向量练习题

一、向量练习
（一）、选择题
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )．
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－34 2．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，－255
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫55
，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－255，55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55 3、已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（ ）
A ．)3,2(-
B ．)9,2(-
C ．)5,2(-
D ．)0,2(
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ）
A ．（1，5）或（5，－5）
B ．（1，5）或（－3，－5）
C ．（5，－5）或（－3，－5）
D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）
5、若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
6．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
7、已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是
( )
A ．1
B
C
D ．2 8、已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 夹角为π4，则以a ＝5p ＋2q ，b ＝p －3q 为邻边的
平行四边形的一条对角线长为( )
A ．15 B.15 C ．14 D ．16 9、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π 10．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB
→－AC →)＝0，
则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
11、在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CACB =++，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
12、已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是
A.点P 在线段AB 上
B.点P 在线段BC 上
C.点P 在线段AC 上
D.点P 在ABC ∆外部 二、填空题
13．已知O (0,0)和A (6,3)，若点P 在线段OA 上，且OP →＝12P A →，又点P 是线段
OB 的中点，则点B 的坐标是________．
14、设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．
15、已知a ＝（λ，2)，b ＝(－3，5)且a 与b 的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是_______.
16、在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，则AO
→·AC →＝________．
三、简答题
17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．
18、设a ，b 是两个不共线的非零向量(t ∈R )．
(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？
(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？
19、已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1）若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，
边长c = 2，角ΔABC 的面积 .
20、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （Ⅰ）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；
（Ⅱ）求||+b c 的最大值； （Ⅲ）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．
21、已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1) 若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2) 设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α、β的值．22、。