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2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第2章 变化率与导数 §5

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高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修2_2

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修2_2

=
4������,
得k=f'(x0)=4x0.
根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.
故所求切点为 P(2,1),a=2x02 − ������0 = 7.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
f'(x0)=
lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
[2(������+������)2-������]-(2������2-������) ������
=
lim (4������
Δ ������ →0
+
2������)
y=
1 2
������
+
2,
则������(1) + ������′(1) =
.
解析:由导数的几何意义得
f'(1)=
1 2
,
由点M
在切线上得
f(1)=
1 2
×
1
+
2
=
5 2
,
所以f(1)+f'(1)=3.
答案:3
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
A.f'(x0)=2
B.f'(x0)=-2
C.f'(x0)=1
D.f'(x0)不确定
答案:A
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2015高中数学北师大版选修2-2课件：《变化的快慢与变化率》

2015高中数学北师大版选修2-2课件：《变化的快慢与变化率》

f(x1)-f(x0) x1 -x0
f(x 0 +Δ x )-f(x 0 ) Δx
第八页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
问题4 平均变化率与瞬时变化率的关系是什么? (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变
化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点 x0 处变化的快慢. (2)联系:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率Δy趋于一个常
1e -e12
ln
1e -ln
1 e2
e-1
e2
= e2 (-1+2)= e2 .
e-1
e-1
第十九页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
第二十页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.
【解析】∵Δy =f(2+Δx)-f(2)
Δx
Δx
=-(2+Δ x )2 +3(2+Δ x )-(-22 +3 × 2)
Δx
=-(Δ x )2 -Δ x=-Δx-1,
Δx
∴当 Δx 趋于 0 时,Δy趋于-1.
Δx
即函数 f(x)在 x=2 处的瞬时变化率为-1.
第十二页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
(1)当
x1=4,Δx=1
时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,Δy
Δx
=21=21.
1
(2)当
x1=4,Δx=0.1
时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,Δy
Δx

高中数学选修2-2 北师大版 变化的快慢与变化率 课件 (18张)

高中数学选修2-2 北师大版 变化的快慢与变化率 课件 (18张)

������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
Δ��� )-������(������1 ) .我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 ������2 -������1
温馨提示
1.
������ ������
=
������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 ������ ������
第二章
变化率与导数
§2.1
变化的快慢与变化率
学习目标 思维脉络 1.理解函数在某点的平 均变化率的概念与意义. 2.理解运动物体在某时刻的 瞬时变化率(瞬时速度). 3.会求函数在某点的平均变 化率. 4.能正确地理解平均变化率 与瞬时变化率的区别与联 系.
1
2
1.函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变 为 f(x2),它的平均变化率为
与 Δx 是相对应的“增量”,即当
Δx=x2-x1 时,Δy=f(x2)-f(x1).
1
2
做一做 1
一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速 度为( ) A.0.41 解析:������ = 答案:D

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件

f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。

2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第2章 变化率与导数 章末归纳总结2

2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第2章 变化率与导数 章末归纳总结2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
导数的几何意义 函数 y ＝ f(x) 在 x0 处的导数 f′(x0) ，就是曲线 y ＝ f(x) 在点
P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝tanα＝f′(x0)．
已知函数f(x)＝ x ，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值 和该切线方程．
2
1 2
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
[ 点评]
本题是数学与物理相结合的学科综合题，充分体
现了导数的物理意义．利用导数解决这类物理问题，关键是要 熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求 解．(1)(2)主要是应用导数的物理意义v(t)＝s′(t)，a(t)＝ 1 2 v′(t)；(3)(4)主要是直接应用公式动量P＝mv，动能E＝2mv .
[ 解析]
(1)物体的瞬时速度v(t)＝s′(t)＝6t－1，所以物体
在t＝10时的瞬时速度为v(10)＝59. (2)物体的加速度a(t)＝v′(t)＝6，所以物体在t＝10时的加 速度为6. (3)由于动量等于mv，所以t＝10时物体的动量为1×59＝ 59. (4)由于动能等于 ×1×592＝1 740.5. 1 2 mv ，所以t＝10时物体的动能为
1
知 识 梳 理
3
专 题 研 究
2
知 识 结 构
4
限 时 训 练
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
知识梳理
第一章
章末归纳总结

2015-2016学年高中数学 第2章 1变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2

2015-2016学年高中数学 第2章 1变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2

当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无 限逼近点Q处的切线斜率，即当Δx无限趋近于0时，kPQ＝ fx0＋Δx－fx0 无限趋近于点Q处的切线斜率. Δx
1.在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( A．Δx<0 B．Δx>0
)
C．Δx＝0
[答案] D
D．Δx≠0
[解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．掌握函数平均变化率的求法 3．理解瞬时变化率
本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、平均速度、
瞬时速度． 本节难点：瞬时变化率、瞬时速度.
平均速度 平均速度的定义：物体从某一时刻开始运动，设 s(t) 表示
此物体经过时间 t 走过的路程，当时间从 t0 变为t1时，物体所走
的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体的平均速度是：
2．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近 Δy 一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δx等于( A．3 C．3－(Δx)2 )
B．3Δx－(Δx)2 D．3－Δx
[答案] D
[ 解析]
Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx
认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数 ( 仅限于形如
f(dx＋b))的导数． 本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导
数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定
义的理解．
第二章
§1 变化的快慢与变化率
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
4
课 时 作 业
课前自主预习
1.了解函数平均变化率的概念

(北师大版)数学选修2-2：第2章《变化的快慢与变化率》ppt课件

(北师大版)数学选修2-2：第2章《变化的快慢与变化率》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发

北师大版高中数学选修2-2 第2章：变化率与导数2.1《变化的快慢与变化率》(共18张PPT

北师大版高中数学选修2-2 第2章：变化率与导数2.1《变化的快慢与变化率》(共18张PPT
北师大版-高中数学选修2-2 第2章：变化率与导数 第1节：变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率
模块一：平均变化率
例1 S(t)表示物体经过时间t走过的路程，比较该物体在
[2,10],[10,13]这两段时间内运动的快慢？
路 程 32
C(13,32)
v1

S(10) 10

S(2) 2

1.75
y f (1) f (1) 0
y 0 0 x 2
模块一：平均变化率
随堂练习
2.已知函数f ( x) 2x2 1
答案：
(1)求函数f(x)在[1,1]上的平均变化率； (1)0
(2)10, 8.2, 8.02
(2)求函数f(x)在[2,3],[2, 2.1],[2, 2.01]上
变 20
化
曲
A(2,6) 6
线
o2
B(10,20) 路程曲线
S(10) 13 10

4
区间[t1, t2 ]平均速度计算公式： S(t2 ) S(t1)
t2 t1
模块一：平均变化率
y
f(1300)
登 山 f(x2)
路
线
f(x1) A
图 f(200)
o 200
模块二：瞬时变化率
例2 一小球从高空自由下落，其走过的路程 s与时间t之间的函数关系是s 1 gt2
2 (1)小球在时间区间[5, 6], [5, 5.1]上的平均速度
v1, v2 ? (2)小球在t 5时的瞬时速度？
(2)t 0，在[5 t,5]这段时间 v s(5) s(5 t) 4.9(10 t)
（1）当t 2s，t 0.01s时，求 s ； t

北师版数学高二选修2-2课件 章末复习课第二章变化率与导数

北师版数学高二选修2-2课件 章末复习课第二章变化率与导数

跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝cos(2 018x＋8)； 解 y′＝－sin(2 018x＋8)·(2 018x＋8)′ ＝－2 018sin(2 018x＋8).
解答
(2)y＝21－3x； 解 y′＝21－3x·ln 2·(1－3x)′ ＝－3ln 2·21－3x.
解答
Байду номын сангаас
(3)y ＝ ln(8x ＋ 6) ； 解 y′＝8x＋ 1 6·(8x＋6)′ ＝8x＋8 6＝4x＋4 3.
⑦f(x)＝tan
x，则f′(x)＝
1 cos2x
；
⑧f(x)＝cot x，则f′(x)＝－sin12x . (2)导数四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x.
3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数 ①f(x)＝c，则f′(x)＝0； ②f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1； ③f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
1 ④f(x)＝logax，则f′(x)＝ xln a ； ______________
⑤f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； ⑥f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x ；
②计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值 ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
③当Δx无限趋近于0时，即Δx→0时，则
Δy Δx
无限趋近于某一常数A，这一
常数A就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0).
(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f′(x)，则函数在x＝x0点的导 数为f′(x0). 2.利用导数求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0). (2)利用直线方程的点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2

高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2

• 解 t′x＝析3：，∴原y′x函＝数2t由·3y＝＝6t(23和x－t＝43)．x－4复合而成，y′t＝2t， • 答案： D
• 2．函数y＝sin(2x－1)的导数是( ) • A．cos(2x－1) B．2xsin(2x－1) • C．2cos(2x－1) D．2sin(2x－1) • 解析： y′＝cos(2x－1)·2＝2cos(2x－1)． • 答案： C • 3．函数y＝e2x＋e－x的导数为_____________． • 答案： 2·e2x－e－x
结果
理由
令u＝3x－π6，则y＝cos u.
(3) －3sin3x－π6 y＝yu′·ux′＝－sin u·3x－π6′
＝－3sin u＝－3sin3x－π6
令u＝1＋x2，则y＝ u＝u12，
(4)
x 1＋x2
y′＝yu′·ux′＝12u－12(1＋x2)′
＝x·u－12＝
＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2x＋π3′
＝2sin4x＋23π.
8分
(3)y′＝xx－1x100′＝x′x－1x100＋xx－1x100′
＝x－1x100＋x·100x－1x99·x－1x′
2．复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的 导 于数__间__的__关__系__为__y_′_yx＝′_u·__u_′__x ___________乘__积__．.即y对x的导数等
y对u的导数与u对x导数的
•
求复合函数的导数要处理好以下环节
• (1)中间变量的选择应是基本函数结构；
2x
πcos ∴f′(π)＝
2π＋100cos 2π－12sin π＋1002

高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课件北师大版选修2_2

高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课件北师大版选修2_2

1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
[规范解答] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0). 1分
∵f′(x0)＝Δlxi→m 0
x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x30－2x20＋3 Δx
＝3x20－4x0，
4分
由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4.
解得：x0＝－23或x0＝2.
6分
∴切点坐标为－23，4297或(2,3).
x0点的导数．用符号__f′__(_x0_)__表示，记作：f′(x0)＝ fxx11－－xf0x0＝x1l→imx0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
x1l→imx0
(1)导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量 Δy与自变量改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，
若Δlxi→m 0
x3，求曲线在点P(3,9)处的切线方
程．
[思路导引] 由于点P在曲线上，故可以求函数在x＝3处
的导数，就是所求切线的斜率，利用点斜式求得切线方程．

高中数学 第二章 变化率与导数整合课件 北师大版选修2-2

高中数学 第二章 变化率与导数整合课件 北师大版选修2-2
������(������) ������(������)
,再根据相应法则求其导数.
-5-
本章整合
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题三 求复合函数的导数
复合函数的求导法则:y'x=y'u· u'x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 具体求导步骤如下: (1)分清复合关系,选好中间变量是关键. (2)分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,且一直计 算到最后.常见错误如(cos 2x)'=-sin 2x 错,而(cos 2x)'=-2sin 2x 对. (3)求导后,中间变量改换为原函数的自变量.
-6-
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知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
【例题】 (1)函数 y=sin 解析:设 y=sin u,u=3x+ ,
π 6
3������ +
π 6 π 6
的导数为 .
.
则 yx'=yu'· ux'=cos u· 3=3cos 3������ + 答案:3cos 3������ + (2)函数 y=
本章整合
-1-
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知识网络
专题探究
������(������+Δ������)-������(������) Δ������ 函数的变化率 Δ������ ������(������+Δ������)-������(������) 函数的瞬时变化率:当 Δ������→0 时, = Δ������ Δ������ f(x+������x)-f(x) 导数的概念:f'(x) = lim ������x Δ������ →0 导数

北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件

北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件

g
(
x)
(
g
(
x)

0)
当点Q沿着曲线无限接点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT。则我们把直线
y
PT称为曲线在点P处的切线。
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜 率。

P o
即: k切线

f
' ( x0 )

lim
x0
y x

练习3：求下列函数的导数。
12 y
x x2
y 1 4 x2 x3
x y
1 x2
y 1 x2
1 x2 2
y tan x
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 再利用导数的运算法则(3)来计算。
y

1 cos2
x
练习4：求曲线
y

9 x
在点M(3，3)处的切线
x)－f(x0)，若极限
lim
x0
y x

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
存在，
则此极限称为f(x)在点 x x0 处的导数，记为
f ’(x0)，或 y |xx0 。
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每
y 3x2 2
练习2：求下列函数的导数。
y x3 sin x cos x y 3 x 2 cos x sin x
y 2sin x cos x 2x2 1 y co s x 4 x
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[ 解析]
1 1 B中函数y＝ lnx 是由函数f(u)＝ u 和函数u＝φ(x)＝
lnx复合而成的，其中u是中间变量；C中函数y＝(2x＋3)4是由 函数f(u)＝u4和函数u＝φ(x)＝2x＋3复合而成的，其中u是中间 π 变量；D中函数y＝sin( 2 －x)是由函数f(u)＝sinu和函数u＝φ(x) π ＝2－x复合而成的，其中u是中间变量．故选A．
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
4
课 时 作 业
第二章
§5
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
课前自主预习
第二章
§5
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1.能利用公式y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(φ)φ′(x)求简单复合函数的导 数． 2．能够准确分出函数的复合关系． 本节重点：复合函数的求导法则． 本节难点：准确分出函数的复合关系.
第二章
§5
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2．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( A．2x－y－3＝0 C．ex－y－2e＋1＝0 [答案] A [解析] y′＝2·e2x－4， 则当x＝2时，y′＝2·e0＝2，∴斜率为2. 又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1， B．2x＋y－3＝0 D．ex＋y＋2e－1＝0
)
∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.
第二章
§5
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3．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________． [答案] 10 [ 解析 ] f′(x) ＝ 5(2x ＋ 1)4·(2x ＋ 1)′ ＝ 10(2x ＋ 1)4 ， ∴ f′(0) ＝
第二章
§5
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4．若函数y＝f(u)的定义域为U，u＝g(x)的定义域为A，值 域为B，且B⊆U，则称函数y＝f(g(x))是由函数y＝f(u)与函数u ＝g(x)复合而成的复合函数，其中u叫作中间变量，把函数f(u) 叫作外层函数，函数g(x)叫作内层函数．如函数y＝ 是由y＝ u和u＝v2＋1，v＝sinx三个函数复合而成． 说明：在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数的 定义域的子集. sin2x＋1
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
变化率与导数
第二章
变化率与导数
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第二章
§5 简单复合函数的求导法则
第二章
§5
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1.求复合函数导数的步骤
求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： (1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关 系y＝f(u)，u＝φ(x)； (2) 分步求导 ( 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求
导 ) ，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求 f′(u) ，再求
φ ′( x) ； (3)计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代回原自变量的函数． 整个过程可简记为分解——求导——回代．
第二章
§5
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1.下列函数不可以看成是复合函数的是( A．y＝xcosx C．y＝(2x＋3)
[答案] A
4
)
1 B．y＝lnx π D．y＝sin(2－x)
第二章
§5
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－5
12 ＝12(1－3x) ＝ 5. 1－3x
－5
第二章
§5
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1 (2)y＝u3
，u＝ax2＋bx＋c.
y′＝y′u· u′x 1 －2 ＝3u 3 · (2ax＋b) 1 2 ＝3(ax ＋bx＋c) ＝ 2ax＋b
第二章 §5
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2 ．求复合函数的导数时，首先要分析复合函数的结构， 再从最外层开始由外及里逐层求导，做到不重不漏． 3．求复合函数的导数要处理好以下环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构；
②关键是正确分析函数和复合层次；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．
第二章
§5
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复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y ＝ f(u) 和 u ＝ φ(x) ，给定 x 的一个 值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的 函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记 作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量.
.
[分析]
求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合
而成的，然后再按复合函数的求导法则求导．
第二章
§5
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[ 解析]
(1)y＝u 4，u＝1－3x.
－
∴y′＝y′u· u′x ＝(u 4)′· (1－3x)′
－
＝－4· u－5· (－3) ＝12u
10.
第二章
§5
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第二章
§5
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复合函数的求导
求下列函数的导数： 1 (1)y＝ ； 1－3x4 (2)y＝ ax2＋bx＋c； (3)y＝e－ax
2＋bx
3
第二章
§5
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复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数为 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 说明：y′x表示y对x的导数.
第二章
§5
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