2011年高考数学不等式选讲

考点52 不等式选讲一、选择题1.（2011·山东高考理科·Ｔ4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）（A ）[-5,7] （B ）[-4,6]（C ）(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)【思路点拨】去绝对值，根据x 的取值分类讨论，也可以根据绝对值的意义来求解.【精讲精析】选D.①5≥x 时，不等式化为x 5x 310-++≥，解得x 6.≥②53<<-x 时，不等式化为1035≥++-x x ，不等式不成立.③3-≤x 时，不等式化为()1035≥+--x x ，解得4-≤x .由①②③得 4-≤x 或6≥x . 另解：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3-与5的距离之和，要使点x 到点3-与5的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥或4x -≤时可使5310x x -++≥成立，答案应选D.二、填空题2.（2011· 江西高考理科·Ｔ15）（2）（不等式选做题）对于实数x ，y ，若1x -≤1, 2y -≤1,则21x y -+的最大值为 .【思路点拨】根据21x y -+=(x 1)2(y 2)2----，结合a b a b +≤+，易得.【精讲精析】x 2y 1=(x 1)2(y 2)2x 1+2y 2) 2.x 11,y 21,x 2y 11212 5.-+----≤--+-≤-≤∴-+≤+⨯+=根据条件有：（【答案】5 3．（2011·江西高考文科·Ｔ15）对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________.【思路点拨】根据绝对值不等式的解法，采用零点分段讨论即得.【精讲精析】[)x 10-x 10x 28,-128x 2;x 2x 10x 28,128x 20+≤--+-≥≥≥≥≤<≥+-+≥≥∴≥∞当时，原不等式变为：即，不符合要求；当-10<x<2时，原不等式变为：x+10+x-28,即2x 0，解得0当时，原不等式变为：即，恒成立，.综上所述，原不等式的解集为，.【答案】[)0+∞，4．（2011·陕西高考理科·T15A ）(不等式选做题)若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 ．【思路点拨】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可．【精讲精析】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+； 当12x -<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要||3a 即可，解得3a -或3a ， 即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞．【答案】(,3][3,)-∞-+∞5．（2011·陕西高考文科·T15A ）(不等式选做题)若不等式|1||2|x x a ++-对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．【思路点拨】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，则只要a 不大于|1||2|x x ++-的最小值即可．【精讲精析】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+；当12x-<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=； 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要3a， 即实数a 的取值范围是(,3]-∞．【答案】(,3]-∞三、解答题6.（2011·福建卷理科·T21）（3） 设不等式11-x 2＜的解集为M.（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M，试比较a b +1与a +b 的大小.【思路点拨】(I) |21|11211x x -<⇔-<-<,解之即得x 的取值范围；（II ）用作差法比较1ab +与a b +的大小.【精讲精析】（I ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<，所以{|01}.M x x <<＝（II ）由（I ）和,a b M ∈可知01,0 1.a b <<<<所以(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，故1ab a b +>+.7.（2011·江苏高考·Ｔ21D ）（选修4-5：不等式选讲）解不等式：|21|3x x +-<.【思路点拨】本题考查的是绝对值不等式的求解，容易题，解决本题的关键是掌握含有绝对值不等式的处理方法，把含有绝对值的放在一侧，进行去绝对值.【精讲精析】原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-. 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值.【思路点拨】第（Ⅰ）问，将1a =代入函数()f x 的解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第（Ⅱ）问()0||30f x x a x ≤⇒-+≤，然后分x a ≥和x a ≤再种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得()0f x ≤的解集，最后利用待定系数法求得a 的值.【精讲精析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥.由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-.(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤，此不等式化为不等式组因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-. 由题设可得2a -= 1-，故2a =.。

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲一、 解答题【2018，23】23. [选修4—5：不等式选讲]已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．当()1x∈-∞-，时，()g x单调递减，()f x单调递增，且()()112g f-=-=．综上所述，()()f xg x≥解集1711⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，．（2）依题意得：242x ax-++≥在[]11-，恒成立．即220x ax--≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120aa⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a-≤≤．故a取值范围是[]11-，．【2016，23】已知函数321)(--+=xxxf．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy=的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>xf的解集．【解析】：⑴如图所示：⑵()4133212342x xf x x xx x⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,()1f x>,①1x-≤，41x->，解得5x>或3x<,1x-∴≤②312x-<<，321x->，解得1x>或13x<，113x-<<∴或312x<<③32x≥，41x->，解得5x>或3x<，332x<∴≤或5x>xyO11综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<.（方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.-11x-1 1x【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

不等式选讲（2011-2015全国卷文科）（一）新课标卷1.（2011.全国新课标24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当a =1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值．2.（2012.全国新课标24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

（二）全国Ⅰ卷1.（2013.全国1卷24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a ∣,g(x)=x+3.（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x) ＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[21,2a -)时，f(x) ≤g(x),求a 的取值范围.2.（2014.全国1卷24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.3.（2015.全国1卷24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（三）全国Ⅱ卷1.（2013.全国2卷24）(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1) ab ＋bc ＋ca ≤13； (2)222a b c b c a++≥1.2.（2014.全国2卷24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f （x ）=|x+a1|+|x-a|(a>0)。

第三节不等式选讲（选修4-5）题型 166 含绝对值的不等式17.（2011全国文24）设函数，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的值． 18.（2012全国文24）已知函数. （1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.19.（2013全国I 文24）已知函数. （1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当时，，求的取值范围. 20.（2014新课标Ⅱ文24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）求证：；（2）若，求的取值范围. 21 . (2015全国I 文24)选修4-5：不等式选讲 已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.题型 167 不等式的证明22.（2013全国II 文24）设均为正数，且，证明：()3f x x a x =-+0a >1a =()32f x x +…()0f x …{|1}x x -…a ()2f x x a x =++-3a =-()3f x …()4f x x -…[]1,2a ()()2123f x x x a g x x =-++=+，2a =-()()<f x g x >1a -122a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤a ()1f x x x a a=++-()0a >()2f x ≥()35f <a ()12f x x x a =+--0a >1a =()1f x >()f x a a b c ，，1a b c ++=（1）； （2）. 23.（2014新课标Ⅰ文24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若，，且. （1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由. 24.(2015全国II 文24)选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明： (1)若ab cd >>>a b c d -<-的充要条件.第十五章试题详解31.解析证明：（1）因为，分别为的中点，所以. 又已知，故四边形貌是平行四边形，所以，而，连接，所以四边形是平行四边形，故.（2）因为，故.由（1）可知，所以，所以.由知，又因为，所以. 2.分析(1)根据等腰三角形的性质可快速求解；(2)由(1)的结论可得OE AE ⊥和ABC △及AEF △都是等边三角形，则所求四边形面积为两个三角形面积之差.解析(1)由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为圆O 分别与AB ，AC 相切于E ，F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．(2)由(1)知，AEAF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是圆O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则O E A E ⊥．由AG 等于圆O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=︒．所以ABC △和AEF △都是等边三角形．13ab bc ac ++≤2221a b c b c a++≥0a >0b >ab ba =+1133b a +b a ,632=+b a D E ,AB AC BC DE ∥AB CF ∥BCFD CF BD AD ==AD CF ∥AF ADCF CD AF =BC FG ∥GB CF =BD CF =GB BD =BGD BDG ∠=∠BC CD =CBD CDB ∠=∠DGB EFC DBC ∠=∠=∠BCD GBD △∽△GFEDCBA因为AE =4AO =，2OE =． 因为2OM OE ==，12DM MN ==1OD =． 于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积为21122⨯⨯⎝⎭(223⨯=． 评注几何证明选讲的考查主要是有关圆与直线、圆与三角形、圆与多边形的推理与计算， 解题中特别要注意特殊图形的性质.3.分析（1）利用圆的性质结合弦切角定理证明线段相等；（2）先证明中垂线，再结合圆的几何性质求圆的半径. 解析：（1）证明：如图，连接，交于点.由弦切角定量，得，而，故，所以又因为，所以为圆的直径，.由勾股定理可得 （2）解：由（1）知，故是边的中垂线，所以设的中点为，连接，则，从而，所以，故外接圆的半径等于. 4.解析（I ）连接，，由题设知，故.因为，，，所以，从而，因此. （II ）由切割线定理得.因为，所以，，由相交弦定理得，所以.5.解析（1）连接，，如图所示. 因为为直径，所以. 又为中点，所以， 所以.①因为为切线，所以， 即.②DE BC G ABE BCE ∠=∠ABE CBE ∠=∠CBE BCE ∠=∠.BE CE =DB BE ⊥DE 90DCE ∠=︒.DB DC =,,CDE BDE DB DC ∠=∠=DGBC BG =DE O BO 60BOG ∠=︒30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒CF BF ⊥Rt BCF△AB AC PA PD =PAD PDA ∠=∠PDA DAC DCA ∠=∠+∠PAD BAD PAB ∠=∠+∠DCA PAB ∠=∠DAC BAD ∠=∠ BEEC =BE EC =2PA PB PC =⋅PA PD DC ==2DC PB =BD PB =AD DE BD DC ⋅=⋅22AD DE PB ⋅=OE AE AB AE BC ⊥D AC DE AD =CAE DEA ∠=∠AC 90CAB ∠=90CAE EAO ∠+=ABD在圆中，，所以.③结合，可得，即. 所以是圆的切线. （2）设，由切割线定理，可得. 又，所以，整理可得，即. 在中，，整理可得，即.联立，解得所以. 6.解析（1）如图所示，连接，在和中，，即． 又，从而． 因此，所以四点共圆．（2），时，方程的两根为，故．如图所示，取中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连接．因为四点共圆，所以四点所在圆的圆心为，半径为．由于，故， 从而．故所在圆的半径为7.分析（1）要证为外接圆的直径，只需证为直角，根据已知条件可证得；（2）要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比. 解析：（1）证明：因为为外接圆的切线，所以.由题设知， 故∽，所以.因为四点共圆，所以，故，所以.因此为外接圆的直径.O OA OE =EAO OEA ∠=∠①②③90DEA OEA ∠+∠=OE DE ⊥DE O ,AB CBx y AC AC==2AC CE CB =⋅OA =2AC CB =AB CB AC AC =⋅x y =⋅Rt ABC △222AB AC CB +=221AB CB AC AC ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221x y +=221x yx y⎧=⋅⎪⎨+=⎪⎩x =tan AB ACB AC ∠==60ACB ∠= DE ADE ∆ACB ∆AD AB mn AE AC ⋅==⋅AD AEBC AB=DAE CAB ∠=∠ADE ACB △∽△ADE ACB ∠=∠,,,C B D E 4m =6n =2140x x mn -+=122,12x x ==2,12AD AB ==CE G DB F G F AC AB H DH ,,,C B D E ,,,C B D E H DH 90A ∠=,GH AB HF AC ∥∥()15,12252HF AG DF ===-=,,,C B D E CA ABC ∠CD ABC △DCB A ∠=∠BC DCFA EA=CDB △AEF △DBC EFA ∠=∠,,,B E F C CFE DBC ∠=∠90EFA CFE ∠=∠=︒90CBA ∠=︒CA ABC △（2）连接，因为，所以过四点的圆的直径.由，.又，所以. 而，故过四点的圆的面积与外接圆面积的比值为. 8.解析（I ）由题设知，，，四点共圆，所以.由已知得，故.（II ）设的中点为，连接，则由知，故在直线上.又不是的直径，为的中点，故，即.所以，故.又，故.由（I ）知，，所以为等边三角形.9.解析（I ）曲线的参数方程为（为参数）.直线的普通方程为.（II ）曲线上任意一点到的距离为，则，其中为锐角，且. 当时，. 当时，. 10.分析（1）根据已知条件得出两点的坐标，然后转化为参数方程；（2）根据两点间的距离公式进行求解验证.CE 90CBE ∠=︒,,,B E F C CE DB BE =CE DC =222BC DB BA DB =⋅=222246CA DB BC DB =+=2223CE DC DB DA DB ==⋅=,,,B E F C ABC △12A B C D D CBE ∠=∠CBE E ∠=∠D E ∠=∠BC N MN MB MC =MN BC ⊥O MN AD O M AD OM AD ⊥MN AD ⊥//AD BC A CBE ∠=∠CBE E ∠=∠A E ∠=∠D E ∠=∠ADE △C 2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θl 260x y +-=C ()2cos ,3sin P θθl 3sin 6d θθ=+-()6sin 30d PA θα==+-α4tan 3α=()sin 1θα+=-PA ()sin 1θα+=PA P Q 、解析：解：（1）依题意有，因此.的轨迹的参数方程为（为参数，）.（2）点到坐标原点的距离.当时，，故的轨迹过坐标原点.11.解析（I ）的普通方程为.可得的参数方程为（为参数，）.（II ）设.由（I ）知是以为圆心，1为半径的上半圆.因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同..故的直角坐标为.即. 12.解析（1）由已知可得，， ，，即，，，.（2）设，令，则.因为，所以的取值范围是.13.分析(1)将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；(2)先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R ，，进一步求出点A 的极坐标为()2sin αα，，点B 的极坐标为()αα，，由此可得2sin AB αα=-=π4sin 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭…．()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα()cos cos2,sin sin 2M αααα++M cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩α02απ<<M )02dα==π<<α=π0d =M C ()()221101x y y-+=剟C 1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩t 0πt 剟()1cos ,sin D t t +C ()1,0G C D l GD l tan t =π3t =D ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭32⎛ ⎝⎭ππ2cos,2sin 33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ππππ2cos ,2sin 3232B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ2cos π,2sin π33C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ3π2cos ,2sin 3232D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(A ()B (1,C -)1D-()2cos ,3sin P ϕϕ2222S PA PB PC PD =+++22216cos 36sin 163220sin S ϕϕϕ=++=+20sin 1ϕ剟S []32,52解析 (1)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． (2)曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<….因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-…，当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为4．14.解析（1）由：，可得极坐标方程为，由：，得极坐标方程为． （2）由题意可得：.由：，得圆心. 则由半径、弦心距及半弦长的关系，可得所以． 15.解析（Ⅰ）设，则由条件知．由于点在上， 所以即1C 2x=-cos 2ρθ=-2C 2221441x x y y -++-+=22cos 4sin 40ρρθρθ--+=3C ()0y x x =…2C ()()22121x y -+-=()21,2C ()2,d C MN ==MN =21122C MNS ==△(,)P x y ,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭M 1C 2cos ,222sin ,2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩从而的参数方程为(为参数)（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． 射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为． 所以．16.分析利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程；（2）利用联立方程组求解曲线的交点. 解析：（1）将消去参数，化为普通方程即将代入得所以的极坐标方程为（2）的普通方程为.由解得或所以与的交点的极坐标分别为， 17.解析（1）当时，可化为，由此可得或，故不等式的解集为． （2）由得，此不等式化为不等式组或，即或.2C 4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩α1C 4sin ρθ=2C 8sin ρθ=π3θ=1C A 1π4sin 3ρ=π3θ=2C B 2π8sin 3ρ=21AB ρρ=-=45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩t ()()224525,x y -+-=221:810160.C x y x y +--+=cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩22810160x y x y +--+=28cos 10sin 160.ρρθρθ--+=1C 28cos 10sin 160.ρρθρθ--+=2C 2220x y y +-=2222810160,20.x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩1,1x y =⎧⎨=⎩0,2.x y =⎧⎨=⎩1C 2C 4π⎫⎪⎭2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭1a =()32f x x +…12x -…3x …1x -…()32f x x +…{}31x x x -或厔()0f x ...30x a x -+...30x a x a x ⎧⎨-+⎩......30x a a x x ⎧⎨-+⎩......4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩ (2)x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩……由于，所以不等式组的解集为.由题设可得，故． 18.解析 （1）当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得.所以的解集为. （2）.当时，. 由条件知且，即. 故满足条件的取值范围为.19.分析（1）利用绝对值的代数意义将函数化为分段函数；（2）结合函数的图像将问题转化为恒成立问题求解. 解析：（1）当时，不等式化为设函数，则其图象如图所示，由图象可知，当且仅当时，，所以原不等式的解集是 （2）当时，，不等式化为，所以对都成立，故即从而的取值范围是 20.解析（I ）由，有，所以.0a >2a x x ⎧⎫-⎨⎬⎭⎩ (12)a-=-2a =3a =-25,2()1,2325,3x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩……2x …()3f x …253x -+…1x …23x <<()3f x …3x …()3f x …253x -…4x …()3f x …{}{}14x x x x 剠()442f x x x x x a -⇔---+剠[]1,2x ∈42x x x a---+…4(2)22x x x a a x a ⇔---+⇔---厔?21a --…22a -…30a -剟a []3,0-2a =-()()f x g x <212230.x x x -+---<21223y x x x =-+---15,,212,1,236,1,x x y x x x x ⎧-⎪⎪=⎨--⎪⎪-⎩≤≤<>()0,2x ∈0y <{}02.x x <<1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()1f x a =+()()f x g x ≤13a x ++≤2x a -≥1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭2,2a a --≥4.3a ≤a 41,.3⎛⎤- ⎥⎝⎦0a >()()1112f x x x a x x a a a a a=++-+--=+厖()2f x …（II ）.当时，，由得.当时，，由. 综上，的取值范围是. 21.解析（1）当时，，即．① 当时，不等式化简为，无解； 当时，不等式化简为，解得； 当时，不等式化简为，解得． 综上所述，当时，的解集为． （2）由，可得.作出的图像，如图所示.图像与轴所围成三角形的三个顶点分别为，，，.由，解得，所以的取值范围是．()1333f a a=++-3a >()13f a a =+()35f <532a <<03a <…()136f a a =-+()35f <3a <…a ⎝⎭1a =()1f x >12110x x +--->1x -…①40x ->11x -<<①320x ->213x <<1x …①20x -+>12x <…1a =()1f x >2,23⎛⎫⎪⎝⎭0a >()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩剟()f x x 21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭()21,0B a +(),1C a a +()2213ABC S a =+△()22163a +>2a >a ()2,+∞22.分析（1）运用重要不等式进行转化求解：（2）运用均值不等式求解，还要注意“1”的整体代换.解析：证明：（1）由得由题设得，即. 所以，即. （2）因为，，， 故.即. 所以. 23.解析（I，得，且当时等号成立. 故时等号成立.所以的最小值为. （II ）由（I ）知.由于，从而不存在，使得.24.分析 (1)由a b c d +=+，及ab cd >，可证明22>，两边开方>；(2)利用第(1)问的结论来证明，在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析 (1)因为2a b =++，2c d =++ a b c d +=+，ab cd >，得22>>(2)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a +b c d =+，所以ab cd >，由(1)>22>， 2222222,2,2,a b ab b c bc c a ca +++≥≥≥222.a b c ab bc ca ++++≥()21a b c ++=2222221a b c ab bc ca +++++=()31ab bc ca ++≤13ab bc ca ++≤22a b a b +≥22b c b c +≥22c a c a+≥()()2222a b c a b c a b c b c a +++++++≥222a b c a b c b c a++++≥2221a b c b c a++≥11a b =+2ab …a b =33a b +厖a b ==33a b +23a b +厖6>a b 236a b +=即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()22244a b a b ab c d cd -=+-<+-=()2c d -，因此a b c d -<-.a b c d -<-的充要条件.评注 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.。

2011年高考数学复习知识点之不等式1、不等式的性质：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ）3. 利用重要不等式求函数最值（1）下列命题中正确的是A 、1y xx =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y+的最小值是______（答：）；（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______（答：3+；4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞）5、证明不等式的方法：（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b>++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

专题四 不等式、推理与证明一、选择题1．(2011年高考重庆卷)若函数f ()x ＝x ＋1x －2()x >2在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．42．(2011年高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．(2011年高考安徽卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－14．(2011年高考广东卷)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 5．(2011年高考大纲全国卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．36．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 37．(2011年高考湖北卷)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个8．(2011年高考四川卷)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元9．(2011年高考浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．2810．(2011年高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x11．(2011年高考广东卷)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 二、填空题12．(2011年高考课标全国卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．13．(2011年高考浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 14．(2011年高考湖南卷)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．15．(2011年高考上海卷)不等式1x＜1的解为________．16．(2011年高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 17．(2011年高考江西卷)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________．18．(2011年高考上海卷)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．三、解答题19．(2011年高考辽宁卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.专题四 不等式、推理与证明一、选择题1．【解析】选C.f ()x ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0.∴f ()x ＝x －2＋1x －2＋2≥2 ()x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立．又f ()x 在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3. 2．【解析】选D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，表示的平面区域如图所示．z ＝3x －y 在(2,2)取得最大值．z max ＝3×2－2＝4. 3．【解析】选B.作出可行域(如图阴影部分所示)，设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向左下方平移到点(0，－1)时，z 有最小值，z min ＝0＋2×(－1)＝－2.把l 0向右上方平移到点(0,1)时，z 有最大值，z max ＝0＋2×1＝2. 4．【解析】选D.∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．5．【解析】选C.如图，作出可行域(阴影部分)，再作出初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，即y ＝－23x ，发现l 0向上移动时z 越来越大，故l 0平移到过C 点时z 最小，又C (1，1)，∴z min ＝2＋3＝5.6．【解析】选A.要求a >b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a >b ，而由a >b 推不出选项．在选项A 中，a >b ＋1能使a >b 成立，而a >b 时a >b ＋1不一定成立，故A 正确；在选项B 中，a >b －1时a >b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2>b 2时a >b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3>b 3是a >b 成立的充要条件，故D 也错误．7．【解析】选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过()5，0点，故只有1个公共点()5，0. 8．【解析】选C.设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50()9x ＋7y ，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5， 即A ()7，5.∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4900()元. 9．【解析】选A.作出可行域，如图所示，两条直线的交点为A (3,1)，作直线3x ＋4y ＝0，并将它向右上平移，当过点A (3,1)时，3x ＋4y 取得最小值，且最小值为3×3＋4×1＝13.10．【解析】选D.不等式转化为⎩⎨⎧log 12x <log 12y ，log 12y <0，⇒1<y <x .11．【解析】选B.由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.二、填空题 12．【解析】作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5. 所以z min ＝4＋2×()－5＝－6. 【答案】－6 13．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.【答案】23314．【解析】根据约束条件画出可行域如图，目标函数化为斜截式为y ＝－15x ＋z5.当目标函数过y ＝mx 与x ＋y ＝1的交点时，z 有最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1，代入目标函数得z ＝1m ＋1＋5·mm ＋1＝4，解得m ＝3.【答案】315．【解析】当x ＞0时，1x＜1⇔x ＞1；当x ＜0时，1x＜1⇔x ＜0.故原不等式的解集是x ＜0或x ＞1. 【答案】{x |x ＜0或x ＞1} 16．【解析】由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 【答案】18 17．【解析】当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立． 当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立． 当－10＜x ＜2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0， 所以0≤x ＜2.综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}． 【答案】[0，＋∞) 18．【解析】作出可行域如图所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，由图可知当l 平移到A 点时，z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝58，y ＝158，∴A ⎝⎛⎭⎫58，158，∴z max ＝58＋158＝208＝52.【答案】52三、解答题19．【解】(1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。

2难点18 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1. 求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425.●案例探究［例1］证明不等式n n2131211<++++ (n ∈N *)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.［例2］求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.2 ●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)已知x 、y 是正变数，a 、b 是正常数，且yb x a +=1，x +y 的最小值为__________. 2.(★★★★)设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.3.(★★★★)若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________.二、解答题4.(★★★★★)已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1.求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤65.(★★★★★)已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］6.(★★★★★)证明下列不等式：(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则c ba yb ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx )(2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++)7.(★★★★★)已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .(1)证明：n i A im ＜m i A in ；(2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m8.(★★★★★)若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.。

专题17不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1理科23 解答题2018 综合测试题2018年新课标1理科23 解答题2017 综合测试题2017年新课标1理科23 解答题2016 综合测试题2016年新课标1理科24 解答题2014 综合测试题2014年新课标1理科24 解答题2013 综合测试题2013年新课标1理科24 解答题2012 综合测试题2012年新课标1理科24 解答题2011 综合测试题2011年新课标1理科24 解答题2010 综合测试题2010年新课标1理科24历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，由f（x）＞1，∴或，解得x，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x，∴a∵2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，即有﹣1＜x或1＜x；当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，∴2，∴ab≥2，当且仅当a＝b时取等号．∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．6．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[，]都成立．故a﹣2，解得a，故a的取值范围为（﹣1，]．7．【2012年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．8．【2011年新课标1理科24】设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1，故a＝29．【2010年新课标1理科24】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x），函数y＝f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a时，函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈. （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）. 2．已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =， ∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤． 3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>. （1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2 【解析】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当12x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x -≥，此时112x -≤<-综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立 所以()min |2||1|3t t ++-=因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m-+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m mf x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭332m∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,24．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥ 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++ （1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤；当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤.综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立） 由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<， 解得实数a 的取值范围是24a <<. 6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.【答案】（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]- 【解析】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥.当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥； 当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解；当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-；综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*） 当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤ 即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+． （1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）()0,2；（2）11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】（1）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---<当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x << 综上，原不等式的解集为()0,2 （2）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+ 则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+，解得：13a ≤又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（II ）(,1)-∞【解析】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++， 当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥； 当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立． ∵|1||2|3|12|333x x a x x a a ++--≥+-+-=-，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号． ∴330a ->，即1a <．所以实数a 的取值范围是(,1)-∞． 9．已知函数()123f x x x =-+-． （Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()2,1-.【解析】解：（I ）当1x ≤时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故1x =． 当13x <<时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故13x <<1＜x ＜3， 当3x ≥时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得113x ≤，故1133x ≤≤． 综上，不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（II ）由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立．又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩，故()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()32f =． ∴22m m +<，解得21m -<<． 即m 的最值范围是()2,1-．10．已知函数()211f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）914. 【解析】（Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （Ⅱ）由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32,所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立.所以222a b c ++的最小值为914.11．已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ； 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=； 12．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|23||1|f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤；(2)见解析. 【解析】（1）()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时，46x -+≤ ，得2x -≥ ，故21x -≤<-； 当312x -≤≤时，326x -+≤ ，得43x ≥- ，故312x -≤<；当32x >时，46x -≤ ，得10x ≤ ，故3102x <≤； 综上，不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-，当且仅当(23)(1)0x x -+≤，即213x -≤≤时等号成立，故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤， 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-， 即228(1)(1)3a b ---≤.13．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()31f x x m x m =---- （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤ 【解析】（1）()141f x x x =---<，所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞. (2)当131,2m m m +>>-时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以1231,3m m ≥+∴≤，所以1123m -<≤，当131,2m m m +==-时，不等式恒成立，当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解.综上，1123m -≤≤. 14．已知()21f x x x =+-． （1）证明()1f x x +≥； （2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立（2）∵333333311131333333234444abc abc abc abc m a b c a b c abc abc +++≥+=+≥⋅==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。

2011年高考试题解析数学（理科）分项版06 不等式一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞4.(2011年高考浙江卷理科5)设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，y 0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19【答案】 B【解析】：作出可行域，5032701x y x x y y +-==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由得，,x y 为整数，所以4,1x y ==，min 344116z =⨯+⨯=故选B .5.(2011年高考浙江卷理科7)若,a b 为实数，则“01ab <<”是11a b b a<>或的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】1111ab ab a b b b a a ---=-=或则21111(1)()()ab ab ab a b b a b a ab-----=⋅=因为01ab <<所以2(1)0ab ab -> 即11()()0a b b a -->于是11()()0a b b a -->所以11a b b a<>或成立，充分条件；反之11a b b a<>或成立，即111100ab ab a b b b a a---=<-=>或则11()()a b b a --2(1)0ab ab -=<故0ab <，不必要条件。

故选A6.(2011年高考安徽卷理科4)设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为 （Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 【答案】B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式1x y +≤对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.7. (2011年高考天津卷理科2)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件9. (2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11. (2011年高考江西卷理科3)若()f x =，则()f x 的定义域为A. (,)1-02 B. (,]1-02 C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞ 【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log (21)0x +>,即0211x <+<,解得x 1-<<02,故选A.12. (2011年高考江西卷理科4)若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-10311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】C【解析】因为'()x x f x x x x 242-2-4=2-2-=,原函数的定义域为(0,)+∞,所以由'()f x >0可得220x x -->,解得2x >,故选C.13. (2011年高考湖南卷理科7)设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y xy 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为A.()21,1+B. ()+∞+,21 C. ()3,1 D. ()+∞,3 答案：A解析：画出可行域，或分别解方程组⎩⎨⎧==mx y x y ，⎩⎨⎧=+=1y x x y ，⎩⎨⎧=+=1y x mxy 得到三个区域端点()0,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m ，当且仅当直线my x z +=过点⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m 时，z 取到最大值2112<++=m m z ,解得()21,1+∈m 。

2011年高考数学试题分类解析（六）--不等式
王连笑
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】不等式是高中数学的一个主干知识，是高考命题的一个热点，分析命题特点，有新意的试题及学生易犯的解题错误及原因，指出不等式备考的一些方法．【总页数】8页(P50-57)
【作者】王连笑
【作者单位】天津市实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.2011年高考数学试题分类解析(六)——不等式 [J], 王连笑
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