从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式

从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
【知识梳理】 1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b 2
－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c
(a ＞0)的图象
一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ＞0)的根
有两相异实根x 1，
x 2(x 1＜x 2)
有两相等实根x 1＝x 2
＝－b 2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c ＞0
(a ＞0)的解集
{x |x ＞x 2
或x ＜x 1}
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a
R
ax 2＋bx ＋c ＜0
(a ＞0)的解集
{x |x 1＜x ＜x 2}
∅
∅
3.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集
不等式
解集
a <b
a ＝b
a >b
(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }
{x |x <b 或x >a } (x －a )·(x －b )<0
{x |a <x <b }
∅
{x |b <x <a }
4.分式不等式与整式不等式
(1)f(x)g(x)
>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】
1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax 2
＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.
3.不等式ax 2
＋bx ＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax 2
＋bx ＋c>0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c>0或⎩
⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0. (2)不等式ax 2
＋bx ＋c<0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c<0或⎩
⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和
x 2.( )
(2)若不等式ax 2
＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2
≤a 的解集为[－a ，a ].( )
(4)若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )
【教材衍化】
2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2
－x －6<0}，则A ∩B ＝( )
A.(－2，3)
B.(－2，2)
C.(－2，2]
D.[－2，2]
3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2
－2x －2)的定义域是________. 【真题体验】
4.(2018·烟台月考)不等式1－x
2＋x ≥0的解集为( )
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2
＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14
C.4
D.－12
6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2
＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.
【考点聚焦】
考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参数的不等式
【例1－1】 求不等式－2x 2
＋x ＋3<0的解集.
角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论
【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2
－2x ＋k <0(k ∈R).
命题点2 通过根的大小分类讨论
【例1－3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋2>0的解集是________.
考点二一元二次方程与一元二次不等式
【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2
－bx －a ≥0的解集是________.
【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 在实数R 上恒成立
【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2
－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)
D.(－2，2]
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2
－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )
A.0
B.－2
C.－52
D.－3
考点四 一元二次不等式的应用
【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2
，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台
D.180台
【反思与感悟】
1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.
2.在解决不等式ax 2
＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.
3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【易错防范】
1.当Δ<0时，ax 2
＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题
1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x
，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2
－x －6≤0}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，3] C.[－2，3]
D.[2，3]
2.不等式x ＋5
（x －1）
2≥2的解集是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－3，12
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，3
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1∪(1，3]
3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )
A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.不能确定
5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0)
D.(0，1)
二、填空题
6.不等式2x 2
－x <4的解集为________.
7.已知不等式mx 2
＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________.
8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2
－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.
三、解答题
9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8
5
x 成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.
10.解下列不等式： (1)0<x 2
－x －2≤4； (2)12x 2
－ax >a 2
(a ∈R).
【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－1，2)
D.(－2，1)
12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－
4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.(－2，0)
C.(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.
14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x
.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.
【新高考创新预测】
15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( )
A.a＋b－c的最小值为2
B.a－b＋c的最小值为－4
C.a＋b－c的最大值为4
D.a－b＋c的最大值为6
答案
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].( )
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
【解析】 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.
【教材衍化】
2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2
－x －6<0}，则A ∩B ＝( )
A.(－2，3)
B.(－2，2)
C.(－2，2]
D.[－2，2]
【答案】 C
【解析】 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，
所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].
3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2
－2x －2)的定义域是________.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1
＋7
3，＋∞
【解析】 由题意，得3x 2－2x －2>0，
令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋7
3，
∴3x 2－2x －2>0的解集为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋73，＋∞.
【真题体验】
4.(2018·烟台月考)不等式1－x
2＋x ≥0的解集为( )
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
【答案】 B
【解析】 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.
5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为(
)
A.1
B.－14
C.4
D.－12
【答案】 B 【解析】 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2
＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14
. 6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2
＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.
【答案】 [－4，0]
【解析】 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，
若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 【考点聚焦】
考点一 一元二次不等式的解法
多维探究
角度1 不含参数的不等式
【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.
【答案】见解析
【解析】化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，
解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞. 角度2 含参数的不等式
命题点1 通过判别式分类讨论
【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2
－2x ＋k <0(k ∈R).
【答案】见解析
【解析】
①当k ＝0时，不等式的解为x >0.
②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k
； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.
③当k <0时，若Δ＝4－4k 2
>0，即－1<k <0时，
不等式的解为x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2
k
， 若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；
若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1，
综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅；
0<k <1时，不等式的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；
当－1<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫x <1＋1－k 2k ，或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；
k <－1时，不等式的解集为R.
命题点2 通过根的大小分类讨论
【例1－3】 解关于x 的不等式ax 2
－2≥2x －ax (a ∈R).
【答案】见解析
【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.
①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a 或x ≤－1. ③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a
＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a
＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a
≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；
当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫2a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a ＜－2时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【训练1】 (2018·豫北豫南名校联考)不等式x 2
－3|x |＋2>0的解集是________.
【答案】 (－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)
【解析】 由题原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，
解得|x |<1或|x |>2，
所以x ∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞).
考点二 一元二次方程与一元二次不等式
【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13
}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________. 【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}
【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2
－5x ＋6≥0，
解得x ≥3或x ≤2.
【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点
值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(1，3)
C.(－1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】 C
【解析】 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，
∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，
∴所求不等式的解集是(－1，3).
考点三 一元二次不等式恒成立问题
多维探究 角度1 在实数R 上恒成立
【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2，2)
D.(－2，2]
【答案】 D
【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；
当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2].
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.
【答案】 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 【解析】 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，
故mx 2
－mx ＋m －6＜0，
则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.
法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34m －6，x ∈[1，3].
当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，
所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.
所以m ＜67，则0＜m ＜67.
当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.
所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪
0＜m ＜67或m ＜0.
法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34＞0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1.
因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.
因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 .
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为(
) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
【答案】 C
【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，
则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，
得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，
且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，
解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.
【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0
B.－2
C.－52
D.－3
【答案】 C 【解析】 由于x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12时恒成立， 令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12， 易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52
. 考点四 一元二次不等式的应用
【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润
100⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【答案】见解析
【解析】(1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x
≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15
， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].
(2)设利润为y 元，则
y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元.
即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.
【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台 【答案】 C
【解析】 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，
即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，
解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.
故选C.
【反思与感悟】
1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.
2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.
3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最
值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
【易错防范】
1.当Δ<0时，ax 2
＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.
2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x ，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( )
A.(0，2)
B.(0，3]
C.[－2，3]
D.[2，3] 【答案】 B
【解析】 因为A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，故A ∩B ＝{x |0<x ≤3}. 2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1∪(1，3] 【答案】 C 【解析】 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12
≤x <1或1<x ≤3. 3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )
A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 【答案】 A 【解析】 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12
；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12. 4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈
[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )
A.(－1，0)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.不能确定 【答案】 C
【解析】 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.
5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B.(－∞，0)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)
D.(0，1) 【答案】 C
【解析】 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上
恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56
.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.
二、填空题
6.不等式2x 2－x <4的解集为________.
【答案】 (－1，2)
【解析】 由已知得2x 2－x <22，∴x 2－x <2即x 2－x －2<0，解得－1<x <2，
故所求解集为 (－1，2).
7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12
或x >2}，则m －n ＝________. 【答案】 －52
【解析】 由已知得m <0且－12，2是方程mx 2＋nx －1m
＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－n m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2＝－1m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－32(舍). ∴m －n ＝－1－32＝－52
. 8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2
－2x ，则不等式f (x )>x
的解集用区间表示为________.
【答案】 (－3，0)∪(3，＋∞)
【解析】 设x <0，则－x >0，
因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2
＋2x ).
又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ， 解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).
三、解答题
9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，
定义域为{x |0≤x ≤2}.
(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，
化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2. 10.解下列不等式：
(1)0<x 2
－x －2≤4；
(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).
【答案】见解析
【解析】(1)原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，
∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.
(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，
即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，
得x 1＝－a 4，x 2＝a 3
. 当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a <0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x <a 3或x >－a 4. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－1，2)
D.(－2，1)
【答案】 D 【解析】 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，
∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).
12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－
4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.(－2，0)
C.(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 A
【解析】 因为f(x)在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R 上是增函数，结合题意
得－4t>2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m<0对任意实数t 恒成立⇒⎩
⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m ∈(－∞，－2).
13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2
≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.
【答案】 (－∞，－2]
【解析】 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2
≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x
.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】因为函数f (x )是偶函数，
故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.
所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，
从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，
化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，
设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，
则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 【新高考创新预测】
15.(试题创新)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )
A.a ＋b －c 的最小值为2
B.a －b ＋c 的最小值为－4
C.a ＋b －c 的最大值为4
D.a －b ＋c 的最大值为6
【答案】 A
【解析】 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.。