数学归纳法课件(推荐)

所以左边为1＋2＋3.故应选C．
2．用数学归纳法证明11·2＋21·3＋31·4＋…＋n(n1＋1)
＝n＋n 1(n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要
增添的项是 ( D )
A．k(k＋1 1)
B．k(k＋1 1)＋(k＋1)1(k＋2)
C．k(k＋1 2)
D．(k＋1)1(k＋2)
3．已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1. (1)写出 a1、a2、a3，并推测 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.

(1)解：将 n＝1、2、3 代入 Sn＋an＝2n＋1 中得， a1＝32＝2－12，a2＝74＝2－14，a3＝185＝2－18， 猜想 an＝2－21n. (2)证明：①由(1)知当 n＝1 时，命题成立； ②假设 n＝k 时，命题成立，即 ak＝2－21k，
命题方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n (n≥2). 证明：1°当 n＝2 时，1＋212＝54<2－21＝23，命题成立． 2°假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋(k＋11)2<
【解析】 当 n＝k 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) 当 n＝k＋1 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) ＋(k＋1)1(k＋2)，两者比较需添加的项为(k＋1)1(k＋2). 故应选 D．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1 整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋ 1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－ a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，

,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12

数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。

探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立

因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1

检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．

21 12
22 22
23 32
24 42
25 52
26 62
27 72
28 82
猜想： n满足什么条件时，2n n2恒成立？
n5
用数学归纳法证明，第一个取值为5.
结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
结论
学习小结
本节课你又什么收获？
1、知识收获
数学归纳法及其证明步骤
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n 0
(n ∈N* 0
)时命题成立。
（2）(归纳递推) 假设n=k(k≥n0，k∈N* ) 时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命
题对从n0开始的所有自然数都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法.
由1和2，可知等式对任何 n N 都成立.
理解新知
问题1：甲同学猜想 1 3 5 2n 1 n2 1
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 1 上述证明是错误的,事实上命题
那么
1 3 5 (2n 3) (2n 1) n2 1
武汉市洪山高级中学 吴瑾
课前准备
类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
归纳推理
归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理．
“对于数列｛an｝，已知a1＝1a，n1
＝1，2，…），通过对n = 1，2,
1
3,
an （n 4a前n 4项的

材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线:

归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。

数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。

第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ✕ ) 提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法. n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可. ( ✕ ) 提示:由n取前几个值命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确. 3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设. (✕) 提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
3 |归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题
1.在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出 结论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学 归纳法证明结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是 归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 2.“归纳—猜想—证明”的解题步骤
ak+1=12aak k
=
2 1
1 1
2k 1 a (2k1 1)a 2k 1 a (2k1 1)a
=
1
(2k 1
2k a 1)a
2k 1 a
=
2k a
=
2(k 1)1 a
,
1 2 2k1a a 1 [2(k1)1 1]a
所以当n=k+1时猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( ✕ ) 提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角 和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确. 5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的左边不一定只增加了一项.