空间向量及其加减运算

8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。

3．1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a .思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则． 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b CA →＝OA →－OC →＝a －bOB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →＝a ＋b (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )类型一 有关空间向量的概念的理解例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故③正确；④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误．故选C.反思与感悟 在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． (2)判断下列命题的真假．①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②不相等的两个空间向量的模必不相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④向量BA →与向量AB →的长度相等．解 ①假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来． ②假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． ③假命题，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的． ④真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的． 类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA →′－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C →′.解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→.(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→.向量AD ′→、AC ′→如图所示．反思与感悟 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式． (1)AA →1＋A 1B →1. (2)AA →1＋A 1M →－MB →1. (3)AA →1＋A 1B →1＋A 1D →1.(4)AB →＋BC →＋CC →1＋C 1A →1＋A 1A →. 解 (1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA →1＋A 1M →－MB →1＝AA →1＋A 1M →＋MD →1＝AD →1. (3)AA →1＋A 1B →1＋A 1D →1＝AA →1＋A 1C →1＝AC →1. (4)AB →＋BC →＋CC →1＋C 1A →1＋A 1A →＝0.1．下列命题中，假命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 D解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．3．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反．故D 正确．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC →1；②(AA →1＋A 1D →1)＋D 1C→1；③(AB →＋BB →1)＋B 1C 1；④(AA →1＋A 1B →1)＋B 1C →1.其中运算的结果为AC →1的有________个．答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC →1＝AC →＋CC →1＝AC →1；②(AA →1＋A 1D →1)＋D 1C →1＝AD →1＋D 1C →1＝AC →1； ③(AB →＋BB →1)＋B 1C →1＝AB →1＋B 1C →1＝AC →1； ④(AA →1＋A 1B →1)＋B 1C →1＝AB →1＋B 1C →1＝AC →1. 所以4个式子的运算结果都是AC →1.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →(n ≥2，且n ∈N *)．(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n A 1→＝0(n ∈N *)．(4)空间向量减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．零向量是有方向的向量B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →D ．若AB →与CD →是相反向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 答案 A解析 规定零向量的方向是任意的，故A 正确；B 中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B 错误；是必要条件，不是充分条件，因为AB →＝DC →时，有可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上． 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC →D ．0 答案 A解析 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－c B.12(c ＋a )－b C.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c )答案 C解析 AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋12(OB →＋OC →)＝－a ＋12(b ＋c )．4．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AC →－DC →＝AD →.5．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 ①假命题，当a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD →1－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD →1 B.D 1B → C.B 1D → D.DB →1答案 A解析 如图所示，因为DD →1＝AA →1，DD →1－AB →＝AA →1－AB →＝BA →1，BA →1＋BC →＝BD →1，∴DD →1－AB →＋BC →＝BD →1. 二、填空题7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA →1＝________；DD →1－AB →＋BC →＝________. 答案 AC →1 BD →1解析 AB →＋AD →＋AA →1＝AB →＋BC →＋CC →1＝AC →1.DD →1－AB →＋BC →＝DD →1－(AB →－AD →) ＝DD →1－DB →＝BD →1.8．对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________． 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →、B C →、A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →、A B →、A C →共线且B C →与A B →、A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|.只有②一定不成立．9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B →＝________.答案 －a ＋b －c解析 如图，A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →) ＝－CC →1＋CB →－CA → ＝－c ＋b －a 三、解答题10．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式． (1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′→； (3)AB →＋CB →＋AA ′→； (4)AC ′→＋D ′B →－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋AA ′→ ＝AC ′→.(3)AB →＋CB →＋AA ′→＝AB →＋DA →＋BB ′→＝DB ′→.(4)AC ′→＋D ′B →－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)＋(DA →＋DC →＋C ′C →)－DC →＝DC →. 11．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA →1，A 1A →，BB →1，B 1B →，CC →1，C 1C →，DD →1，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． (2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD →1，D 1A →，A 1D →，DA→1，BC →1，C 1B →，B 1C →，CB →1共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B →1，DC →及D 1C →1共3个． 12.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA →1； (2)AC →＋CB →＋12AA →1；(3)AA →1－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA →1＝CA →1. (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM →＝12BB →1.又AA →1＝BB →1，所以AC →＋CB →＋12AA →1＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA →1－AC →－CB →＝CA →1－CB →＝BA →1. 向量CA →1，AM →，BA →1如图所示．13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量． 解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点． ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →. 所求向量AD →，AF →如图所示．3．1.1 空间向量及其加减运算(学生版)学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a .思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则． 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b CA →＝OA →－OC →＝a －bOB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →＝a ＋b (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )类型一 有关空间向量的概念的理解例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4反思与感悟 在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA →′－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C →′.反思与感悟 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式． (1)AA →1＋A 1B →1. (2)AA →1＋A 1M →－MB →1. (3)AA →1＋A 1B →1＋A 1D →1.(4)AB →＋BC →＋CC →1＋C 1A →1＋A 1A →.1．下列命题中，假命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝34．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC →1；②(AA →1＋A 1D →1)＋D 1C→1；③(AB →＋BB →1)＋B 1C 1；④(AA →1＋A 1B →1)＋B 1C →1.其中运算的结果为AC →1的有________个．5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________.(1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →(n ≥2，且n ∈N *)．(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n A 1→＝0(n ∈N *)．(4)空间向量减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．零向量是有方向的向量B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →D ．若AB →与CD →是相反向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC →D ．03．如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－c B.12(c ＋a )－b C.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c )4．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →5．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD →1－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD →1 B.D 1B → C.B 1D → D.DB →1二、填空题7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA →1＝________；DD →1－AB →＋BC →＝________.8．对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B →＝________.三、解答题10．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式． (1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′→； (3)AB →＋CB →＋AA ′→； (4)AC ′→＋D ′B →－DC →.11．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量．12.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA →1； (2)AC →＋CB →＋12AA →1；(3)AA →1－AC →－CB →.13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量．。

第1讲 空间向量及其运算一、空间向量及其加减运算1、空间向量的定义及其表示在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。

向量的大小叫作向量的长度或模，空间向量可以用有向线段和小写字母表示。

2、几类常见的空间向量零向量：长度为0的向量叫作零向量，零向量的方向是任意。

单位向量：模为1的向量叫作单位向量，单位向量的方向任意。

相反向量：长度相等，方向相反的向量叫作相反向量。

相等向量：长度相等，方向相同的向量叫作相等向量。

3、空间向量的加减运算加法的运算律：交换律：a b b a 结合律：()()a b c a b c1、下列命题中正确的是________。

①如果,a b 是两个单位向量，则||||a b ； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若,,a b c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内。

2、设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是（ ）。

A 、AB BC AC B 、0AB BC CAC 、AB AC CBD 、AB BA3、已知空间向量AB ，BC ，CD ，AD，则下列结论正确的是（ ）。

A 、AB BC CD B 、AB DC BC ADC 、AD AB BC DC D 、BC BD DC4、化简下列各式：（1）AB BC CA （2）AB MB BO OM （3）AB AC BD CD （4）OA OD DC5、已知空间四边形ABCD 中，AB a ，CB b ，AD c ，则CD等于（ ）。

A 、a b cB 、a b cC 、a b cD 、a b c6、如图所示，已知长方体1111ABCD A B C D ，化简下列向量表达式：（1）1AA CB ； （2）11111AB B C C D ； （3）1111222AD AB A A。

二、空间向量的数乘运算1、空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量a 的乘积a 仍然是一个向量，称为向量的数乘。

3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________． 答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题 例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)， 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。