高考函数题评析及其对数学复习的启发

2023年高考数学全国甲卷试题评析一、试卷结构2023年全国高考数学全国甲卷（理数）试题结构与往年基本保持一致，包括选择题、填空题和解答题三个部分。

其中选择题共12道，每题5分；填空题共4道，每题5分；解答题共6道，共70分。

整个试卷的难度分布较为均匀，既考查了基础知识点，也涉及了一些深度和综合性的问题。

二、知识点覆盖与难度全国甲卷数学试题在知识点的覆盖上比较全面，基本涵盖了高中数学的主干知识点。

在难度上，整体呈现出“中档偏难”的态势，其中选择题和填空题的难度相对较低，而解答题的难度则较大。

对于一些基础知识点，如集合、函数、数列等，试题的设计比较简单，但也有一些题目涉及到多个知识点的综合运用，需要考生具备较好的思维能力和分析能力。

三、创新性今年的全国甲卷数学试题在创新性方面有所尝试。

例如，解答题的第18题涉及到立体几何与解析几何的交汇点，需要考生通过空间想象和坐标运算来解答；第20题是一道有关函数的题目，要求考生运用导数来解决函数的最值问题，这些问题都具有较高的创新性。

四、对考生的要求全国甲卷数学试题对考生的综合素质和数学能力提出了较高的要求。

考生不仅需要熟练掌握高中数学的主干知识点，还需要具备较强的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

同时，考生还需要具备良好的数学素养和数学应用能力，才能应对一些涉及实际问题的题目。

五、对未来的启示从今年的全国甲卷数学试题可以看出，未来的高考数学将继续注重对考生综合素质和数学能力的考查。

因此，考生在平时的学习中，不仅需要注重基础知识的掌握，还需要加强数学思维和数学应用能力的培养。

同时，考生还需要关注数学与其他学科的交汇点，提高自己的跨学科综合能力。

总之，2023年全国高考数学全国甲卷试题在结构、知识点覆盖、难度、创新性和对考生的要求等方面都呈现出一定的特点。

考生在备考时应全面掌握基础知识，并加强数学思维和数学应用能力的培养。

同时，考生还应关注数学与其他学科的交汇点，提高自己的跨学科综合能力。

一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键.二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点)；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义，平面几何重视与圆有关的知积，必要时可以测量；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

2024新高考数学11卷评析/暨2025高考备考策略够》解构经典试题生重教考衔接6、、共享复习策略■科学备战高考PART01以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.1稳定：突出基础性要求，全面考查/深入考查基础年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷题号题型考点考点考点考点1选择题岌数的运算及几何意妲绝对值不等式的解法、集合的交集运算复数基本运第复数的几何意义_求角数的槿__________ 2选择题集合的运算_复数的乘法运算_集合的基本运算逻艇算，判定命题真假3选择题点到直线的距离、抛物线的焦点坐标等差数列的性质、斜率与倾斜角、数学文化分层抽样的计算；组合数的计第分步乘法原理向量基本运算，求向量的模4选择题球体的表面积平面向量的坐标运算、向量夹角、数量积运算函数奇偶性的定义，偶函数的性质,对数运算统计初步，中数、极差平均数等基本概念5选择题_棱台的体积_排列组合、分步乘法计数原理椭圆基本量与点到直线的距离与圆相关的中点轨迹方程（椭圆）6选择题正态曲线的特点两角和与差的正、余淞式、同角三角函数的基本关系含参指对型函数在给定区间单调，求参数范围函数零点问题，求参数值7选择题对数的大小比较棱台外接球的表面积二倍角公式或者半角公式己知台体的体积，线面角8选择题函数的基本性质函数的周期性等比数列前顽和公式函数单调性与不等式9多项选择题数字的样本特征正弦函数的图象与性质多选,以圆锥为背景,考查体积，侧面积，二面角等概念三角函数性质与图像问题10多项选择题直线与直线的位置关系抛物线的定义及性质、斜率公式抛物线焦点弦常用性质抛物线与圆的综合问题11多项选择题点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系三枝锥的体积公式、空间中的线面垂直关系以极大值极小值为背景考查区间内-元二次方程根与系数的关系函数零点极值点以及对称问题12多项选择题新定义问题不等式的性质、基本不等式牌率问题，课本例习题等差数列求和问题13填空题双曲线的几何性质正杰曲线的对称性向量的数量积的运算三角函数正切公式应用14填空题函数的单调性与奇偶性、导数的应用导数的几何意义正四棱椎中台体的体积公式排列组合（两问）15平面向量的数量积直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式设计含参直线与定圆，考察直线与圆的位置关系（相交弦构成的三角形面积）；本题答案不唯一选、填共计73分16填空题利用导数求切线方程及取值范围问题椭圆的中点弦、直线与椭圆三角函数的图像变换，五点法作图以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.2稳定：突出主干知识题号年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷17m等差蹶的通项公式及前顽fil等差、等比效列综尔敏舰项却的关系解训形相灿识,余弦定理,俪积公式，正切公式15.（13分）正、余弦定理、求三觥的周长18KM利用正、余核定理解:M正、余弦定理、三角形的面积公式an为等差数列，bn为其衍生的等差效列,耕等差效列的通项公式,求利公式,分类计论蝴16.（15分）利用导拥究碱的切线时题、利川榆妹值点求参效的范国19m面面乖直的证明、二映的求解频率分步直旅求平均值、辩、条件骚率频率分砒方图相关诚17.（15分）立体几何SI折柯凯证明线西垂直，求:面角20解笞题眦的标准方程及几何食义、直线与倾J位置关系证明线画平行、空间向量求二而角以三棱勒我体，考嚓空间线雌直关系;向址在空间的应用;向量法求解二Ihi角的方法林题笫:问也可不it系）18.（17分）二项分布概率、期里（3问）21样本机国体的成川、随机变址的分布列及期里双曲线的方程及性质、直线与双曲线的位置关系以双曲线为我休,问题1求双曲线的方柩嘘2考察定直线问题固定斜率的直线与双曲19.（17分）线交娜性质,双曲线盘列的综合问题（3问）22m利川械0冼榆效的邮、利川损求甫跚岑占＜小、导破求单邮、参效的取值都、不等式的证明雌1考察用*敏的不等式;雌2,改极大耕求参效邮醐,嫩较大1.试题易中难比例:52:76:22;2.选填题难度设置明显降低，没有难题，而且比2023年少了一题多选题，一道填空题，对考生相当友好，选填的答题准确率和速度，应该是2021年以来发挥最好的一次；3•解答题变化较大，减少了一个答题，而且每一题的赋分也有相应的增加，大题的第二题考查导数不再是压轴题，难度降低很多；18题是概率加载了较大的运算，最后的19题是解析几何与数列共舞，综合性强难度较大，考生考场上不易完整做出来。

2023年高考数学试题评析与反思【实用版2篇】目录（篇1）1.2023年高考数学试题评析2.反思如何改进数学教学3.提出改进措施和建议4.总结正文（篇1）2023年高考数学试题评析近年来，高考数学试题越来越注重考查学生的思维能力、分析和解决问题的能力。

2023年高考数学试题也不例外，试题在命题形式、内容和方法上都有所创新和突破。

首先，从命题形式上看，今年的高考数学试题采用了多种命题形式，包括选择题、填空题和解答题，其中解答题部分更加注重考查学生的综合运用能力。

同时，试题还增加了应用题和开放题的命题比例，让学生能够更加全面地了解数学在生活中的应用和价值。

其次，从命题内容上看，今年的高考数学试题涉及到了多个知识点，包括函数、几何、数列、概率统计、导数等。

其中，导数和概率统计是今年的热点题型，需要学生掌握相关的解题方法和技巧。

同时，试题还注重考查学生的数学思维能力和创新能力，例如开放题和探究题的设计，让学生能够更加深入地了解数学的本质和内涵。

最后，从命题方法上看，今年的高考数学试题注重考查学生的数学素养和综合能力。

试题设计紧密结合高中数学教材和教学大纲，同时注重与实际生活相联系，让学生能够更加深入地了解数学在生活中的应用和价值。

反思如何改进数学教学通过对2023年高考数学试题的分析和反思，我们可以发现当前数学教学存在的一些问题和不足之处。

首先，在教学过程中，教师往往过于注重知识的传授和灌输，而忽略了对学生思维能力和创新能力的培养。

其次，教学中缺乏实践性和探究性，学生缺乏对数学知识深入了解的机会和实践。

最后，教学中缺乏与实际生活的联系，让学生难以将数学知识应用到实际生活中去。

为了解决这些问题，我们可以采取以下措施和建议：首先，教师需要注重培养学生的思维能力和创新能力，例如通过开展探究性学习和问题式教学等方式来提高学生的思维能力和创新能力。

其次，教学中需要注重实践性和探究性，例如通过开展实践活动和探究性学习等方式来提高学生的实践能力和探究能力。

函数是高中数学的主线，函数思想贯穿于高中数学的各个章节之中.“函数与导数”对于提高学生的数学学科核心素养有着不可替代的作用，能够有效考查学生的数学运算、逻辑推理和数学建模等素养，特别是考查学生数学思维的条理性和发散性，因此一直是高考考查的热点、重点和难点.综观2020年高考数学试题，“函数与导数”部分的考查符合高考数学考试说明的要求，所有试卷均多次对该内容进行考查.针对2020年高考数学试卷中出现的本专题的试题，本文进行解法分析，并对本专题试题的基本类型和特点进行总结，提出了解决本专题数学问题的经验和方法，并给出了本专题的备考建议.一、试题分析2020年高考对“函数与导数”内容的考查，均以函数和导数的基础知识为载体，突出考查学生的基础知识和基本能力，题型涉及选择题、填空题和解答题，主要围绕函数的概念及性质、函数的图象、函数与方程和导数在研究函数中的应用等方面进行考查.同时，注重考查转化与化归、函数与方程、数形结合和分类整合等重要思想方法.1.函数的概念与性质函数的概念和性质是历年高考重点考查的内容，主要考查以下三个方面：函数概念的理解；函数的单调性、奇偶性和周期性实质的把握；运用基本初等函数的性质解决简单的不等式问题.例1（全国Ⅱ卷·理9）设函数f()x=ln||2x+1-ln||2x-1，则f()x（）.（A）是偶函数，且在æèöø12，+∞单调递增（B）是奇函数，且在æèöø-12，12单调递减（C）是偶函数，且在æèöø-∞，-12单调递增（D）是奇函数，且在æèöø-∞，-12单调递减解：由函数f()x=ln||2x+1-ln||2x-1，得函数f()x 的定义域为{}x|||x≠±12，定义域关于坐标原点对称.又因为函数f()-x=ln||-2x+1-ln||-2x-1=ln||2x-1 -ln||2x+1=-f()x，所以f()x为奇函数.当x∈æèöø-12，12时，f()x=ln()2x+1-ln()1-2x.因为y=ln()2x+1在æèöø-12，12上单调递增，y= ln()1-2x在æèöø-12，12上单调递减，所以f()x在æèöø-12，12上单调递增.2020年高考“函数与导数”专题解题分析张文涛摘要：通过对2020年高考中“函数与导数”试题的解题分析，给出典型试题的特点和类型，分析、归纳和总结典型试题的解法，并由此给出备考建议.关键词：高考数学；函数与导数；解法分析收稿日期：2020-08-29作者简介：张文涛（1984—），男，中学一级教师，主要从事高中数学教学工作.··39当x ∈æèöø-∞，-12时，f ()x =ln ()-2x -1-ln ()1-2x =ln 2x +12x -1=ln æèöø1+22x -1.因为u =1+22x -1在æèöø-∞，-12上单调递减，所以根据复合函数的单调性，知f ()x 在æèöø-∞，-12上单调递减.故答案选D.【评析】该题是对函数性质中的奇偶性和单调性的考查.判断函数奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，寻找f ()-x 与f ()x 的关系，从而得出结论；判断函数单调性，除了研究导函数外，还可以根据基本初等函数模型的单调性，通过平移和伸缩变换，以及复合函数“同增异减”得到结论.2.函数的图象函数的图象是高考的常考内容之一，主要考查函数图象的识别和应用.函数图象的识别常用特殊点法、函数性质法和极限思想来解决；函数图象的应用是数形结合思想的体现，通过“以形助数”把问题“可视化”，从而找到解决问题的途径.在高考中，利用图象研究函数的性质和利用图象解不等式都是重要的命题点.例2（浙江卷·4）函数y =x cos x +sin x 在区间[]-π，π上的图象可能是（）.（A）（B）（C）（D ）解：因为函数y =x cos x +sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除选项C 和选项D.当x =π时，y =-π<0，排除选项B.故答案选A.【评析】函数图象的识别一般从以下几个方面考虑：通过函数的定义域判断函数图象的左、右位置；通过函数的值域判断函数图象的上、下位置；通过函数的单调性判断函数图象的变化趋势；通过函数的奇偶性判断函数图象的对称性；通过函数的特殊点和极限判断函数图象的“边界”.3.函数与方程函数与方程思想是高中最重要的思想之一，用函数的观点看待方程，就是用动态的观点看方程.把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程f ()x =0就是求函数y =f ()x 的零点.例3（全国Ⅰ卷·理12）若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（）.（A ）a >2b （B ）a <2b （C ）a >b 2（D ）a <b 2解：由指数运算和对数运算，得2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b .因为22b +log 2b <22b +log 2b +1=22b +log 22b ，所以2a +log 2a <22b +log 22b .令f ()x =2x +log 2x ，由指数函数和对数函数的单调性，可知f ()x 在()0，+∞内单调递增.由f ()a <f ()2b ，得a <2b .f ()a -f ()b 2=2a +log 2a -()2b 2+log 2b 2=22b+log 2b -()2b 2+log 2b 2=22b -2b 2-log 2b .当b =1时，f ()a -f ()b 2=2>0，此时f ()a >f ()b 2，有a >b 2；当b =2时，f ()a -f ()b 2=-1<0，此时f ()a <f ()b 2，有a <b 2.故答案选B.【评析】该题主要考查函数思想、函数与方程的综合应用，重点考查学生的数学运算能力和转化思想，涉及构造函数和函数的性质及应用.4.函数模型及其应用数学建模是数学学科核心素养之一，是新高考的热点，主要考查学生的数学建模能力，以及分析问题和解决问题的能力.数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决··40实际问题.高考中常从以下几个方面考查：用函数图象刻画实际问题的变化过程；用已知函数模型解决实际问题；构造函数模型解决实际问题.例4（全国Ⅲ卷·文/理4）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I ()t （t 的单位：天）的Logistic 模型：I ()t =K1+e-0.23()t -53，其中K 为最大确诊病例数.当I ()t *=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）.（ln 19≈3.）（A ）60（B ）63（C ）66（D ）69解：因为I ()t =K1+e -0.23()t -53，所以I ()t ∗=K1+e-0.23()t ∗-53=0.95K .则e0.23()t ∗-53=19.所以0.23()t ∗-53=ln 19≈3.所以t ∗≈66.故答案选C.【评析】该题考查指数型函数模型的应用、指数与对数的互化，以及学生的数学运算素养.5.导数的运算和几何意义导数的运算和几何意义属于高考重点考查内容之一，主要考查以下几个方面：导数的基本运算、已知切点的切线方程问题、未知切点的切线方程问题，特别需要弄清楚在某一点的切线和过某一点的切线的区别.例5（全国Ⅲ卷·理10）若直线l 与曲线y =x 和圆x 2+y 2=15相切，则l 的方程为（）.（A ）y =2x +1（B ）y =2x +12（C ）y =12x +1（D ）y =12x +12解：设直线l 在曲线y =x 上的切点为()x 0，x 0，则x 0>0.因为函数y =x 的导数为y ′=12x，所以直线l 的斜率k =12x 0.设直线l 的方程为y -x0=)x -x 0，化简，得x -2x 0y +x 0=0.因为直线l 与圆x 2+y 2=15相切，所以x 01+4x 0=15.两边平方，并整理，得5x 20-4x 0-1=0.解得x 0=1，x 0=-15（舍）.则直线l 的方程为x -2y +1=0，即y =12x +12.故答案选D.【评析】该题主要考查导数几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系.6.导数与函数的单调性和极值（最值）用导数工具研究函数的单调性和极值（最值）是高考考查的重点，常见考点为：求函数的单调区间和函数的极值（最值）.例6（全国Ⅱ卷·理21）已知函数f ()x =sin 2x sin 2x .（1）讨论f ()x 在()0，π上的单调性；（2）证明：||f ()x ≤.（3）证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤3n 4n .解：（1）因为f ()x =sin 2x sin 2x =2sin 3x cos x ，所以f ′()x =2sin 2x ()3cos 2x -sin 2x =-8sin 2x sin æèöøx +π3sin æèöøx -π3.当x ∈æèöø0，π3时，f ′()x >0，f ()x 在æèöø0，π3上单调递增；当x ∈æèöøπ3，2π3时，f ′()x <0，f ()x 在æèöøπ3，2π3上单调递减；当x ∈æèöø2π3，π时，f ′()x >0，f ()x 在æèöø2π3，π上单调递增.（2）因为f ()x +π=sin 2()x +πsin []2()x +π=sin 2x sin 2x ，所以f ()x +π=f ()x .所以函数f ()x 是周期为π的函数.结合（1）的结论，计算，得f ()0=f ()π=0，f æèöøπ3=èø2×，··41f æèöø2π3=èø2×æèçø=.由此可得f ()x max，f ()x min =.故||f ()x ≤.（3）由（2）的结论，知sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x=[]sin 3x sin 32x sin 34x …sin 32nx 23=[]sin x ()sin 2x sin 2x ()sin 22x sin 4x ⋯()sin 22n -1x sin 2nx sin 22nx23≤éëêùûúsin x ···…··sin 22n x 23≤éëêêùûúúèøn 23=æèöø34n.证毕.【评析】导数是研究函数单调性和极值（最值）最有效的工具.该题第（1）小题以导函数的零点为分界，将()0，π分成三个区间，并确定各个区间上导函数的符号，以此确定原函数的单调性；该题第（2）小题的解决要先确定函数的周期性，并结合第（1）小题中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值，从而证得不等式成立；对于该题第（3）小题，将所给的不等式左侧进行恒等变形，并结合第（1）小题的结论和三角函数的有界性进行放缩，即可证得所求不等式.7.导数在研究不等式中的应用运用导数工具研究不等式是高考的重点和难点，常通过以下两个方面考查：证明不等式；已知不等式恒成立，求参数范围.例7（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·21）已知函数f ()x =a e x -1-ln x +ln a .（1）当a =e 时，求曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f ()x ≥1，求a 的取值范围.具体解法详见本文第三部分的试题解法赏析.8.导数在研究函数零点中的应用函数零点问题一直是高考考查的热点，主要考点为：求函数零点的个数和已知函数零点个数求参数范围.通常的解决策略为：通过研究函数单调性和极值，并结合零点存在定理判断零点个数.在解决函数零点问题时分离参数法应引起足够重视.例8（全国Ⅲ卷·文20）已知函数f ()x =x 3-kx +k 2.（1）讨论f ()x 的单调性；（2）若f ()x 有三个零点，求k 的取值范围.解：（1）根据题意，得f ′()x =3x 2-k .当k ≤0时，f ′()x ≥0恒成立，f ()x 在()-∞，+∞上单调递增；当k >0时，令f ′()x =0，得x =f ′()x <0，得<x <；令f ′()x >0，得x <x >.所以f ()x 在æèç上单调递减，在æèç-∞，-，öø÷+∞上单调递增.（2）由（1）知，f ()x有三个零点，则ìíîïïïïk >0，f æèç>0，f<0，即ìíîïïïïk >0k 2+230，k 2-230.解得0<k <427.当0<k <427时，k >，且f()k =k 2>0.所以f ()x 在öø÷k 有唯一零点.同理，-k -1<f ()-k -1=-k 3-()k +12<0.所以f ()x在æèç-k -1，-有唯一零点.又因为f ()x 在æèç上有唯一零点，所以f ()x 有三个零点.综上所述，k 的取值范围为æèöø0，427.【评析】该题主要考查利用导数研究函数的单调性及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生的逻辑推理和数学运算素养.··42二、典型试题解法分析1.超越不等式求解典型解法分析（数形结合法）在函数与导数试题的解决过程中常用到数形结合的思想.“数（代数）”与“形（几何）”是高中数学的主要研究对象，而这两个研究对象也是紧密联系的.在高考数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.我国著名数学家华罗庚以四句诗“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”非常贴切地总结了“数形结合、优势互补”的精要.“数形结合”是一种常见且非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在解题中有重要的地位.例9（北京卷·6）已知函数f()x=2x-x-1，则不等式f()x＞0的解集是（）.（A）()-1，1（B）()-∞，-1⋃()1，+∞（C）()0，1（D）()-∞，0⋃()1，+∞解：不等式f()x＞0等价于2x-x-1＞0，即2x＞x+1.令y=2x，y=x+1，在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=x+1的图象如下图所示.两个函数图象的交点坐标为()0，1，()1，2，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f()x＞0的解集为()-∞，0⋃()1，+∞.故答案选D.【评析】该题主要考查利用函数图象解不等式，核心是利用数形结合思想解决问题.该题的难点是合理构造函数，在同一个平面直角坐标系中作出两个函数的图象，将解不等式问题转化为求两个函数图象的交点问题，最后运用数形结合思想求解.解决此类问题主要是准确分析函数图象的特性，定性分析与定量分析相结合，并借助函数图象，把原问题转化为数量关系明确的问题.2.不等式恒成立问题典型解法分析求不等式恒成立问题中的参数取值范围是高考考查的重点.这类问题的典型解法是：构造函数，分类讨论；分离参数，结合最值；缩小范围，减少讨论；分离函数，数形结合.例10（全国Ⅰ卷·理21）已知函数f()x=e x+ax2-x.（1）当a=1时，讨论f()x的单调性；（2）当x≥0时，f()x≥12x3+1，求a的取值范围.解：（1）当a=1时，f()x=e x+x2-x，所以f′()x=e x+2x-1.记g()x=f′()x=e x+2x-1，则g′()x=e x+2>0.所以g()x在R上单调递增，即f′()x在R上单调递增.又因为f′()0=0，所以当x>0时，f′()x>0.所以f()x的单调增区间为()0，+∞，单调减区间为()-∞，0.（2）当x≥0时，f()x≥12x3+1恒成立.（方法1）构造函数，分类讨论.当x≥0时，f()x≥12x3+1等价于12x3-ax2+x+1e x≤1.设函数g()x=12x3-ax2+x+1e x()x≥0，则g′()x=-x()x-2[]x-()2a+12e x()x≥0.①当2a+1≤0，即a≤-12时，当x∈()0，2时，g′()x>0，g()x在()0，2单调递增，而g()0=1，故当x∈()0，2时，g()x>1，不符合题意.②当0<2a+1<2，即-12<a<12时，当x∈()0，2a+1时，g′()x<0，g()x在()0，2a+1单调递减；当x∈()2a+1，2时，g′()x>0，g()x在()2a+1，2单调递增；当x∈()2，+∞时，g′()x<0，g()x在()2，+∞单··43调递减.因为g()0=1，所以g()x≤1，当且仅当g()2=7-4a e2≤1，即a≥7-e24.所以当7-e24≤a<12时，g()x≤1.③当2a+1≥2，即a≥12时，有g()x≤12x3+x+1 e x.易知12x3+x+1 e x≤1.故当a≥12时，g()x≤1.综上所述，a的取值范围为éëêöø÷7-e24，+∞.（方法2）分离参数，结合最值.①当x=0时，a∈R.②当x>0时，即a≥12x3+x+1-e xx2恒成立.设h()x=12x3+x+1-e xx2()x≥0，则h′()x=()2-xæèöøe x-12x2-x-1x3.设g()x=e x-12x2-x-1()x≥0.当x≥0时，g′()x=e x-x-1，g″()x=e x-1.因为g″()x=e x-1≥0恒成立，所以g′()x在()0，+∞单调递增.所以g′()xmin=g′()0=0.所以g′()x≥0恒成立.所以g()x在()0，+∞单调递增.所以g()xmin=g()0=0.令h′()x=0，可得x=2.当x∈()0，2时，h′()x>0，h()x在()0，2单调递增；当x∈()2，+∞时，h′()x<0，h()x在()2，+∞单调递减.所以h()xmax =h()2=7-e24.所以a≥7-e24.综上所述，a的取值范围为éëêöø÷7-e24，+∞.【评析】该题主要考查恒成立问题中的求参数的取值范围.方法1采用分类讨论思想研究函数最值，然后求解恒成立问题，在解题过程中，借助一些函数特征，缩小参数的取值范围，减少讨论过程.方法2先讨论x=0时的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究所构造的新函数的最值，从而确定实数a的取值范围.不等式恒成立问题的典型解法有最值分析法、分离参数法和分离函数法.方法1使用最值分析法（构造函数、分类讨论），优点是函数结构简单，是解决不等式恒成立问题的通性、通法，缺点是一般需要分类讨论，解题过程层级数较多.函数分类讨论的一般步骤：求出导函数f′()x；讨论方程f′()x=0的根的情况；讨论根之间的大小关系（包含间断点）；讨论根与区间的大小关系.方法2使用分离参数法（分离参数、结合最值），优点在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构较复杂，一般是函数的积与商，导函数可能也是超越函数，需要多次求导，也有可能不存在最值，需要求端点极限，会用到洛必达法则.分离函数法较多用于填空题或者选择题.因为问题涉及动态变化，只能找临界状态（常见的是函数图象的切线位置），在解答题中不容易表述.另外，有时很难通过图形从微观层面解释清楚图象的交点和图象的高低，还要涉及函数的凸凹性等对函数图象更精细的刻画.3.函数零点问题典型解法分析函数的零点问题是高考考查的重点和难点，在每年的高考中都会多次出现.对于函数零点问题，最核心的是画出函数图象，这其中往往蕴含着零点存在定理、数形结合思想、函数单调性和参数分离思想.这类问题的典型解法是：利用函数单调性和零点存在定理求解；利用参数分离法求解；利用分离函数法求解.例11（全国Ⅰ卷·文20）已知函数f()x=e x-a()x+2.（1）当a=1时，讨论f()x的单调性；··44（2）若f()x有两个零点，求a的取值范围.解法1：函数单调性和零点存在定理.由题意，知f()x的定义域为(-∞，+∞)，且f′()x= e x-a.（1）当a=1时，f′()x=e x-1.令f′()x=0，解得x=0.当x∈()-∞，0时，f′()x<0；当x∈()0，+∞时，f′()x>0.所以f()x在()-∞，0上单调递减，在()0，+∞上单调递增.（2）当a≤0时，f′()x>0恒成立，f()x在()-∞，+∞上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′()x=0，解得x=ln a.当x∈()-∞，ln a时，f′()x<0；当x∈()ln a，+∞时，f′()x>0.所以f()x在x∈()-∞，ln a上单调递减，在x∈()ln a，+∞上单调递增.所以f()xmin =f()ln a=a-a()ln a+2=-a()1+ln a.要使f()x有两个零点，则必有f()ln a<0，即1+ln a>0，解得a>e-1.因为f()-2=e-2>0，所以f()x在()-∞，ln a上存在唯一零点.由（1）知，当x>2时，e x-x-2>0.所以当x>4且x>2ln()2a时，f()x=e x2·e x2-a()x+2>e ln2aæèöøx2+2-a()x+2=2a>0.故f()x在()ln a，+∞上存在唯一零点.从而f()x在()-∞，+∞上有两个零点.综上所述，若f()x有两个零点，则a的取值范围是æèöø1e，+∞.解法2：分离参数法.（1）同解法1.（2）若f()x有两个零点，即e x-a()x+2=0有两个解，从方程可知，x=-2不成立，即a=e x x+2有两个解.令h()x=e x x+2()x≠-2，则有h′()x=e x()x+2-e x()x+22=e x()x+1()x+22.令h′()x>0，解得x>-1；令h′()x<0，解得x<-2或-2<x<-1.所以函数h()x在()-∞，-2和()-2，-1上单调递减，在()-1，+∞上单调递增，且当x<-2时，h()x<0，而当x→-2+时，h()x→+∞，当x→+∞时，h()x→+∞.所以当a=e x x+2有两个解时，有a>h()-1=1e.所以满足条件的a的取值范围是æèöø1e，+∞.解法3：分离函数法.将问题转化为曲线y=e x和直线y=a()x+2有两个交点，利用恒过点()-2，0的直线与曲线y=e x的切线的斜率，结合图形，容易求得结果.【评析】该题是应用导数研究函数的零点问题.解法1应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，难点在于用零点存在定理结合函数单调性证明有两个零点.解法2采用分离参数法并利用数形结合，将问题转化为直线y=a和函数y=e x x+2有两个交点的问题，最终回到函数单调性和值域问题.下面从三个方面对函数零点问题的典型解法进行剖析.（1）利用函数单调性和零点存在定理解决函数零点问题的一般步骤为：求出函数y=f()x在区间I上的间断点和导函数f′()x的零点，用以上这些点将区间I分为几个小区间；求出函数y=f()x的单调区间，以及极值点、最值点；分析极值和最值与x轴的相对位置，结合零点定理，得到零点个数.此解法是利用导数得出函数单调性，再配合零点存在定理解决问题.这是一种常用的解法，但其间夹杂分类讨论，虽然对培养学生思维的严密性很有好处，但是在考场上大多数学生往往难以完成.所以通过等价转化设法将原问题转化为可以避免分类讨论的问题就显得尤为重要.（2）利用参数分离法解决函数零点问题.函数y=f()x的零点可以转化为方程f()x=0的解，如果我们能从f()x=0中将参数a分离出来，使f()x=0转化为g()a=h()x的形式，那么函数的零点问题就转化为与··45x 轴平行的直线y =g ()a 和函数y =h ()x 的图象的交点问题.通过讨论函数y =h ()x 的单调性等性质，作出函数y =h ()x 的大致图象，再通过平移直线y =g ()a ，观察直线y =g ()a 与函数y =h ()x 的图象的交点，即可判断函数的零点.此解法的优势在于既可以避免因参数引起的分类讨论，又形象、直观，结论一目了然；劣势是要求学生对极限有初步了解，且能根据图象的性质作出函数图象.（3）利用分离函数法解决函数零点问题.对于很难利用导数工具来分析性质的函数y =f ()x ，我们常会将f ()x =0分解成两个相对简单的函数，即g ()x -h ()x =0，这样函数g ()x ，h ()x 的图象的交点横坐标就是函数f ()x 的零点.因此，我们可以利用数形结合思想作出函数g ()x ，h ()x 的图象，并根据两个函数图象的交点情况求解参数范围.通过函数g ()x 和h ()x 图象的交点求解y =f ()x 的零点，克服了直接求解y =f ()x 的零点带来的困难.此解法使函数零点问题的处理变得简单，但把原函数转化为两个函数之差时，要注意转化后的两个函数的图象应容易画出.在作图时，要利用函数的奇偶性和单调性等性质，标明函数图象上的特殊点（如最高点、最低点及与坐标轴的交点），尽量把图象画准确，避免误判.三、试题解法赏析下面对前文中的例7的解法进行赏析.解：（1）由题意，知f ()x =e x -ln x +1.所以f ′()x =e x-1x.则有k =f ′()1=e -1，f ()1=e +1.因此切点坐标为()1，1+e .所以切线方程为y =()e -1()x -1+e +1，与x 轴交于点A æèöø-2e -1，0，与y 轴交于点B ()0，2.所以围成的三角形面积为S =12·||||||-2e -1·2=2e -1.（2）（方法1）虚设零点，整体代换.由f ()x =a e x -1-ln x +ln a ，知f ′()x =a e x -1-1x，且a >0.设g ()x =f ′()x ，则g′()x =a e x -1+1x2>0.所以g ()x 在()0，+∞上单调递增，即f ′()x 在()0，+∞上单调递增.当a =1时，f ′()1=0，f ()x min =f ()1=1，故f ()x ≥1成立；当a >1时，由1a<1，知e 1a -1<1.所以f ′æèöø1a f ′()1=a æèçöø÷e 1a-1-1()a -1<0.所以存在唯一x 0>0，使得f ′()x 0=a e x 0-1-1x 0=0，且当x ∈()0，x 0时f ′()x <0.当x ∈()x 0，+∞时，f ′()x >0.因此a ex 0-1=1x 0，即ln a +x 0-1=-ln x 0.故f ()x min =f ()x 0=a ex 0-1-ln x 0+ln a=1x 0+ln a +x 0-1+ln a ≥2ln a -1+=2ln a +1>1.当且仅当x 0=1时等号成立.所以f ()x >1恒成立.当0<a <1时，f ()1=a +ln a <a <1，所以f ()1<1，f ()x ≥1不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[)1，+∞.（方法2）建构同构式.f ()x =a e x -1-ln x +ln a =e ln a +x -1-ln x +ln a ≥1等价于e ln a +x -1+ln a +x -1≥ln x +x =e ln x +ln x .令g ()x =e x +x ，上述不等式等价于g ()ln a +x -1≥g ()ln x .因为g ()x 为单调增函数，所以不等式等价于ln a +x -1≥ln x ，即ln a ≥ln x -x +1.令h ()x =ln x -x +1，则h ′()x =1x -1=1-x x .在()0，1上h ′()x >0，h ()x 单调递增；··46在()1，+∞上h′()x<0，h()x单调递减.所以h()xmax=h()1=0.解得ln a≥0，即a≥1.故a的取值范围是[)1，+∞.（方法3）先猜后证.由f()x=a e x-1-ln x+ln a，知f′()x=a e x-1-1x，且a>0.设g()x=f′()x，则g′()x=a e x-1+1x2>0.所以g()x在()0，+∞上单调递增，即f′()x在()0，+∞上单调递增.由f()1=a+ln a≥1，得a≥1.当0<a<1时，f()1=a+ln a<1，不符合题意.当a≥1时，由e x-1>0，ln a>0，得f()x≥e x-1-ln x.令g()x=e x-1-ln x()x>0，则g′()x=e x-1-1x.易知g′()x在()0，+∞上单调递增.又因为g′()1=0，当x∈()0，1时，g′()x<0；当x∈()1，+∞时，g′()x>0，所以函数g()x在x∈()0，1上单调递减，在x∈()1，+∞上单调递增.所以g()x≥g()1=1，即f()x≥1.综上所述，a的取值范围是[)1，+∞.（方法4）放缩法.由f()x≥1，得a e x-1-ln x+ln a≥1，即a e x-1-ln x-1≥-ln a.易证e x≥x+1，-ln x-1≥-x，当x=1时等号成立.又因为a>0，所以e x-1≥x，a e x-1≥ax，当x=1时等号成立.因此只需证明ax-x≥-ln a，即证x()a-1≥-ln a.当a≥1时，x()a-1>0>-ln a恒成立；当0<a<1时，x()a-1<0<-ln a，此时x()a-1≥-ln a不成立.故a的取值范围是[)1，+∞.【评析】该题重点考查利用导数证明不等式，解题过程中的构造是关键，考查分类讨论思想和等价转化思想，以及学生的综合分析和求解论证能力.四、备考建议通过对2020年高考数学试卷中函数与导数试题的分析，并根据历年函数与导数试题的特点与要求，提出如下复习建议.1.依据课程标准对本专题的考查要求进行复习《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出学科六大核心素养，因此2021年“函数与导数”备考要始终围绕数学学科核心素养，特别是要培养学生的推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力.2.注重基础知识和思想方法的掌握备考过程中要紧抓函数与导数两条主线，构建知识结构基本框架，认真对待函数与导数的基础知识和基本技能，注重函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想方法的掌握.3.注重积累典型题目的典型解法对在高考备考过程中遇到的典型例题和常考题型，总结和掌握解题的基本方法，并归纳出典型解法，从而确保在解同类题目时能够通过类比和转化，化陌生为熟悉，顺利解决问题.参考文献：［1］周志国.2018年高考“函数与导数”专题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：26-32.［2］王瑜，林梦雷.2019年高考全国Ⅰ卷“函数与导数”试题分析与备考建议［J］.福建中学数学，2020（4）：8-9.··47。

关于对口高考三角函数题的分析与启示三角函数是中职数学中的重要内容，在历年来都被学生认为是最难的一部分。

纵观近5年的高考题目，三角内容所占分值较重，列表如下：年份07年08年09年10年11年分值18 17 17 16 16题目7,4,21,26 11,15,21,26 16,19,23,25 11,22,29,33 4,17,23,32通过对题目的分析，可知道主要考察以下知识点：考查知识点年份及题号三角函数定义及符号07(7),09(25),10(11),11(4)同角三角函数基本关系07(21),09(16),09(23)诱导公式、两角和与差公式07(26),08(21),09(23),10(22),11(17),11(23)正弦型函数07(26),08(15),08(26),09(19),10(29),10(35),11(36) 解三角形07(14),08(11),09(16),10(33),11(32)由以上分析，我认为对于三角部分的学习，应注意以下几点：一：注重三角函数概念的教学，防止走进公式的死胡同。

数学概念是数学知识中最基本的内容，是数学认知结构的重要组成部分，是数学学科系统的精髓和灵魂，对概念的认知和理解直接影响着教育学的质量。

三角函数的坐标定义是研究三角函数的基础，三角函数的符号、同角公式与诱导公式的推导、三角函数的图像都是与定义或其几何意义紧密联系的。

在高中阶段，三角函数是用坐标定义的，在讲解概念时要特别强调，并且会灵活应用。

如2007年高考题： 已知P 是1200角终边上的一点 ，且点P 到坐标原点O 的距离是2，则点P 的坐标是( ) A.(3,1-) B.(1,3-) C.(23,21-) D.(21,23-) 本题直接考察了三角函数的定义，其中r=2，设P 点坐标为(x,y)，则由定义知cos1200=r x , sin1200=ry ,求出即可。

又如2009年高考题：已知点P(3,4)在角θ的终边上，将有向线段OP 绕坐标原点O 旋转030+θ到/OP 的位置，求点P /的坐标(x /,y /)。

2019年高考三角函数试题评析及复习备考建议作者：***来源：《中学数学杂志(高中版)》2020年第01期1 總述三角函数是高中数学的主干知识之一，也是高考重点考查的内容。

2019年高考多以中低档题考查了三角函数的基本知识、方法与技能。

目前很多学生在三角函数的复习中存在一些问题，比如，基础知识掌握不牢固，公式不能灵活应用等。

笔者通过对2019年全国7套高考试题的剖析，对2020年高考三角函数的复习备考提出了一些建议，以供参考。

从上表中，我们不难发现，2019年高考数学对三角函数部分的考查有以下特点：2.1 题型及分值分析除全国Ⅱ卷出了三道小题外，其它各省市试卷都是一道小题和一道大题，分值17分左右，约占整个卷面的12%。

2.2 试题难度分析三角函数试题多为简单题或中档题，难度系数基本维持在0.6-0.8，整体而言，三角函数的考查难度适中。

2.3 试题特点分析2.3.1 客观题特点客观题着重考查三角函数的基本概念、公式的灵活应用，如三角函数的定义、三角的恒等变换及三角函数的图象与性质，特别是函数y=Asin（ωx+ω）的最值、单调性、奇偶性、对称性、零点、图象变换等。

2.3.2 主观题特点主观题大多是通过解三角形，着重考查学生利用所学知识解决实际问题的能力，同时在三角形中考查学生对三角公式的恒等变换、正（余）弦定理的运用等基础知识的掌握程度。

3 典例剖析3.1 三角函数求值评注三角函数求值问题是三角函数中基本题型之一，试题小巧灵活，主要考查同角三角函数基本关系、两角和与差的正、余弦公式及二倍角等公式的灵活应用，考查的核心素养是数学运算。

3.2 三角函数的图象与性质评注高考中对于“三角函数与解三角形”的解答题多以三角形作为命题背景，重点考查以正弦定理和余弦定理为工具计算求解三角形的边角关系，同时考查利用同角三角函数基本关系、三角恒等变换、两角和与差的三角函数公式进行运算推理。

考查的核心素养是数学建模、逻辑推理、数学运算等。

对几道函数高考题的认识、反思与拓展函数高考题是中学数学高考的重要内容，在考试中它的比重比较大，因此，在中学数学高考中，知道如何解函数高考题是十分必要的。

函数在数学教学中有着重要的地位，它比较容易理解，它的求解可以起到贯穿许多不同的数学概念的解决科学问题的作用。

函数高考题的认识可以具体分为以下几个方面：一、函数的基本概念。

学习数学函数需要掌握函数的基本概念，比如定义域、值域、唯一性、运算性质等，这些概念是我们解函数高考题的基础。

二、分析函数高考题。

函数高考题通常包含有解析函数学习中的微积分内容，比如求导、内插、定积分等，所以我们需要熟悉这些概念，熟练掌握函数的数学计算。

三、函数的应用。

函数的应用是比较实用的，它可以解决一些问题，比如几何问题、概率问题等，对此，我们需要掌握函数的应用方法，同时要有一定的创新能力，开拓思路。

四、函数的拓展。

函数高考题，不仅需要掌握函数的概念，还要拓展函数的知识点，如微积分的理论、复变函数的应用等，这样才能更加全面的认识函数，在进行高考题解题时，才能更加准确的分析问题，搞懂题目的结构，更加有效的解决函数高考题。

从以上几个方面来看，学习函数高考题，不仅要熟悉函数的各种概念和基本运算，同时要多创新，拓展自己的知识面，把函数的应用拓展到更多的领域，这样才能帮助我们更好的解决函数高考题，有效的提高我们的数学能力。

我们有必要在学习函数高考题的同时，反思数学学习的方法，深入思考学习函数的意义，结合实践进行反思，以积极的态度去学习数学，从而提高数学能力。

函数高考题的提出，引导了我们正确认识函数，全面掌握函数的基本概念和计算方法，掌握函数的应用，拓展函数的知识面，运用函数求解科学问题等技能，这都是函数高考题给我们带来的新挑战和机遇，也让我们在函数的学习中更加积极参与，培养出理解能力和创新能力，提高自身的数学能力。

以上是关于函数高考题的认识、反思与拓展，希望我们在函数高考题中能提升学习效率，拓展自身的知识面，开拓视野，累积更多的数学知识，为自己的未来打下坚实的基础。

对几道函数高考题的认识、反思与拓展就目前高考而言，函数是一个重要的考察内容，要求考生掌握函数的概念、运用、推导与应用。

伴随着社会的发展，高考函数的考查也在不断发展。

本文以高考函数试题为例，把现代高考思想与函数理论有机的结合起来，对几道考题进行认识、反思与拓展，进一步提升考生的函数素养。

一、对几道函数高考题的认识首先，对几道函数高考题应有一定的认识，认识该类题目的特点，才能进一步深入挖掘各种函数问题。

1.函数定义：函数是一种特殊的数学模型，它描述两个或多个变量之间的关系。

函数是一种由变量通过函数表达式来描述的模型，它可以用来推导解决实际问题。

2.函数特点：函数的特点有数学特性、函数变换等，即在函数的表达式中，可以分解、消元、替换等。

函数可以用于描述多种物理、经济及其他实际问题的变化规律。

3.函数分类：函数可以分为基本函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，每种函数都有其特有的性质和特点。

4.函数理论：函数理论是一门研究函数的理论，它研究的主要内容有函数的定义、性质、分类、表达式、曲线、极值和极限等。

二、对几道函数高考题的反思根据函数的定义以及函数理论，我们可以从高考函数试题中找到素养的提升机会。

1.定义：函数的定义是每个考生必须熟练掌握的重要知识点，它是上述几类函数归类的前提条件，一定要清晰了解函数的定义，才能更好地解答函数题目。

2.变换：函数的变换也是高考函数试题中的重要考查点，包括变量的运用、函数的展开以及分解等，这对考生有较高的要求，必须掌握规律，运用函数的变换技巧，才能解出答案。

3.极限：极限的概念是理解函数的重要知识点，考生要掌握不同函数的极限性质，可以运用极限理论来解决函数题目，这也是高考函数试题所考查的重要知识点。

三、对几道函数高考题的拓展在对几道函数高考题进行认识与反思之后，还要结合现实实际情况，对其进行拓展，让学生有一定的创新思维，能够解决新的函数问题。

1.综合考查：考生可以灵活运用多种函数变换技巧，结合函数的定义、性质、分类及极限的知识，拓展函数应用，解决更多复杂的函数问题。

从高考数学试题看高考备考复习一、试题整体分析考试中心明确要求：数学要考查关健能力，强调数学应用，助推素质教育。

1聚集主干内容，突出关键能力；2理论联系实际，强调数学应用；3.考查数学思维，关注创新意识；4.增强文化浸润，体现育人导向；5.探索内容改革，助推素质教育。

2019年全国Ⅱ卷高考数学试题，很好的印证和释了上述主旨。

全国卷以教育部发的“2019年高考考试大纲”为依据。

试卷在结构、试题难度方面和往年相比有一定的调整，有利于不同水平的学生发挥，有较好的信度和区分度，有利于高校选拔人才。

试卷重视对考生数学素养和探究意识的考查，注意体现新课改之后新增知识的考査要求，注重学科间的内在联系和知识的综合运用，对能力的考査强调探究性，应用性，多视点、多角度、多层次地考査了考生学习数学所具备的素养和潜力。

这种命题的思路既有利于正确引导高中数学教学的方向，揭示数学概念的本质，注重通性通法，倡导用数学的思维进行教学，引导学生掌握用数学的思维解决数学问题，感受数学的思维过程，又有利于破解僵化的应试教育和题海战术。

二、试题特点1.立足基础知识，考查主干知识。

今年试题仍然延续了全国高考数学卷立足基础知识，考查主干知识的风格，理科在大題部分题目顺序上有较大改变，但是概率、立体几何和数列的难度和考察方向与往年区別不大。

数学文科试题在立足稳定的基础上进行创新，稳定是指内容上的稳定、难度上的稳定，比如第1，2，5，6，10，13，18，21题渉及代数知识，具体内容包含集合与逻辑、函数的概念与性质、指数函数、对数函数、导数的几何意义及其应用、数列、不等式与线性规划等；第7，16，17是立体几何方面的题目，具体包含空间线面关系、空间几何体，空间几何体的体积等；第4，14，19考概率统计；第3，9，12是涉及解析几何的试题，具体内容包括双曲线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等，第22，23分别是坐标系与参数方程，以及不等式选讲的选做题。

2020—2022年新高考卷函数试题分析与教学启示摘要：函数是高考数学的必考内容，本文结合2020-2022年新高考卷中函数知识试题，探索命题的多样性，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，可以在实际情况下选择合适的函数模型及蕴含的数学方法解决简单的现实问题变化规律。

关键词：新高考卷、函数试题、分析与教学、启示引言函数是高中的数学的主要核心知识点之一，其“函数”的知识点贯穿整个高中数学的学习思想的始终。

在高中教学中，教师们将“函数”的知识点作为重点研究内容进行教学，强调函数与其他相关内容之间的衔接，其在“函数”的教学过程中包含了概括抽象、分析表达等方法[1]。

一、“函数”试题特点和试题分析（一）函数试题特点1、注重基础知识的考察快速的解题技巧并不适用于所有题型，盲目的刷题并不能事半功倍，反而会增加学生们的学习负担。

高考试题通常是在教材基础知识的基础上进行变换和提升，因此在教育部提倡“双减”的今天，教师们应该回归教材本身内容，注重基础知识，总结高考试题的出题规律，是应对高考试题的一种好方法。

三角函数内容考点稳定，但考查方式灵活多变，突出本质，要求学生有扎实的基础知识、基本技能和良好的数学关键能力[2]。

教师们应该以教材的基本知识为起点，对高考试题进行专研，变换试题形式，能够全面系统的讲解各个知识点，推进教学质量，按照试题的本质特征和逻辑关系层层递进。

教师们应该做到想学生所想，知学生所难，走在学生前列，实现稳步高效教学。

引导学生掌握知识点的本质特征和有针对性的练习，才能充分的提升答题速度和答题准确率，领悟数学思维，在复杂多变的试题面前“拨云开雾”。

2、突出核心知识函数试题考查的知识点分为指数函数、对数函数和三角函数，教师们应该注重学生对三种函数概念和性质的理解和掌握，并且教会学生会利用函数的性质解决简单的实际问题。

在高中数学的教学中，函数知识点相对稳定，核心知识点覆盖面比较全，主要涉及考查函数的概念、基本性质、特点以及三种函数之间的联系。

教学创新关键能力（逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力）、数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想）、数学学科核心素养等四个维度统计和分析2020—2022年的新高考数学卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套试卷中考查必修部分函数知识的试题，探索命题的多样性。

一、数学新高考卷命题特点笔者以条件、问题和一般解法涉及的知识点、关键能力、数学思想以及核心素养为统计对象，统计与分析2020—2022年数学新高考卷考查函数知识的试题，具体内容如表2所示。

可见，试题设计的基础为核心知识，载体为问题情境，特征为关键能力，它们依托思想方法落实数学学科核心素养的培养。

（一）突出核心知识，体现创新性与综合性根据表2，试题考查的函数知识点相对稳定，核心知识覆盖较全，主要涉及函数的概念、函数的基本性质（如奇偶性、单调性）、指数运算、对数运算、指数函数及其性质、对数函数及其性质、同角三角函数的试卷2020年新高考卷Ⅰ2020年新高考卷Ⅱ2021年新高考卷Ⅰ题号6810111778111217461013涉及考点指数模型，指数函数的性质，幂指运算奇函数的几何意义，函数图象，函数的单调性，抽象不等式函数y=A sin(ωx+φ)的图象，参数ω，φ的意义，诱导公式指数运算，对数运算，基本不等式两角和与差的正弦、余弦公式，正弦定理，余弦定理对数函数的概念与性质奇函数的几何意义，函数的单调性，抽象不等式函数y=A sin(ωx+φ)的图象，参数ω，φ的意义，诱导公式指数运算，对数运算，基本不等式两角和与差的正弦、余弦公式，正弦定理，余弦定理正弦函数的单调性，单调区间同角三角函数的关系，两角和的正弦公式同角三角函数的关系，两角和的正弦、余弦公式，平面向量的数量积及坐标运算偶函数的概念关键能力数学建模能力运算求解能力运算求解能力逻辑思维能力空间想象能力运算求解能力逻辑思维能力空间想象能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力空间想象能力运算求解能力逻辑思维能力空间想象能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力逻辑思维能力空间想象能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力运算求解能力逻辑思维能力数学思想函数与方程思想数形结合思想分类与整合思想数形结合思想转化与化归思想转化与化归思想分类与整合思想转化与化归思想数形结合思想分类与整合思想数形结合思想分类与整合思想数形结合思想转化与化归思想转化与化归思想分类与整合思想数形结合思想转化与化归思想转化与化归思想转化与化归思想转化与化归思想数学学科核心素养数学建模素养数学运算素养直观想象素养数学运算素养直观想象素养逻辑推理素养数学运算素养数学运算素养逻辑推理素养逻辑推理素养数学运算素养直观想象素养数学运算素养直观想象素养逻辑推理素养数学运算素养直观想象素养逻辑推理素养数学运算素养数学运算素养数学运算素养逻辑推理素养直观想象素养数学运算素养数学运算素养逻辑推理素养数学运算素养逻辑推理素养数学运算素养逻辑推理素养表22020—2022年新高考卷考查函数知识试题的情况续表教学创新10题，2022年新高考卷Ⅰ第18题、新高考卷Ⅱ第6题，以基本公式sin2x+cos2x=1，sin x cos x=tan x以及三角恒等变换为考查要点，要求学生充分理解它们的内在联系，体会转化与化归思想的应用；2020年新高考卷Ⅰ第10题、新高考卷Ⅱ第11题以函数y=A sin(ωx+φ)的图象为考查要点，2022年新高考卷Ⅰ第6题、新高考卷Ⅱ第9题以正弦函数的周期性、对称性、单调性为考查知识点，要求学生能够理解参数变化对函数图象的影响，根据三角函数的图象与性质建立知识之间的联系，渗透转化与化归思想，领会数形结合思想。

从2007年数学高考题谈函数的复习石狮石光华侨联合中学林建森一、高考概述“函数”是高中数学中起联结和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础。

其知识、观点、思想和方法贯穿高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。

近几年各省市高考都对函数进行重点考查，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题，所占分值基本在总分的20%左右。

其特点表现为：稳中求变，变中求新、求活，试题设计上从传统的套用定义、简单地使用性质，发展到了挖掘本质、活用性质，而且出现了不少创设新情境、给出新定义的信息、与实际密切联系的应用题，以及与其他知识综合交汇的能力题。

由于函数知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强，极易与其它知识（方程、数列等）建立相关联系，相互渗透和交叉。

正因如此，历年高考以“函数”为主体内容的压轴题频频出现，且常考常新．特别是教材增加了“导数”和“向量”等内容之后，给函数问题注入了新的生机和活力，开辟了许多新的解题途径，同时也拓宽了高考对函数问题的命题空间，且重点考查考生缜密的逻辑推理能力、基本运算能力和综合解决问题的能力，考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、换元法、构造法等数学思想方法。

下面就函数的专题复习进行具体分析。

二、高考分析1．高考内容（1）映射、函数、函数的单调性、奇偶性；（2）反函数、互为反函数的图象间的关系；（3）指数概念的扩充，有理数幂的运算性质、指数函数；（4）对数、对数的运算性质，对数函数；（5）函数的应用2．考试要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念。

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单的函数单调性、奇偶性的方法。

（3）了解反函数的概念及互为反函数的图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。

（5）理解对数的概念，掌握对指的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。