(新人教A)高二数学同步辅导教材综合测试题

高 二 数 学（第35周）一、选择题：1、a 、b 、c 、d 、e 共5人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是( )A 、20B 、16C 、10D 、62、从5台“联想”电脑和4台“实达”电脑中任选4台，其中既有“联想”电脑又有“实达”电脑的不同选法的种数为（ ）A 、60B 、80C 、120D 、1403、组合数方程3455n n n C C C =+的解是（ ）A 、6B 、5C 、5或1D 、以上都不正确4、已知0≠ab ，且)0(12>=x x x b a ，则6)2(b a x x +的展开式中，常数项是（ ）A 、12B 、60C 、30D 、1605、如果展开式k x x x )1()1(22+-⋅+中，x 2的系数是3，那么自然数k 的值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、56、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分。

一球队打完15场，积33分。

若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A 、3种B 、4种C 、5种D 、6种7、两个事件对立是两个事件互斥的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要8、某城市的电话号码由8位数字组成，每一位数都可取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9之间中的任意一个，从中任意取出一个电话号码，恰好为5的倍数的概率是（ ）A 、10109102A A ⋅ B 、89102A A ⋅ C 、101072A A ⋅ D 、872A A ⋅9、两袋分别装有写着0、1、2、3、4、5六个数字的6张卡片，从每袋各取一张卡片，所得两数之和等于7的概率为（ ）A 、111B 、91C 、152D 、15410、一批产品共有100个，次品率为3%，从中任取1个，然后又放回，这样重复三次，则三次取到的产品中恰有一个次品的概率为（ ）A 、213)03.01(03.0-CB 、)03.01(03.0213-CC 、313)03.0(CD 、310019713C C C二、填空题：11、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种。

江西省吉安市凤凰中学2014高二数学 综合测试题 新人教A 版班级姓名 得分、选择题:3x 12=36 _ 2y = x 在区间口,2］上的平均变化率为(仁函数(B) 3(B) 4 (D)(A) 22曲线 =3y x 在点CM)处的切线与x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为(B) (C)_ 3 3y = kx 是y = In x 的切线，贝U k 的值为((A) (D)1一 12 一 2(A)(B)(C)(D)e + + e ee4、设亿a bifb ai 是一等比数列的连续三项，则 a,b 的值分别关r ()—=+—V(A)3 11 3a,b(B) a,b _ 2 Q==_23 113(C) a+ = € (D) aN + c222 2— 2i x 右ia R一 +— —5、方程X (4 )40()有实根b,且z a bi ,则 z ()(A) 2 2i(B) 2 2i(C)22i(D)2 2i1 (a 2) 3 3、已知直线 + +6、已知三角形的三边分别为a,b,c ,内切圆的半径为则三角形的面积为=4 + + + =1 + + +(A) V (s s s s )R1 • I • • (B) V (s s s s )R2 3 41 234231= +(C) V (Si s s s )RND) V (Si S2 S3 S4)R2 3 4=7、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, 的第50项是()(A) 8 € (B) 9_ + + _(C)+10(D) 11 b c)耳 四面体的四个面的面积分别为 面积可得四面体的体积为( ) S!,S2,S3声4，内协球的半径怕 R8、在证明f(x) 2x 1为增函数的 过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提； ②增函数的定义是小前提；③函数f(x) 2x 1满足增函数的定义是小前提；④函数= + 22表示的点在( )9、若 a,b R,则复数(a 4a 5) (b 2b 6)i+(A)在第一象限 +(B) 在第二象限 ++(C)在第三象限 (D) 在第四象限+ 1 1 丄1 13”时的过程中, 10、用数学归纳法证明术警式“亠+ ( 2) n 1 n 2 2nn24到n k 1时，不等式的左边( )1 (A)增加了一项 (B) 增加了两项1 1 2(k 1)2k 1 2(k f(x) 2x 1满足增函数的定义是大耶提；其甲正确卜的命粵是( (A)①② (B)②妙 + (C)①③) (D)②③ 由n k 类比三角形的d i‘xk 减少了\J /2(c 加两{增了项33 2+□€X X ,给出下列四个命题：① f(x)是增函数，无极值；② f (X ) f(x)在区间(，0］及［2,)上是增函数；④f(x)有极大值为0, 极小值(A)'(B) 2K —------------------------ L(C)3 (D)4 J题次1 23 456789101112答案二、填空题:4x 4=1622(k +1) 又减少了一项1 k +1X1X 等于(_ 2)(A) 2(B)3(C) 8(D)3=f(x)43 211＞如图是函数 m.r 22+ +bx ex d 的大致图象, 12.对于函数_ f(x)是减函数，有极值；③ 13、14、按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 a 点所華三角形的个数n 之间的关系式可以n _=一 3 杀 一+= ____函数f (x) x 3 1在闭区间［3,0］上的最大值与最小值分丽16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为v 2t 1 ( v 的单位是m/s , t 的单位是s),物体B 的运动速度v 与时间t 之间的弃系为y 1 8t,两倉物体在相距为 405 m 的同二直 线上同时相向运动。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确 A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则2. 从图中的个点中任取个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A.B.C.D.3. “读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书两读能够扩大阅读空间．某小学四年级以上在开学初开展本“整本书阅读活动”，其中四年班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一月后，老师抽四名同学（四名同学编号为，，，）了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：说：“比背的少”；说：“比背的多”；说：“我比背的多”；说：“比背的多”．经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个，四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（ ）A.B.C.D.4. 设，是不同的直线， ，，是不同的平面，下列命题正确的是( )m n αβγ()m//αn //αm//nα⊥γβ⊥γα//βm ⊥αn ⊥αm//nm//αm//βα//β12320820420019611234124213344324231324124134312m n αβγm//αm//nA.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，，则5. 如图，正方体 的棱长为，，分别是线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在某个位置，使 B. 存在某个位置，，使面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等6. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7. 干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如年为癸；再用年除以余数为，为巳．那么年就是癸巳年了．m//αn ⊂αm//nm//βn//βm ⊂αn ⊂αα//βα⊥βm ⊥βm//αα⊥γβ⊥γα∩β=m n ⊂γm ⊥nABCD −A 1B 1C 1D 11E F C A 1B 1C 1EF =32E ，F BE ⊥DFE F EF//BC A 1D 1−BEF B 1△AEF △BEF ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =1AD =2A =3A 1A 1B 1AC 114−−√1483–√1413−−√13136020133201312992013年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大岁，问李东的父亲是哪一年出生( )A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯8. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的种主食，种素菜、种大荤、种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )A.种B.种C.种D.种9. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排了包括琵琶、二胡在内的五节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，并要求琵琶、二胡互不相邻，且琴不能安排在第一节课，则不同的排课方式种数有( )A.B.C.D.10. 从，，，…，中选取四元数组，且满足，，，则这样的四元数组的个数是（ ） A. B. C.202025232448362412126037802520326012320(,,,)a 1a 2a 3a 4−≥3a 2a 1−≥4a 3a 2−≥5a 4a 3(,,,)a 1a 2a 3a 4D.11. 四色定理（ ）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里（））提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”，要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ）A.种B.种C.种D.种12. 年月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办“一带一路”是由中国倡议，积极发展中国与沿线国家经济合作伙伴关系的区域合作平台，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益、命运和责任共同体，深受有关国家的积极响应某公司搭乘这班快车，计划对沿线甲、乙、丙三个国进行投资，其中选择一国投资两次，其余两国各投资一次，共四次投资．每次投资，公司设置投资金额共有、、、(亿元）四个档次，其中档投资至多为一次，档投资至少为一次，档投资不能在同一国中被投两次，则不同的投资方案（不考虑投资的先后顺序）有( )A.种B.种C.种D.以上答案均不正确卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知是正整数，若，则的取值范围是________．14. 某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这项工程的不同排法种数是________．（用数字作答）15. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.16. 学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有________种情况．Four color theorem 1852FrancisGuthrie 197641836487220194..a b c d b c a 182430n +<C 2n C 3n C 4nn 6610010313三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 某单位男女若站成一排，求满足下列条件的排法：(算出数字)任何名女生都不相邻有多少种排法？男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？若抽调人分到个贫困村参加精准扶贫工作，每村至少一人共有多少种安排方法？(算出数字) 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，点为的中点，，平面平面．求证：平面平面；已知为的中点，是上一点，且，求证平面．19. 如图所示，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且面．求证：；若，求二面角的余弦值．64(1)2(2)(3)(4)64P −ABC △PBC O BC AC ⊥PB PBC ⊥ABC (1)PAC ⊥PBC (2)E PO F AB BF =3AF EF//PAC ABC −A 1B 1C 1ABB 1A 1AB =2A =2A 12–√D AA 1BD AB 1O CO ⊥ABB 1A 1(1)BC ⊥AB 1(2)OC =OA D −BC −A参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】通过举反例可得、、不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得正确，从而得出结论．【解答】解：，，平行于同一个平面，故，可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故错误；，， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故错误；，，平行于同一条直线，故， 可能相交，可能平行，故错误；，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确．故选.2.【答案】C【考点】组合及组合数公式【解析】这是一个组合数的应用问题，先看在个点中任取个点的组合数，因为要组成三角形，所以三个点不能在同一直线上，去掉不合题意的三个点的组数，得到结果．【解答】解：在个点中任取个点的组合数为，在同一直线上的点的组数为，则可构成三角形的组数为．故选．3.A B C D A m n m n A B αβγαβB C αβm αβC D D D 123123C 312320−20=200C 312C【考点】进行简单的合情推理【解析】由题可得说的一定是假话，则背的比少；然后依次假设，，说的是真话，推出矛盾或正确结果，继而可以得解．【解答】由题可得说的一定是假话，则背的比少；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，即背诵最少的是编号不是编号，与题目矛盾，故说的是假话；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，显然矛盾，故说的是假话；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，又背诵数量最少的应为编号，满足题目条件，故说的是真话；则背诵数量由多到少组成的四位数为．4.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】对于，与平行或异面；对于，与相交或平行；对于，或；对于，由面面垂直的性质得．【解答】解：由，是不同的直线，，，是不同的平面知，，若，，则与平行或异面，故错误；，若，，，，则与相交或平行，故错误；，若，，则或，故错误；，若，，，，则由面面垂直的性质得，故正确．故选．5.33424133421>3142432342>4>332243>2122413344>3>2>4412<4243132344>2>3>1114231A m n B αβC m//αm ⊂αD m ⊥n m n αβγA m//αn ⊂αm n A B m//βn//βm ⊂αn ⊂ααβB C α⊥βm ⊥βm//αm ⊂αC D α⊥γβ⊥γα∩β=m n ⊂γm ⊥n D D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】余弦定理异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴异面直线与所成的角即为与所成的角，即,∵在中，，，，∴，.∴由余弦定理得：.故选.7.【答案】C【考点】//C 1D 1A 1B 1A 1B 1AC 1C 1D 1AC 1∠AC 1D 1Rt △AC 1D 1AB =1AD =2A =3A 1A ==D 1+2232−−−−−−√13−−√A ==C 1++122232−−−−−−−−−−√14−−√cos ∠A =C 1D 1A +−A C 21D 1C 21D 212A ⋅C 1D 1C 1==14+1−132××114−−√14−−√14A进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：李东是壬午年即年出生，父亲为年出生，为丁，，为巳，即丁巳年出生.故选.8.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，依次分析主食、素菜、荤菜选择方法，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，要配成一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，有种主食，则主食的选法有种；种素菜，则素菜的选法有种；种荤菜，则荤菜的选法有种，故可以配制种不同的选取方法.故选.9.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】利用分类原则讨论.【解答】解：根据题意，分两种情况进行分析：①不含琴：从除琵琶、二胡之外的种乐器中任选不含琴的种全排列，有种排法，排好后，有个空位可用，任选个，安排琵琶、二胡，有种情况，2002197771977÷12=164…99C 2233662×3×6=36B 83A 3742A 243=25202故有种排法；②含琴：从除琵琶、二胡之外的种乐器中任选不含琴的种乐器，有种，这种乐器与琴全排列，有种排法，再安排琵琶、二胡，有种情况，减去其中琴安排在第一节课的情况，有种，故有种，所以共有种情况.故选．10.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，【解答】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，故这样的四元数组的个数是．11.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】【解析】不同的染色方案有 种．故选．12.【答案】D A 37=2520A 2482C 272A 33A 24A 27A 23−=1260C 27A 33A 24A 27A 232520+1260=3780B a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114(,,,)a 1a 2a 3a 44×3×2×(2+1)=72D排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：首先选择一国进行二轮投资，有种情况，再考虑档投资是否在二次投资里，二次投资国共有几种情况，分类讨论可算出共种情况.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】且【考点】组合及组合数公式【解析】根据题意，由组合数的性质可将变形为，由组合数公式将其展开可得，整理变形可得，解可得的取值范围，结合为正整数，综合可得答案．【解答】解：根据题意，，则，即，变形可得；解可得或，又由是正整数，则且，故答案为且．14.【答案】3c ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cc ，cd ，dd 246D n ≥9n ∈N ++<C 2n C 3n C 4n <C 3n+1C 4n <(n +1)n(n −1)3×2×1n ×(n −1)×(n −2)×(n −3)4×3×2×1−9n +2>0n 2n n +=C 2n C 3n C 3n+1+<⇒<C 2n C 3n C 4n C 3n+1C 4n <(n +1)n(n −1)3×2×1n ×(n −1)×(n −2)×(n −3)4×3×2×1−9n +2>0n 2n >9+73−−√2n <9−73−−√2n n ≥9n ∈N +n ≥9n ∈N +20分步乘法计数原理【解析】本题是不相邻问题，可以插空法解答．【解答】依题意，乙必须在甲后，丙必须在乙后，丙丁必相邻，且丁在丙后，只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可，第一个插入时有种，第二个插入时共个空，有种方法；可得有＝种不同排法．15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】无【解答】解：由题意，个班级分别去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，分成组有，再把组分到三个革命老区有种，所以共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】4555×4201260010333==2100C 310C 37C 44A 22×10×9×83×2×17×6×53×2×12×13=3×2×1=6A 332100×6=1260012600336根据题意，分种情况讨论：①，语文和数学都安排在上午，②，语文和数学分别安排上午和下午，分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分种情况讨论：①语文和数学都安排在上午，此时语文和数学的安排方法有种，在剩下的门课中任选门，安排在下午，有种情况，则此时有种安排方法；②语文和数学分别安排上午和下午，若语文在上午，有种安排方法，数学在下午，有种安排方法，在剩下的门课中任选门，安排在其他时间，有种情况，则语文在上午、数学在下午的安排方法有种，同理：数学在上午，语文在下午的安排方法也有种，则不同的安排方法有种.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种．甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有（种）排法．男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.第一步抽：，第二步分组：：或：，第三步分配：，.【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种．甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，22243A 342×=48A 343243A 343×2×=144A 3414448+144+144=336336(1)=604800A 66A 47(2)A 99A 18A 18A 88(+)=2943360A 99A 18A 18A 88(3)=604800A 1010A 33(4)C 6102211C 26C 24C 12C 11A 22A 223111C 36C 13C 12C 11A 33A 33(+)=210(45+20)6=81900C 610C 26C 24C 12C 11A 22A 22C 36C 13C 12C 11A 33A 33(1)=604800A 66A 47(2)A 99118若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有（种）排法．男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.第一步抽：，第二步分组：：或：，第三步分配：，.18.【答案】证明：∵为等边三角形，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面．取中点，连结，，如图，∵为的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴.∵为的中点，为的中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.A 18A 18A 88(+)=2943360A 99A 18A 18A 88(3)=604800A 1010A 33(4)C 6102211C 26C 24C 12C 11A 22A 223111C 36C 13C 12C 11A 33A 33(+)=210(45+20)6=81900C 610C 26C 24C 12C 11A 22A 22C 36C 13C 12C 11A 33A 33(1)△PBC O BC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PBC∩ABC =BC PO ⊂PBC PO ⊥ABC AC ⊂ABC AC ⊥PO AC ⊥PB PO ∩PB =P AC ⊥PBC AC ⊂PAC PAC ⊥PBC (2)CO G FG EG E PO EG//PC EG ⊂PAC PC ⊂PAC EG//PAC BF =3AF AF =AB 14O BC G OC CG =CB 14FG//AC FG ⊂PAC AC ⊂PAC FG//PAC EG ∩FG =G EFG//PAC EF ⊂EFG EF//PAC【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】【解答】证明：∵为等边三角形，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面．取中点，连结，，如图，∵为的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴.∵为的中点，为的中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.19.【答案】(1)△PBC O BC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PBC∩ABC =BC PO ⊂PBC PO ⊥ABC AC ⊂ABC AC ⊥PO AC ⊥PB PO ∩PB =P AC ⊥PBC AC ⊂PAC PAC ⊥PBC (2)CO G FG EG E PO EG//PC EG ⊂PAC PC ⊂PAC EG//PAC BF =3AF AF =AB 14O BC G OC CG =CB 14FG//AC FG ⊂PAC AC ⊂PAC FG//PAC EG ∩FG =G EFG//PAC EF ⊂EFG EF//PAC (1)ABB A证明：由题意，因为是矩形，为中点，，，，所以在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，又，，所以在三角形中，，即，又因为侧面，侧面，所以,所以，面，因为面，所以．解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设面的法向量的坐标为，则即令，则，，故，面的法向量的坐标为，则即令，则，设二面角的大小为,则.(1)ABB 1A 1D AA 1AB =2A =2A 12–√AD =2–√ABB 1tan ∠A B ==B 1AB BB 12–√2ABD tan ∠ABD ==AD AB 2–√2∠A B =∠ABD B 1∠BA +∠A B =B 1B 190∘∠BA +∠ABD =B 190∘ABO ∠BOA =90∘BD ⊥AB 1CO ⊥ABB 1A 1A ⊂B 1ABB 1A 1CO ⊥AB 1A ⊥B 1BCD BC ⊂BCD BC ⊥AB 1(2)OD OB 1OC x y z O A(0,−,0)23–√3B(−,0,0)26–√3C(0,0,)23–√3D(,0,0)6–√3=(−，，0)AB −→−26–√323–√=(，0，)BC −→−26–√323–√3=(,0,0)BD −→−6–√ABC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1 ⋅=0，n 1−→AB −→−⋅=0,n 1−→BC −→− −+=0，26–√3x 123–√y 1+=0,26–√3x 123–√3z 1=1x 1=y 12–√=−z 12–√=(1,,−)n 1−→2–√2–√BCD =(,,)n 2−→x 2y 2z 2 ⋅=0，n 2−→BC −→−⋅=0,n 2−→BD −→− +=0，26–√3x 223–√3z 2=0,6–√x 2=1y 2=(0,1,0)n 2−→D −BC −A θcos θ==∣∣⋅n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→∣∣10−−√5【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】要证明，可证明垂直于所在的平面，已知垂直于侧面，所以垂直于，只要在矩形内证明垂直于即可，可利用角的关系加以证明；分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】证明：由题意，因为是矩形，为中点，，，，所以在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，又，，所以在三角形中，，即，又因为侧面，侧面，所以,所以，面，因为面，所以．解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设面的法向量的坐标为，(I)BC ⊥AB 1AB 1BC BCD CO ABB 1A 1CO AB 1ABB 1A 1BD AB 1(II)OD OB 1OC x y z O CD −→−ABC (1)ABB 1A 1D AA 1AB =2A =2A 12–√AD =2–√ABB 1tan ∠A B ==B 1AB BB 12–√2ABD tan ∠ABD ==AD AB 2–√2∠A B =∠ABD B 1∠BA +∠A B =B 1B 190∘∠BA +∠ABD =B 190∘ABO ∠BOA =90∘BD ⊥AB 1CO ⊥ABB 1A 1A ⊂B 1ABB 1A 1CO ⊥AB 1A ⊥B 1BCD BC ⊂BCD BC ⊥AB 1(2)OD OB 1OC x y z O A(0,−,0)23–√3B(−,0,0)26–√3C(0,0,)23–√3D(,0,0)6–√3=(−，，0)AB −→−26–√323–√=(，0，)BC −→−26–√323–√3=(,0,0)BD −→−6–√ABC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1 +=0，2–√则即令，则，，故，面的法向量的坐标为，则即令，则，设二面角的大小为,则. ⋅=0，n 1−→AB −→−⋅=0,n 1−→BC −→− −+=0，26–√3x 123–√y 1+=0,26–√3x 123–√3z 1=1x 1=y 12–√=−z 12–√=(1,,−)n 1−→2–√2–√BCD =(,,)n 2−→x 2y 2z 2 ⋅=0，n 2−→BC −→−⋅=0,n 2−→BD −→−+=0，26–√3x 223–√3z 2=0,6–√x 2=1y 2=(0,1,0)n 2−→D −BC −A θcos θ==∣∣⋅n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→∣∣10−−√5。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

高二数学（第35周）一、选择题：1、a、b、c、d、e共5人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是( )A、20B、16C、10D、62、从5台“联想”电脑和4台“实达”电脑中任选4台，其中既有“联想”电脑又有“实达”电脑的不同选法的种数为（）A、60B、80C、120D、1403、组合数方程的解是（）A、6B、5C、5或1D、以上都不正确4、已知，且，则的展开式中，常数项是（）A、12B、60C、30D、1605、如果展开式中，x2的系数是3，那么自然数k的值是（）A、2B、3C、4D、56、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分。

一球队打完15场，积33分。

若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（）A、3种B、4种C、5种D、6种7、两个事件对立是两个事件互斥的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要8、某城市的电话号码由8位数字组成，每一位数都可取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9之间中的任意一个，从中任意取出一个电话号码，恰好为5的倍数的概率是（）A、 B、 C、 D、9、两袋分别装有写着0、1、2、3、4、5六个数字的6张卡片，从每袋各取一张卡片，所得两数之和等于7的概率为（）A、 B、 C、 D、10、一批产品共有100个，次品率为3%，从中任取1个，然后又放回，这样重复三次，则三次取到的产品中恰有一个次品的概率为（）A、 B、C、 D、二、填空题：11、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种。

（结果用数值表示）12、把体育组9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号数，则不同的放法共有种。

13、若（x+1）2n展开式各项系数和比（x+1）n展开式各项系数和大56，则（x+1）2n展开式中系数最大的是第项。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二数学同步测试 时间：100分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题6分。

每道小题中都只有一个正确答案，请填在答题卷上）1．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于 ( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于 ( ) A ．221 B ．6 C ．221或6 D ．23615+3．已知{}n a 是等比数列，22=a ，415=a ，则公比q = ( ) A ． 21- B ．2- C ．2 D ．214．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．355．△ABC 中，A 、B 的对边分别为a 、b ，5=a ，4=b ，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定6.若△ABC 的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.7．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且132+=n n T S n n ，则55b a（ ） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．978．设{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 （ ）A ．1B ．2C ．2±D ．49．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为 （ ）Am 3400 Bm 33400 Cm 33200 D m 320010. 在数列{}n a 中，411-=a ，111--=n n a a )1(>n ，则2011a 的值为 （ ）A ．41- B. 5 C.54D.以上都不对二、填空题：（本大题共4道小题，每小题5分。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.2. 正项数列满足，则( )A.B.C.D.3. 若直线与函数和的图象都相切，则( )A.B.C.D.4. 在和两数之间插人个数，使它们与，组成一个等差数列，则当时，该数列的ABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3){}a n =1,−(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 1a 2n a n−1a n a n−1++⋯+1a 1a 31a 3a 5=1a 2019a 202112003534101060611220202120205461y =kx f (x)=e x g(x)=ln x +a a =32112n (n ∈)N +12n =10所有项和为（ ）A.B.C.D.5. 曲线与曲线的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6. 已知两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为，则的最大值是( )A.B.C.D.7. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则( )A.B.C.D.8. 设函数是定义在上的函数， 是函数的导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A.15161718+=1x 216y 29+=1(9<k <16)x 216−k y 29−kA(6,2)B(−3,−1)A B d d 34310−−√410−−√F 1F 2C +=1x 24y 2D C ∠D =F 1F 2120∘O |OD|=6–√25–√2132f (x)R (x)f ′f (x)f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (0)=1f (x)>2+1e x (0,+∞)(1,+∞)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，且，（为非零常数），则下列结论正确的是( )A.是等比数列B.当时，C.当时，D.数列是递减数列11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ）A.为偶函数B.在上单调递减C.关于对称D.12. 椭圆的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的值可能是 A.B.(1,+∞)(−∞,0)(0,1)P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6){}a n n S n =p a 12−=2p S n+1S n p {}a n p =1=S 374p =12⋅=a m a n a m+n {}a n f (x)R x =−3f (x +3)=f (x −3)x ∈[0,3]f (x)=+2x −112x f (x)f (x)[−6,−3]f (x)x =3f (2021)=−7C :+=1x 29y 25F P C |PF|()23C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若数列满足，且，则________．14. 斜率为的直线被双曲线截得的弦长为，则直线的方程是________．15. 已知四面体，，，，，则该四面体外接球半径为________．16. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程． 19. 如图，已知四边形中，且．是正三角形，且，是的中点，平面．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积．20. 已知等差数列满足＝，＝．（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且＝，再从①＝，②＝，③这三个条件中选择两个作为已知条件，求的前项和．56{}a n ={a n+12a n −1a n (0≤≤1)a n (>1)a n =a 167=a 20172l −=1x 25y 2425–√l ABCD AB =4AC =AD =6∠BAC =∠BAD =60∘∠CAD =90∘f (x)=+ax e x x ≥0f (x)≥0a (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C ABDE AE//BD BD =AE 12△ABC AB =AE =2M AC AE ⊥ABC BM ⊥CE C −ABDE {}a n a 33+a 8a 928{}a n {}b n n S n b 1a 2b 3++a 2a 3a 4S 313>b n+1b n {||}a n b n n T n21. 已知函数.（1）证明：当时，不等式恒成立；（2）当时，若方程有两个不等实根，求实数的取值范围.22. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−−→−−→−，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.2.【答案】B【考点】数列的求和【解析】，，因为，，数列是，公差为的等差数列，．选 . 【解答】解：，.因为，，数列是，公差为的等差数列，=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n+1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+=[−+⋯+−]=[1−]=1a 1a 31a 3a 51a 2019a 2021161a 11a 31a 20191a 202116160110106061B −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n−1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+1a1a 31a 3a 51a 2019a 2021=[−+⋯+−]=[1−]161a 11a 31a 20191a 202116160611010．故选 .3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由导数的几何意义可得切线的斜率，直线与函数的切点坐标为，则.，则有，解得，代入直线方程得，直线与的切点坐标为，将切点坐标代入得，，.故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】=10106061B (x)=f ′e x k =e x y =kx f (x)=e x (1,e)k =e (x)=g ′1x k =e =1x x =1e y =kx =1y =kx g(x)=ln x +a (，1)1eg(x)1=−1+a a =2B此题暂无解答5.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为，，利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离的表示式，两端平方，整理成关于斜率的二次方程，利用其有解的条件即可求得的变化范围；【解答】解：如图所示，，显然有．而．故所求的的变化范围为．故的最大值是.故选.7.【答案】:y −2=k(x −6)l 1:y +1=k(x +3)l 2d k d 0<d ≤|AB ||AB |==3[6−(−3)+[2−(−1)]2]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10−−√d (0,3]10−−√d 310−−√CC【考点】椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以 .故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意，设出新函数，求导，将问题进行转化，求出新函数的单调性，进而求解即可.【解答】解：令，则，因为，即，所以，即，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：.|D |=m F 2|D |=4−m F 1|=|D +|D −2|D |F 1F 2|2F 1|2F 2|2F 1|D |cos ∠D F 2F 1F 2+−2m(4−m)×(−)=12(4−m)2m 212−4m +4=0m 2m =2|D |=|D |=2F 1F 2D C |OD|=1C g(x)=(+1)f (x)e x (x)=f (x)+(+1)(x)g ′e x e x f ′f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (x)+(1+)(x)>0e −xf ′f (x)+(+1)(x)>0e x e x f ′(x)>0g ′g(x)R f (x)>2+1e x (+1)f (x)>2e x g(x)>g(0)x >0f (x)>2+1e x (0,+∞)A二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B =2选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】等比数列的通项公式数列递推式等比数列的性质【解析】．由得，所以}是首项为中公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．故选．【解答】解：，，，即．，，，，所以}是首项为，公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD 2−=2p,2−=2p,S n+1S n S n S n−12−=0,=(n ≥2)a n+1a n a n+112a n =p,2−a 1S 2=2p S 12(+)−−2p,−=a 1a 2a 1a 2p 212a 1{a n 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=,⋅=a n ()12n a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC ∵2−=2p S n+1S n ∴2−=2p (n ≥2)S n S n−1∴2−=0a n+1a n =(n ≥2)a n+112a n ∵=p a 12−S 2=2p S 1∴2(+)−=2p a 1a 2a 1==a 2p 212a 1{a n p 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=a n ()12n ⋅=a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC故选．11.【答案】A,C,D【考点】函数奇偶性的性质奇偶函数图象的对称性函数的图象与图象变化奇偶性与单调性的综合函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】略12.【答案】A,B,C【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义【解析】由是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，可知，而，从而，所以可能取到的值是2,3,5.【解答】解：由题意，是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，则由椭圆的几何性质可知，而，从而，所以可能取到的值是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ABC P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|2,3,5ABC13.【答案】【考点】数列递推式【解析】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.【解答】解：依题意得∴，，，，，，……可知数列为周期数列，且周期为，所以故答案为：．14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】先设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于，再由弦长公式求出弦长，让弦长为，即可求出参数的值．【解答】解：设直线的方程为，与双曲线交于，两点．设，两点的坐标分别为，，127=2=a 2a 1127=−1=a 3a 257=2=a 4a 3107=−1=a 5a 437=2=a 6a 567=2=a 7a 6127{}a n 5==a 2017a 2127127y =2x ±125–√5l 025–√l y =2x +m A B A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=122将代入双曲线，并整理得：，，即为，解得或．∴，，∴，∴，解得：．∴所求直线的方程为：．故答案为：．15.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，为的外心，为球心，平面，，则，∴，，．设该四面体外接球半径为，，则，∴，，∴，故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题y =2x +m −=1x 25y 2416+20mx +5(+4)=0x 2m 2Δ=400−4×16×5(+4)>0m 2m 2>16m 2m >4m <−4+=−m x 1x 254=(+4)x 1x 2516m 2(−=(+−4=−(+4)x 1x 2)2x 1x 2)2x 1x 22516m 254m 2|AB =(1+)(−=5(−=−(+4)=20|2k 2x 1x 2)2x 1x 2)212516m 2254m 2m =±125–√5y =2x ±125–√5y =2x ±125–√525–√O'△ACD O BE ⊥ACD BF⊥AC EF ⊥AC AF =2AE =22–√BE ==216−8−−−−−√2–√R OO'=d 2+(2+d =+(32–√)2d 22–√)2d =2–√CD =62–√R ==22+18−−−−−√5–√25–√[−e,+∞)【解析】无【解答】解：由题意可得.因为，所以.当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意.当时，令，得.因为在 上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，则.因为，所以，即，解得，综上，的取值范围为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为(x)=+a f ′e x x ≥0(x)≥a +1f ′a ≥−1(x)≥0f ′f (x)[0,+∞)f =f (0)=1>0(x)min a ≥−1a <−1(x)=0f ′x =ln(−a)(x)f ′R f (x)(0,ln(−a))(ln(−a),+∞)f =f (ln(−a))=−a +a ln(−a)(x)min f (x)≥0−a +a ln(−a)≥0ln(−a)≤1−e ≤a <−1a [−e,+∞)[−e,+∞)(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=122C :+−6x −8y +m =022∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2【答案】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】{}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}b n q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1b n q >3q 3b n 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n {}d d（1）先设等差数列的公差为，然后根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题计算出＝，然后分别根据两个已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出的前项和．【解答】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．21.{}a n d a 1d a 1d {}a n b 11q q {}b n {}a n b n {||}a n b n n T n {}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}bn q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1bn q >3q 3bn 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b 31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n【答案】（1）证明见解析；（2）【考点】利用导数研究函数的最值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）将代入得到的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进行求导得到单调区间，进而得出结论．（2）方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出的取值范围．【解答】（1）方程有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令则①若则有一个零点，不符合题意；②若，由可得令，得，所以在上单调递减，令，得，所以在上单调递增．所以若，即时，无零点，不符合题意；（ī）若，即时，有且只有一个零点，不符合题意；ⅲī若，即时，，又所以在（2）上有一个零点．当时，由（1）得所以令，得，取，因为，所以且，所以，在上有一个零点．⋅a <232a =1f (x)f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2a f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x (x >0)12x 2F (x)=−x +(a −1)−=−a −2x (x −1)[x −(a −2)]x a =2F (x)=−+x 12x 2F (x)=0x =2a <2x >0x −(a −2)>0(x)<0F ′x >1F (x)(1,+∞)(x)>0F ′0<x <1F (x)(0,1)F (x)≤F (1)=a −32(i)a −<032a <32F (x)i a −=032a =32F (x)()a −>032>>v 加v 加v 加F (1)>0F (2)=(a −2)(2−ln 2)<0F (x)0<x <11nx ∵x −1F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x 12x 2=−+(a −1)x +(2−a)ln x <−+(a −1)x +(2−a)(x −1)12x 212x 2=−+x −(2−a)<x −(2−a)12x 2x −(2−a)<0x <2−a =2−a x 0>>v 加v 加v 加∈(0,)x 012F ()<0x 0F (x)(,1)x 0F (x)(0,+∞)即在上有两个不同的零点．所以实数的取值范围为22.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，F (x)(0,+∞)α<a <232(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2−=(x −)8直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.B.C.D.2.( )A.B.C.D.3. 已知直线和曲线相切，则的取值范围是( )A.B.C.D.4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 A.P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1++++...+=11×312×413×514×61n(n +2)1n(n +3)(1−)121n +2(−−)12321n +11n +2(1−)121n +1y =kx (k >0)f (x)=x −a ln x (a ≠0)a (−∞,0)∪(0,e)(0,e)(0,1)∪(1,e)(−∞,0)∪(1,e){}a n {}b n n A n B n =A n B n 3n +5n +3=(a 5b 5)5213B.C.D. 5. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 （ ）A.B.C.D.6. 已知为直线＝上一点，设点到定点距离为，点到＝的距离为，若＝，这样的点个数为（ ）A.个B.个C.个D.个7. 椭圆与椭圆有 A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对8. 已知函数在区间的值域为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）133351383C x 12=8y x 23–√C +=1x 216y 212+=1x 24y 23+=1x 212y 29+=1x 24y 22P l :2x −3y +40P F(0,1)d 1P y 0d 2−d 1d 21P 0123+=1x 225y 29+=1x 2a2y 29()f(x)=−2sin x +31+13x x 3[−2,2][m,n]m +n −2−11C :+=422l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)9. 已知圆，直线．则下列四个命题正确的是A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于C.圆与曲线：恰有三条公切线，则D.当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点10. 已知数列 ，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）A.数列是等比数列B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.数列是等差数列11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，数列满足，则________.C :+=4x 2y 2l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)( )l (−3,3)m =0C l 1C +−6x −8y +m =0x 2y 2m =16m =13l P C PA PB A B AB (−,−)16949{}a n {}b n {}a n b n {+}a n b n {lg }∣∣∣b n a n ∣∣∣{lg()}a 2n b 2n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s f(x)=+sin(x −)1212{}a n =f(0)+f ()+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n 2n n −1n =a 201714. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于，两点．若恰为弦的中点，则直线的方程为________．15. 在三棱锥中，面，，，＝，则三棱锥外接球表面积为________．16. 已知椭圆，过点作两条斜率互为相反数且不平行于坐标轴的直线，分别与椭圆相交于异于的不同两点，，则直线的斜率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的两个三等分点．求证：平面；若平面平面，求证：．20. 在数列中，＝＝．（1）证明：数列是等差数列；（2）若＝，求数列的前项和．21. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．22. 设函数（）.C :−=1y 2x 23P(2,1)l C A B P AB l P −ABC PA ⊥ABC AB ⊥BC AB =BC =2–√PA 2P −ABC C :+=1x 2y 24P (−,1)3–√2C P A B AB (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C P −ABCD PA ⊥ABCD ABCDEF PD (1)BE //ACF (2)PAC ⊥PCD PC ⊥CD {}a n a 10b n {}b n n S n E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1（1）讨论函数的极值；4a （2）若函数在区间上的最小值是，求的值.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．2.【答案】C【考点】数列的求和【解析】利用裂项相消法可求得数列的和．【解答】解：∵，∴，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y 2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A =(−)1n(n +2)121n 1n +2++++...+11×312×413×514×61n(n +2)=[(1−)+(−)+(−)+(−)+...1213121413151416(−)+11−)11(−)]11.故选.3.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数的定义域为，设直线和曲线相切于点，∵，∴切线斜率，又切点在曲线上，∴整理，得解得∵，∴，且，∴的取值范围是 .故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】因为数列和为等差数列，所以＝，＝，将转化为即可．【解答】+(−)+1n −21n (−)1n −11n +1+(−)]1n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−−)12321n +11n +2C f(x)=x −a ln x(a ≠0)(0,+∞)y =kx >0f(x)=x −a ln x(a ≠0)(,k )(>0)x 0x 0x 0(x)=1−f ′a x k =()=1−f ′x 0a x 0f (x) k =−a ln ，x 0x 0x 0k =1−，a x 0 (k −1)=−a ln ，x 0x 0k −1=−，a x 0{=e ，x 0a =−e (k −1)，k >0a =−e(k −1)<e a ≠0a (−∞,0)∪(0,e)A {}a n {}b n A 99a 5B 99b 5a 5b 5A 9B 9{}{}b解：∵数列和为等差数列，∴，同理可得，，∴．故选.5.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设椭圆的标准方程为，因为它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，所以.又因为，所以 解得，即椭圆的标准方程为．故选.6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意，设，则＝，分类讨论，即可得出结论．【解答】由题意，设，则＝，，可化为＝，∴方程有两个正根；，可化为＝，方程无解，综上所述，有两解，即点有个，7.【答案】{}a n {}b n =×9=9A 9+a 1a 92a 5=B 99b 5====a 5b 5A 9B 93×9+59+3321283D +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(0,b)=8y x 23–√(0,2)3–√b =23–√e =12=,−12a 2a 214=16a 2+=1x 216y 212A P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1y ≥09−40y +16y 20y <09−24y +16y 20y P 2D【考点】椭圆的定义和性质【解析】直接讨论，再判断各选项，即可得到答案.【解答】解：椭圆，短轴为，长轴为，离心率为，若，此时椭圆的短轴为，故错误；此时长轴为，故错误；此时离心率为，不恒等于，故错误；故均不正确.故选.8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值【解析】构造函数，易知函数为奇函数，利用奇函数的性质即可得解．【解答】，令，则，∴函数为奇函数，∴当时，＝，即，则＝，二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】<9a 2+=1x 225y 2961045<9a 2+=1x 2a 2y 292a <6A 6≠10B 9−a 2−−−−−√345C ABC D g(x)=f(x)−12g(x)f(x)−=−−2sin x +3=−2sin x +3=−−2sin x +3121+13x 12x 32−−13x 2(+1)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)=f(x)−=−−2sin x +312−13x 2(+1)3x x 3g(−x)=−−2sin(−x)+3(−x =−+2sin x −3=+2sin x −3=−g(x)−13−x 2(+1)3−x )31−3x 2(1+)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)x ∈[−2,2]g(x +g(x )max )min 0m −+n −=01212m +n 1直线与圆的位置关系命题的真假判断与应用直线与圆相交的性质圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：，直线方程可化为，令，则，，，直线恒过定点，故正确；，当时，直线方程为，圆心到直线的距离.圆半径，，故圆上有四个点到直线的距离等于，故错误；，圆，曲线，即，两圆心的距离，，解得：，故正确；，当时，直线，化简为：.是直线上一动点，设，圆，圆心，半径，以线段为直径的圆方程为：，即：，又圆的方程为，圆与圆的公共弦方程为，公共弦即为，则解得直线经过点，故正确． 故选．10.【答案】A,C,D【考点】等比数列的性质等差数列的性质等比数列的通项公式A m(x +3)+3x +4y −3=0x +3=03x +4y −3=0∴x =−3y =3∴l (−3,3)A B m =0l 3x +4y −3=0C (0,0)l d ==|−3|+3242−−−−−−√35∵r =2∴r −d =2−=>13575C l 1B C ∵C :+=4x 2y 2+−6x −8y +m =0x 2y 2+=25−m (x −3)2(y −4)2t ==5(0−3+(0−4)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√∴5=2+25−m −−−−−−√m =16C D m =13l :16x +4y +36=04x +y +9=0∵P l P (t,−9−4t)C :+=4x 2y 2C (0,0)r =2PC M (x −t)x +(9+4t +y)y =0+(−t)x ++9y +4ty =0x 2y 2∵C +=4x 2y 2∴C M −tx +4ty +9y +4=0l AB (4y −x)t +9y +4=0{4y −x =0,9y +4=0, x =−,169y =−,49∴AB (−,−)16949D ACD【解析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算性质即可判断出正误．【解答】解：设等比数列，的公比分别为，，，∴数列是公比为的等比数列，正确；，数列不一定是等比数列，例如取数列，分别为：，，故错误；，∵为一常数，∴数列是等差数列，故正确；，∵为一常数，∴数列}是等差数列，故正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.{}a n {}b n p qA =pq a n+1b n+1a nb n{}a n b n pq A B {+}a n b n {}a n {}b n =a n 2n =−b n 2n B C lg||−lg||=lg|⋅|=lg||b n+1a n+1b n a n b n+1b n an a n+1q p {lg||}b na nC D lg()−lg()a 2n+1b 2n+1a 2n b 2n =lg((=lg a n+1a n )2b n+1b n )2p 2q 2{lg()}a 2n b 2n D ACD A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F 2F 2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2a a >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a =|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACD故选.12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ACD f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln xx 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1eB ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e2x1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD13.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位得到，所以的图象关于对称，所以，,,，两式相加可得：,所以,所以.故答案为：.14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】1009y =sin x f(x)=+sin(x −)1212y =sin x 1212f(x)(,)1212f(x)+f(1−x)=1[f(0)+f(1)]=[f ()+f ()]=⋯1n n −1n =[f(1)+f(0)]=1=f(0)+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n n −1n =f(1)+f ()+…+f ()+f(0)a n n −1n 1n2=[f(0)+f(1)]+[f ()+f ()]+…+a n 1n n −1n[f(1)+f(0)]=n +1=a n n +12=1009a 201710092x −3y −1=0:−=12设，，则，，把，代入双曲线，利用点差法求解．【解答】解：设，，∵恰为弦的中点，∴，，把，代入双曲线，得两式相减，得：，∴，∴，∴直线的方程为，整理，得．故答案为：．15.【答案】【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】利用勾股定理逆定理得出为直径三角形，并计算出的外接圆直径，然后利用公式计算出三棱锥的外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】∵，，∴的外接圆直径为，设该三棱锥的外接球半径为，则，∴，因此，三棱锥的外接球的表面积为．16.【答案】-【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，得关于的一元二次方程，根据根与系数的关系两根之和可求点的横坐标，代入直线方程可得点的纵坐标，根据两直线斜率互为相反数，可得点的坐标．进而由两点连线的斜率公式可得直线的斜率．A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C :−=1y 2x 23A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2P(2,1)AB +=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C:−=1y 2x 23{3−=3，①y 21x 213−=3，②y 22x 223(+)(−)−(+)(−)=0y 1y 2y 1y 2x 1x 2x 1x 26(−)−4(−)=0y 1y 2x 1x 2k ==−y 1y 2−x 1x 223l y −1=(x −2)232x −3y −1=02x −3y −1=08π△ABC △ABC AC 2R =P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√P −ABC R AB ⊥BC AB =BC =2–√△ABC AC ==2A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√R 2R ==2P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√R =2–√P −ABC 4π=4π×(=8πR 22–√)223–√PA y −1=k (x +)3–√2x A A B AB【解答】解：设直线的斜率为，则直线的斜率为．所以直线的方程为，设点，，由得，所以，所以，，，，所以，直线的斜率为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】PA k PB −k PA y −1=k (x +)3–√2A (⋅)x A y AB (⋅)x B y B y −1=k (x +)，3–√2+=1，x 2y 24(4+)+(2k +)x ++k −3=0k 2x 23–√k 234k 23–√+=−x A x p 2k +3–√k 24+k2=−−x A 2k +3–√k 24+k 2x p =−+2k +3–√k 24+k23–√2=k (+)+1y A x A 3–√2=−+k +12+k 23–√k 34+k 23–√=−x B 2k −3–√k 24+k 2x p=+2k −3–√k 24+k 23–√2=−k (+)+1y B x B 3–√2=−k +1−2+k 23–√k 34+k 23–√tAB −y B y A−x B x A=−k +1−(−+k +1)−2+k 23√k 34+k 23–√2+k 23√k 34+k 23–√+−(−+)2k−3√k 24+k 23√22k+3√k 24+k23√2=−23–√−23–√(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2=+=cos x −x ⋅sin x +11解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x−12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2(1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．【考点】平面与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）连结，相交于，证明，即可证明平面；（2）过作于，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，然后利用线面垂直的性质证明．【解答】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．20.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD BD AC O BE //OF BE //ACF A AH ⊥PC H AH ⊥PCD AH ⊥CD PC ⊥CD (1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD【答案】证明：＝＝，可得-＝，，则数列是首项为；由（1）可得＝＝，即有＝，＝＝＝（-），则前项和＝（-+-+…+-）＝（-）＝．【考点】等差数列的性质数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，a 10342+4(n −1)3n −2a nb n n S n (1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4=k++==−162∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．22.【答案】（1）当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）【考点】利用导数研究函数的极值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解．【解答】==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3g −1(x)=−a f ′e x a ≤0f (x)R a >0x =ln a f (x)R (x)=−af ′x（1）当时，在上单调递增；无极值当时，，解得由，解得函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，．函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由（1）得是函数在上的极小值点．①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即令，则在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数的值为(x)=−af ′e x a ≤0(x)>0f (x)f ′R a >0(x)>0f ′x >ln a (x)<0f ′x <ln af (x)(−∞,ln a)f (x)(ln a,+∞)f (x)f (ln a)=a −a ln a +3a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3a ≤0f (x)R f (x)[1,2]f (1)=e −a +3=4a =e −1>0a >0x =ln a f (x)R ln a ≤10<a ≤e f (x)[1,2]f (x)f (1)=e −a +3=4a =e −1ln a ≥2a ≥e 2f (x)[1,2]f (x)f (2)=−2a +3=4e 2a =∴−1e 22e 21<ln a <2e <a <e 2f (x)[1,ln a]f (x)[ln a,2]f (x)f (ln a)=−a ln a +3=4e |a a −a ln a −1=0h (a)=a −a ln a −1(e <a <)e 2(a)=−ln a <0h ′h (a)(e,)e 2h (e)=−1h (a)(e,)e 2e <a <e 2a −a ln a −1=0ag −1。

2022-2023学年全国高二下数学同步练习考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面( )A.若，，则B.若， ，则C.若，，则D.若，，则2. 等于（ ）A.B.C.D.3. 某校成立了舞蹈、机器人和无人机三个兴趣小组，甲、乙、丙名同学均报名参加，三人在不同的小组，且每人只参加一个兴趣小组，对于他们参加兴趣小组的情况，有如下三种猜测，每种猜测都只猜对了一半．第一种：甲参加了舞蹈组，乙参加了机器人组；第二种：丙没参加机器人组，乙参加了舞蹈组；第三种：甲没参加舞蹈组，乙参加了无人机组．则甲、乙、丙三名同学分别参加的是（ ）A.机器人组、舞蹈组和无人机组B.无人机组、机器人组和舞蹈组C.舞蹈组、无人机组和机器人组D.机器人组、无人机组和舞蹈组4. 若，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，则下列判断中正确的是（ ）．m n αβm//αn//αm//nm//αm//βα//βm//n m ⊥αn ⊥αm//αα⊥βm ⊥β+C 512C 612C 513C 613C 1113A 712m n α,βγm ⊂βα⊥βA.若，，则B.若 ， ，则C.若，，则D.若，，则5. 如图，正方体 的棱长为，，分别是线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在某个位置，使 B. 存在某个位置，，使面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等6. 在正方体中，为的中点，为的中点，平面过顶点，且平面，平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到个组成，周而复始，循环记录，年是“干支纪年法”中的甲午年，那么年是“干支纪年法”中的（ ）A.乙亥年m ⊂βα⊥βm ⊥αm ⊥βm//αα⊥βα⊥γα⊥ββ//γm//αα//βm//βABCD −A 1B 1C 1D 11E F C A 1B 1C 1EF =32E ，F BE ⊥DFE F EF//BC A 1D 1−BEF B 1△AEF △BEF ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC Q CC 1αC α//APQ α∩ABCD =m APQ∩AD =n D 1A 1m n −10−−√1010−−√103–√10−3–√1060201420208. 现有份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有（ ）A.种B.种C.种D.种9. 一个正方形花圃，被分为份、、、、，种植红、黄、蓝、绿种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植方法有( )A. 种B. 种C.种D.种10. 现有个红球、个黄球、个白球，个黑球，同色球不加区分，将这个球排成一列，有多少种不同的方法（ ）A.B.C.D.11. 高三（）班某天安排节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节．若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）A.种4101420285A B C D E 42448849622331024000252002560026540264212. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A.种B.种C.种D.种卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 计算的值为________．14. 有个座位连成一排，人就坐，要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位，则不同的坐法有________种（用数字作答）．15. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.16. 张，王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为________．（数字作答）三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 从名男生和名女生中选人担任个不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数.女生必须少于男生；女生甲担任语文课代表.18. 在三棱锥中，平面为的中点.APP ()192240432528+C 36C 2674100103135355(1)(2)P 一ABC PA ⊥ABC,AB =AC,M ，N BC ，AB求证：平面；求证：平面平面 19. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．求证：；若，求二面角的余弦值．(1)MN//PAC (2)PBC ⊥PAM.ABC −A 1B 1C 1ACC 1A 1CBB 1C 1∠AC =∠C =C 1C 1B 160∘AC =2(1)A ⊥C B 1C 1(2)A =B 16–√C −A −B 1A 1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】．根据线面平行的性质进行判断．．根据线面平行的性质和面面平行的判定定理进行判断．．利用线面垂直和直线平行的性质进行判断．．利用线面垂直和面面垂直的性质进行判断．【解答】解：，同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，故错误；，同时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，故错误；，若，，则根据直线平行的性质可知，成立，故正确；，当，，则不一定成立，可能相交，可能平行，故错误．故选．2.【答案】B【考点】组合及组合数公式【解析】由组合数的性质可得答案．【解答】解：由组合数的性质可得，故选：．3.【答案】BA B C D A A B B C m//n m ⊥αn ⊥αC D m//αα⊥βm ⊥βD C +=C 512C 612C 613B进行简单的合情推理【解析】按第一种猜测，若甲参加了舞蹈组，则可以得到乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，不满足第二种假设，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，问题得以解决．【解答】若甲参加了舞蹈组，乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，则不满足第二种猜想，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，4.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】对选项，，举出反例，得到结论不成立，对于选项，通过面面垂直的判断定理即可论证【解答】解：，，，则与的关系有三种，即，或与相交，故选项错误；，，，则内存在与平行的直线与垂直，则 ，故选项正确；，若 ，，则与相交或平行，故选项错误；，若，，则有可能，故选项 错误；故选.5.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线及其所成的角A C DB A m ⊂βα⊥βm αm//αm ⊂αm αA B m ⊥βm//ααm βα⊥βBC α⊥γα⊥ββγCD m//αα//βm ⊂βD B此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，利用余弦定理求解即可.【解答】解：由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，，即直线与所成角的余弦值为．故选．7.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】根据天干地支的纪年方法，经过了年，可以推算出年是庚子年．【解答】从年到年，总共经过了年，所以天干中的甲变为子，地支中的午变为子，即年是“干支纪年法”中的庚子年．8.m n AP PQ 2m n AP PQ 2AP =5–√PQ =2–√AQ =3△APQ cos ∠APQ ==−5+2−92××5–√2–√10−−√10m n 10−−√10B 620202014202062020B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：解：根据题意，假设个人为甲和乙，分种情况讨论：①、甲份而乙份，有种安排方法；②、甲乙各份，有种安排方法；③、甲份而乙份，有种安排方法；则一共有种分配方案；9.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域与区域种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果【解答】解：区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，当区域与区域种植相同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，当区域与区域种植不同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，∴不同的种植方法有种，故选.10.【答案】B【考点】2313=4C 142=6C 2431=4C 344+6+4=14A C D =24A 34E A A C D =24A 34E A B E 1×2=2E A B E 2×1=2×(2+2)=96A 34D排列、组合及简单计数问题【解析】10．第一步，从个位置中选出个位置，分给相同的红球，有种选法；第二步，从剩余的个位置中选出个位置，分给相同的黄球，有种选法；第三步，从剩下的个位置选出个分给个白球，有种选法，余下个位置给黑球．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有（种）【解答】B 11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则课程编排方案共有种．故选．12.【答案】C【考点】排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则有种可能；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题板块，则有种可能，故共有种可能.故选.B 102C 21082C 28633C 363=25200C 210C 28C 36C =12012A 25A 25C ×=240A 22A 55××=192A 22C 14A 44432C二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】组合及组合数公式【解析】直接展开组合数公式计算．【解答】解：．故答案为．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】先将个人排好，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再减去其中甲乙相邻的排法，共计种，即得所求．【解答】解：先将个人排好，有种，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再除去甲乙相邻的情况：把甲乙看成一组，与另外个人排列，再把空位插入，方法有种．故满足条件的排法有种，故答案为：．15.【答案】【考点】35+=+=+=35C 36C 266!3!⋅3!6!2!⋅4!6×5×43×26×523533642455×4×A 44⋅×4×3A 22A 334A 442455×4×A 442⋅×4×3A 22A 335×4×−⋅×4×3=336A 44A 22A 3333612600排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】无【解答】解：由题意，个班级分别去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，分成组有，再把组分到三个革命老区有种，所以共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】根据题意，分步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分步进行分析：①，先分派两位爸爸，必须一首一尾，有种排法，②，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有种排法，③，将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有种排法，则共有种排法.故答案为：．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，10333==2100C 310C 37C 44A 22×10×9×83×2×17×6×53×2×12×13=3×2×1=6A 332100×6=12600126002433=2A 22=2A 22=6A 332×2×6=2424(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)523所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理和，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理得，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.18.【答案】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.此题暂无解析【解答】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面19.【答案】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.(1)AC1CB1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）证明：连，，证明，，得到平面，即可证明．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，求出，，，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值．【解答】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．AC 1CB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1OB 1OC 1OA C B 1A CAB 1m →A A 1B 1n →C −A −B 1A 1(1)AC 1CB 1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5。

新课标高二数学同步测试（3）—（2－1第二章2.4－2.5）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 （ ）A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =14．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 26．椭圆122222=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(0,6)∪ (17,∞) B ．(17,∞)C ．[6，17]D ．（6，17）7．以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）A ．22B ．23 C ．２－3 D ．3－１8．已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P, 则点P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 9．已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=－21, 那么m 的值等于（ ）A ．25B ．23C ．2D ．310．对于抛物线C: y 2=4x , 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 则直线l : y 0y =2(x + x 0)与C （ ） A ．恰有一个公共点 B ．恰有二个公共点 C ．有一个公共点也可能有二个公共点 D ．没有公共点 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．12．设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．定长为l (l >ab 22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为14．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=42，求△MPQ的面积．16．（12分）已知双曲线12222=-byax的离心率332=e，过),0(),0,(bBaA-的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.17．（12分）已知抛物线xy=2的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l过点()3,0P，交抛物线于,A B两点，是否存在垂直于x轴的直线l'被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由．19．（14分）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值．参考答案一、1．D ；解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．2．A ；解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0，∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221a b a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.3．C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．D ；8．B ；9．B ；10．D 二、11．2516；解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，∴a ＝2，b ＝1，c ＝3．当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ，代入曲线方程得：y ＝54∴S ＝21×2y 2＝2516． 12．x 2－4y 2＝1；解析：设P （x 0，y 0）∴M （x ，y ），∴2,200y y x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1．13．222)2(ba a l a ++；14．13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 三、15．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0． 得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y =0，得x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0)．（2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2．由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．直线PQ: y =x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64． 16．解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d ．故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kkk k 又 故所求k=±7.说明：为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程. 17．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=- 所以ky k y AB 211200==即（4分） 设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y =1有公共点，故当y =1时，2121112112≥∴≥-≥+-k kk k k 即0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kk y y y x x k k y 故 所以121122121-==+k y y ky y ， 故)14)(11(]4))[(11(||11||22212212212k k y y y y k y y k AB -+=-++=-+= 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥kk k k 25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即 18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =，24y x ∴= 抛物线方程为: ；由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1； 对于椭圆，1222a MF MF =+=+；(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：（2）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为：19．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,a b n b x a b y =-=mm 2－b 2代入得k PM ·k PN =22ab .评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a b y a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A 则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e a b a c b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（2）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ ))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c b a b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.。