2011中考数学第一轮复习 二次函数及其应用专题训练

二次函数基础习题一、填空题：1. 已知二次函数2y ax = (a ≠0)，则y 与2x 是 次函数．y 与x 是 次函数。

2. 当≠m 时，函数m x m x m y +-+-=)2()3(2是二次函数；3. 当≠m 时，函数m x x m y ++-=2)5(2是二次函数；4. 当m ＝ 时，函数1)1(12++-=+x x m y m是二次函数； 5. 已知22212()(3)m m y m m x m x m --=-+-+是x 的二次函数，=m6.二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－9 的图象过原点，则m 为7. 抛物线2ax y =经过点（3，5），则a ＝ ；8. 抛物线y ＝ax 2＋3经过点（－1，5），则a ＝ ； y ＝x 2＋bx －4经过点（3，17），则b ＝9. 二次函数2ax y =的图象经过点（3，18），则a = ；当4=y 时，x ＝ ； 10.点A(－2，a)是抛物线2y x =上一点，则a ＝ ，A 点关于原点的对称点B 是 ， A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2y x =上的是 ；11. 点M(2，a )是抛物线y ＝2x 2－3上一点，则a ＝ ，M 点关于x 轴的对称点坐标是 ，12. 点A(a ，－4)是抛物线y ＝x 2＋2x －3上一点，则a ＝ ，13. 点 (2，－3)是否抛物线y ＝2x 2－x －1上一点 ；点 (3，0)是否抛物线y ＝x 2－x －6上一点 14. 抛物线2ax y =与直线x y 4=交于（1，m ），则m ＝ ；抛物线的解析式是15. 抛物线2ax y =与直线x y -=交于（1，m ），则m ＝ ；抛物线的解析式是16. 抛物线2ax y =＋3x －3与直线y ＝2x+1交于（2，m ），则m= ；抛物线的解析式是17. 抛物线的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 18. 抛物线 的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线19. 抛物线 的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线20. 抛物线 开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；21. 抛物线 开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；22. 抛物线 的顶点是（ ，－1），则a ＝ ， c ＝ 。

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．32．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m4．二次函数()225y x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．2,5B ．()2,5C ．()2,5--D ．()2,5-5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2)7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．()2323y x =++B ．()2323y x =-+C ．()2332y x =++D ．()2332y x =-+8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为16(0)9，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴是直线1x =D ．顶点()1,010．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ） x … 2- 0 1 3 …y … 6- 4 6 4 …A ．函数的图象开口向上B ．函数的图象与x 轴无交点C ．函数的最大值大于6D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是36y ≤≤二、填空题13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．18．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米三、解答题21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带参考答案一、选择题1．抛物线y=−2x2+3的顶点为（）.A．(0，3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(0，−3)2．将抛物线y=4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（）．A．y=4(x+9)2+6B．y=4(x−9)2+6C．y=4(x+9)2−6D．y=4(x−9)2−63．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知二次函数y=ax2+bx+2（a≠0），经过点P（m，12）．当y≤−1时，x的取值范围为t−1≤x≤−3−t．则如下四个值中有可能为m的是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已二次函数y=mx2+(m−2)x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（）.A．m=2B．抛物线的开口向上C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x=2时，函数有最小值26．已知二次函数y=(x−1)(x−2)，若关于x的方程(x−1)(x−2)=m(m<0)的实数根为α，β，且α<β，则下列不等式正确的是（）A．α<1，β<2B．1<α<β<2C．1<α<2<βD．α<1<β<27．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为y= (x−3)2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点A的坐标为(0，−1916)，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）9A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m8．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①4ac ＜b 2；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当x ＜0时，y 随x 增大而增大；⑤8a+c ＜0．其中结论正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．若抛物线y =x 2−x +k 与x 轴只有一个交点，则k 的值为 . 10．二次函数y ＝﹣3（x+1）2的最大值为 ．11．若二次函数y =ax 2−bx −1的图象经过点(2，1)，则2023−2a +b = .12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y 元，设平均每次降价的百分率是x ，则y 关于x 的函数表达式为 ．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象过点（3，0），对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③当x ＜1时，y 随着x 的增大而增大 ；④4a+2b+c ＜0． （填写序号）．三、解答题14．已知二次函数y =14x 2+x ．（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？15．已知抛物线2y x bx c =++经过()3,0A ，对称轴是直线1x =．点()11,B n y -，()222,C n y +两点在抛物(1)求抛物线的解析式；(2)当n 取何值时，12y y -取最大值．16．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m 的门，总共用去围栏36m ．(1)若长方形展厅ABCD 的面积为290m ，求边AB 的长为多少米？ (2)当边AB 的长为多少米时，长方形展厅ABCD 的面积最大？17．某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y 顶．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若该商店销售头盔每月的利润为w 元，求w 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x 取何值时，每月销售头盔的利润w 有最大值？最大值是多少？18．如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A B 、重合），经过点D 且与y 轴平行的直线交直线AB 于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点．是否存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．14 10．0 11．202212．y =16x 2−32x +16 13．①②③14．（1）解：∵y =14x 2+x =14(x 2+4x)=14(x 2+4x +4−4)=14(x +2)2−1 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2，−1)，对称轴为直线x =−2 （2）解：∵对称轴为直线x =−2，抛物线开口朝上当x <−2时，y 随x 的增大而减小，当x >−2时，y 随x 的增大而增大． 15．（1）解：由题可得：09312b cb =++⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为2=23y x x --；（2）解：∵点()11,B n y -，()223,C n y +两点在抛物线上∴()()22112134y n n n n =----=- ()()22223223348y n n n n =+-+-=+ ∴()22123123212y y n n n -=--=-++ ∵30-<∴当2n =-时12y y -取最大值．16．（1）解：设AB 的长为x 米，则()3632 1.5393BC x x =-+⨯=-米，根据题意得：()39390x x -=解得13x = 210x = 答：AB 的长为3或10米．（2）解：设AB 的长为x 米，则()393BC x =-米，长方形展厅ABCD 的面积为S 由题意可得()2213507393339324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴为132x = ∴当132AB =时，所围成的长方形展厅ABCD 的面积最大． 17．（1）解：；（2）解：由题知与之间的函数关系式为；（3）解：抛物线开口向下 又当时，有最大值，最大值为9000．即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元．18．（1）解：由题意，将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入252y ax bx =++中得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为215222y x x =-++；（2）解：存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形． 由()221519222222y x x x =-++=--+得顶点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AB 的解析式为y kx t =+将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，得0542k t k t -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1212k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB 的解析式为1122y x =+ 当2x =时1132222y =⨯+=，∴32,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴93322CD =-= ∵以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，CD 在抛物线对称轴上 ∴PQ y ∥轴，且3PQ CD ==由题意，设215,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则11,22Q m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴2151122222PQ m m m ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭2132322m m =-++=∴2132322m m -++=①或2132322m m -++=-②解①得1m =或2m =（舍去），则()1,1Q ； 解②得2m =-或5m =，则12,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3Q ,综上，符合条件的Q 坐标为()1,1或12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3．。

2011全国中考真题解析考点汇编☆二次函数的几何应用一、选择题1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）A、B、C、D、考点：二次函数综合题。

分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S △DGH，求函数关系式，判断函数图象．解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×错误!未找到引用源。

（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=错误!未找到引用源。

，故选C．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 2 时，四边形ABCN的面积最大．考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：应用题。

分析：设BM=x，则MC=﹣4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=x，则MC=﹣4x，∵∠AMN=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，∴△ABM ∽△MCN ，则CN BM MC AB =，即CN x x =-44， 解得CN=4)4(x x -， ∴S 四边形ABCN =错误!未找到引用源。

×4×[4+错误!未找到引用源。

]=﹣错误!未找到引用源。

x 2+2x+8，∵﹣错误!未找到引用源。

中考数学总复习《二次函数》专项训练题(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．1y x =-D ．23y x = 2．抛物线()223y x =-+-的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．把抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()211y x =+-B ．()213y x =++ C ．()211y x =-- D ．()213y x =-+ 4．已知关于x 的一元二次方程2x bx c =-的解为11x =-和23x =，则二次函数2y x bx c =-+的对称轴是（ ）A ．直线=1x -B ．直线0x =C ．直线1x =D ．直线2x =5．在“探索二次函数()20y ax bx c a =++≠的系数,,a b c 与图象的关系”活动中，老师给出平面直角坐标系中的四点：()()()()0,2,2,3,2,1,3,1A B C D ．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，并得到对应的函数表达式21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++分别计算111a b c ++，222a b c ++的值，其中较大值为（ ）A ．103B ．3C ．2D ．536．一次函数y ax b =+与二次函数21y ax bx =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知矩形ABCD 的边4AB =，BC=2，点M 从点A 到点B 以每秒1个单位长度的速度运动，点N 沿A D C B ---以每秒2个单位长度的速度运动，两点相遇时停止运动．连接MN ，则AMN 的面积y 与运动时间x 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，二次函数221y x x m =-+++的图象交x 轴于点(),0A a 和(),0B b ，交y 轴于点C ，图象的顶点为D ．下列四个结论中：①当0x >时0y >；①若1a =-，则3b =；①点C 关于图象对称轴的对称点为E ，点M 为x 轴上的一个动点，当2m =时，MCE △周长的最小值为2102+；①图象上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若121x x ，且122x x +>，则12y y >，其中正确的是（ ）A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题 9．点()11,A y -，()24,B y 是二次函数()21y x m =-+图象上的两个点，则1y 2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．某车的刹车距离()m y 与开始刹车时的速度()m/s x 满足二次函数()20.040y x x =>，若该车某次的刹车距离为9m ，则开始刹车时的速度为 m /s ．11．已知二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则此二次函数的解析式为 ．12．如图，用一段长为16m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长6m ），则这个围栏的最大面积为 2m ．13．已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 2 3 4 …y … 10 m 2 1 2 5 …当y m <时，x 的取值范围是 ．三、解答题14．已知抛物线()()3468y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)求,,A B C 三点的坐标．(2)在该拋物线的对称轴上是否存在点M ，使得MAC △的周长最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG 为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从()1,0A 处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线2:3L y ax bx =++（单位长度为1m ）的一部分，已知抛物线经过点()2,3-，2m DE =和5m AD =．(1)求抛物线L 的解析式和顶点坐标；(2)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L 形状相同的拋物线M 运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m ，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．16．金沙薏米是仙游县著名的土特产，它品质优异，荣获国家地理标志证明商标． 某超市销售的金沙薏米，成本价为每千克22元，超市限定售价不高于每千克34 元． 销售中平均每天销售量y （kg ）与销售单价x （元）的关系可以近似地看作一次函数，如下表所示： 26 28 30 321 70 60 50 40(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)设超市每天销售薏米的利润为 w （元），求w 与x 之间的函数关系式，当x 取何值时，w 的值达到最大？最大值是多少？17．如图，“爱心”图案是由抛物线()20y ax k a =+≠的一部分及其关于直线y x =-的对称图形组成，点A ，B 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C ，D ，E ，F 是“爱心”图案与坐标轴的交点，且点C ，D 的坐标分别为()5,0和()0,5．(1)求a，k的值；=-对称后的图象的表达式．(2)求抛物线2y ax k=+关于直线y x18．如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．(1)直接写出S与x的函数关系式；(2)若院墙的面积为120平方米，求x的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a（3a<）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a 的值．参考答案： 1．D2．C3．D4．C5．A6．C7．A8．D9．<10．1511．223y x x =+-12．3013．04x <</40x >>14．(1)()()()4,0,6,0,0,9A B C --(2)存在，点M 的坐标为151,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 15．(1)抛物线L 的解析式为223y x x =--+，顶点坐标为()1,4- (2)弹珠能弹出箱子 16．(1)5200(2234)y x x +≤≤=-(2)()2531405w x =--+，当31x =时，w 取得最大值，最大值是405． 17．(1)a 的值为1-，k 的值为5；(2)25y x =+． 18．(1)2234S x x =-+ (2)x 的值为12． (3)2a =。

中考数学一轮复习《二次函数的综合运用》练习题（含答案）课时1与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线y＝14x2＋14x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，152)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长．(用含m的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y 轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第3题图4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G 作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．第4题图课时2 与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABD ＝32S △ABC ，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°得到BE ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．第1题图2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．3. (2017海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝35x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y＝－13x2＋13x＋4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC.(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；(2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y 轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；(3)如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．第4题图课时3与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4，0)，与过A点的直线相交于另一点D(3，52)，过点D作DC⊥x轴，垂足为C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P在线段OC上(不与点O、C重合)，过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x 正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A 点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－83x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM＋1010MC的最小值；(3)如图②，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF＝533，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图课时4二次函数的实际应用(建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t 01234567…h 08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝92；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为12 5m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)答案课时1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过点A (－4，0)，B (0，3)， ∴⎩⎨⎧0＝－4k ＋b3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .第1题解图∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN ， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2＋2x ＋1)，N (x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380，∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C，∴C(0，1)，对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为(2，1)，点G到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值，最小值为d＝45×(2－58)2＋10380＝145.2. (1)解：把点C(6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋32＋c，解得c＝－3，∴y＝14x2＋14x－3，当y＝0时，14x2＋14x－3＝0，解得x1＝－4，x2＝3，∴A(－4，0)，设直线AC的函数表达式为：y＝kx＋b(k≠0)，把A(－4，0)，C(6，152)代入y＝kx＋b中得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k＋b152＝6k＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝34b＝3，∴直线AC的函数表达式为：y＝34x＋3；(2)①证明：由(1)易得OA＝4，OB＝3，OD＝3，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝OBOA＝34.在Rt△AOD中，tan∠OAD＝ODOA＝34.∴∠OAB＝∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ中点，∴OM＝MP，∴∠MOP＝∠MPO，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM＝∠AON，∴△APM∽△AON；②解：如解图，过点M作ME⊥x轴于点E. 又∵OM＝MP，∴OE ＝EP ， ∵点M 横坐标为m ， ∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4， ∵tan ∠OAD ＝34，∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝45， ∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，∵△APM ∽△AON ， ∴AM AN ＝AP AO ， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4.第2题解图3. 解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33， ∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233，∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD .∴△DMN 的周长为(1＋12＋32)MD .设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上，∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－(－33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3，∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334， ∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋98.4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎨⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ； (2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m ) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，得12x 2－(m －12)x －m ＝0.∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H (2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m . 由抛物线解析式易得E (1，0)， 又A (－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12， ∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ； (3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892. 【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，Q (t ，0)．∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t 22， 设M (x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|， 解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t .∴M (t －43，23t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136；(ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ， 解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892.综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.课时2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得 ⎩⎨⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)． 【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|. ∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.∵抛物线交y 轴于点C ，∴y ＝－12x 2＋32x ＋2中，令x ＝0，有y ＝2， ∴C (0，2)，∴OC ＝2. ∵OC ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝5，第1题解图①又∵S △ABD ＝32S △ABC ，∴DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝32OC ＝3，当－12m 2＋32m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2，此时D 1(1，3)，D 2(2，3)；当－12m 2＋32m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5，此时D 3(5，－3)． 综上所述，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .第1题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∴∠OCB ＋∠FCH ＝90°， 又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ， 而BC ＝CF ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )， 又∵B (4，0)，C (0，2)，∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2， ∴OH ＝6， ∴F (2，6)．设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得 ⎩⎨⎧4k ＋c ＝02k ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝－3c ＝12， ∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12.联立抛物线和直线BE 的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x 2＋32x ＋2y ＝－3x ＋12， 解得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝0(舍去)，⎩⎨⎧x 2＝5y 2＝－3，∴E (5，－3)， ∵EG ⊥x 轴， ∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE ＝BG 2＋EG 2＝10. 2. 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C (0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2； (2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0， ∴x 1＝－4，x 2＝1， ∴B (1，0)，如解图①，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，第2题解图①∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DM BN， 设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，则M (a ，12a ＋2)，∴DM ＝－12a 2－32a ＋2－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，在y ＝12x ＋2中，令x ＝1，则y ＝52，∴BN ＝52， ∵B (1，0)， ∴N (1，52)，∴S 1S 2＝DM BN ＝－12a 2－2a52＝－15(a ＋2)2＋45，∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45；②如解图②，第2题解图②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 中点P ，并连接CP ， ∴P (－32，0)， ∴P A ＝PC ＝PB ＝52， ∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC )＝43； 情况1：过D 作x 轴的平行线，交y 轴于R ，交AF 延长线于G ，则∠DGC ＝∠BAC ， 若∠DCF ＝2∠BAC ，即∠DGC ＋∠CDG ＝2∠BAC ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12. 即RC DR ＝12，设D (d ，－12d 2－32d ＋2)，∴DR ＝d ，RC ＝－12d 2－32d ，∴－12d 2－32dd ＝12， ∴d 1＝0(舍)，d 1＝－2， ∴x D ＝－2；情况2：如解图③，过A 作AQ ∥DF ，交CD 延长线于点Q ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，若∠FDC ＝2∠BAC ， 即∠AQC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠AQC ＝AC AQ ＝25AQ ＝43， ∴AQ ＝352，△QHA ∽△AOC ， ∴AH OC ＝AQ AC ＝HQ AO ＝34，第2题解图③∴AH ＝32，HQ ＝3， ∴Q (－112，3)，又C (0，2)，∴易求直线QC 的解析式为y ＝－211x ＋2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋2y ＝－12x 2－32x ＋2，∴12x 2＋2922x ＝0， x 1＝0(舍去)，x 2＝－2911， ∴x D ＝－2911，综上所述，D 点的横坐标为－2或－2911.3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)．∴⎩⎨⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P (t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M (t ，0)，N (t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点，∴令35x 2－185x ＋3＝35x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝7.当x ＝0时，y ＝35x ＋3＝3，当x ＝7时，y ＝35x ＋3＝365.∴点C (0，3)，D (7，365)．如解图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，第3题解图则CE ＝t ，DF ＝7－t ，S ΔPCD ＝S ΔPCN ＋S ΔPDN ＝12PN ·CE ＋12PN ·DF ＝12PN (CE ＋DF )＝72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，∴当t ＝72时，PN 取最大值为14720，此时△PCD 的面积最大，最大值为12×7×14720＝102940； ②存在.∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴当NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM 时，△CNQ 与△PBM 相似． ∵CQ ⊥PM ，垂足为点Q ， ∴Q (t ，3)．且C (0，3)，N (t ，35t ＋3)， ∴CQ ＝t ，NQ ＝(35t ＋3)－3＝35t .∴NQ CQ ＝35.∵P (t ，35t 2－185t ＋3)，M (t ，0)，B (5，0)．∴BM ＝5－t ，PM ＝－35t 2＋185t －3.情况1：当NQ CQ ＝PM BM 时，PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t )，解得t 1＝2，t 2＝5(舍去)，此时，P (2，－95)；情况2：当NQ CQ ＝BM PM 时，BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t 1＝349，t 2＝5(舍去)．此时，P (349，－5527)．综上所述，存在点P (2，－95)或者P (349，－5527)，使得△CNQ 与△PBM 相似． 4. 解：(1)令y ＝0，则－13x 2＋13x ＋4＝0，解得x ＝4或－3， ∴点A 坐标(－3，0)，点B 坐标(4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，把B (4，0)，C (0，4)代入得⎩⎨⎧b ＝44k ＋b ＝0 ，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝4，∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋4；(2)如题图①，∵PN ∥OC ，NK ⊥BC ，∴∠MPB ＝∠MKN ＝90°， ∵∠PMB ＝∠NMK ， ∴△MNK ∽△MBP ，∵△MNK 与△MBP 的面积比为1：2，∴BM ＝2MN ， ∵OB ＝OC ， ∴∠PBM ＝45°， ∴BM ＝2PB ， ∴MN ＝PB ，设P (a ，0)，则MN ＝－13a 2＋13a ＋4＋a －4＝－13a 2＋43a ，BP ＝4－a ， ∴－13a 2＋43a ＝4－a ， 解得a ＝3或4(舍去)， ∴PB ＝1，t ＝15；(3)①如解图①中，过F 作FR ⊥x 轴于R ，交GH 于T ，当轴对称图形为筝形时，PF ＝PG ，GM ＝FM ， ∵BP ＝PG ＝AQ ，PQ ＝PF ， ∴AQ ＝PQ ＝5t ，过点Q 作QN ⊥AP ，则AN ＝NP ， 由△AQN ∽△ACO ，∴AQ AC ＝AN AO ，∵A (－3，0)，C (0，4)， ∴AC ＝5， ∴5t 5＝AN 3， ∴AN ＝3t ， ∴AP ＝2AN ＝6t ， ∵AP ＋BP ＝AB ， ∴6t ＋5t ＝7， ∴t ＝711， ∴PB ＝PF ＝3511，易证△ACO ∽△FPR ∽△FMT ， ∴FP FR ＝AC AO ，∴FR ＝2111，TF ＝3511－2111＝1411， ∴FM AC ＝TF AO， ∴FM ＝7033，∴S ＝2×12PF ·FM ＝2450363；②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t ＋5t ＝7，∴t ＝78，∴S ＝494.第4题解图① 第4题解图② 课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过B (4，0)，D (3，52)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋152＝9a ＋3b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34b ＝114，∴抛物线的表达式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)∵抛物线y ＝－34x 2＋114x ＋1与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为A (0，1)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝d 52＝3k ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12d ＝1，∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1. ∵CD ⊥x 轴，点D 的坐标为D (3，52)， ∴点C 的坐标为C (3，0)， 设P (m ，0)，则0<m <3. ∵PN ⊥x 轴， ∴M (m ，12m ＋1)，∴PM ＝12m ＋1，CP ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PM ·CP ＝12×(12m ＋1)×(3－m )＝－14(m －12)2＋2516， ∴当m ＝12时，△PCM 面积取得最大值为2516； (3)∵OP ＝t ，∴P (t ，0)，M (t ，12t ＋1)，N (t ，－34t 2＋114t ＋1)， ∴MN ＝|－34t 2＋114t ＋1－(12t ＋1)|＝|－34t 2＋94t |， ∵CD ∥MN ，∴要使得四边形MNDC 是平行四边形，只需MN ＝CD 即可． ∵CD ＝52，∴只需|－34t 2＋94t |＝52，化简得3t 2－9t ＋10＝0或3t 2－9t －10＝0.当3t 2－9t ＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解； 当3t 2－9t －10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0， ∴t ＝9±2016， ∵t >0， ∴t ＝9＋2016，∴当t 为9＋2016时，四边形MNDC 是平行四边形． 2. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，∵对称轴是直线x ＝1， ∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)；(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形， ∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ， 解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)， ∴当t ＝1时，四边形OMPN 为矩形；②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°， 若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ ＝BQ ，如解图①所示： 则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32， ∴t ＝32÷2＝34； (ⅱ)若OQ ＝OB ，∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； (ⅲ)若OB ＝BQ ，如解图②所示： ∴BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos 45°＝3×22＝322， ∴OM ＝OB －BM ＝3－322＝6－322， ∴t ＝6－322÷2＝6－324，综上所述，当t 为34秒或6－324秒时，△BOQ 为等腰三角形．第2题解图3. 解：(1)将点A 、B 、D 的坐标代入抛物线的解析式得：⎩⎨⎧c ＝3a －b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)把y ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3得：－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝－1. ∴点E 的坐标为(3，0)．∵l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， ∴直线l 经过平行四边形两对角线的交点， ∴直线l 经过点BD 的中点，即(12，32)．设EF 的解析式为y ＝kx ＋b ′，将(12，32)和(3，0)代入直线的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b′＝323k ＋b′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35b′＝95，∴直线EF 的解析式为y ＝－35x ＋95， 将直线EF 解析式与抛物线解析式联立可得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝5125，∴F (－25，5125)，如解图①所示，连接PE ，过点P 作PG ⊥x 轴，交EF 于点G .第3题解图①设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点G 的坐标为(t ，－35t ＋95)， ∴PG ＝－t 2＋2t ＋3－(－35t ＋95) ＝－t 2＋135t ＋65.△PEF 的面积＝12PG ·|x E －x F |＝12×(3＋25)PG ＝12×175(－t 2＋135t ＋65)＝－1710t 2＋22150t ＋10250＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710，∴当t ＝－b 2a ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大面积为289100×1710， ∴最大值的立方根为3289100×1710＝1.7； (3)如解图②所示：当∠P AE ＝90°时，第3题解图②设直线AE 的解析式为y ＝k ′x ＋3，将点E 的坐标代入得：3k ′＋3＝0，解得k ′＝－1.∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋3. ∴直线AP 的解析式为y ＝x ＋3.将y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋2x ＋3联立，解得x ＝0时，y ＝3；x ＝1时，y ＝4. ∴P (1，4)． ∴t ＝1.如解图③所示：当∠APE ＝90°时，第3题解图③设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．设直线AP 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，PE 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2. 将点A 和点P 的坐标代入y ＝k 1x ＋b 1得⎩⎨⎧b 1＝3tk 1＋b 1＝－t 2＋2t ＋3，解得k 1＝－t ＋2.将点P 、E 代入y ＝k 2x ＋b 2得⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝0tk 2＋b 2＝－t 2＋2t ＋3， 解得k 2＝－(t ＋1)． ∵P A 与PE 垂直，∴k 1·k 2＝－1，即－(t ＋1)×(－t ＋2)＝－1，整理得：t 2－t －1＝0，解得t ＝1＋52或t ＝1－52， ∵点P 在直线l 的上方， ∴t ＝1－52(舍去)．综上所述，当t ＝1或t ＝1＋52时，△P AE 为直角三角形．4. 解：(1)△ABC 是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y ＝33x 2－83x －3，令y ＝0, 得33x 2－83x －3＝0，解得x ＝－33或3 3. 令x ＝0，y ＝－ 3.∴A (－33，0)，C (0，－3)，B (33，0)，∴OA ＝33，OC ＝3，OB ＝33， ∴AO OC ＝OC OB ＝13， ∵∠AOC ＝∠BOC ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ACO ＝∠OBC ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°.即△ABC 为直角三角形；(也可以求出AC 、BC 、AB ，利用勾股定理逆定理证明)(2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N (m ，33m 2－83m －3)，点N 关于x轴的对称点P (m ，－33m 2＋83m ＋3)，过B 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，连接PG .第4题解图①∵G (33，－3)，∴S ΔPBC ＝S ΔPCG ＋S ΔPBG －S ΔBCG ＝12×33×(－33m 2＋83m ＋23) ＋12×3×(33－m )－12×33×3＝－32(m －736)2＋1218.∵32<0，∴当m ＝736时，△PBC 的面积最大，此时P (736，1134)． 如解图②，作ME ⊥CG 于点E ，第4题解图②∵CG ∥OB ， ∴∠OBC ＝∠ECM ， ∵∠BOC ＝∠CEM ， ∴△CEM ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝1∶3∶10， ∴EM ∶CE ∶CM ＝1∶3∶10， ∴EM ＝1010CM ，∴PM ＋1010CM ＝PM ＋ME ，∴根据垂线段最短可知，当PE ⊥CG 时，PM ＋ME 最短， ∴PM ＋1010MC 的最小值为1134＋3＝1534； (3)存在，理由如下：① 如解图③，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴．作CG ⊥HK 于G ，PH ∥x 轴，EP ⊥PH 于点P .第4题解图③∵FH ∥CK ，K (433，－2539)， 易知CG ∶GK ∶CK ＝3∶4∶5，由△EPH ∽△KGC ，得PH ∶PE ∶EH ＝3∶4∶5，设 E (n ，33n 2－83n －3)，则HE ＝53(n －433)，PE ＝43(n －433)． ∵DH ＝HF ，∴3＋[－33n 2＋83n ＋3－43(n －433)]＝53(n －433)＋533， 解得n ＝－3＋4716或n ＝－3－4716(舍去)．②如解图④，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴．同上面的方法可得[33n 2－83n －3＋43(n －433)]－3＝53(n －433)＋533，解得n ＝332＋5916或n ＝332－5916(舍去)．第4题解图④③如解图⑤，当DH ＝DF ，DQ 平分∠HDF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴.第4题解图⑤设DQ 交HF 于M ，由△DHM ∽△CKG ，可知HM ∶DH ＝4∶5，则12×[53(n －433)＋533]∶[33n 2－83n －3＋43(n －433)－3]＝4∶5，解得n ＝19316＋3345948或n ＝19316－3345948(舍去)． 综上所述，满足条件的点E 的横坐标为－3＋4716或332＋5916或19316＋3345948.课时4 二次函数的实际应用1. B 【解析】由足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间关系可求得h 与t 的函数关系式为：h ＝－t 2＋9t ，当t ＝1.5时，可得h ＝11.25，所以④错误；当h ＝0时，可得－t 2＋9t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h ＝－t 2＋9t 可得对称轴是t ＝92，故②③正确；当t ＝92时，h ＝－814＋812＝814＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B .2. 解：(1)①把P (0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h 中得h ＝53； ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625. ∵1.625＞1.55. ∴此球能过网；(2)把P (0，1)，Q (7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝19a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15h ＝215， ∴a ＝－15.3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b ，点(50，0)，(30，600)在图象上，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝030k ＋b ＝600， 解得⎩⎨⎧k ＝－30b ＝1500， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)； (2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得 w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)， ∵a ＝－30<0，∴w 有最大值． 当x ＝－24002×（－30）＝40时，w 最大＝3000(元)；故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w ＝p (x －30－a )＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)， 对称轴为x ＝－2400＋30a 2×（－30）＝40＋12a .①若a >10，当x ＝45时w 取最大值，即(45－30－a )×150＝2250－150a <2430(舍去)；②若a <10，当x ＝40＋12a 时w 取最大值，将x ＝40＋12a 代入，得w ＝30(14a 2－10a ＋100)，令w ＝2430，则30(14a 2－10a ＋100)＝2430，解得a 1＝2或a 2＝38(舍去)． 综上所述，a 的值为2.。

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆二次函数的几何应用一、选择题1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）A、B、C、D、考点：二次函数综合题。

分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=，故选C．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 2 时，四边形ABCN的面积最大．考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：应用题。

分析：设BM=x ，则MC=﹣4x ，当AM⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN ，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值． 解答：解：设BM=x ，则MC=﹣4x ， ∵∠AMN=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC， ∴△ABM∽△MCN，则CN BM MC AB =，即CNxx =-44， 解得CN=4)4(x x -， ∴S 四边形ABCN =21×4×[4+4)4(x x -]=﹣21x 2+2x+8，∵﹣21＜0，∴当x=)21(22-⨯-=2时，S 四边形ABCN 最大．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．三、解答题1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B .(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标； (2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。

年中考数学第一轮复习专题训练 二次函数及其应用一、填空题：1．抛物线12+-=x y 的开口向 ，抛物线22x y =的对称轴是 ； 2．抛物线2)1(2-=x y 图象的顶点坐标为 ；3．将抛物线22x y =向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 ； 4．二次函数32++=bx x y 的图象经过点（1-, 0），则_____=b ； 5．二次函数2)1(2+-=x y ，当_____=x 时，y 有最小值是 ； 6．函数3)1(212+-=x y ，当_______x 时，函数值y 随x 的增大而增大； 7．将322+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，则________________=y ； 8．若点 A （2，m ）在函数12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是 ； 9．抛物线4322-+=x x y 与y 轴的交点坐标是 ；10．直线2+=x y 与抛物线x x y 22+=的交点坐标为 ； 11．请写出一个二次函数以（2， 3）为顶点，且开口向上， ；12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示：则这个二次函数的解析式是________________=y ； 二、选择题：13．关于抛物线2ax y =和)0(2≠-=a ax y ，给出下列说法：（1）两条抛物线关于x 轴对称；（2）两条抛物线关于原点对称；（3）两条抛物线各自关于y 轴对称；（4）两条抛物线有公共的顶点．其中正确的说法有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个14．已知抛物线的解析式为1)2(2+--=x y ，则抛物线的顶点坐标是 （ ） A 、（－2，1） B 、（2，l ） C 、（2，－1） D 、（1，2） 15．在同一坐标系中，抛物线23x y =，23x y -=，231x y -=的共同点是 （ ） A 、都关于x 轴对称，抛物线开口向上 B 、都关于y 轴对称，抛物线开口向下 C 、都关于原点对称，顶点都是原点 D 、都关于y 轴对称，顶点都是原点16．若二次函数c bx ax y ++=2，当x 取1x ，2x （21x x ≠）时，函数值相等，则当x 取（21x x +）时，函数值为 （ ） A 、c a + B 、c a - C 、c - D 、 c17．设直线32-=x y 、抛物线x x y 22-=，点P （1，1-），那么点P （1，1-）（ ） A 、在直线上，但不在抛物线上 B 、在抛物线上，但不在直线上 C 、既在直线上，又在抛物线上 D 、既不在直线上，又不在抛物线上18．已知c bx ax y ++=2的图像如图所示，则a 、b 、c 满足） A 、0,0,0<<<c b a B 、0,0,0><>c b a C 、0,0,0>><c b a D 、0,0,0><<c b a 19．苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足g gt s (212=＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是 （ ）A B C D20．抛物线2x y -=具有的性质是 （ ） A 、开口向下 B 、对称轴是y 轴 C 、与y 轴不相交 D 、最高点是原点21．抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴，则c 的值是 （ ）A 、0B 、4C 、－4D 、222．二次函数5)3(22+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为 （ ） A 、开口向下，对称轴3-=x ，顶点坐标为（3，5） B 、开口向下，对称轴3=x ，顶点坐标为（3，5） C 、开口向上，对称轴3-=x ，顶点坐标为(－3，5) D 、开口向上，对称轴3-=x ，顶点坐标为(－3，－5）23．关于二次函数c bx ax y ++=2的图象有下列命题：①当0=c 时，函数的图象经过原点；②当0>c 且函数的图象开口向下时，02=++c bx ax 必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当0=b 时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确的个数是t tttx（24题）（ ）A 、1个B 、2个C 、3 个D 、4个24．已知抛物线c bx x y ++=2的部分图象如图所示，若0<y ，则x 的取值范围是 （ ） A 、－1＜x ＜4 B 、－1＜x ＜3 C 、x ＜－1或 x ＞4 D 、x ＜－1或 x ＞3三、解答题：（每题 9 分，共 45 分）25．已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。

中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。

求顶点坐标1. 抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．【答案】DA.（2，－3）；B.（－2，3）；C.（2，3）；D.（－2，－3） ． 2. 抛物线221y x x =-+的顶点坐标是【答案】AA ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）3. 若下列有一图形为二次函数y ＝2x 2－8x ＋6的图形，则此图为何？【答案】A4. 二次函数522-+=x x y 有( )DA ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-5. 将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ． 【答案】y=(x-2)2+16.下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是( ) A ．y = (x − 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x − 2)2 − 3 D ．y = (x + 2)2 − 3 【答案】C7. 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 【答案】A2cx a=。

5．图象与x 轴的交点的个数⇔24ac b -：当24ac b -＞0时，抛物线与x 轴有两个交点. 当24ac b -＜0时，抛物线与x 轴有一个交点. 当24ac b -= 0时，抛物线与x 轴没有交点.6. 函数图象上的点与相关代数式：（1，a b c ++）、（－1，a b c -+）；（2，42a b c ++）、（－2，42a b c -+）图像到系数1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >0【答案】D2. 如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编二次函数图像及其性质一、选择题1.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3考点：二次函数的性质。

专题：计算题。

分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．2.（2011•江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A、a＞0B、当x＞1时，y随x的增大而增大C、c＜0D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据图象可得出a ＜0，c ＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根． 解答：解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故B 选项错误；∵对称轴x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故C 选项错误； ∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D 选项正确． 故选D ．点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．[来源:Z§xx§]3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x 2+1与双曲线y=xk的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式xk +x 2+1＜0的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜﹣1C ．0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0考点：二次函数与不等式（组）。

中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-带含参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2−2t+1B．y=ax2+bx+c C．y=3x−1D．y=x2+1x2．将抛物线y=(x−3)2−4先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A．y=(x−4)2−6B．y=(x−1)2−3C．y=(x−2)2−2D．y=(x−4)2−23．已知抛物线y=ax2−bx(a>0)经过这两点(−3−n，−1)与(n+1，−1)，若点P(1，h)在抛物线上，则h可能的值是（）A．2B．2.4C．2.8D．3.24．对于抛物线y=−5(x+1)2−2的说法正确的是（）A．开口向上B．顶点坐标是（1，-2）C．对称轴是直线x=1 D．当x<-1时，y随x的增大而增大5．抛物线y=−2x2+4x+5上有三个点A(−1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y3<y2<y16．已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（）A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜47．如图，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，−1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+√2B．1−√2C．√2−1D．1−√2或1+√28．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，以下结论：①abc<0②3a+c=0③ax2+bx+ c=0的两个根是x1=−1，x2=3④4a+2b+c>0，其中正确的是（）A．③④B．①②C．②③D．②③④二、填空题9．已知二次函数y=x2+2x−5，当x=3时，y=．10．若抛物线y=−x2+6x+a的顶点在x轴上，则a的值是．11．当x≥m时，两个函数y1=−（x﹣4）2＋2和y2=−（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为.12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(－2，－3)，B(3，q)两点，则不等式ax2-mx+c＜n的解集是.13．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣15(x−4)2+205，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是．三、解答题14．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值．15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图像与x轴交于A、B两点，A（－1，0）请回答下列问题（1）求出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；（3）求△ABD的面积？17．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系DE=，竖直高度中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度3mEF=．内边缘抛物线2y是由外边缘抛物线1y向左平移得到，外边抛物线1y最高点A离喷水口的水0.5m平距离为2m，高出喷水口0.5m（1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；BD=时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．（3）当1m18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案1．A2．D3．D4．D5．C6．D7．A8．C9．1010．-911．412．-2＜x＜313．5＜n＜714．（1）解：将A（0，3）代入解析式，得t=3∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+3；（2）解：∵点P（m，n）在抛物线y=﹣x2﹣3x+3上∴n=﹣m2﹣3m+3∴m+n=﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4∴当m=﹣1时，m+n有最大值是4．15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x−60)(−2x+400)=8000解得x1=100∵公司尽可能多让利给顾客∴应定价100元（3）解：由题意，得w=(x−60−10)(−2x+400)=−2x2+540x−28000=−2(x−135)2+8450∵−2<0∴当x=135时，w有最大值，最大值为8450.答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大.16．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4） ∴可设抛物线解析式为y =a(x −1)2+4 ∵抛物线与x 轴交于A （-1，0） ∴0=a(−1−1)2+4 ∴a =−1∴抛物线解析式为y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3 （2）解：令x =0，则y =3∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为（0，3） （3）解：∵抛物线顶点坐标为（1，4） ∴抛物线对称轴为直线x =1∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（3，0） ∴AB=4∴S △ABD =12AB ⋅y D =8．17．（1）解：如图1，由题意得()22A ，是外边缘抛物线的顶点 设()2122y a x =-+又∵抛物线过点()01.5， ∴1.542a =+ ∴18a =-∴外边缘抛物线的函数解析式为()211228y x =--+ 当0y =时()210228x =--+，解得16x =，22x =-（舍去） ∴喷出水的最大射程OC 为6m ； （2）解：∵2y 对称轴为直线2x =∴点()01.5，的对称点为()41.5， ∴2y 是由1y 向左平移4m 得到的由（1）可得()60C ， ∴点B 的坐标为()20，（3）解：∵当1m BD =时3m OD =，则6m OE =∴点F 的横坐标为6 把6F x =代入100.5y =< ∴所以不能浇灌到整个绿化带．18．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时∴C(0，−4)当−3<m <0时当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题(含答案)1、二次函数的定义定义：y=ax2 ＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）定义重点：①a≠0②最高次数为 2 ③代数式必定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有 ____个。

m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数2、二次函数的图像及性质y抛物线极点坐标对称轴地点张口方向增减性最值例2：已知二次函数yx0xy=ax+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)b4ac b2b4acb2,4a2a,2a4a直线xb b直线x2a2a由a,b和c的符号确立由a,b和c的符号确立a>0,张口向上a<0,张口向下在对称轴的左边,y跟着x的增大而.在对称轴的左边,y跟着x的增大而.在对称轴的右边,y跟着x的增大而.在对称轴的右边,y跟着x的增大而.当xb4acb2当xb4acb2时,y最小值为4a时,y最大值为2a2a4ay1x2x322（（1）求抛物线张口方向，对称轴和极点M的坐标。

2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

3）x为什么值时，y随的增大而减少，x为什么值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少4）x为什么值时，y<0x为什么值时，y>03、求抛物线分析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，往常设分析式为________________2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k），往常设抛物线分析式为_______________求出表达式后化为一般形式.3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),往常设分析式为_____________练习：依据以下条件，求二次函数的分析式。

(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的极点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。

中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-附带答案一、选择题1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x2−x B．y=2x+1C．y=1x D．y=34x2．二次函数y=(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．(−1，2)B．(1，−2)C．(−1，−2)D．(1，2)3．二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A．y=(x+3)2+2B．y=(x−3)2+2C．y=(x+3)2−2D．y=(x−3)2−24．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=−kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．5．关于抛物线y＝-3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝-1C．顶点坐标为（1，1）D．与x轴有两个交点6．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．−1<x<5B．0<x<5C．x>5D．x<−1或x>57．如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①abc>0；②2a+b=0；③b2−4ac<0；④a−b+c=0；⑤8a+c<0；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．篮球出手时离地面的高度是2m B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）x2+3.5C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．此抛物线的解析式是y=−15二、填空题9．二次函数y=−x2+3x+3的图象与y轴的交点坐标是．10．已知点A(3，n)在二次函数y=2x2−5x−3的图像上，那么n的值为．11．已知，二次函数y=4x2−4ax+a2+2a+2在0≤x≤2上有最小值4，则a=．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x<3时，函数值y的取值范围是．x2，当水面13．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−125离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为米．三、解答题14．已知二次函数y=−2x2+bx+c的图象经过点(0，6)和(1，8).（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（2）当x在什么范围内时，y>0？15．如图，抛物线的顶点坐标为(1，−4)，且图象经过点(3，0).（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P(0，m)，过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B点左侧），若PA：PB=1：2，求m的值.16．某商场销售一种商品，进价为每个20元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：每个商品的售价x（元）…30 40 50 …每天的销售量y（个）…100 80 60 …（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？17．已知抛物线y=ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A（6，0），点B(−1，0)，交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（3）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．18．如图，抛物线经过A（-2，0），C（0，-3）两点，且对称轴为直线x=1.2（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线y＝kx-5与抛物线交于点M，N，交x轴于点B，交y轴于点P，连接CN，且tan∠OPM=1.2①求△CMN的面积；②在平面内是否存在点一是E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，如果存在，请直接写出点E的坐标.参考答案 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．D 9．（0，3） 10．011．1或−1−√3 12．-1≤y<3 13．2014．（1）解：∵二次函数y =−2x 2+bx +c 的图象经过点(0，6)和(1，8) ∴{c =6−2×12+b +c =8 解得{b =4c =6即该二次函数的解析式为y =−2x 2+4x +6； ∴y =−2x 2+4x +6=−2(x −1)2+8 ∴该函数的对称轴是x =1，函数图象开口向下 ∴当x <1时，y 随x 的增大而增大；（2）解：当y =0时0=−2x 2+4x +6=−2(x −3)(x +1) 解得，x 1=3，x 2=−1 ∴当−1<x <3时15．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设抛物线表达式为y =a(x −1)2−4，把(3，0)代入得0=a ×(3−1)2−4∴a =1∴y =(x −1)2−4（2）解：解法一：设AP =a∵AP ：BP =1：2 ∴BP =2a 则A(−a ，m)分别代入y =(x −1)2−4，可得(−a −1)2−4=m∴(−a −1)2=(2a −1)2 解得a =0（舍去）或a =2 ∴A(−2，m)把(−2，m)代入得y =(x −1)2−4，得 m =(−2−1)2−4 ∴m =5. 解法二：设AP =a ∵AP ：BP =1：2 ∴BP =2a ∴2a −1=a +1 ∴a =2 ∴A(−2，m)把(−2，m)代入得y =(x −1)2−4，得 m =(−2−1)2−4 ∴m =5.16．（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b 由题意得{30k +b =10040k +b =80 ∴{k =−2b =160∴y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +160 （2）解：由题意得w =(x −20)(−2x +160) =−2x 2+40x +160x −3200 =−2x 2+200x −3200（3）解：∵w =−2x 2+200x −3200=−2(x −50)2+1800，−2<0 ∴当x =50时，w 最大，最大为1800∴当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元．17．（1）解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A （6，0），B （−1，0） ∴{a −b ＋6＝036a ＋6b ＋6＝0 ∴{a ＝−1b ＝5∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6 当x ＝0时，y ＝6 ∴点C （0，6）； （2）解：如图（1）∵A （6，0），C （0，6） ∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6） ∴PD ＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9 当t ＝3时，PD 最大，此时−t 2＋5t ＋6＝12 ∴P （3，12）；（3）解：如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF∵点F 在线段MN 的垂直平分线AC 上 ∴FM ＝FN ，∠NFC ＝∠MFC ∵l ∥y 轴∴∠MFC ＝∠OCA ＝45° ∴∠MFN ＝∠NFC ＋∠MFC ＝90° ∴NF ∥x 轴由（2）知，直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6 当x ＝52时，y ＝72 ∴F （52，72） ∴点N 的纵坐标为72设N 的坐标为（m ，−m 2＋5m ＋6）∴−m 2＋5m ＋6＝72∴m ＝5+√352或m ＝5−√352∴点N 的坐标为（5+√352，72）或（5−√352，72）．18．（1）解：设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ∵对称轴为直线x =12 ∴-b 2a ＝12 ∴b ＝-a ∴y ＝ax 2-ax+c将点A （-2，0），C （0，-3）代入 ∴{c =−34a +2a +c =0 解得{c =−3a =12∴y ＝12x 2-12x-3；（2）解：①y ＝kx-5与y 轴的交点P （0，-5） ∴OP ＝5 ∵tan∠OPM =12 ∴12=OBOP ∴OB ＝52 ∴B （52，0） 将B 点代入y ＝kx-5 ∴52k-5＝0 ∴k ＝2 ∴y ＝2x-5 联立方程组 {y =2x −5y =12x 2−12x −3解得 {x =1y =−3 或 {x =4y =3 ∴M （4，3），N （1，-3） ∵C （0，-3），P （0，-5） ∴CP ＝2∴S △CMN ＝S △CPM -S △CNP ＝12×2×4-12×2×1＝3；②存在，E 点坐标为（5，3）或（-3，-9）或（3，3）.。

中考数学总复习《二次函数》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=(x−1)(x+2)B．y=(x−1)2−x2C．y=2(x−1)2D．y=1−x22．将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y=(x−3)2+4B．y=(x+3)2+4C．y=(x−3)2−4D．y=(x+3)2−43．若点(3，a)、(4，b)都在二次函数y=(x−2)2的图象上，则a与b的大小关系（）A．a>b B．a<b C．a=b D．无法确定4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．(x+2)2−3，下列说法正确的是（）5．已知二次函数y=−12A．顶点坐标为（2，-3）B．对称轴为x=2C．函数的最小值是-3 D．当x>0时随x的增大而减小6．已知二次函数y=(a−1)x2+(2a+2)x+a+1，对于任意的x值，y<0恒成立，则a的值可以是（）A．0 B．−1C．−2D．17．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．20米B．18米C．10米D．8米8．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数时，a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．将二次函数y=x2−4x+3化成y=a(x−h)2+k的形式，结果为．10．抛物线y=−2x2+3与y轴的交点坐标为.11．如图．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1．则当y<0时。

二次函数习题精选1、如图1，抛物线341412++-=x x y 与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，与直线b kx y +=交于A 、D 两点。

⑴直接写出A 、C 两点坐标和直线AD 的解析式； ⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m 记做P 点的横坐标，第二次着地一面的数字n 记做P 点的纵坐标.则点()n m P ,落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？解：⑴ A 点坐标：(－3，0)，C 点坐标：C(4，0)； 直线AD 解析式：4341--=x y .⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）： 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种： （－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）.因此P （落在抛物线与直线围成区域内）＝167. 2、今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数 2120y x bx c =-++. （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2141.x m +=，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问 4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜. 从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨%8.0a . 若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值. 解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为0.2 1.8y x =+．把1x =， 2.8y =和2x =， 2.4y =分别代入2120y x bx c =-++，得 12.8,20142 2.4.20b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩ 解得 0.25,3.1.b c =-⎧⎨=⎩ ∴5月份y 与x 满足的函数关系式为20.050.25 3.1y x x =--+． 图2 -1 32（2）设4月份第x 周销售一千克此种蔬菜的利润为1W 元，5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为2W 元．11(0.2 1.8)( 1.2)4W x x =+-+0.050.6x =-+．∵0.050-<，∴1W 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，10.050.60.55W =-+=最大．221(0.050.25 3.1)(2)5W x x x =--+--+20.050.05 1.1x x =--+．∵对称轴为0.050.52(0.05)x -=-=-⨯-，且0.050-<，∴当0.5x >-时，y 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，21W =最大．所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元． （3）由题意知：[]100(1%)2 2.4(10.8%) 2.4100a a -+⨯+=⨯．整理，得 2232500a a +-=． 解得a =∵2391521=，2401600=，而1529更接近1521，39．∴31a ≈-（舍去）或8≈a ． 答：a 的整数值为8．3、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+ ∴16m =- ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴5AB =∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上．（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =-∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）4、如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点第 页 共 8 页 3D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）解⑴ ∵抛物线经过点D (29,3-)∴29)3(212=+-⨯-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ，∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为6212+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32）∵M 是BD 的中点 ∴M （49,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-4923032b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==591033b k ∴直线AC 的解析式为591033+=x y . ⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN=，于是以A 点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______；⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式；②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.解：⑴ x ，D 点；⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 内部，所以y ＝43x 2； ②分两种情况：Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上，△EFG与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN4＝3x －6.由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝43x 2－83（3x －6）2＝2392398372-+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上，△EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ，∵EC ＝6－x,∴y ＝83（6－x ）2＝239233832+-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝43x 2在x ＞0时，y 随x 增大而增大，∴x ＝2时，y 最大＝3；当2＜x ＜3时，∵y ＝2392398372-+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝239233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小，∴x ＝3时，y 最大＝839. 综上所述：当x ＝718时，y 最大＝739.6、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1+此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.7、如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E（4,0）（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 图2解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为x x y 42+-=由x x y 42+-=()224y x =--+得当x =2时，该抛物线的最大值是4.第 页 共 8 页5（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k 所以直线ME 的关系式为y=-2x +8.由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，)411,411(P∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上. ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴PN=-t 2+3 t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ， ∴ S=21(CD+PN )·AD=21[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3 当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）8、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．解：⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）.设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3.当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）. ⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直，又直线BC 的解析式为y ＝x －3， 所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2.所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.9、已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标； 解 ：1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14 x 2+x +1（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y =14x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0，1）∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB6⊥AB 则∠PBC =∠BAO∴Rt △PCB ∽Rt △BOA∴AOBC OBPC =，故PC =2BC ，设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14x 2+x +1解之得：x 1=-2，x 2=-10∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16) 10、已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是11x==-+21x ==--（3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．11、已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 解：（1）△=22)1(4)2(m m m =-+-∵方程有两个不相等的实数根, ∴0≠m . ∵01≠-m ,∴m 的取值范围是1,0≠≠m m 且. （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m mm m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m mm x ，11)1(222-=-++-=m m m m x .∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）, ∴无论m取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（0,1-）（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且1,0≠≠m m ,∴2=m . 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为第 页 共 8 页7861)3(22+-=--=x x x y .12、如图，已知抛物线C 1：5)2(2--=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A的横坐标是1-．（1）求p 点坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式k h x a y +-=2)(；（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．解：（1）由抛物线C 1：5)2(2--=x a y 得顶点P 的坐标为（2，5）∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴95a =. （2）连接PM ，作PH⊥x 轴于H ，作MG⊥x 轴于G.. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且PA ＝MA.. ∴△P A H≌△M AG..∴MG＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3.∴顶点M 的坐标为（4-，5）. ∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式5)4(952++-=x y . （3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5. 设点N 坐标为（m ，5），作PH⊥x 轴于H ，作NG⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R.∵旋转中心Q 在x轴上,∴EF＝AB ＝2AH ＝6. ∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）.根据勾股定理，得,104m 4m PR NR PN 2222+-=+= 50m 10m HE PH PE 2222+-=+=3435NE 222=+= ①当∠PN E ＝90º时，PN 2+ NE 2＝PE 2，解得m ＝344-，∴N 点坐标为（344-，5）②当∠P EN ＝90º时，PE 2+ NE 2＝PN 2，解得m ＝310-，∴N 点坐标为（310-，5）. ③∵PN＞NR ＝10＞NE ，∴∠NP E ≠90º 综上所得，当N 点坐标为（344-，5）或（310-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形 13、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B（点8B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线()01x m m =<+与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．14、如图，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由. 解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，则⎩⎨⎧=++=+-036360324b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141b a 抛物线的解析式为3412++-=x x y⑵ D 的坐标为)3,4(D 直线AD 的解析式为121+=x y直线BC 的解析式为321+-=x y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=321121x y x y 求得交点E 的坐标为)2,2( ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥ ∴四边形CEDP 是菱形15、如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部 分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究 S 的最大值．解：（1）令0=y ，得04212=++-x x ，即0822=--x x ，解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．设AB 为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，当点)2,2(x x Q 在直线AB 上时，422+-=xx ，解得4=x ．所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ．（3）当点)2,(xx E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上） 42+-=x x ，解得38=x ． ①当382<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ，此时，42)4(-=+--=x x x PC ，又PC PD =，所以22)2(221-==∆x PC S PCD ，从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x78)716(472+--=x ．因为387162<≤，所以当716=x 时，78max =S ．②当438≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，此时，42)42(+-=-+-=x xx QN ，又QN QM =，所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ，即2)4(21-=x S ．其中当38=x 时，98max =S ．综合①②得，当716=x 时，78max =S ．蜻蜓点水 一级(33) |P A C D EB o x y1-11OABPEQ Fxy （第15OABxy （第15题PEQFM N。

第21课时 二次函数的应用【复习要点】1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

（1）求解析式的一般方法：①已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式 。

②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式 。

③已知图象与x 轴的两个交点的横坐标为x 1、x 2， 通常选择交点式 （不能做结果，要化成一般式或顶点式）。

（2）求交点坐标的一般方法：①求与x 轴的交点坐标，当y ＝ 代入解析式即可；求与y 轴的交点坐标，当x ＝ 代入解析式即可。

②两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。

2、二次函数常用来解决最优化问题，即对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当x = 时，函数有最值y ＝ 。

最值问题也可以通过配方解决，即将2(0)y ax bx c a =++≠配方成2()(0)y a x h k a =-+≠，当x = 时，函数有最值y ＝ 。

3、二次函数的实际应用包括以下方面：（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。

从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：【例题解析】例1：如图1所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的表达式． 解析：因为抛物线的对称轴为y 轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数表达式为2y ax k =+（a ≠0，k ≠0）．代入A ，B 两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．可得：21.5 3.053.5a k k ⎧+=⎨=⎩，．解得0.2a =-，所以，抛物线对应的函数表达式为20.2 3.5y x =-+．反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键。