理论力学-第10章(09)

刚体以角速度 绕定轴z转动,其上A点作 用有力F，则力在A点轨迹切线上的投影为 Fz=Fcos
范钦珊著：理论力学/第10章 7
10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
Fz=Fcos 定轴转动的转角和弧长的关系为
ds=Rd 则力F 的元功为
(5)
W=F· dr=FzRd=Mz(F)d
(7)
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度1 转到角度2 时所 作的功为 2 1 2 1 2 W12 k d k1 k 2 1 2 2
范钦珊著：理论力学/第10章 10
10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
2. 质点系内力的功
(8)
质点系的内力总是成对出现的，且大小相等、方向 相反、作用在一条直线上。因此，质点系内力的主矢量 等于零，但不能由此认定内力作功等于零。事实上，在 许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然 也有的内力确实不作功。
M1
(1)
W Fi dri Fi ds cosFi , dri Fx dx Fy dy Fz dz
M2
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的 全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。
W 仅仅是Fi · i 的一种记号。 dr
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(6)
W12 Md
1
2
若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为
W12 M z d
1
2
其中Mz为力偶矩矢M在z轴上的投影。
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10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于水平 时扭簧未变形，且变形时在弹 性范围之内。变形时扭簧作用 于杆上的力对点O之矩为 M=k
10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
(4)
一般情形下，作用在质点系(刚体系)上的力系(包括 内力系)非常复杂，需要认真分析哪些力作功，哪些力不 作功。在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内 力不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，Hale Waihona Puke Baidu力对 系统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是 学习本章内容时必须注意的。 1. 定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
范钦珊著：理论力学/第10章 13
10.2 动能
物体由于机械运动而具有的能量称为动能。
(1)
10.2.1 质点系的动能
物理学中对动能的定义为 1 T mv 2 2 式中m、v分别为质点的质量和速度。动能为标量。
质点系的动能为质点系内各质点动能之和。记为 1 T mi vi2 i 2
动能是度量质点系整体运动的另一物理量，它是正 标量，与速度的大小有关，但与速度的方向无关。
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10.3 动能定理及其应用
例题 10-2 (续1)
(5)
当AB杆的A端运动到铰支座O瞬 时，=0，因此：
P
AP=2l
AB
vB=OBOB=PBAB
OB PB l
B C A O
OB AB
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10.2 动能
例题 10-1
(2)
设重物A、B的质量为mA=mB=m，三角块D的质量为M，置于光 滑地面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。系统初始静止。求：当物 块以相对速度vr下落时系统的动能。
解：开始运动后，系统的动能为
T 1 1 1 2 2 2 mAv A mB vB Mv D 2 2 2
v A v D v Ar v B v D v Br
或者写成
v v v
2 A 2 D
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2 r
15
10.2 动能
例题 10-1(续1)
2 2 v A v D vr2
2 2 vB vD vr2 2vD vr cos α
(3)
vD vr cos α vr sin α
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10.3 动能定理及其应用
10.3.1 质点系的动能定理
1 1 2 T2 T1 mi vi 2 mi vi2 Wi12 1 i 2 i 2 i 上式也可表示为
(3)
T2 T1 W12
所有可以作功的力－既包括外力，也包括内力；既 包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包 括主动力(外力和内力)。
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10.3 动能定理及其应用
10.3.1 质点系的动能定理
(2)
1 dT d mi vi2 Fi dri Wi i i 2 i 上式也可表示为 dT W N dt dt N 称为力的功率－单位时间内该力所作的功。 质点从某一位置运动到另一位置，其动能改变量等 于运动过程中作用在质点系上的所有可以作功的力所作 之功的代数和(积分形式)，即 1 1 2 T2 T1 mi vi 2 mi vi2 Wi12 1 2 2 i i i
(4)
2 2 v A v D vr2
2 2 vB vD vr2 2vD vr cos α
vD vr cos α vr sin α
2
2
mvD mvD vr cos MvD 0
T
1 1 1 2 2 2 m vD vr2 m vD vr2 2vD vr cos Mv D 2 2 2
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10.1 力的功
10.1.1 力的功
弹性力的功：
(3)
k 2 2 W12 r1 l0 r2 l0 2
或


k 2 W12 1 22 2


上式中，1、2 分别为弹簧在初始位置和最终位置 的变形量 。
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23
10.3 动能定理及其应用
10.3.2 动能定理的应用举例
例题 10-2
(4)
平面机构由两质量均为m 、长均为l的匀质杆AB、BO组成，在 杆AB上作用一不变的力偶矩M，从所示位置由静止开始运动。不计 摩擦， 为已知。求：当AB杆的A端运动到铰支座O瞬时，A端的速 度。 解：选机构整体为研究对象，其约束均为 P 理想约束，用动能定理求解。 1. 计算动能 vB 系统从静止开始运动，因此： B T1=0 C 杆OB作定轴转动，杆AB作平面运动， M 在图示位置，AB杆的瞬心在P点，因此： mg mg A O vA AP=2lcos
2. 定轴转动刚体的动能 刚体以角速度 绕定轴 z 转动时，其上－点的速度为
vi=ri
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10.2 动能
10.2.2 刚体的动能
(7)
因此，定轴转动刚体的动能为 1 1 2 1 2 2 T mi ri mi ri J z 2 2 i 2 i 2 其中Jz 为刚体对定轴 z 的转动惯量。 3. 平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心的 相对转动， 因此平面运动刚体的动能为 1 1 2 T MvC J C 2 2 2 其中vC 为刚体质心的速度；JC 为刚体对通过质心且垂直 于运动平面的轴的转动惯量。
3. 往往需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定 理。
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18
10.2 动能
10.2.2 刚体的动能
1. 平移刚体的动能
(6)
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速 度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
1 1 2 1 2 2 T mi vi mi vC MvC 2 i 2 i 2 式中M为刚体的质量，vC为质心的速度。
范钦珊著：理论力学/第10章 20
10.3 动能定理及其应用
10.3.1 质点系的动能定理
(1)
物理学中已讨论了质点的动能定理的两种形式。其 中微分形式为 1 d mv2 F dr W 2 积分形式为 1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2 质点系动能定理：质点系动能的微分等于作用在质点系 上所有力的元功之和(微分形式)，即 1 2 dT d mi vi Fi dri Wi i i 2 i
范钦珊 著 第10章 动能定理及其应用
范钦珊著：理论力学/第10章
1
第10章 动能定理及其应用
动能是物体机械能的一种形式，也是作功的一种能
力。动能定理描述质点系统动能的变化与力作功之间的 关系。动量定理、动量矩定理用矢量方程描述，动能定 理则用标量方程表示。求解实际问题时，往往需要综合 应用动量定理、动量矩定理和动能定理。
范钦珊著：理论力学/第10章
2
第10章
10.1 力的功
动能定理及其应用
10.2 动能
10.3 动能定理及其应用 10.4 势能的概念 机械能守恒定律及其应用 10.5 动力学普遍定理的综合应用 10.6 结论与讨论
范钦珊著：理论力学/第10章 3
10.1 力的功
10.1.1 力的功
物理学相关内容的回顾 1. 力Fi 的元功
内力作功的情形
日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作 功；弹簧力作功等等。这些都是内力作功的例子。
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10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
(9)
内力作功的情形 工程上，所有的发动机从整体考虑，其内力都作 功；机器中有相对滑动的两个零件之间的内力作负功； 在弹性构件中的内力分量(如轴力、剪力、弯矩等)作负 功。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。 总之，内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它 可能改变质点系的能量；外力能改变质点系的动量和动 量矩，但不一定能改变其能量。
2
2
注意到，系统水平方向上动量守恒，故有
mvD mvD vr cos MvD 0
mAv Ax mB vBx MvDx 0
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16
10.2 动能
例题 10-1(续2)
T 1 1 1 2 2 2 mAv A mB vB Mv D 2 2 2




mvr cos vD 2m M
2m2m M m 2 cos 2 2 vr 22m M
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10.2 动能
例题 10-1(续3)
(5)
讨论
通过本例的分析过程可以看出，确定系统动能时， 注意以下几点是很重要的： 1. 系统动能中所用的速度必须是绝对速度； 2. 正确应用运动学知识，确定各部分的速度；
10.1 力的功
10.1.1 力的功
2. 力Fi 在点的轨迹上从一点到另一点所作的功
力Fi 在点的轨迹上从M1 点到 M2 点所作的功为
M1
(2)
W12 Fi dri
M1
M2
M2
由此得到了两个常用的功的表达式 重力的功： 对于质点： W12 = mg(z1 z2) 对于质点系： W12 = mg(zC1 zC2) 其中zC1 和zC1 为质点系质心的坐标。
范钦珊著：理论力学/第10章 12
10.1 力的功
10.1.3 理想约束力的功
约束力作功之和等于零的约束称为理想约束。
(10)
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉 和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功 或作功之和等于零。 柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才 受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。 纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与 地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯 滚动的圆盘也可看成具有理想约束。
式中Mz(F)= FzR 为力F对轴 z 的矩。 于是，力在刚体由角度1 转到角度2 时所作的功为
W12 M z F d
1
范钦珊著：理论力学/第10章 8
2
10.1 力的功
10.1.2 作用在刚体上力的功、力偶的功
Fz=Fcos
由此得到了两个常用的功的表达式 力偶的功 若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为