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2019-2020年人教统编2.2一维离散型随机变量课件

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2.2一维离散型随机变量

2.2一维离散型随机变量
设
Ai={第 i 个路口遇红灯}, i =1,2,3
路口1
路口2
路口3
1 P ( 0 ) P ( A1 ) 2
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P( 1) P( A1 A2 ) 2 2 4
路口1
路口2
路口3
1 1 1 1 P( 2) P( A1 A2 A3 ) 2 2 2 8
k
,任意x R .
证明：对于任意 x R ,取 B (, x] R ，由(3) 知：
F ( x) P{ B}
p p
k xk „ x
k
.
分布函数
0 例1、设 的概率分布为： F ( x) 0 1 2 0.3 0.5 0.2 P 画出 的概率分布及分布函数的图形。
(3) P{ B}
如：
xk B
p
k
B R , 为 的某个子集或区间.
P ( a ＜ „ b )
a＜xk „ b

pk
只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该 随机变量有关的事件的概率， 也就知道了该随机变量取 值的概率规律.
(4)分布函数：
F ( x)
xk „ x
p
xk B
P ( 1) P ( A1 ) p P ( 2) P ( A1 A2 ) (1 p ) p
设 Ak = { 第 k 发命中 }，
于是:
几 何 分 布
P ( 3) P ( A1 A2 A3 ) (1 p) p
2
P ( k ) (1 p )
第2-2节
一维离散型随机变量

2.2 离散型随机变量及其概率分布.ppt

2.2 离散型随机变量及其概率分布.ppt

2019-11-27
1 3 1 3 42 4
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5
例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
解 令 X表示“取得的白球数”，则X 可
能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
2019-11-27
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6
P{X

0}
C33 C53
P( X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取
值 xk 处发生间断.
2019-11-27
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3
例: 设随机变量的分布律为
X -1 2
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
或 P( X xk ) pk , k 1,2,
X
x1
x2
… xK
…
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15
20
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13
二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导
若 P( X k) P( X j), j X 可取的一切值 则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
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离散型随机变量PPT优秀课件

离散型随机变量PPT优秀课件
章概率与统计
§1.1离散型随机变量的分布列
引例1：某人射击一次，可能出现命中0环，命中 1环，…，命中10环等 _1_1_个结果，
这些结果可以用数字表示，如0表示命中0环 则以上结果可以用哪些数表示？ 可以用0，1，2，…，10这11个数表示
引例2：某次产品检验，在可能含有次品的100件 产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品件数的 情况有哪些？可以用哪些数表示？
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼
叫次数
例次骰子点数的差为 ，试问“ >4”表示
的试验结果是什么？
思考：以上的随机变量有什么特点？
3、离散型随机变量：
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量。
引例3：
2、随机变量所取值的含义： 引例1：某人射击一次，可能出现命中0环，命中 1环，… ，命中10环的结果，
我们用表示射击的命中环数 则是一个随机变量
0 表示命中0环； 1 表示命中1环；
2 表示命中2环； …… 10表示命中10环；
问： 3,9表示什么意思？
若 是随机变量，则 也是随机变量
例3、 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则每超出1km 收费2元计费（超出不足1km的部分按1km计）。
从这个城市的民航机场到某宾馆和路程为15km。某 司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路 线的不同以及中途停车时间要转换成行车路程（这个城 市规定，每停车5分时间按1km路程计费）
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]

§2.2离散型随机变量及其分布列

§2.2离散型随机变量及其分布列

2．联合分布的性质
容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面 的性质：
1）非负性： ， ，
2）规范性： pij 1
ij
3．边际分布（边缘分布）
定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它 们的每一个分量 的分布称为关于（ ）的边际分
布，记为
与
若（ )的联合分布列为 P( ai ,， bj ) pij
5000k
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大
，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
P( 5)
1 P 5
1
5
5k 5 e
k0 k !Βιβλιοθήκη 查Poisson分布表得：
5
5k
5
e
0.616.
k0 k !
于是，
P 5 1 0.616 0.384
例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品 每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了 以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少 应进某种商品多少件？
布列中，要计算b(k;n,p)= Cnk p k q nk ，当n和k
都比较大时，计算量比较大。
若此时np 不太大（即p较小），那么由Poisson定理
就有
b(k;n;p) k e
k!
其中 np
k
而要计算
e
有Poisson分布表可查.
k!
例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共
P( k) Cnk pk qnk
k 1, 2,L , n
显然，（1） pk 0 k 1, 2,L , n
n
n
（2） pk

§2.2 一维离散型随机变量

§2.2 一维离散型随机变量

减去第一与第二个盒子是空的的放法.
2.2.2 常见的离散型随机变量 1.几何分布 例2.2.3 对某一目标射击，直到击中为止. 设每次独立射击命中率为p(0<P<1)，求射击 次数X的概率分布.
解 设Ai表示“第i次击中”， 1,2,3,, i
由题意， Ai之间是互相独立的. X的可能取
值为1,2,3,…,
例 掷硬币2n次，求出现正面的次数多于出 现反面次数的概率.
4.泊松分布 例2.2.7 某地有2500人参加人寿保险，每人 在年初向保险公司交付保险费12元，若在 这一年内死亡，则由其家属从保险公司领 取2000元，设该地人口死亡率为2‰，求公 司获利不少于10000元的概率。
泊松定理 设 npn 0,0 pn 1, n 1,2, 则对任 一非负整数k，有
1,2,…,7号.今从中任取3张,定义事件A,B,C分
别表示为“3张卡片中最大号码小于4,等于4,
大于4”,再定义一个随机变量X如下:
0，当A发生 X 1，当B发生 2，当C发生
求X的分布律.
例 某厂组织两组人员独立研制两种新产 品,成功率为0.4，0.5。若两组都成功，则年 利润为100万元，只有一组成功时为50万元， 若都不成功，则亏损50万元，求年利润的分 布律.
2.超几何分布 定义2.2.2 设N,m,n为正整数,且 n N , m N 又设随机变量X有分布律为
k n C m C Nkm P( X k ) , k 0，,2,, n. 1 n CN
则称X服从超几何分布，记作X~H(n,m,N)， 式中n,m,N叫分布参数. 超几何分布的概率模型是什么？
P4 P ( X 4) P ( A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ) 0.027.

离散型随机变量ppt课件

离散型随机变量ppt课件

ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列.
也可将①用表的形式来表示
ξ Ｘ1 Ｘ2 … Ｘｉ …
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
上表称为随机变量ξ的概率分布表， 它和①都叫做随机变量ξ的概率分布.
2.分布列的构成: ⑴列出随机变量ξ的所有取值; ⑵给出ξ的每一个取值的概率． 3.分布列的性质:
(1) pi 0, i 1,2, ; (2) p1 p2 1.
,则a的为
．
课堂小结
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
课堂小结
1. 随机变量
2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中a、b是常数) 也是随机变量．
课堂小结
1. 随机变量 2.离散型随机变量
3.离散型随机变量的分布列
ξ Ｐ Ｘ1 Ｐ1 Ｘ2 Ｐ2 … … Ｘｉ Ｐｉ … …
知识回顾
一.随机事件：在一定条件下可能发 生也可能不发生 的事件
二、随机事件的概率 一般地，在大量重复进行同一试验时， m 事件A发生的频率 总是接近于某个常 n 数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫 做事件A的概率，记作P（A）
几点说明： （1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复 试验 （2）概率可看作频率在理论上的期望值，它从数 量 上反映了随机事件发 生的可能性的大小，频率在 大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的 概率 （3）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因 此 0 p( A) 1
例２.从装有６只白球和４只红球的口 袋中任取一只球，用X表示“取到的白 球个数”，即 1• • •(当取到白球) X • •(当取到红球) 0•

二章离散型随机变量ppt课件

二章离散型随机变量ppt课件
定义 设 是试验E的样本空间, 若
按一定法则 实数 X ()
则称 X ( ) 为 上的 随机变量
简记 r.v. X .
r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写
希腊字母 , , 表示.
随机变量 是 R 上的映射,
此映射具有如下特点 定义域 事件域
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个,
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
设 A 为随机事件，则称
X
A
1, 0,
A 为事件A 的示性变量 A
在同一个样本空间可以同时定义多个
r.v., 例如
= {儿童的发育情况 } X() — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围.
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没
有关系—— 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( t )

离散型随机变量PPT课件(人教版)

离散型随机变量PPT课件(人教版)
参加人数
50 40 30 20 10
1
2
活动次数
3
归纳小结
1.随机变量: 如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那 么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η表示。
2.离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 本章只研究取有限个值的离散型随机变量。
P(2 0) P( 0) P(2 1) P( 1)
1
3 P(
1)
1 4
1 12
1 3
P(2
4) P(
2) P(
2) 1 1
12 6
1 4
P(2
9)
P(
3)
1
12
∴ 2 的散布列为
2： 0
1
4
9
1
1
1
1
P
3
3
4
12
某中学号令学生在今年春节期间至少参加一次社会 公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学 生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数； （2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数 恰好相等的概率． （3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参 加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的散布列
知识探究
1. 某人射击一次可能命中的环数X是一个随机变量，某网页在 24小时内被浏览的次数Y也是一个随机变量，这两个随机变量 的值域分别是什么？
答：X∈{0，1，2，…，10}； Y∈{0，1，2，…，n}. 2. 一只合格灯泡连续照明的时间ξ(h)是一个随机变量；某林场 最高的树木为30m，该林场任意一棵树木的高度η（m）也是 一个随机变量，这两个随机变量的值域分别是什么？

02-第二章第三讲一维离散型随机变量

02-第二章第三讲一维离散型随机变量

第一节一维随机变量2.1.2 一维离散型随机变量之离散型随机变量的定义及性质,,2,1, =i x i,2,1},{===i x X P p i i 所有可能取值为有限个或可列无穷个。

设离散型随机变量X 的所有可能取值为相应的概率为则称这组概率为X 的分布律或概率函数。

离散型随机变量： 定义 离散型随机变量的定义.1)2;0121=++≥ p p p i ）∑∑≤≤===≤=xx i x x i i i p x X P x X P x F }{}{)(分布律的表示分布律的性质分布函数为X P n x x x x3 2 1 n p p p p 3 21例1第二机器发生独立地运行，设第一、某系统有两台机器相互机器数，表示系统中发生故障的，以和故障的概率分别为X 2.01.0的分布律。

求X 解 则且台机器发生故障，表示第记,2,1,0,2,1==X i i A i 72.08.09.0)()()(}0{2121=⨯====A P A P A A P X P 26.02.09.08.01.0)()(}1{2121=⨯+⨯=+==A A P A A P X P 02.02.01.0)(}2{21=⨯===A A P X P 故X 的分布律为X P 21002.026.072.0X P 2104.04.02.0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥Ω<≤=+=<≤=<=2},{,21},1{}0{,10},0{,0},{x P x X P X P x X P x P φ求X 的分布函数。

解 例2 设离散型随机变量X 的分布律为∑=∑==≤=≤≤x x i x x i i i p x X P x X P x F }{}{)(}{)(x X P x F ≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,6.0,10,2.0,0,0x x x x。

离散型随机变量ppt课件

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∴随机变量X的分布列为
X P
1
2
3
3 5
3 10
1 10
小结：
一、随机变量的定义： 二、随机变量的分类： 三、随机变量的分布列：
1、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
（2 ） pi p1 p2 pn 1
i 1
n
2、求分布列的步骤:
注意：
它只取两个值0和1，是一个 （1）随机变量不止两种，高中阶段我们只研究离散型随机变量； 离散型随机变量 （2）变量离散与否与变量的选取有关；比如：如果我们只关心电 灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么我们可以这样来定义 随机变量？ 寿命 1000 小时 小结：我们可以根据关 0 ， Y 寿命 1000 小时 心的问题恰当的定义随 1 ， 机变量.
3、概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生 的可能性大小的度量。
2.1.1 离散型随机变量
高二数学组
问 题 探 究：
问题1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.
试验的结果 用数字表示 试验结果
命中0环
命中1环
命中2环
... ...
命中10环
0
1
2
10
问题2：掷一枚骰子一次，向上的点数.
正面向上 反面向上 1 0
还可不可以用其它的数字 来刻画？？
问题4：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中 摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻 画这种随机试验的结果呢？
试验的结果
用数字表示试 验结果
黑色
白色
黄色
红色
4
1
2
3
还可不可以用其它的数字来刻画？？
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2.2.2常见离散型随机变量的概率分布 例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，
P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
只有两个结果：A, A, P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果：
p
p p(1-p) (1-p)2p (1-p)3
X 3为S的一个划分
•
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
两点分布( 0–1分布) 只取两个值的概率分布
分布律为：
X1
0
pk
p 1-p
0<p<1
或 P( X k ) pk ( 1 p )1k , k 0 ,1
凡试验只有两个可能结果，常用0 – 1分布描述，如产品是 否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。
P{X 3} P( A1A 2 A3) p3
一般 P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n •
例 2.3 某射击运动员每次射击时命中 10 环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 {恰有 k 次命中 10 环}的概率．
解：用 X 表示 4 次射击后, 恰好命中 10 环的次数, 则
•
例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：
正面，反面，P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
只有两个结果： A, A,
P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果： A, A, P A 1 2
•
伯努利（Bernoulli）试验
设试验E只有两个可能的结果：A, A 则称这种试验为 伯努利（Bernoulli）试验 设p(A)=p,则 P(A) 1 p ，0<p<1.
n重贝努利试验：将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。
即每次试验结果 互不影响
在相同条件下 重复进行
即 P( X xk ) pk , k 1,2 ,…

或 X
P
x1 x2 … xk … p1 p2 … pk …
2.2.1离散型随机变量及其分布律
概率分布的性质
1) pk 0, k 1,2,…
非负性

2)
pk 1
k1
完备性
概率分布的特征
例 2.1 某射击运动员命中目标的概率是 0.9，求他两次独 立射击中，命中次数 X 的概率分布．
概率论与数理统计
苏敏邦
第2章 离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2 一维离散型随机变量 2.3 随机变量的分布函数 2.4 二维随机变量及其分布函数 2.5 边缘分布
第2章 离散型随机变量
2.2 一维离散型随机变量
2.2.1离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量
例2.1
例2.2
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
两点分布
n个点上的均匀分布
伯努利概型
二项分布
例2.3
例2.4
例2.5
例2.6
泊松分布
例2.7
泊松定理
例2 .8
例2.9
同步练习1,2
小结
2.2.1离散型随机变量及其分布律
定义 若随机变量 X 的 可能取值是有限个或 可列个， 则称 X 为离散型随机变量。
描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列
P( X 0) P( A1) p ；P( X 1) P( A1A2 ) (1 p) p ；
P( X 2) P( A1A2 A3) (1 p)2 p ；
P( X 3) P( A1A2 A 3) (1 p)3 ；
X0
1
2
3
注意： X 0, X 1, X 2
于是，X 的概率分布律为 X0 1 2 P 0.01 0.18 0.81
例 2.2 设随机变量 X 的概率分布为
k
P( X k) a , k 0, 1, 2, k!
试确定常数 a ．
, 0
解：依据概率分布的性质
P( X k) 0 ,


k
P(X

k)

1
.
由概率分布的性质，应有a 0
解： 由于他在连续两次射击中可能没有命中、命中 1 次 或 2 次，所以 X 可取值分别为 0，1，2，对应的概率分别是
P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01，
P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 ,
P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 . 且 P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .

k
a
ae
1
.
k0 k !
xk e x
k0 k !
从中解得a e .
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立 的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p， 0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率 分布律。
解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
如果是不放回抽样呢？
•
二项分布
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
P{X k} Cnk pk (1 p)nk，k
并称X服从参数为p的二项分布，记
0，1， X ，nb(n，p
)
n
注：1 ( p q)n Cnk pk qnk 其中q 1 p k 0
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P{X 0} P( A1A 2 A3) (1 p)3
P{X 1} P( A1A 2 A3 A1A 2 A3 A1A 2 A3 ) C31 p1(1 p)31 P{X 2} P( A1A 2 A3 A1A 2 A3 A1A 2 A3 ) C32 p 2 (1 p)32
A, A, P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
•
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
n个点上的均匀分布 若随机变量X取n个不同的值x1，x2，…，xn，且取
得每一个值的概率都相同，即
P( X

xi )

1, n
i 1, 2, , n.
则称随机变量X服从n个点{x1, x2，…，xn}上的均匀分布．

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