），∴f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣2，故选：B．9．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，故选：C．10．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|mx+1=0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是（）A．B．m≠0 C．D．【解答】解：A={x|x2+x﹣6=0}={2，﹣3}，当m=0时，B={x|mx+1=0}=∅，满足B是A的真子集，当m≠0时，B={x|mx=﹣1}={﹣}，若满足B是A的真子集，则﹣=2或﹣=﹣3，即m=﹣或m=，综上若B是A的真子集，则m=﹣或或0，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是，故选：D．11．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C．12．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中．则椭圆M的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可知F1（﹣c，0），F2（c，0），设点P为（x，y）∵∴∴，∴=x2﹣c2+y2=﹣c2+y2=当y=0时取到最大值a2﹣c2，即c2≤a2﹣c2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为x﹣y ﹣1=0．【解答】解：由y=，得，∴，即曲线C：y=在点（1，0）处的切线的斜率为1，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．14．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为4．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，其中，可得A（4，0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=4+0=4由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大故答案为：415．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB长为5．若a=4，那么△ABF2的周长是26．【解答】解：设|AF1|=m，|BF1|=n，由题意可得m+n=5，由双曲线的定义可得|AF2|=m+2a，|BF2|=n+2a，则△ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+（m+n）+4a=4a+2|AB|=4×4+2×5=26，故答案为：26．16．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a1+++…+=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：∵a1=1，a1+++…+=a n（n∈N*），n≥2时，a1+++…+=a n﹣1．，∴=a n﹣a n﹣1化为：=．∴=…=2a1=2．∴a n=．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设△ABC的内角为A，B，C，且sinC=sinB+sin（A﹣B）．（I）求A的大小；=，求△ABC的周长．（II）若a=，△ABC的面积S△ABC【解答】解：（I）∵A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B）．∴sinC=sin（A+B）=sinB+sin（A﹣B），∴sinA•cosB+cosA•sinB=sinB+sinA•cosB﹣cosAsinB，∴2cosA•sinB=sinB，∴，∴．（II）依题意得：，∴，∴（b+c）2=b2+c2+2bc=25，∴b+c=5，∴，∴△ABC的周长为．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•2n﹣1}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵，当n=1时，∴，∴a1=1∴，∴，两式相减得a n=n（n≥2）而当n=1时，a1=1也满足a n=n，∴a n=n；（Ⅱ）由于：a n=n，则：，所以：，则两式相减得，∴．19．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x 1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．【解答】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y=2x﹣p，联立，可得4x2﹣5px+p2=0．∵x1＜x2，p＞0，△=25p2﹣16p2=9p2＞0，解得，x2=p．∴经过抛物线焦点的弦|AB|=x1+x2+p=p=9，解得p=4．∴抛物线方程为y2=8x；（2）由（1）知，x1=1，x2=4，代入直线y=2x﹣4，可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），∴=+λ=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），∴C（4λ+1，4λ﹣2），∵C点在抛物线上，故，解得：λ=0或λ=2．20．（12分）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A 是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵⊥，∴=（2sinA，1）•（sinA+cosA，﹣3）=2sinA•（sinA+cosA）﹣3=2sin2A+2sinAcosA﹣3=sin2A﹣cos2A﹣2=0，即：sin（2A﹣）=1，∴A=．（2）因为D为BC边中点，∴2=+，平方得：42=+2+2，即：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，∴=+2﹣2，即：：b2+c2﹣bc=16 …②，由①﹣②可得：2bc=32，故△ABC的面积S=bc•sin A==4．21．（12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M（0，1）或M4（0，﹣）3故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．22．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，且椭圆C经过点P（2，3），过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求△PF1G的面积S的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由椭圆的离心率e==，即a=2c，b2=a2﹣c2=3c2，将P（2，3）代入椭圆方程：，解得：c2=4，∴a2=16，b2=12，∴椭圆的标准方程为：；（2）设直线AB方程为y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），∴，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16（k2﹣3）=0，由△＞0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，则x0==﹣，y0=k（x0+2）=，M（﹣，），线段AB的垂直平分线MG的方程为y﹣=﹣（x﹣x0），令y=0，得x G=x0+ky0=﹣+=﹣，由k≠0，∴﹣＜x G＜0，由=丨F 1G丨•丨y P丨=丨x G+2丨，x G∈（﹣，0），∴S求△PF1G的面积的取值范围是（，3）．。

深圳高级中学（集团）2017-2018学年第二学期期中考试高二数学本试卷由两部分组成。

第一部分：高二数学第二学期期中前的基础知识和能力考查，共62 分；选择题包含第1题、第3题、第4题、第5题、第7题、第9题、第11题，共35分； 填空题包含第16题，共5分；解答题包含第17题、第21题，共22分。

第二部分：高二数学第二学期期中后的基础知识和能力考查，共88分 选择题包含第2题、第6题、第8题、第10题、第12题，共25分； 填空题包含第13题、第14题、第15题，共15分；解答题包含第18题、第19题、第20题、第22题，共48分。

全卷共计150分。

考试时间120分钟 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．1,2,3,4,5D ．7,17,27,37,472．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝( ).A ．0.08B ．0.26C ．0.42D ．0.163．执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆x 2＋y 2＝10内的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为( )A ．235B ．215C ．195D ．1655．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π46．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，则( )A ．m e ＝m oB ．m o <m eC ．m e <m oD ．m e 、m o 的大小关系不能确定7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册2本，分别赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．10种 8．5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．209．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量),(n m =与向量)1,1(-=的夹角θ>90°的概率是( )A ．512B ．712C ．13D ．1210．高三某班下午有3节课，现从5名教师中安排3人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，则不同的安排方案种数为( ) A ．12B ．72C ．36D ．2411．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋1212．若关于x 的方程023)1ln(2=-+-+b x x x 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是( )A ． )212ln ,0(+ B ．)212ln ,13[ln +- C ．)13ln ,0(- D ．]212ln ,0(+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

深圳高级中学（集团）2018-2019学年高二年级第一学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，设，则集合的元素个数为( )A. 9B. 8C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】写出集合A,由交集运算得到集合C，从而得到元素个数.【详解】,,则，集合C的元素个数为2，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设，则=（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：因，故，所以应选B.考点：复数及模的计算．3.下列全称命题中假命题的个数是( )①是整数；②对所有的，；③对任意一个，为奇数．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：当x=时①错；当x=0时②错；所以①②是假命题。

对任意一个x∈Z，∵2x2是偶数，∴③是真命题．即假命题有2个，选C．考点：本题主要考查全称命题真假判断。

点评：要判断一个全称命题是真命题，我们要有一个严格的论证过程，但要说明一个全称命题是一个假命题，只需要举出一个反例即可。

此类题综合性较强，主要涉及知识面广。

4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数图像的性质即可判断出a，b，c的大小关系．【详解】指数函数y=在R上单调递增，故a=20.6＞20＝1，对数函数y=在上单调递增，则0＜b=logπ3＜1，对数函数y=在上单调递增，则；∴c＜b＜a．故选：A．【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间；二是利用函数的单调性直接解答；5.某公司2013—2018年的年利润(单位：百万元)与年广告支出(单位：百万元)的统计资料如表所示：根据统计资料，则 ( )A. 利润中位数是16，与有正相关关系B. 利润中位数是17，与有正相关关系C. 利润中位数是17，与有负相关关系D. 利润中位数是18，与有负相关关系【答案】B【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【详解】由题意，利润中位数是，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选：C．【点睛】本题考查中位数的求法，如果样本容量是奇数中间的数就是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数就是中位数.6.过点引圆的切线，则切线长是 ( )A. 3B.C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点P的距离d，根据圆的半径r，即可求出切线长．【详解】∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心（1，2）到点的距离d＝；圆的半径r＝2，∴切线长为l＝．故选：B．【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，过点向圆作切线PM（M为切点），则切线长.7.已知非零向量，若，则与的夹角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为θ，这样根据即可求出cosθ，进而得出θ的值．【详解】因∴，，设与的夹角为θ，则：，∴故答案为：A．【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.执行如下图的程序框图，那么输出的值是( )A. 2B. 1C.D. -1【答案】A【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k和S值，根据题意即可得到结果.【详解】程序运行如下，k=0, S＝＝﹣1，k＝1，S＝＝；k＝2，S＝；k＝3，S＝＝-1…变量S的值以3为周期循环变化，当k=2018时，s=2，K=2019时，结束循环，输出s的值为2．故选：A．【点睛】本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．9.点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为.①的最小正周期是；②的值域为；③的初相为；④在上单调递增.以上说法正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论．【详解】∵点P（﹣，1）是函数f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m ＝1，ω•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z．∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，∴ω＝2，∴φ＝kπ+, k∈Z，又|φ|＜∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）+1．故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；③f（x）的初相φ为，正确；④在[，2π]上，2x+∈[，]，根据函数的周期性，函数单调性与[﹣，]时的单调性相同，故函数f（x）单调递增，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题．10.分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：的概率为,故选A.考点：几何概型.11.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题转化为（x+）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】∵不等式x+m2+3m有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+＝（x+）（）＝＝4，当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）min＝4，故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，解得m＜﹣4或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．故选：C．【点睛】本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．12.已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选：D．【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题．二、填空题：本大共4小题．每小题5分，满分20分．13.已知双曲线的焦距为，点在双曲线的渐近线上，则双曲线的方程为__________ . 【答案】【解析】【分析】由题意可得c，即有a2+b2，由点P在渐近线上，可得a＝2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．【详解】双曲线的焦距为，可得2c＝，即c＝，即有a2+b2＝125，双曲线的渐近线方程为y＝±x，点在双曲线的渐近线上，可得a＝2b，解得a＝10，b＝5，得到双曲线方程为．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．14.已知复数满足，则________.【答案】【解析】【分析】直接利用复数的商的运算计算得到复数的共轭复数，从而得到复数z.【详解】，则复数z=2-i,故答案为：2-i【点睛】本题考查复数的商的运算及共轭复数的概念，属于简单题.15.已知函数，若函数的图象在处的切线方程为，则实数___________ .【答案】【解析】【分析】对函数f(x)求导，由切线斜率为1，可得到答案.【详解】函数f（x）＝，则导数,由函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为y＝x+b可知,解得a＝﹣2，故答案为：-2【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，利用曲线在某点处的切线的斜率等于函数在这点处的导数解决问题.16.已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式为_____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，写出，利用两式作差得到，然后利用累乘法可求出数列的通项.【详解】数列的前项和为，且当n≥2时，，①则有，②②-①得：，整理得（n≥2），则当n≥3时有，解得（n≥3）,检验：当n=2时，满足上式，当n=1时，不满足上式，则，故答案为：【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项，考查累乘法求通项，考查计算能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：((1)将上表进行如下处理：，得到数据：试求与的线性回归方程，再写出与的线性回归方程.(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额.参考公式：,【答案】（1）；（2）108亿元.【解析】【分析】（1）利用题目中数据求出a和b,即可得z=bt+a,将t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入上式整理可得结果．（2）把x＝2019代入回归直线方程即可得到答案.【详解】（1）计算得＝3，＝2.2，，,所以，a＝2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，所以z＝1.2t﹣1.4．注意到t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入z＝1.2t﹣1.4，即（y﹣50）÷10=1.2(x-2013)-1.4,整理可得y＝12x﹣24120．（2）当x＝2019时，y＝12×2019﹣24120＝108，即2019年房贷发放数额为108亿元．【点睛】本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，利用表中数据和公式，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题.18.如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的面积；（2）求线段的长．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求得的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得的值后即可求解．试题解析：（1）∵，且，∴．又∵，∴．∴．∵,，∴；（2）∵，且,，，∴，∴．又∵，∴，又∵在中,,∴,即,∴．考点：余弦定理解三角形．19.按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，属酒后驾车；在（含80）以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；（2）从血液酒精浓度在范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．【答案】（1）3人；（2）；【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图，先求出血液酒精浓度在和在范围内的人数，然后作和即为醉酒驾车的人数；（2）先求出从血液酒精浓度在范围内驾驶员中任取2人的所有个数，以及恰有一人的血液酒精浓度在范围内的所有个数，两个数值做比值即可；试题解析：（1）由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在范围内有：人，血液酒精浓度在范围内有：人，所以醉酒驾车的人数为2+1=3人；（2）因为血液酒精浓度在内范围内有3人，记为，范围内有2人，记为，则从中任取2人的所有情况为共10种，恰有一人的血液酒精浓度在范围内的情况有，共6种设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件，则考点：频率分布直方图；20.已知等差数列的前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为0，数列满足,求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列中项的定义，等差数列的通项和等差数列的前n项和公式列出首项和公差的方程组，即可解得答案.（2）利用错位相减求和即可得到答案.【详解】（1）由成等比数列得，设等差数列的公差为d，则，化简得或d=0.当时，，得，∴，即；当d=0时，由，得，即；（2）若数列的公差不为知,，所以……①……②由①②可得.【点睛】本题考查等差数列通项和等比数列中项的定义的应用，考查等差数列前n项和和错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.21.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)点为轨迹上任意一点，直线为轨迹上在点处的切线，直线交直线于点，过点作交轨迹于点，求的面积的最小值．【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心轨迹C的方程；（2）由抛物线方程设出P点坐标，利用导数得到切线PR方程，代入y＝﹣1得点R横坐标，求PQ所在直线方程，和抛物线联立，由根与系数关系得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．【详解】（1）设动圆圆心C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y；（2）C的方程为x2＝4y，即，故，设P(t,)（t≠0），PR所在的直线方程为，即，令y=-1得点R横坐标，|PR|=；PQ所在的直线方程为，即，由，得，由得点Q横坐标为，∴|PQ|=，，不妨设t＞0，,记，则当t＝2时，f（t）min＝4,则三角形面积的最小值为．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，同时考查利用换元法和基本不等式解决最值问题，属于中档题.22.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使得函数的极值大于?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，.①当时，，∵∴，∴函数单调递增区间为②当时，令得，即，.（ⅰ）当，即时，得，故，∴函数的单调递增区间为.（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.若，则，此时，当时，.∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，∴有极大值，其值为，其中.∵，即，∴.设函数，则，∴在上为增函数，又，则，∴.即，结合解得，∴实数的取值范围为.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．。