2019-2020学年高中数学 奇偶性学案 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学函数的奇偶性教案人教版必修1一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 .1. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.2. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.3. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.1. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 .2. 教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性 .3. 教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.4. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三. 教学内容及课时安排建议本章教学时间约13课时。

其中1.3 函数的性质占3课时。

本次集体备课着重分析第二课时《函数的奇偶性》。

一．教学目标1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式三．学法与教学用具学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．教学用具：三角板投影仪四．教学思路通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=- 解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x=+ （4）21()f x x = 解：（略）小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：①()(4)(4)f x lg x g x =++- ②2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．解：（1）{()f x x x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数． （2）当x ＞0时，－x ＜0，于是2211()()1(1)()22g x x x g x -=---=-+=- 当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R －∪R +上，()g x 是奇函数． 例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 41思考题：规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．证明：（略）小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P 42 练习1．2 P 46 B 组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =。

2019-2020学年新人教A 版必修一 函数的奇偶性 教案考点一 函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 015)＋f(2 017)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f (2 017)＝f (1)＝log 22＝1，f (－2 015)＝f (2 015)＝f (3)＝－1f (1)＝－1，∴f (－2 015)＋f (2 017)＝0. 答案：0考点三 函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式． 3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合． 探究一 已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 答案：1探究二 利用单调性、奇偶性求解不等式 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)，∴|x |>|2x －1|，解得13<x <1，故选A.答案：A探究三 周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 答案：A探究四 单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． 答案：D函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1.设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ， ∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1， ∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2. [答案] 2[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习] 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx ， 令F (x )＝f (x )＋8可知F (x )为奇函数， ∴F (－x )＋F (x )＝0.∴F (－2)＋F (2)＝0，故f (－2)＋8＋f (2)＋8＝0. ∴f (2)＝－26. 答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．(2015·唐山一模)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0D ．2log 213解析：由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x ＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12－1＋f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝2. 答案：A3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1，故选D.答案：D4．在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当0<x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (2 015)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数的周期为3，所以f (2 015)＝f (672×3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.答案：A5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0，或x >1}B ．{x |x <－1，或0<x <1}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |－1<x <0，或0<x <1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示： 则有不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 {x |－1<x <0或0<x <1}，选D. 答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1.答案：17．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－18．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，由③知f (x )在[1,3]上是减函数．所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)＝f (2)，f (2 017)＝f (1)，所以f (1)>f (2)>f (3)，即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)．答案：f (2 017)>f (2 016)>f (2 015) 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集． 解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.答案：C2．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A. 答案：A3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 为偶函数，只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．(2015·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，当x ∈[0，＋∞)时，f (x ) ＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .答案：C5．(2015·高考湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫21－x－1，易知y＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1______年______月______日____________________部门1.3.2 奇偶性学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．，完成下面问题：P35－P33预习教材知识点函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )提示(1)×反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数；(2)×存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数；(3)×函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．题型一函数奇偶性的判断(1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，－x ＋1，x<0.解 (1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．规律方法 判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法： (2)图象法：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝.解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．题型二奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).考查方向题型三函数奇偶性的应用方向1 利用奇偶性求函数值【例3－1】已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )A．26 B．18 C．10 D．－26解析法一由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.法二由已知条件，得①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16， 又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26. 答案 D方向2 利用奇偶性求参数值【例3－2】 若函数f(x)＝为奇函数，则a ＝________.解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a ＋1)x ＋a ＝x2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1.答案 －1方向3 利用奇偶性求函数的解析式【例3－3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －1，求函数f(x)的解析式．解 当x ＜0，－x ＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x －1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x ＋1.又f(x)(x ∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值，比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值．2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．课堂达标1．下列函数是偶函数的是( ) C．y＝D．yB．y＝2x2－3A．y＝x＝x2，x∈(－1,1]解析对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B．答案B 2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( ) D．4C．3B．2A．1解析f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.答案B 3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋－1，则f(－2)＝________.解析f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝.答案924．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．解析 由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R 上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．答案 (－3,0)∪(0,3)5．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x ＋1，求f(x)的解析式．解 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x ＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x －1，又f(0)＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，0，x ＝0，x －1，x<0.课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f (x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．。

第2课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法；2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式；3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解．知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f (x )在区间[a ，b ]上的解析式与该区间函数图象上的点(x ，y )有什么关系？ 答案 满足y ＝f (x )．一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式．如果该等式同时满足两个条件：①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式．如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间 [－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ，－y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． 知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y ＝x 2与奇函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案 偶函数y ＝x 2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．一般地，(1)若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是增函数，且有最小值－M .(2)若偶函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 知识点三 奇偶性的推广思考 (1)f (－x )＝－f (x )⇔⎩⎨⎧－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝0⇔y ＝f (x )关于(0,0)对称；那么f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔⎩⎨⎧a －x ＋a ＋x2＝a ，f (a －x )＋f (a ＋x )2＝0⇔y ＝f (x )关于________对称；(2)f (－x )＝f (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋x 2＝0，f (－x )＝f (x )⇔y ＝f (x )关于直线x ＝0对称；那么f (a －x )＝f (a ＋x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋a ＋x 2＝a ，f (a －x )＝f (a ＋x )⇔y ＝f (x )关于直线________对称． 答案 (1)(a,0) (2)x ＝a类型一 用奇偶性求解析式例1 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，f (x )＝－x －1. (2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.① 用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．解(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，∴当x<0时，f(x)＝2x.又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0也适合上式．∴f(x)＝2x，x∈R.(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x，∴f(x)－g(x)＝－2x，②(①＋②)÷2，得f(x)＝0；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.类型二奇偶性对单调性的影响例2设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．证明设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1)．∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x 1，x 2属于哪个区间． 跟踪训练2 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－2x )＜0.解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由f (1－x )＋f (1－2x )＜0，得 f (1－x )＜－f (1－2x )． ∴f (1－x )＜f (2x －1)．又∵f (x )在(－1,1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－x <1，－1<1－2x <1，1－x >2x －1.解得0＜x ＜23.∴原不等式的解集为(0，23)．类型三 对称问题例3 定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x ，试画出f (x )的图象．解 ∵f (x )是奇函数，∴f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )， ∴f (x )关于直线x ＝－2对称．反复利用f (x )关于原点对称又关于直线x ＝－2对称，可画出f (x )的图象如图：反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似．跟踪训练3 定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x .试画出f (x )的图象．解∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称．反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：1．f(x)＝x2＋|x|()A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数答案 D2．已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于()A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1答案 A3．若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是()A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数答案 B4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得() A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0答案 C5．已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于() A．1 B．－1 C．2 D．－2答案 D1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．一、选择题1．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(0,1) D．[－1,1)答案 A解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.选A.2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于() A．x2B．2x2C．2x2＋2 D．x2＋1答案 D解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②由①②联立，得f(x)＝x2＋1.3．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3) 答案 A解析 f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，由于f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)＜f (1)＝f (3)．4．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是( )A ．f (－32)>f (a 2＋2a ＋52)B ．f (－32)<f (a 2＋2a ＋52)C ．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52)D ．f (－32)≤f (a 2＋2a ＋52)答案 C解析 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以f (a 2＋2a ＋52)≤f (32)＝f (－32)．5．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 答案 A解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)， 又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x ＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x ＜0，即f (x )x＜0， ∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0， ∴当x ＞1时，f (x )＜0. ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0， 即x ＜－1时，f (x )＞0.综上使f (x )x ＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、填空题7．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 答案 [0，＋∞)解析 利用函数f (x )是偶函数，得k －1＝0，k ＝1，所以f (x )＝－x 2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，16 解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论， 有f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x |)<f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x |<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－16，16.9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 答案 －0.5解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x ＜0为奇函数，则f [g (－1)]＝________.答案 －15解析 当x ＜0时，则－x ＞0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ， 所以f (x )＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f [g (－1)]＝f (－3)＝－9－6＝－15. 三、解答题11．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，求g (－1)．解 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，所以f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.12．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减． ∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)， ∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >23.∴实数a 的取值范围是a ＞23.13．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )为R 上的单调减函数， ①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)当x <0时，－x >0， 又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2－2x ，x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为a ≤0. ②∵f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， ∴f (m －1)<－f (m 2＋t )，又∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (－t －m 2)， 又∵f (x )为R 上的单调减函数， ∴m －1>－t －m 2恒成立，∴t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54恒成立，∴t >54.。

1.3.2奇偶性1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点)2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 偶函数阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1-3-4所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．图1-3-4【解】由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．教材整理2 奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )【解析】(1)×.如f(x)＝x2，满足f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数；②g(x )＝1－x2|x ＋2|－2既不是奇函数也不是偶函数； ③F (x )＝f (x )f (－x )(x ∈R )是偶函数；④h (x )＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________． 【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．【自主解答】 对于①，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数，①正确；对于②，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，∴g (x )＝1－x2|x ＋2|－2＝1－x2x ＋2－2＝1－x2x ，满足g (－x )＝－g (x )，故y ＝g (x )是奇函数，②错误；对于③，∵F (x )＝f (x )f (－x )，∴F (－x )＝f (－x )f (x )＝F (x )(x ∈R )，∴F (x )＝f (x )f (－x )是偶函数，③正确；对于④，由⎩⎨⎧x2－1≥0，1－x2≥0，解得x ＝±1，故函数h (x )的定义域为{－1,1}，且h (x )＝0，所以h (x )既是奇函数，又是偶函数，④正确．【答案】 ①③④定义法判断函数奇偶性的步骤[再练一题]1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)【导学号：97030060】 (1)f (x )＝x 3；(2)f (x )＝|x |＋1；(3)f (x )＝1x2；(4)f(x)＝x＋1x；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]．【解析】对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝错误!＝错误!＝f(x)，则为偶函数；对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，则为奇函数；对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．故为偶函数的是(2)(3)．【答案】(2)(3)(1)A.12 B.23C.34D．1(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.【精彩点拨】(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．【自主解答】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴11＋a＝错误!，∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝12，故选A.(2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.【答案】(1)A (2)－261．由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．[再练一题]2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由于f (x )是偶函数，由题意可知 ⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0， ∴a ＝13，b ＝0. 【答案】 13 0函数f (x ) 【精彩点拨】 设x ＜0，则－x ＞0，结合f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，可求f (x )．【自主解答】 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－x ＋1.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－f (x )＝－x ＋1，∴f (x )＝－－x －1. ∵f (x)是奇函数，∴f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x>0，0，x ＝0，－－x －1，x<0.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．[再练一题]3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2)C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2)【解析】∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，∴当x＜0时，即－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D.【答案】 D[探究共研型]探究1 )上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？【提示】如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．探究2 你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？【提示】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．探究3若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？【提示】f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)C ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f (1－a )＋f (1－2a )＜0，则a 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．(2)由于y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f (x )是奇函数．再利用单调性即可得出．【自主解答】 (1)∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0， ∴若x 2－x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＞0，即x 2＞x 1，则f (x 2)＞f (x 1)，若x 2－x 1＜0，则f (x 2)－f (x 1)＜0，即x 2＜x 1，则f (x 2)＜f (x 1)，则函数在(－∞，0]上为单调递增函数．又∵f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，则f (n ＋1)＜f (n )＜f (n －1)，即f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)，故选B .(2)∵y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．∵f (1－a )＋f (1－2a )＜0，∴f (1－a )＜－f (1－2a )＝f (2a －1)，又y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a ＞2a －1＞－1，解得0<a <23. ∴a 的取值范围是0<a <23. 【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，231．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．[再练一题]4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) 【导学号：97030062】A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)【解析】由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.【答案】 A1．下列函数是偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3C．f(x)＝x D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]【解析】对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B.【答案】B2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．【答案】A3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( ) 【导学号：97030063】A．增函数且最小值是－1B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1D．减函数且最小值是－1【解析】 ∵奇函数f (x )在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f (x )在[2,6]上是减函数且最大值是－1.【答案】 C4．如图1-3-5，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (3)＝0，则不等式f (x )＜0的解集为________．图1-3-5【解析】 画出函数f (x )在R 上的简图，如图所示．数形结合可得不等式f (x )＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)． 【答案】 (－3,0)∪(0,3)5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2－x . (1)求f (x )的表达式； (2)画出f (x )的图象．【解】 (1)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，则f (0)＝0；当x <0时，即－x >0，函数f (x )是奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )2－(－x )]＝－(2x 2＋x )＝－2x 2－x .综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧2x2－x ，x>0，0，x ＝0，－2x2－x ，x<0.(2)函数f (x )的图象如图所示．。

2019-2020学年高中数学 1.3.2 函数奇偶性导学案1 新人教A 版必修1 学习目标1. 学会运用函数图象理解函数的奇偶性；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 理解奇偶性的几何意义。

重点 学会判断函数的奇偶性难点 理解奇偶性的几何意义【课前导学】预习教材第33-36页，完成下列学习1．函数的奇偶性定义：（1）偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的____一个x ，都有________，那么()f x 就叫做偶函数．思考：依照偶函数的定义给出奇函数的定义．（2）奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的____一个x ，都有________，那么()f x 就叫做奇函数． 注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的________性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是__________________.2．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于____对称；奇函数的图象关于____对称．3.奇函数在区间[,]a b 与[,]b a --上的单调性______. 偶函数在区间[,]a b 与[,]b a --上的单调性______. 【预习自测】首先完成教材上P36第1、2题；然后做自测题1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈-- ②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+ ④()f x x =1. 已知奇函数)(x f 在[]b a ,上是减函数，求证：它在[]a b --,上也是减函数。

【典型例题】例1.判断下列函数的奇偶性：1（1）122)(2++=x x x x f ； (2)x x x f 2)(3-=；（3）()f x =⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x(5)3|3|4)(2-+-=x x x f (6)a x f =)( （R x ∈）（7）()f x =例2.已知2()(11)1x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 求,a b 的值。

§1.3.2 奇偶性1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3336复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4，分别比较f (x )与f (－x ).二、新课导学※ 学习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x=.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x； （3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .三、总结提升※ 学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 已知()f x是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（）A. (5)(5)f f>- B.(4)(3)f f>C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。

2019-2020年高中数学函数的奇偶性教案新人教A版必修1
（3）判断函数的奇偶性。

（4）判断函数的奇偶性。

小结：㈠判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义式f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )判断。

一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数
八、本节小结：
1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成－x，（x,－x都在定义域内。

即定义域关于原点对称）。

①如果都有f(－x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。

②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数2、性质:①奇函数的图象关于原点对称。

②偶函数的图象关于y轴对称。

③如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

④如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

.。

1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然．(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于y 轴的对称点(－x ，f (x ))也在f (x )图象上． (2)奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于原点的对称点(－x ，－f (x ))也在f (x )图象上．知识点三 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数f (x )的定义域是(－1,1]，那这个函数f (x )还具有奇偶性吗？答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．类型一 如何证明函数的奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数；(4)证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <0，1，x >0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． (4)定义域为{x |x ≠0}．若x <0，则－x >0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f [－(－x )]＋f (－x )＝f (－x ) ＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数；(4)证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明 (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． (3)定义域为{－a ，a }，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝a －x 2＋x 2－a 为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝a －x 2＋x 2－a 为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． (4)定义域为{x |x ≠0}． 若x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．类型二 如何判断函数的奇偶性例2 (1)f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性；(2)判断f (x )＝x 3＋3x 的奇偶性；(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，求实数b ，d 的值． 解 (1)∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数． f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数． f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数．(2)∵y ＝x 3，y ＝3x 都是奇函数，由(1)知f (x )＝x 3＋3x 是奇函数． (3)由(1)知当b ＝d ＝0时，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数．反思与感悟 判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图象，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性．跟踪训练2 (1)f (x )，g (x )定义在R 上，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，试判断y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性；(2)判断f (x )＝x 2＋1x的奇偶性；(3)已知f (x )，g (x )均为奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab ≠0)，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．解 (1)∵f (x )，g (x )定义在R 上，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是奇函数． f [g (－x )]＝f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是偶函数．(2)∵y ＝x 2＋1是偶函数，y ＝x 是奇函数，由(1)知f (x )＝x 2＋1x是奇函数．(3)∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数．设x<0，则－x>0.由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，∴af(－x)＋bg(－x)≤3，∴af(x)＋bg(x)≥－3，∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.类型三奇(偶)函数图象的对称性的应用例3定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练3已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)的图象，并指出其单调区间．解 显然当x >0时，f (x )>0.又y ＝x 2＋1为偶函数，y ＝x 为奇函数， ∴f (x )＝xx 2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f (x )＝xx 2＋1的图象如下．由图可知f (x )＝xx 2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)．1．函数f (x )＝0(x ∈R )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 D2．函数f (x )＝1x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 A3．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 B5．下列说法错误的个数是( ) ①图象关于原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝－x 2＋5(x ∈R ) B ．y ＝－x C ．y ＝x 3(x ∈R ) D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)答案 C解析 函数y ＝－x 2＋5(x ∈R )既有增区间又有减区间；y ＝－x 是减函数；y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)不是定义域内的增函数；只有y ＝x 3(x ∈R )满足条件．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5．f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A ．f (－x )＋f (x )＝0 B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x ) C ．f (x )·f (－x )≤0 D.f (x )f (－x )＝－1 答案 D解析 ∵f (－x )＝－f (x )，A 、B 显然正确， 因为f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0，故C 正确． 当x ＝0时，由题意知f (0)＝0，故D 错误．6．给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(－a ，－f (－a ))答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－a )＝f (a )， ∴(a ，f (－a ))一定在y ＝f (x )的图象上，∴选B. 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.8．偶函数f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝________. 答案 2解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以(t －4)＋t ＝0，即t ＝2. 9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝____.答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________(填“奇函数”或“偶函数”)．答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． 三、解答题11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数． 12．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |， ∴a ＝0.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数． 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。

2019-2020学年高中数学 奇偶性1学案 新人教A 版必修1 学习目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2. 学会判断函数的奇偶性；小试牛刀1.已知函数y=f(x)是偶函数，试将下图补充完整. (2)3,(-2)=f f =若则2.已知函数y=f(x)是奇函数，试将下图补充完整. (2)3,(-2)=f f =若则自学导入1.概念学习一般地，对于函数f(x)的定义域内的 一个x ，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数．一般地，对于函数f(x)的定义域内的 一个x ，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数．快速判断下列函数的奇偶性：（口答）(]2231(1)() (2)()(3)() 5 (4)()0(5)(), 2,2 (6)()2f x f x x xf x f x f x x x f x x x =-====∈-=-知识体会根据函数的奇偶性，函数可以被分为哪几类：2.奇函数，偶函数的图像特征1、偶函数的图象关于 对称.2、奇函数的图象关于 对称.思考：根据奇函数、偶函数的图像特征，你发现他们的定义域有什么特殊之处？课堂练习用定义法判断下列函数的奇偶性：yx221(1)() (2)()1(3)() 1 (4)(),[1,3]f x x f x x x f x x f x x x =-=-+=+=∈-知识体会判断函数奇偶性步骤：知识活用()21.()-+2,[23,],____,______f x ax b x c x a a a b =+∈-==已知是偶函数则知识体会 12.()____21x f x a a =-=+若函数是奇函数，则 知识体会3.()()9,3,(2)____,____f x f x g f =+=-=已知函数是奇函数，则g(x)且(2)则g(-2)=3()=17,(7)____f x ax f f ==变式：已知函数+bx+5，且(-7)则知识体会能力提升()()()32()()=1(2),(2)2()3()f x f x x f f a f a f x -已知函数是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，+2x -1.求的值若<0,求求的解析式。

2019-2020学年高中数学函数奇偶性导学案新人教A版必修1【学习目标】1.全部学生理解函数奇偶性的定义，了解什么是奇函数，什么是偶函数2.绝大部分学生能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性3.绝大多数同学在快乐学习的过程中领会合作探究的精神，初步掌握研究问题的方法。

【学习过程】任务1：理解奇函数和偶函数的定义练习：根据下列函数图象,判断函数奇偶性.小结：由图像判断函数的奇偶性步骤：任务3：根据奇偶函数定义，判断函数的奇偶性例2 利用定义判断下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数小结：由定义判断函数的奇偶性步骤：()()()()()()()()()()1)(6 ]2,1[,)(5 14 1312 12223-=-∈=+==+==x x f x x x f x x x f x x f x x f x x f 任务3：利用函数的奇偶性，求函数值及函数表达式 例3、已知f （x ）定义在R 上的偶函数，当x>0时，f （x ）=x 2+2x,求x<0时f （x ）的解析式。

步骤：02 = 34== x<0=∴∴∴f f x R f x f f x 1假设：x<0,则-x 代入：（-x ）摆条件：（）是上的偶函数得结论（）（-x ）当时（）练习1、已知f （x ）定义在R 上的奇函数，当x>0时，f （x ）=x 2+2x, f （x ）的解析式。

注意：对于奇函数，假如x=0定义域中，则一定有f （0）=0练习2．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为 2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ．练习3.已知 f(x) 是定义在Ｒ上的奇函数,当x ＞0时, f(x)=x 2+x-1, 求函数f(x)的表达任务4利用奇偶性判断函数值的大小例1．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 练习1．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值练习2.f(x)=ax 5+bx 3+cx+12,若f(2)=24,求f(-2)【学习检测】1.下列函数中是偶函数的是?( )A.54+=x yB.13-=x yC. x y 3=D.)0(2>=x x y2.判断下列函数的奇偶性3．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ .4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A ．增函数，最小值是-5 B ．增函数，最大值是-5 C ．减函数，最小值是-5 D ．减函数，最大值是-52*5()(1)62(0)(1)(2)______________________________f x m x mx f f f =-++-、若是偶函数，则、、从小到大的顺序是6已知)(x f 是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x )的值域是 .7．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为 2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ． 8.已知偶函数f(x)定义在R 上,且当x ≥0时,f(x)=x 2-2x,求f(x)的解析式.*9.已知f(x)定义在R 上,且对任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求f(0);(2)求证:f(x)是奇函数;(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明f(x)在(- ∞,0)也是增函数.]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22-∈=+===+-=-=x x x f x x f x f x f x x f xx x f。

2019-2020学年新人教A 版必修一 函数的奇偶性 学案1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。

2．两个性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0。

(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

3．函数周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ， (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ≠0)。

(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a ≠0)。

(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ≠0)。

一、走进教材1．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。

故选B 。

答案 B2．(必修4P 46A 组T 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________。

解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1。

答案 1 二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________。

1.3.2 奇偶性学习目的：使学生掌握奇函数和偶函数的概念和意义，会证明一个函数是奇函数或 偶函数。

学习重点：判断一个函数的奇偶性。

学习难点：函数奇偶性的证明。

学习过程：一、新课引入观察课本P39的图象和函数值的对应表，思考并讨论这两个函数的图象有什么 共同的特征？两个函数的图象都关于y 轴对称。

二、新课对于函数f （x ）＝x 2有：f （－3）＝9＝f （3），f （－2）＝4＝f （2），f （－1）＝1＝f （1），实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝（－x ）2＝x 2＝f （x ） 这时我们称函数f （x ）＝x 2为偶函数。

一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做偶函数（evenfunction ）。

判断：函数 f （x ）＝x 2＋1，f （x ）＝1122 x 是不是偶函数？ 可先画图观察，再证明之。

观察f （x ）＝x 和f （x ）＝x 1的图象，你能发现它们有什么共同的特征吗？ 这两个函数的图象都是关于原点对称的。

对于函数f （x ）＝x 有：f （－3）＝－3＝－f （3），f （－2）＝－2＝－f （2），f （－1）＝－1＝－f （1）， 实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝－x ＝－f （x ），这时我们称函数f （x ）＝x 为奇函数。

一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝－f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做奇函数（oddfunction ）。

思考：P41例5、判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝x 4； （2）f （x ）＝x 5；（3）f （x ）＝x ＋x 1 （4）f （x ）＝21x 分析：通过本例题的讲解，教会学生如何通过证明来判断一个函数是奇函数还是 偶函数，证明严格按定义来完成，注意格式。

2019-2020学年新人教A 版必修一 3.2.2 奇偶性 教案（一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑹对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。

（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．【例1】 判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．【考点】判断函数的奇偶性 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】⑴奇函数；⑵偶函数；⑶奇函数；⑷非奇非偶函数．【例2】 判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=． 【考点】判断函数的奇偶性 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】无【解析】⑴ 对于函数4()f x x =，其定义域为(,)-∞+∞．因为对定义域内的每一个x ，都有44()()()f x x x f x -=-==， 所以函数4()f x x =为偶函数．类似地，⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数．【答案】⑴为偶函数⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数．【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；典例分析⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】⑴ 函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞∵222222221(1)1()()1(1)1x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ++⋅+-====---⋅-∴函数221()1xxa f x a +=-为奇函数；⑵ 由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，∴()f x =为非奇非偶的函数．⑶ 函数的定义域为R ，且22()()5||5||()f x x x x x f x -=-+-=+= ∴函数2()5||f x x x =+为偶函数．【答案】⑴为奇函数⑵为非奇非偶的函数⑶为偶函数【例4】 判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有 ()|1||1||1||1|f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【答案】⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数【例5】 判断函数的奇偶性．【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】函数f (x)的定义域为R ∵()()f x f x +-==22220=∴()()f x f x -=- ∴函数()f x =的奇函数．【答案】奇函数2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．【例6】 判断下列函数的奇偶性：⑴()(f x x =- ⑵ 11()()()12x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】⑴ 因为此函数的定义域为[1,1)D =-，不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数；⑵ ∵定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称．又111()()()()122(1)x x xa f x F x F x a a +=+=⋅-- ∴11()()()()2(1)2(1)x x x x a a f x F x F x f x a a --++-=-⋅=-⋅=--， ∴()f x 为偶函数．【答案】⑴偶函数⑵偶函数【例7】 若函数()()3()f x x x g x =+是偶函数，且()f x 不恒为零，判断函数()g x 的奇偶性．【考点】判断函数的奇偶性 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设()3h x x x =+，则()()3h x x x h x -=--=-∴()3h x x x =+是奇函数∵()()()3f x x x g x =+是偶函数，且()f x 不恒为零， ∴()g x 为奇偶性．【答案】奇偶性【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f xg x =+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【考点】判断函数的奇偶性 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无 【解析】B ．由已知，当0x ≠时，2()()()()f x F x f x g x --=+--2()()()1()g x f x f x g x -=--[]2()2()()1()()1f x f xg x f x g x +-=--2()()()1f x f x g x =+-， 所以()F x 是偶函数．【答案】B【例9】 已知()f x =，)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为（ ）．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【考点】判断函数的奇偶性 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】首先求两函数的定义域，对()f x 有210|2|20.x x ⎧-⎨+-⎩≥，≠得110 4.x x x -⎧⎨⎩，且≤≤≠≠故定义域为(10)(01)-，，．又()g x 的定义域为R ，故乘积函数的公共定义域为(10)(01)-，，． 取(10)(01)x ∈-，，，有|2|222x x x +-=+-=，得()f x =()()f x f x -=-．又()()g x g x -+))lglgx x=+)lgxx=lg10==，有()()g x g x -=-．得()()()F x f x g x -=--[][]()()f x g x =-- ∴()()()f x g x F x =．按定义，()F x 在(10)(01)-，，为偶函数．又由于()F x 不恒为0，故不会又是奇函数．【答案】B ．【例10】 已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21xF x f x =+-()0x ≠是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．【考点】判断函数的奇偶性 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】由题意可得()()F x F x -=，即22(1)()(1)()2121x x f x f x -+-=+-- 化简可得：1221()()1221x x x x f x f x ++-=--，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数．【答案】奇函数．题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式．【例11】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】充分性．若0a >，则()f x 的定义域为[0)(0]a a -，，．这时()f x =，显然为奇函数．必要性，若()f x =是奇函数，则0a ≠（否则，()f x 的定义域为空集）．由()()f x f x -=-=．有||||2x a x a a -++=，从而0a >． 故()f x 为奇函数的充要条件是0a >．【答案】C ．【例12】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________． 【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】()(1f x x =-．设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞∴()(1f x x -=-∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()(1f x f x x -=-=--∴()(1f x x =-（(,0)x ∈-∞）．【答案】()(1f x x =-（(,0)x ∈-∞）【例13】 已知偶函数()f x 的定义域为R ，当x ≥0时，()2f x x +3x-1=，求()f x 的解析式．【考点】求解析式与函数值 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设0x <，则0x ->∴()()223131f x x x x x -=---=-- ∵()f x 为偶函数 ∴()()f x f x =-∴()()231f x f x x x -==-- 即()231f x x x =--()0x <∴()223-1 (0)3-1 (0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．【答案】()223-1 (0)3-1 (0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩【例14】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】设0x <，则0x ->∵()(1)f x x x -=-+及()()f x f x -=-∴()(1)f x x x =+ 当0x =时，(0)0f =．∴函数的解析式为(1)()0(1)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩(0)(0)(0)x x x <=>． 【答案】(1)()0(1)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩(0)(0)(0)x x x <=>．【例15】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 是奇函数？【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】由()()f x f x -=-得：2222(1)(1)2(1)(1)(2)m x m n m x m x n ---++=-----+对一切实数x 恒成立．即222(1)2(2)0m x n -++=对一切实数x 恒成立．∴2110220m m n n =±⎧-=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩，当1m =-，2n =-时，()2f x x =-是奇函数；当1m =，2n =-时，()0f x =既是奇函数又是偶函数． ∴当1m =±，2n =-时，()f x 是奇函数．【答案】1m =±，2n =-【例16】 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】解一：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(12)，.∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(12)-，，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.解二：当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【答案】2()24f x x x =--【例17】 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式.【考点】求解析式与函数值 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设0x >，则0x -<，由已知得22()()()22f x x x x x -=-+--=--，∵()f x 是奇函数，∴2()()2f x f x x x =--=-++， ∴当0x >时，2()2f x x x =-++；又()f x 是定义域为R 的奇函数，∴(0)0f =．综上所述：222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩ 分段函数的奇偶性的判断应分段讨论,也就是“分段函数问题分段解决”.另外在解决分段函数问题时,一定要注意要根据x 的范围的不同选取相应的函数表达式.【答案】222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩【例18】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．【考点】求解析式与函数值 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】∵()y f x =图象关于1x =对称，∴(1)(1)f x f x +=-()(2)f x f x ⇒=-， 当1x >时，21x -<2()(2)(2)1f x f x x =-=-+ ∴当1x >时，2()45f x x x =-+．【答案】2()45f x x x =-+【例19】 已知函数21()()ax f x a b c Z bx c+=∈+，，是奇函数,且(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值.【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】由题意2211ax ax bx c bx c ++=--++,可得0.c =又由于1(1)2a f b+==知21b a =+ 再由41(2)3,2a f b +=<将21b a =+代入得413.1a a +<+ (1)当1a >-时,4133a a +<+,即 2.a <a Z ∈,0a ∴=或1.①当0a =时,12b Z =∉,故0a ≠;②当1a =时,1b =符合题意.(2)当1a <-时,4133a a +>+,即2a >,无解. 综上可知,1,0.a b c ===【答案】1,0.a b c ===2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．即 ()()()12f x F x G x =+⎡⎤⎣⎦ 其中()()()F x f x f x =+-，()()()G x f x f x =-- 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．【例20】 定义在R 上的函数()22x xx 1f x +=+，可表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之和,求()g x ，()h x ．【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】∵()221x xf x x +=+∴()()()g x f x f x =+-=221x x x +++22-1x x x =+2221x x + ()()()221x x h x f x f x x +=--=+22-1x x x -=+=221xx +【答案】∴()2221x g x x =+，()221xh x x =+【例21】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．【考点】求解析式与函数值 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由题意可得()()f x f x -=-，()()g x g x -=，设()()()1F x f x g x x =+=+ ①则()()()1F x f x g x x -=-+-=-+，即()()()1F x f x g x x -=-+=-+ ②解①，②联立的方程组可解得()f x x =，()1g x =．【答案】()f x x =，()1g x =【例22】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x ． 【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=．则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩．两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-． 【答案】2()1x f x x =-，21()1g x x =-3.利用函数奇偶性求函数值【例23】 已知()238f x x ax bx =+++且(2)10f -=，求()2f .【考点】求解析式与函数值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】设53()g x x ax bx =++，则()()8f x g x =+，()g x 是奇函数()()8f x g x =+，∴(2)(2)810f g -=-+= ∴(2)2g -=，(2)(2)2g g =--=- ∴(2)(2)8286f g =+=-+=挖掘()f x 隐含条件，构造奇函数()g x ，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.【答案】(2)6f =【例24】 已知()l n 1)4f x a x x =++++（a 、b 、c 为实数），且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是（ ）． A ．5-B ．-3C ．3D ．随a 、b 、c 而变【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】由于函数(ln y x =是奇函数．所以(()ln g x ax c x =++是奇函数，即()4f x -是奇函数．又35(lg log 10)f =1(lg lg 3)(lg lg3)f f -==-， 则(lg lg3)4((lg lg3)4)1f f -=---=-．【答案】C ．【例25】 ⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）【考点】求解析式与函数值 【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】⑴ 根据奇函数的定义有(0)(0)f f -=-，即(0)0f =；⑵ (25)(328)(3)(3)2f f f f =-+=-=-=-；⑶ 令11x =，21x =-得(1)(1)(1)(1)0f f f f -=+-⇒=； 再令121x x ==-得(1)(1)(1)0(1)0f f f f =-+-=⇒-=，又令11x =-，2x x =得()(1)()f x f f x -=-+，由此可得()()f x f x -=． 答案 ⑴0；⑵2-；⑶偶函数．【答案】⑴0；⑵2-；⑶偶函数．【例26】 已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++（ ）．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】易知()f x 是R 上的奇函数且是减函数，所以12()()f x f x <-，即12()()0f x f x +<．同理，23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +< ． 故123()()()0f x f x f x ++<．【答案】B ．【例27】 设函数()()3222()2x g x x xf x xg x +++=+（其中()g x 为偶函数）的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）．A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=【考点】求解析式与函数值 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】()()()323222()122x g x x xx x f x x g x x g x ++++==+++．因为()32()2x x h x x g x +=+为偶函数，且()f x 存在最大值和最小值，所以()h x 也存在最大值M '和最小值m '，且0M m ''+=．故(1)(1)2M m M m ''+=+++=．【答案】A ．【例28】 函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．【考点】求解析式与函数值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】()(1)()(1)g x f x g x f x -=--=-=--，(1)(1)f x f x --=--，令1y x =+，则()(2)f y f y -=--即有()(2)f x f x +-=，()(2)(4)f x f x f x =--=-，故(2005)f f =．又(1)(12)0f f +-=，()f x 是偶函数，∴(1)(1)0f f =-=． 综上，(2005)0f =．【答案】0．题型三：奇偶性与对称性的其他应用 1.奇偶性与单调性【例29】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0)+∞，上是减函数，判断()f x 在(0)-∞，上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 在(0)-∞，上是增函数．对奇函数有，在对应的区间上的单调性相同．设120x x << ，则120x x ->->，由()f x 在(0)+∞，上是减函数得：12()()f x f x -<-， 又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <， 所以，()f x 在(0)-∞，上是增函数．【答案】()f x 在(0)-∞，上是增函数【例30】 已设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减.又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减. ∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.【答案】1a >【例31】 已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤，【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】第一问只需按照函数单调性的定义证明即可；第二问需要先找到－1和0对应的自变量的值，然后按照函数的单调性来解不等式． ⑴取120x x <<，则120x x ->->， 由()f x 在(0)+∞，上是增函数，可得：12()()f x f x ->-．又∵函数()f x 是奇函数，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0)-∞，上是增函数．⑵由题意可得：11()()122f f -=-=-，(0)0f =．原不等式可化为41()(log )(0)2f f x f -<≤．又∵()f x 在(0)-∞，上是增函数，∴41log 02x -<≤，即112x <≤．∴原不等式的解集为1{|1}2x x <≤．【答案】⑴()f x 在(0)-∞，上是增函数⑵1{|1}2x x <≤【例32】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】①令 0x y ==得(0)0f =．再令y x =-得 ()()f x f x -=-，∴函数()f x 是奇函数； ②∵(3)f a -=，∴(3)(3)f f a =--=-， ∴(24)(333)8(3)8f f f a =+++==-．③设21x x >，则210x x ->，且21()0f x x -<，21211211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<，∴函数()f x 为减函数．∴max (2)(2)2(1)1y f f f =-=-=-=，min (6)3(2)3y f f ===-．【答案】①函数()f x 是奇函数；②(24)8f a =-．③max (2)(2)2(1)1y f f f =-=-=-=，min (6)3(2)3y f f ===-．【例33】 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】⑴由1212()()()f x x f x f x =+（120x x ≠），有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，(1)0f =， 而(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-， ∴2(1)0f -=，即(1)0f -=．⑵对任意的0x ≠，都有()(1)()()f x f f x f x -=-+=， ∴()f x 为偶函数．⑶由1212()()()f x x f x f x =+ 12(0)x x ≠，可得211()()()22f x f x f x x +-=-由1()()02f x f x +-≤，而()f x 为偶函数且(1)0f =，有21(||)(1)2f x x f -≤．又∵()f x 在(0，)+∞上是增函数，∴221||12102x x x x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，x ≤≤且0x ≠，12x ≠． 【答案】⑴由1212()()()f x x f x f x =+（120x x ≠），有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，(1)0f =， 而(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-， ∴2(1)0f -=，即(1)0f -=．⑵对任意的0x ≠，都有()(1)()()f x f f x f x -=-+=， ∴()f x 为偶函数．x ≤≤且0x ≠，12x ≠【例34】 知(),()f x g x 都是奇函数，()0f x >的解集是2(,)a b ，()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22b a >，那么求()()0f x g x >的解集． 【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】()()0f x g x >⋅等价于()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f x g x <⎧⎨<⎩，因为()0f x >时的解集是2()a b ，，且()f x 又是奇函数， ∴()0f x <时的解集是2()b a --，，同理可得()0g x <时的解集是2()22b a --，．又222()()()222a b b a b a =，，，；22(,)(,)22b a b a ----2()2b a =--，．∴原不等式的解集为22(,)(,)22b ba a --．【答案】22(,)(,)22b ba a --2.函数对称性【例35】 设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．【答案】4【例36】 当实数k 取何值时，方程组422(1)||1,1k x x y x y ⎧++-=⎪⎨-=-⎪⎩有惟一实数解. 【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】观察方程组中每个方程特点，以-x 代替x ，方程组不变，若00(,)x y 是方程组的解，则00(,)x y -也一定是它的解，而方程组有唯一解，必有x 0=0，即唯一解的形式应为（0，y 0）代入方程组得：0211k y y -=⎧⎪⎨=⎪⎩解得021,k y =⎧⎨=⎩或0,1.k y =⎧⎨=-⎩将0k =代入原方程组得0,1.x y =⎧⎨=-⎩将2k =代入原方程组有唯一解0,1.x y =⎧⎨=⎩ ∴当2k =和0k =，原方程组有唯一解用函数的观点来研究方程，应用函数的奇偶性，找出解决问题的突破口.【答案】2k =和0k =，【例37】 求证：设a 是正数，而22{(,)|1},{(,)}|||2||}A x y x y B x y x y a =+≤=+≤是XOY 平面内的点集，则A B ⊆的一个充分必要条件是a ≥【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】4星 【题型】解答【关键词】1986年,上海,中学生竞赛.【解析】考查221,||2||x y x y a +≤+≤，以–x 替换x ，–y 替换y , A 、B 不变.从而知A 、B关于x 轴，y 轴对称.故只研究第一象限中A 、B 关系即可.A B ⊆⇔原点()00，到20x y a +-=距离不小于11≥，∴a ≥.【答案】考查221x y +≤，||2||x y a +≤，以x -替换x ，y -替换y , A 、B 不变.从而知A 、B 关于x 轴，y 轴对称.故只研究第一象限中A 、B 关系即可.A B ⊆⇔原点()00，到20x y a +-=距离不小于11≥∴a ≥.【例38】 试证1991)19911()19911(19901990--+是整数.上例可推广为：设m 、n 为自然数，证明mm m nn )1()1(--+是整数.【考点】求奇偶性与对称性的其他应用 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】x =，记()(1)(1)nn f x x x =+--，R x ∈，易证()f x 为R 上的奇函数，故()f x 是x 的奇次幂的整系数多项式，那么()f x x是x 的偶次幂的整系数多项式，故mm m nn )1()1(--+是整数.本证明构造奇函数()f x ，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷.【答案】x =，记()(1)(1)n n f x x x =+--，R x ∈，易证()f x 为R 上的奇函数，故()f x 是x 的奇次幂的整系数多项式，那么()f x x是x 的偶次幂的整系数多项式，故mm m nn )1()1(--+是整数.。