高一数学 函数解析式的求法

一、待定系数法：1、已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .2、已知二次函数()x f 满足()()2--2-x f x f =，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数()x f 的解析式。

3、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

4、求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1；二、配凑法：5、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式6、已知函数()11-23+=-x -x x x f ，求()x f 的解析式。

7、（1）已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0． （2）若x x x f 2)1(+=+,求)(x f8、（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f （2）已知 ()211xf x x =++,求()f x .9、已知x ≠0，函数f （x ）满足f （x x 1-）=x 2+21x ，求f （x ）四、代入法：10、已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式11、已知函数()x x x f 22+=，求函数()1-x f y =的解析式。

已知)3(41)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________.12、已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=______________.已知f(cosx)=cos5x ，则f(sinx)=______________.13、已知)3(41)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________.五、构造方程组法：14、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 15、已知3f(x)+f(x 1)=x ，求f(x)16、已知函数()x f 满足2()x x f x f 31=⎪⎭⎫⎝⎛+，求函数()x f 的解析式。

人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法
人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法是求函数的重
要方法之一，它能帮助学生掌握函数的求解方法，是数学学习的重要组成部分。

本文将介绍如何使用换元法来求函数的解析式，以便学生能够更有效地学习和理解求函数的概念。

首先，要想用换元法求得函数的解析式，我们需要了解其中的基本概念，即换元法的概念与其定义。

它是一种将原函数形式中的变量进行替换的方法，使其变为另外一种函数，从而可以解决函数的求解。

下面我们来看一个例子，用换元法求函数解析式。

假设有函数y=5x+3,我们将其中的x替换成y，可以得到
y-3=5(x-3),两边同时除以5，可以得到x=y-3/5.以看出，用换元法之后得到的函数解析式为：x=y-3/5。

这样，我们就可以得到函数解析式，从而更有效地求函数解析式。

另外，换元法在求函数解析式过程中也有一些注意事项：
1、在换元之前，首先识别函数的形式，确定变量的范围；
2、其次，要注意换元时的相互变换是否正确；
3、最后，要根据指定的变量，实际算出求解结果函数；
4、最后，要正确核对最终结果，以免出现错误。

以上就是换元法求函数解析式的基本方法，通过这种方法，可以有效地求得函数的解析式。

换元法是求函数解析式的有效方法，其不仅可以使学习者更容易理解函数的性质，而且可以提高学习者的函数求解能力，是一种有效的数学学习方法。

总之，换元法在求函数解析式过程中非常有用，它可以帮助学生更好地掌握和理解函数求解方法，增进学生学习数学的兴趣，提高学生数学学习的能力。

ʏ秦雷宇函数的解析式是函数的三要素之一,求函数解析式的常用方法有:配凑法㊁待定系数法㊁方程组法和函数奇偶性法㊂下面举例分析求函数解析式的四种方法,供大家学习与参考㊂方法一:配凑法由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),可得f (x )的表达式㊂例1 已知f (x +1)=x +2x ,则f (x )=㊂解:f (x +1)=x +2x =x +2x +1-1=(x +1)2-1㊂因为x +1ȡ1,所以f (x )=x 2-1(x ȡ1)㊂方法二:待定系数法已知函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设函数的解析式,再确定其系数即得解析式㊂例2 已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-f (x )=2x +9,求f (x )的解析式㊂解:由f (x )是一次函数,设f (x )=k x +b ,且k ʂ0㊂因为3f (x +1)-f (x )=2x +9,所以3[k (x +1)+b ]-(k x +b )=2x +9,整理得2k x +3k +2b =2x +9,所以2k =2,3k +2b =9,解得k =1,b =3,所以函数f (x )=x +3㊂方法三:方程组法已知关于f (x )与f 1x或f (-x )的关系式,可根据已知条件,构造出另一个等式,通过解方程求出f (x )㊂例3 若对任意的实数x ,都有2f (x )-f1x=2x +1,则f (x )=㊂解:对任意的实数x ,都有2f (x )-f1x=2x +1,把x 用1x 替换可得方程组2f (x )-f1x=2x +1,2f 1x-f (x )=2x +1㊂据此消去f 1x 得f (x )=43x +23x+1(x ʂ0)㊂方法四:函数的奇偶性法已知函数f (x )的奇偶性及f (x )在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法:求哪个区间上的解析式,x 就设在那个区间上;把x 的对称转化到已知区间上,代入已知区间上的解析式;利用f (x )的奇偶性,将f (-x )用-f (x )或f (x )表示,从而求出f (x )㊂例4 若函数f (x )是R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+x 2+1,则f (x )=㊂解:因为当x >0时,f (x )=x 3+x 2+1,所以当x <0时,-x >0,则f (-x )=(-x )3+(-x )2+1=-x 3+x 2+1㊂因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-(-x 3+x 2+1)=x 3-x 2-1㊂又因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0㊂综上可得,函数f(x )=x 3+x 2+1,x >0,0,x =0,x 3-x 2-1,x <0㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑 郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

求函数)(x f 解析式常用的方法济宁一中高一数学组 贾广素（邮编272000）电话：130****4397根据实际问题求解函数的表达式，是利用函数知识解决实际问题的基础。

因此，有必要掌握函数解析式的求法，下面就介绍几种求解函数解析式的常用方法：一、直接法直接法就是从题设（已知）条件出发，执因索果，进行演绎推导，从而得出函数解式的方法。

例1、 已知432)(2++=x x x f ，求函数)1(+x f 的解析式。

解：由于432)(2++=x x x f ，∴)1(+x f ＝4)1(3)1(22++++x x ＝9722++x x。

例2、 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时)1()(x x x f -=，求当0<x 时)(x f 的解析式。

解： 当0>x 时)1()(x x x f -=，∴当x<0时，－x>0，从而)1())(1)(()(x x x x x f +-=---=-又 )(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-；)1()(x x x f +=∴。

注：直接法是一种正向的思维，解决问题时要善于将稍复杂的问题进行分解，各个击破，它不需要特殊的技巧。

二、待定系数法用一些字母作为待定系数，然后根据条件列出含有待定系数的方程式或方程组，解出这些待定系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法。

例3、已知)(x f 是一次函数，并且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。

解：设)0()(≠+=a b ax x f ，则)1(2)1(3--+x f x f ＝ba axb a ax 222333-+-++＝b a ax ++5，又 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，比较系数得⎩⎨⎧=+=1752a b a 解得7,2==b a ，所以所求函数的解析为72)(+=x x f 。

例4、已知二次函数)(x f y =的最大值等于13，且,5)1()3(=-=f f 求函数)(x f 的解析式。

高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。

x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。

1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。

故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。

f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。

f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。

若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。

由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法在新高一的数学必修一教程中，学习求函数的解析式换元法是一个十分重要的课题。

它可以帮助学生们理解这一概念，并且有助于学生们在实际的应用中更加深刻地理解求解函数的解析式换元法的原理。

换元法是一种特定的函数求解方法，它是一种将原始函数以某种特定的方式进行替换，从而得到更容易求解的函数的方法。

在求解函数解析式的换元法中，学生首先要理解函数的各种不同性质，如可积性、可分式性、可拆分性等，其次要对几何学的基本概念有一定的了解。

当理解清楚了函数的性质及和几何学的基本概念以后，就可以使用换元法来解决函数求解问题。

换元法的基本步骤是：首先，根据原函数的性质及其几何学基本概念，将原函数拆分成多个更容易求解的小函数；其次，利用换元法对每个子函数求解；最后，综合各子函数的解，将其合并为函数的解析式。

在应用换元法求解函数解析式时，学生可以依据函数的性质和几何基本概念，利用换元法的基本思想来解决函数求解问题。

比如函数的可拆分性，用换元法可以将原函数拆分成多个子函数，使其解变得更容易。

函数的可积性，用换元法可以用积分相关的解算法来求解原函数；函数的可分式性，用换元法可以使用分式的方法来求解原函数。

此外，换元法的应用还可以扩展到三角函数、指数函数及对数函数等情况，从而求解更复杂的函数解析式。

在求解函数解析式的换元法过程中，学生要注意仔细分析函数的特性，找出最容易求解的函数，比如可拆分函数、可积函数、可分式函数等，并利用换元法结合其性质和几何基本概念，一步步推出求解函数解析式的方法，从而较快地熟悉函数求解方法。

总之，函数解析式中换元法是一种非常重要的数学求解方法，它可以帮助学生更快更深地理解函数求解的原理，并在实际应用中更好地运用换元法来求解函数。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第5讲函数解析式专项突破高考定位函数的表示有三种图像法、列表法、解析法，在高考中每年都会考察，解析式的考察一直是高考的重点，既有常规的求解析式求法融合在函数综合题中，也有新高考中的新形式，比如给图写式，给性质写式等，考察学生的多维的思维能力，对函数的整体把握。

考点解析（1）换元法求解析式（2）方程组求解析式（3）利用对称性周期性求解析式（4）给图辨析解析式（5）开放试题中的解析式（6）目标量（式）的函数解析式化分项突破类型一、换元法求解析式例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．()()21,0f x x xf x x x=-≥=-≥B．()()21,1C．()()21,0f x x x=+≥=+≥D．()()21,1f x x x【答案】B【分析】利用凑配法求得()f x解析式.【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥， 所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥.故选：B.练.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（）A ．()2f x x =B ．()2f x x =C ．(cos )f x x =D ．()x f e x = 【答案】AD【解析】对于A.令()2(0),t t t x f ===≥符合函数定义；对于B,令()2(0),t x f t t ==≥,设()2,4t f t ==±,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设cos ,t x =当2,1t =则x 可以取包括3π±等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令())ln (0,x t e t f t t >==,符合函数定义．故选AD练（2022秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R，存在函数f （x ）满足（ ）A ．f （cos x ）＝sin2xB ．f （sin2x ）＝sin xC ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A 、B 、C 可采用取特殊值来排除，对于D 选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断．【解答】解：对于A ，取x ，则cos x ；sin2x ＝1，∴f （）＝1；若取x，则cos x；sin2x＝﹣1，∴f（）＝﹣1；则f（）＝1又f（）＝﹣1，与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾，故A错误；同理，对于B，取2x，则sin2x；sin x，∴f（）；若取2x，则sin2x；sin x，∴f（），故B错误；同理，对于C，取x，则sin x；sin2x，∴f（）；若取x，则sin x；sin2x，∴f（），故C错误；对于D，令sin x＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义．故选：D．类型二、方程组求解析式例2-1（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x满足22()()326f x f x x x+-=++，则（）A．()f x的最小值为2 B．x R∃∈，22432()x xf x++>C．()f x的最大值为2 D．x R∀∈，22452()x xf x++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）.（i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.练．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】A【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--.2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.故选：A.练．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______． 【答案】223 【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+， 所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.练。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1、 已知，试求。

解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。

(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。

（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。

(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。

故所求函数得解析式为。

（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。

（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。

若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。

1、函数y ＝f(x)的值域就是［－2,2］,则函数y ＝f(x ＋1)的值域就是( ) A 、 ［－1,3］ B 、 ［－3,1］ C 、 ［－2,2］ D 、 ［－1,1］ 解∵函数y=f(x)的值域就是[-2,2], ∴y=f(x)的最大值为2,最小值为-2又∵函数y=f(x+1)的图象就是由y=f(x)向左平移1个单位而得 ∴函数y=f(x+1)最大值就是2,最小值就是-2 所以函数y=f(x+1)的值域仍就是[-2,2] 故选C2、已知函数f(x)＝x 2－2x,则函数f(x)在区间［－2,2］上的最大值为( ) A 、 2 B 、 4 C 、 6 D 、 8 解答:二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20,底边长y 就是关于腰长x 的函数,那么其解析式与定义域就是( ) A 、 y ＝20－2x(x ≤10) B 、 y ＝20－2x(x<10) C 、 y ＝20－2x(4≤x<10) D 、 y ＝20－2x(5<x<10) 解:Y=20-2XY>0,即20-2X>0,X<10, 两边之与大于第三边, 2X>Y,即2X>20-2X4X>20 X>5。

本题定义域较难,很容易忽略X>5。

∴54、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a,b ］(a<b),值域也就是［a,b ］,则区间［a,b ］就是( ) A 、 ［0,4］ B 、 ［1,4］ C 、 ［1,3］ D 、 ［3,4］解: a ,由于对称轴为x=2,当x=0或x=4时有最大值y=4,x=2时有最小值y=0 5、函数y ＝f(x ＋2)的定义域就是［3,4］,则函数y ＝f(x ＋5)的定义域就是( ) A 、 ［0,1］ B 、 ［3,4］ C 、 ［5,6］ D 、 ［6,7］ 解: y ＝f(x ＋2)的定义域就是［3,4］,即 3≤x ≤4 则3+2 ≤x+2≤4+2,所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 则5≤x+5≤6,那么0≤x ≤1 所以y ＝f(x ＋5)的定义域为［0,1］6、函数22234x y x x +=+的值域就是( ) 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解:判别式法7、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式就是( )。