高考第一轮复习——函数y=f(x)对称性与周期性关系(文)

§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理 1．函数的奇偶性奇偶性 定义图象特点 偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数 关于y 轴对称奇函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3)f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.( × )(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．( × ) (3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．( √ ) (4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．( √ ) 教材改编题1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案 B解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2－x ，则f (2 023)＝________. 答案 12解析 ∵f (x )的周期为2， ∴f (2 023)＝f (1)＝2－1＝12.3. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0； 当2<x ≤5时，f (x )<0， 又f (x )是奇函数， ∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x ＜－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 函数的奇偶性 命题点1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝log 2[－x ＋(－x )2＋1] ＝log 2(x 2＋1－x ) ＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f (x )＝x (e x ＋e －x )＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M ＋N 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 答案 C解析 依题意，令g (x )＝x (e x ＋e －x )， 显然函数g (x )的定义域为R ， 则g (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－g (x )， 即函数g (x )是奇函数，因此，函数g (x )在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f (x )＝g (x )＋1， 则有M ＝g (x )max ＋1，N ＝g (x )min ＋1， 于是得M ＋N ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2， 所以M ＋N 的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 方法一 (定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝⎛⎭⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 方法三 (转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数， 所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数 答案 C解析 由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0， 解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}， 关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x ，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________.答案 －1解析 ∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1， ∴g (－1)＝1， ∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝________. 答案 －1 －2－x －2x ＋1解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1＋a ＝0， ∴a ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x －2x －1， 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝2－x －2(－x )－1＝2－x ＋2x －1， 又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋2x －1， ∴f (x )＝－2－x －2x ＋1. 题型二 函数的周期性例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( ) A ．－94B ．－14C.14D.94答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32 ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________. 答案132解析 ∵f (x )f (x ＋2)＝13， ∴f (x ＋2)＝13f (x )，∵f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 023)＝f (3)＝13f (1)＝132.教师备选若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________.答案 －1 解析 当x >0时， f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ① ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)＝－f (x －2)， ∴f (x )的周期为6，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1) ＝f (0)－f (－1)＝20－21＝－1.思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于() A．336 B．338C．337 D．339答案 B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称 B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称 C ．f (x )的周期为4 D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数 答案 ACD解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故A 正确，B 错误； ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则f (－x )＝f (x ＋4)，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4，故C 正确；∵T ＝4且f (x )为偶函数，故y ＝f (x ＋4)为偶函数，故D 正确．(2)已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x ，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________. 答案 12解析 ∵函数y ＝f (x )－2为奇函数， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,2)对称，又g (x )＝2x ＋1x ＝1x ＋2，其图象也关于(0,2)对称，∴两函数图象交点关于(0,2)对称， 则y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×4＝12.延伸探究 在本例(2)中，把函数“y ＝f (x )－2”改为“y ＝f (x ＋1)－2”，把“g (x )＝2x ＋1x ”改为“g (x )＝2x －1x －1”，其他不变，求x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6的值．解 ∵y ＝f (x ＋1)－2为奇函数， ∴函数f (x )的图象关于点(1,2)对称， 又g (x )＝2x －1x －1＝1x －1＋2，∴g (x )的图象也关于点(1,2)对称，则x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×2＋3×4＝18. 教师备选1．函数f (x )＝lg|2x －1|图象的对称轴方程为________． 答案 x ＝12解析 内层函数t ＝|2x －1|的对称轴是x ＝12，所以函数f (x )＝lg |2x －1|图象的对称轴方程是x＝12. 2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )关于点(0,1)对称， 所以f (x )＋f (－x )＝2， 故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2， 解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1， 又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1， 所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 跟踪训练3 (1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则 f (2 025)＝________. 答案 1解析 ∵f (x )的周期为6，则f (2 025)＝f (3)， 又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2 025)＝1.(2)(多选)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是( )A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．f (x )的图象关于点(π，0)对称 答案 BCD解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称， 故A 错误，B 正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故C 正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故D 正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( ) A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5 答案 C解析 因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称， 所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5. 2．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 f (x )＝32x ＋13x ＝3x ＋3－x ，f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 A解析 依题意，函数f (x )的图象关于原点对称，则函数f (x )是奇函数，又f (x )的周期为4，且f (3)＝－2，则有f (2 021)＝f (－3＋506×4)＝f (－3)＝－f (3)＝2，所以f (2 021)＝2.4．(2022·宁德模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．2 答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ， 所以f (0)＝b ＝0，f (－x )＝－f (x )， 又对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以函数图象关于直线x ＝1对称，所以－a＝1，解得a＝－2，2所以a＋b＝－2.5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案BD解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．6．(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则()A．f(x)的图象关于点(2,0)对称B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．f(x)的周期为4D．f(x)的周期为8答案AD解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案 13解析 因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， 则有(a －1)＋2a ＝3a －1＝0，则a ＝13，同时f (－x )＝f (x )，即ax 2＋bx ＋1＝a (－x )2＋b (－x )＋1， 则有bx ＝0，必有b ＝0. 则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______. 答案 12解析 由f (1－x )＝f (1＋x )， f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4， ∴f ⎝⎛⎭⎫352＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12， ∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2) 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2 ＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于( ) A ．－7 B ．－3 C ．3 D ．7 答案 B解析 设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )， 即f (x )－2＝－f (－x )＋2， 故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1， f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1， 因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， 所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.13．(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( ) A ．f (x )是周期函数且周期为4 B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称 C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称 D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点 答案 ACD解析 对于A 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )] ＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，故A 项正确； 对于B 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故B 项错误；对于C 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (x －2)， 又因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x －2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 故C 项正确；对于D 选项，因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，因为T ＝4， 所以f (4)＝f (－4)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (0＋2)＝－f (0)＝0， 所以f (2)＝0，因为T ＝4， 所以f (－2)＝0，故D 项正确．14．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝________. 答案 1 1 011解析 因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x44x＋2 ＝4x4x ＋2＋44x4＋2·4x4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝m ， ① 则f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫12 023＝m ，②①＋②得2 022＝2m ，即m ＝1 011，故f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝1 011.15．(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( ) A ．f (－1.1)＝0.9 B ．函数f (x )为奇函数 C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1 D ．函数f (x )的值域为[0,1) 答案 AD解析 对于A ，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1] ＝－1.1＋2＝0.9，故A 正确．对于B ，取x ＝－1.1，则f (－1.1)＝0.9， 而f (1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1， 故f (－1.1)≠－f (1.1)，所以函数f (x )不为奇函数，故B 错误．对于C ，f (x ＋1)＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－[x ]－1＝f (x )，故C 错误． 对于D ，由C 的判断可知，f (x )为周期函数，且周期为1， 当0≤x ≤1时，则当x ＝0时，f (0)＝0－[0]＝0，当0<x <1时，f (x )＝x －[x ]＝x －0＝x ， 当x ＝1时，f (x )＝1－[1]＝1－1＝0， 故当0≤x ≤1时，则有0≤f (x )<1， 故函数f (x )的值域为[0,1)，故D 正确．16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P . (1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值． 解 (1)因为函数y ＝x 是增函数， 所以函数y ＝x 不具有性质P ， 当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立， 所以y ＝cos x 具有性质P . (2)设x ∈(－π，0]， 则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)， 所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)， 得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－π2＝12.。

高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。

了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。

本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。

一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。

周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。

正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。

也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。

而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。

正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

接下来，我们再来介绍一下正切函数。

正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。

也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。

正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。

二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。

常见的对称函数有偶函数和奇函数。

偶函数是指函数的图像关于y轴对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。

一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。

奇函数是指函数的图像关于原点对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。

一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。

三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。

例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。

另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。

以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。

假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。

函数与函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。

而函数的对称性和周期性是函数研究中的两个重要性质。

它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多实际的例子。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下保持不变。

常见的对称性有奇偶性、轴对称性和中心对称性。

首先，奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值不变。

如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。

例如，常见的二次函数y = x²就是一个典型的偶函数，而正弦函数sin(x)则是一个典型的奇函数。

奇偶函数通过其特定的对称性带来了许多在数学和物理领域中的应用。

其次，轴对称性是指函数相对于某一条直线对称。

这条直线称为对称轴。

如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则对称轴为y轴；而如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则对称轴为x轴。

例如，二次函数y = x²是以y轴为对称轴的轴对称函数。

最后，中心对称性是指函数相对于一个点对称。

这个点称为中心。

如果函数f(-x) = -f(x)，则中心对称。

例如，正弦函数sin(x)就是以原点为中心的中心对称函数。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定距离上具有相同的性质或数值。

一个函数f(x)是周期函数，如果存在一个正数T使得对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)。

这个最小的正周期T被称为函数的周期。

常见的周期函数有三角函数（如正弦函数、余弦函数）和指数函数。

以正弦函数为例，它的周期是2π。

即对于任意自变量x，有sin(x+2π)= sin(x)。

而指数函数f(x) = eˣ的周期是无穷大，即对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，其中T可以是任意实数。

周期函数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

例如，交流电的电流和电压可以被建模为周期函数，这是交流电工程中的一个重要应用。

专题 函数的对称性与周期性一 . 函数图象的对称性与对称中心1.对于一个函数图象的对称轴 （ 1） . 函数 yf ( x) 知足 f (a x)f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于 x=ab对称。

2（ 2） . f (a x) f (a x)f ( x) f (2a-x)yf (x) 的图象的对称轴 xaf (- x)f (2a+x)（ 3）二次函数f ( x)=ax 2 bxc (a 0)的对称轴由公式x=- b2a 1.对于一个函数图象的对称中心（ 1） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于点 （ab，0）对称。

2a b c （ 2） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)+2 c 函数 yf ( x) 的图象对于点 （ 2，） 对称。

2（ 3） . f ( a x) - f ( a x)f (x) - f (2a-x)y f (x) 的图象的对称中心 ( a,0)f (- x) - f (2a+x)y f (x a) 为奇函数y f ( x) 的图象的对称中心 (a,0) 。

（ 4）简单分式函数f ( x)= axb (c 0, ax b 0 )，由变量分别法得对称中心 (-d , a ) 。

cx dc c二 . 函数的周期性1.周期函数的定义和简单性质（ 1）对于函数yf ( x) ，若存在一个常数 T 0,使适当 x 取遍其定义域内的全部直时，都有f ( x)=f ( x T ) ,则 yf ( x) 叫做以 T 为周期的周期函数。

（ 2）周期函数的定义域是无界的。

（ 3）若 T ( T0)是函数 y f ( x) 的周期，则 nT (n Z , n 0) 都是 y f ( x) 的周期；（ 4）周期函数yf ( x) 的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正当T ，则 T 叫做函数 y f (x) 的最小正周期。

2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。

函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。

(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。

1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。

3。

两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

高三数学(文)函数y=f(x)对称性与周期性关系人教版【本讲教育信息】教学内容：函数y f (x)对称性与周期性关系【典型例题】1.定义在R上的函数f (x)，若总有f (a x) f (a x)成立，贝U函数f(x)的图象是关于直线x a成轴对称图形。

反之，若函数 f (x)的图象关于直线x a成轴对称图形，则必有f (a x) f (a x)推论，对于定义在R上的函数，若有f (a x) f (b x)，则f (x)图象关于直线x旦b成轴对称图形，反之亦真。

2证明：若对x R，总有f (a x) f (a x)，设点(x°, f(x。

))，在y f (x)的图象上，点(x o,f (x o))关于x a 的对称点(2a x°, f(x°))，由f(x°) f[a (a x。

)]f[a (a X o)] f (2a x°)，则点(2a X o,f(x。

))在函数y f (x)的图象上，由x°的任意性知f (x)的图象关于直线x a对称，反之证明略。

◎ x t2 a b a b推论，由f (a x) f (b x) f (- - t) f (— - t)显然2 2[例1]已知f(x) x2 bx c，满足f( 1 x) f( 1 x)且f(0) 3，当x 0 时，比较f (b x)与f (c x)的大小。

解：由f( 1 x) f( 1 x)知f(x)关于x 1对称，故b 2，又由f(0) 3知c 3，贝U f (x)在(，1]递减，在[1,)上递增。

当x 0 时，3x 2x 1 ••• f (3x) f(2x)即f(b x) f (c x)当x 0 时，0 3x 2x 1 •••f(3x) f(2x)，即f(b x) f (c x)1［例4］设f(x)对任意x R ，满足f(3 x) f (3 x)且方程f(x) 0恰有6个不同的 实根，则此六个实根之和为 ________ 。

微专题 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x =a+b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【解析】因因因因f (x 因1)因因因因因因因f (因x 因1)因因f (x 因1)因因因因f ⎝⎛⎭⎫12因x 因 f ⎝⎛⎭⎫12因x 因因因f (1因x )因f (x )因因因f (x 因1)因因f (x )因因f (x 因2)因因f (x 因1)因f (x )因 因因 因因f(x )因因因因2因因因因因因因因x 因12因因因因因因因f (x )因因因因因因因因由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例2 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8)＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.例3已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( ) A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=， f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确；故选：ABD ．【巩固训练】1．已知函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4x g x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则 85. （多选题）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(2)f x +为偶函数，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称B ．f （4）0=C ．(8)()f x f x +=D ．若(5)1f -=-，则(2019)1f =-6．（多选题）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x -与(2)f x -都为偶函数，则( )A ．()f x 为偶函数B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数 7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断： ①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________.)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=【答案或提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8 【解析】()lg 4x g x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(2f f ∴==+ .4.【答案】－85.【答案】BCD6．【答案】ABD7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.。

【本讲教育信息】一. 教学内容：解：由)1()1(x f x f --=+-知)(x f 关于1-=x 对称，故2=b ，又由3)0(=f 知3=c ，则)(x f 在]1,(--∞递减，在),1[+∞-上递增。

当0>x 时，123>>xx ∴ )2()3(xxf f >即)()(xxc f b f <当0<x 时，1230<<<xx ∴ )2()3(xxf f <，即)()(xxc f b f >[例2] 函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且),0(+∞∈x 时xx f 1)(=，则当)2,(--∞∈x 时，)(x f 的解析式为 。

解：依条件)2()()1()1(x f x f x f x f --=⇒--=+-，设)2,(--∞∈x ，则根，则此六个实根之和为 。

A. 18B. 12C. 9D. 0解：依条件知)(x f 图象关于直线3=x 对称，方程六个根必分布在对称轴3=x 两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故632435261=⨯=+=+=+x x x x x x ，所以1863621=⨯=+++x x x ，选A 。

[例5] 设)(x f 满足（1）)2()(x f x f -=，（2）当1>x 时，)(x f 是增函数，定义域R x ∈，则下列不等式成立的是（ ）A. )]1[arccos()31(log )0(3->>f f f∴ )2(x b f y -='，)2(2x b f y c -=-，即)2()(2x b f x f c -+= 以x a -2代x 有c x a b f x a f 2)22()2(=+-+- ② 由①和② )22(2)2()(x a b f c x a f x f +--=-= ③以x a b +-22代x 有)44(2)22(x a b f c x a b f +--=+- 又由③式 ])(4[)(x a b f x f +-=得证特别地，图象关于直线a x =)0(≠a 对称的偶函数必是周期函数 推论，定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+)0(≠a （1）当)(x f 为偶函数时，)(x f 是以a 2为一个周期的周期函数。

如何判断函数的对称性与周期性函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。

对称性考查的频率始终比较高，如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，尤其是抽象函数的对称性推断。

对称性的概念①函数轴对称：假如一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：假如一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

函数的几种变换1、平移变换函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平移b个单位得到函数y=f(x)+b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x+a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a，b0)。

2、伸缩变换函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(0k1时，缩;k1时，伸)得到函数y=kf(x)的图像;函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k 倍(0k1时，伸;k1时，缩)得到函数y=f(kx)的图像(k0，且k≠1)。

3、对称变换(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。

(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。

(3)肯定值问题①函数y=f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x 轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数y=|f(x)|的图像;②函数y=f(x)y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y=f(|x|)的图像;③函数y=f(x)先用第②步的方法得到函数y=f(|x|)的图像，再平移a个单位得到函数y=f(|x-a|)图象。