浙江省绍兴市柯桥区2018-2019学年高三下学期5月教学质量调测数学试题

一、选择题1. 已知集合{|02}A x x =<<，{|21}B x x =-<<，则A B =（ ）A. (2,0)-B. (2,2)-C. (0,1)D. (1,2) 【答案】 C 【解析】 由题意得(0,2)(2,1)(0,1)AB =-=.2. 双曲线2212y x -=的离心率是（ ）A.B.C. 2D. 3 【答案】 B 【解析】由双曲线的标准方程2212y x -=知，21a =，22b =，则23c =，离心率ce a ==. 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6 【答案】 A 【解析】将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为正方形3的正四棱锥，则其体积2113233V Sh ==⨯⨯=. 4. 若x ，y 满足约束条件2124x x y x y ≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的取值范围是（ ）A. [4,0]-B. [4,1]--C. [1,0]-D. [0,1] 【答案】 A 【解析】作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，平移直线2x y z -=-，当其过点(1,2)B ，(2,0)C 时，目标函数z 分别取到最大值0和最小值4-.5. 函数()cos 2sin f x x a x b =++的最小正周期（ ） A. 与a 有关，但与b 无关 B. 与a 有关，且与b 有关 C. 与a 无关，且与b 无关 D. 与a 无关，但与b 有关 【答案】 A 【解析】函数y b =的最小正周期为任意正数，cos 2y x =的最小正周期为π，sin y x =的最小正周期为2π，则其迭加函数()cos 2sin f x x a x b =++，当0a =时周期为π，当0a ≠时的周期为2π.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，232311000S S a a q a >⇔>⇔>⇔>，故选C.7. 已知0x 是函数1()2xf x e x -=+-的零点，若10(0,)x x ∈，20(,2)x x ∈，则（ ） A.1()0f x <，2()0f x <B. 1()0f x <，2()0f x >C. 1()0f x >，2()0f x <D.1()0f x >，2()0f x >【答案】 C 【解析】函数()f x 的定义域为{|2}x x ≠，又0x e ->，且2x <时，102x <-，故()f x 的零点0(,2)x ∈-∞.求导得21()0(2)x f x e x -'=--<-，则函数()f x 在区间(,2)-∞，(2,)+∞上单调递减，由10202x x x <<<<，得102()()()f x f x f x >>，即1()0f x >，2()0f x <. 8. 将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1，2，，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有（ ） A. 98种 B. 196种 C. 252种 D. 336种 【答案】 D 【解析】每个球放入盒子的放法各有7种，共37种，排除3个球放在同一个盒子中的7种放法，则共有377336-=种放法.9. 已知向量a ，b 满足2a a b =+=，则2a b b ++的最大值为（ ） A. 4B.C. 4+D. 8【答案】 B 【解析】记a b m +=，则2a m ==，222222()242a b b a m m a a m m a m a ++=++-≤++-=+=a m m a +=-，即()0a ab ⋅+=，4a b ⋅=-时，取等号，则所求的最大值为10. 已知四面体SABC 中，二面角B SA C --，A SB C --，A SC B --的平面角的大小分别为α，β，γ，则（ ） A.2παβγπ<++<B. 322παβγπ<++< C. 3παβγπ<++< D. 23παβγπ<++< 【答案】 C 【解析】由极值法，设三棱锥的顶点S 距离底面ABC 无穷远，则三棱锥S ABC -近似为以底面ABC 为底面的三棱柱，此时二面角的平面角α，β，γ等于三角形ABC 的三个内角；若顶点S 与底面ABC 的距离趋向于0，则三棱锥S ABC -近似压缩为四顶点共面，则当S 为ABC ∆内一点时，二面角的平面角α，β，γ的大小都为π，因此(,3)αβγππ++∈.二、填空题 11. 计算：2= ，24log3log 32+= .【答案】2【解析】222===；242421log 3log 3log 3log 3log 322223(2)+=⋅=⨯=.12. 已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = ，z = . 【答案】2i -【解析】由已知，得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-，故z ==. 13. 若多项式1021001210(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则0a = ，2a = .【答案】145【解析】因为1010[1(1)]x x =+-，由二项式定理，得10[1(1)]x +-的展开式的通项为110(1)k k k T C x +=-，0k =，1，，10，则第1k +项的系数为10k C ，故01a =，221045a C ==.14. 随机变量ξ的分布列如下：若1()4E ξ=，则()D ξ= . 【答案】1116【解析】由随机变量的分布列的性质，得0.251a b ++=，又1()100.2514E a b ξ=-⋅+⨯+⋅=，联立解得0.25a =，0.5b =，故由方差公式得22211()(1())0.25(0())(1())16D aE E b E ξξξξ=--+⋅-+-=. 15. 已知Rt ABC ∆中，D 为斜边BC 上一点，且2BD DC =，6BC =，3AD =，则AC = ，sin BAD ∠= .【答案】【解析】记BAD θ∠=，则由正弦定理，得sin sin BD ADB θ=，且sin(90)sin DC AD Cθ=︒-，即43sin sin B θ=，2333cos sin cos sin()2CBB πθ===-，则3s i n si n 4B θ=，3cos cos 2B θ=，平方后相加，整理得22111sin cos 1649θθ+=，则27cos 27θ=，故sin θ=，3sin sin 4B θ==sin AC BC B ==16. 设1e ，2e 为单位向量，单位向量12e xe ye =+，,x y R ∈，若x 则1e ，2e 的夹角为 .【答案】4π或34π 【解析】记1e 与2e 的夹角为θ，由e ，1e ，2e 均为单位向量，且12e xe ye =+，得关于y 的二次方程222cos 1x xy y θ++=有解，则22(2cos )4(1)0x x θ∆=--≥，解得2212sin x θ≤=，故sin θ=[0,]θπ∈知，1e 与2e 的夹角为4π或34π.17. 已知实数2()f x x bx c =++，若存在实数b ，使得对任意[1,2]x ∈，都有()f x x <成立，则实数c 的取值范围是 . 【答案】(2,6)-【解析】把[1,2]x ∈，2x bx c x ++<恒成立转化为1cx b x++<对[1,2]x ∀∈恒成立.当0c ≤或(1,2)时，函数c y x x =+在区间[1,2]上单调，故()([1,2])cg x x b x x=++∈的最大(1,2)时，cy x x=+在区间[1,2]上的最小值存在b ，使得1b <，所以(1)1(2)1g g <⎧⎨<⎩，故1(2)(1)(2)(1)222c cb c b g g -=++-++≤+<，因此实数c 的取值范围为26c -<<.三、解答题18. 已知函数2()sin(2)3f x x x π=--.（Ⅰ）求5()6f π的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小正周期为π，单调递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈【解析】（Ⅰ）2555()sin()6336f ππππ=--124=--=（Ⅱ）2()sin(2)3f x x x π=--11cos 2sin 22222xx x -=--1sin 2cos 222x x =+sin(2)3x π=+，所以()f x 的最小正周期T π=，由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈； 得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此()f x 的单调递减区间是 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. 19. 在四棱锥E ABCD -中，//BC AD ，AD DC ⊥，2AD DC BC ==，AB AE ED BE ===，F 是AE 的中点.（Ⅰ）证明：//BF 平面EDC ；（Ⅱ）求BF 与平面EBC 所成角的正弦值.【答案】 （Ⅰ）略【解析】（Ⅰ）证明：取ED 的中点G ，连接FG ，GC ，则//FG AD ，且12FG AD =，又因为//BC AD ，且12BC AD =，所以//FG BC ，且FG BC =，所以四边形BFGC 是平行四边形，所以//BF CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ，因此//BF 平面EDC .（Ⅱ）分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则//BF MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角.由EA ED =，H 是AD 的中点，得EH AD ⊥，由于//BC AD ，所以BC EH ⊥，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以//CD BH .由BC CD ⊥，得BC BH ⊥，且EH BH H =，因此BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ，过点M 作MI BE ⊥，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ，连接IN ，MNI ∠即为所求的角.设1BC =，则2AD CD ==，所以AB =AB BE AE ===BF =MN BF ==在Rt AHE ∆中，由AE =，1AH =，得2EH =，在EBH ∆中，2BH EH ==，BE =MI BE ⊥，M 为HE 的中点，可得MI =，因此sin MI MNI MN ∠==.20. 已知a 是实数，函数())f x x a -.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在00x >，使得0()1f x a ≤-+. 【答案】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）略 【解析】（Ⅰ）函数的定义域为[0,)+∞，()0)f x x '==>， 若0a ≤，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为[0,)+∞；若0a >，当03a x <<时，()0f x '<，当3a x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为[0,)3a ，单调递增区间为(,)3a +∞. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当0a >时，min 2()()39a f x f ==-00x >，使得0()1f x a ≤-+等价于219a --+，设2()1(0)9g a a a =+>，则()g a '==，所以()g a 在(0,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增，所以min ()(3)0g a g ==，故()0g a ≥，所以219a -≤-+恒成立，因此存在00x >，使得0()1f x a ≤-+.21. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:4(12)l y kx k =-<<与y 轴、抛物线C 相交于点P ，A ，B （自下而上），记PAF ∆，PBF ∆的面积分别为1S ，2S .（Ⅰ）求AB 中点M 到y 轴距离d 的取值范围； （Ⅱ）求12S S 的取值范围.【答案】 （Ⅰ）5(,6)2（Ⅱ）71()24- 【解析】（Ⅰ）联立244y kx y x =-⎧⎨=⎩，消去y ，得22(84)160k x k x -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12284k x x k ++=，12216x x k=， 所以122422x x d k k+==+ 2152(1)2(,6)2k =+-∈. （Ⅱ）由于1122PA S x S PB x ==， 由（Ⅰ）可知212121212212112()2S S x x x x x x S S x x x x +-+=+= 224(84)216k k k +=⋅- 2117(2)2(,7)4k =+-∈， 由1221174S S S S +>，得211224()1740S S S S -⋅+>，解得124S S >或1214S S <，因为1201S S <<，所以12104S S <<，由12217S S S S +<，得21122()710S S S S -⋅+<，12S S <<，1214S S <<，即12S S的取值范围为1)4. 22. 已知数列{}n a 满足：11x =，111n x n n x x e ++=+-，证明：当n N *∈时，（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）112n n n n x x x x ++>-； （Ⅲ）111()()22n n n x -≤≤. 【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）略【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明0n x >，当1n =时，110x =>，假设0k x >，k N *∈，当1n k =+时，若10k x +≤，则1110k x k k x x e ++=+-≤，矛盾，故10k x +>，因此0()n x n N *>∈，所以1011111n x n n n n x x e x e x ++++=+->+-=，综上，10n n x x +>>.（Ⅱ）11111112(1)2n x n n n n n n n n x x x x x x e x x ++++++++-=+-+-112111(1)1n n x x n n e x e x ++++-+=+-+，设2()(1)1(0)x f x x e x x =+-+≥， 则()20x f x x e x '=+⋅≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，因此()(0)0f x f ≥=，因此12111(1)1()(0)0n x n n n x ex f x f +++++-+=>=，故112n n n n x x x x ++>-. （Ⅲ）由（Ⅱ）得11112(1)n nx x ++<+，所以当1n >时， 11111112(1)2(1)2n n n n x x x --+<+<<+=，当1n =时，112n n x +=，所以12n n x ≤，即12n n x ≥，又由于111111(1)12n x n n n n n x x e x x x +++++=+-≥++-=，112n n x x +≤，所以易知112n n x -≤，综上，11122n n n x -≤≤.。

2018学年第二学期高三教学质量调测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，{}|1A x x =>，则U A =ð（ ）A. ∅B. {}|1x x >C. {}|1x x ≤D. R 2.复数2i 1+i 的共轭复数为 A. 1+i B. 1i - C. 1+i -D. 1i -- 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 84.双曲线()2203x y m m -=>的离心率是（ ）A. 233 B. 62 C. 2D. 2 5.函数()12cos 2f x x x -=的图象可能是（ ）A . B.C. D.6.若3nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7.已知数列{}n a 满足11a =，1n n a ra r +=+，(n N ∈，r R ∈，0r≠)，则“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A. 增大B. 先增大再减小C. 减小D. 先减小再增大 9.设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A. 18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []8,1-D. []16,1- 10.已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=+，11132n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ）A. n S M <且n T M >B. n S M <且n T M <C. n S M >且n T M <D. n S M >且n T M >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘微在《九章算术·主释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”、“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现.为测量某山的高度，在A ，B 测得的数据如图所示（单位：m ），则山高MN =______，A 到山顶的距离AM =______.12.若实数x ，y 满足2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y+的最小值是______，最大值是______.13.随机变量ξ的取值为0，1，2，若()103P ξ==，()1E ξ=，则()1P ξ==______，()D ξ=______. 14.已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______. 15.设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆的面积3,则0||x 的取值范围是____.16.有6个球，其中黑球3个，红、白、蓝色的球各1个，从中取4个球排成一排，则不同的排法有______种（用数字作答）.17.已知不等式223230bt at b +--≤对于2,2t ⎡∈-⎣恒成立，则+a b 的最小值是______.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()224sin cos3sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A 为锐角. （1）求A ；（2）若1b =，ABC ∆的面积为3，求BC 边上的高.19.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CA =，23CB =，现沿ABC ∆的中位线DE 将ADE ∆翻折至'A DE ，使得二面角'A DE A --为60︒.（1）求证：'A C ED ⊥；（2）求直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*121210,21n n S a k k n N S a ++==>∈+. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）若124a a +=，数列{}n b 满足3log n n nc b a a =-，其前n 项和n T 满足对任意*n N ∈，3n T T ≥，求正．实数．．c 的取值范围.21.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，A 是抛物线上一点，过点A 的切线l 与y 轴相交于点P ，Q 是线段AF 的中点.直线AF 交抛物线于另一点B .（1）求证：PQ 垂直于y 轴；（2）求PAB ∆面积的取值范围.22.已知函数()ln f x x x =-.（1）若()11f x xa x x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.。

高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，则A∩B中元素个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A. 1B. -1C.D.3.不等式组表示的平面区域的面积是（）A. 12B. 24C. 36D. 484.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A. m⊥n，m⊥α，n∥βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m∥n，m∥α，n⊥β5.设f（x）=cos，a=f（log e），b=f（logπ），c=f（log），则下述关系式正确的是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. c＞a＞b6.已知a，b∈R，则a＞|b|是a|a|＞b|b|的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，则D（X）=（）A. B. C. D.8.如图所示，直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，F1关于直线l的对称点为F1′，且F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D. 39.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19等于（）A. 129B. 172C. 228D. 28310.在关于x的不等式e2x2-（ae x+4e2）x+ae x+4e2＞0（其中e=2.71828…为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为_______里，后三天一共走_____________里．12.某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是______，体积是______．13.二项式（-）n的展开式中，若只有第六项的二项式系数最大，则n=______，常数项的值为______．14.如图，在△ABC中，AB＞AC，BC=2，A=60°，△ABC的面积等于2，则sin B=______，角平分线AM的长等于______．15.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位和十位上的数字都为偶数的四位数共有______个（用数字作答）．16.已知a，b∈R，a+b=4，则+的最大值为______17.点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2=2，则||的最大值为______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=1，C=．（1）若cos（θ+C）=，0＜θ＜π，求cosθ；（2）若sin C+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使得BD=2，得到几何体D-ABCE．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求直线DA与平面BCD所成角的正弦值．20.已知数列{a n}中，a1=4，其前n项和S n满足：S n=a n+1+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n2}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜．21.A，B，C，D在抛物线x2=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称，过点D作抛物线的切线l，BC∥切线l，点D到AB，AC的距离分别为d1，d2，且d1+d2=．（Ⅰ）判断△ABC是锐角、直角还是钝角三角形？（Ⅱ）若△ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．22.已知f（x）=e x-a ln x-a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜1＜x2＜a；（3）求证：e2x-2-e x-1ln x-x≥0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-9x＜0，得0＜x＜9．∴A={x|x2-9x＜0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6，7，8}．又B={y|N*}={1，2，4}．∴A∩B={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，4}={1，2，4}．∴A∩B中元素个数为3个．故选：D．求解一元二次不等式化简集合A，化描述法为列举法得集合B，然后利用交集运算求解．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵是纯虚数，∴，0，解得a=1，故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：作出表示的平面区域，如图阴影部分所示由图知，可行域是梯形，其面积为故选：B．画出不等式组表示的平面区域，判断出平面区域的形状，利用梯形的面积公式求出平面区域的面积．本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域、考查梯形的面积公式．属基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当m⊥n，m⊥α时，n∥α或n⊂α，若n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以A错误．B．m∥n，m⊥α，则n⊥α，若n⊥β，所以α∥β，所以B错误．C．若m⊥n，m∥α，则n与α关系不确定，所以即使n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以C 错误．D．若n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m∥α，所以α⊥β，所以D正确．故选：D．根据面面垂直的判定定理分别进行判断即可．本题主要考查面面垂直的判断，利用空间直线和平面之间平行或垂直的性质是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵f（x）=cos在（0，5π）上单调递减，且f（x）为偶函数，∵a=f（log e）=f（-log eπ）=f（log eπ），b=f（logπ）=f（-logπe）=f（logπe），c=f（log）=f（log），又∵0＜logπe＜1＜log eπ＜log＜5π，∴f（logπe）＞f（log eπ）＞f（log），即b＞a＞c．故选：C．由f（x）=cos在（0，5π）上单调递减，且f（x）为偶函数，从而可比较大小．本题主要考查了利用三角函数的单调性比较函数值的大小，解题关键是要把比较的变量转化到同一单调区间上．6.【答案】A【解析】解：若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a＞b则a|a|=a2，则a|a|＞b|b|成立，当a=1，b=-2时，满足a|a|＞b|b|，但a＞|b|不成立，即a＞|b|是a|a|＞b|b|的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系和性质是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0×+p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p=，q=，∴D（X）=（0-1）2+=，故选：B．设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）=，E（X）=1，列出方程组，求出p=，q=，由此能求出D（X）．本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．先求出点F1′的坐标，再根据F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得（-c）2+（--0）2=c2，整理化简即可求出．【解答】解：直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则直线l为y=x，∵F1，F2是双曲线C的左、右焦点，∴F1（-c，0），F2（c，0），∵F1关于直线l的对称点为F1′，设F1′为（x，y），∴=-，=•，解得x=，y=-，∴F1′（，-），∵F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，∴（-c）2+（--0）2=c2，整理可得4a2=c2，即2a=c，∴e==2，故选：C．9.【答案】D【解析】解：杨辉三角形的生成过程，n为偶数时，a n=，n为奇数时，a1=1,a3=3，∴a3-a2=2，a5-a3=3，…，，∴S19=a1+a3+...+a19+（a2+a4+ (18)=（1+3+6+...55）+（3+4+5+ (11)=220+63=283故选：D．根据杨辉三角的生成过程，分奇偶讨论，求出数列的通项公式，也可以用列举法把该数列的前19项写出来，再求和．考查杨辉三角的产生过程及数列求和问题，有关数列求和问题的解决方法和途径，要紧抓数列的通项公式，在求数列通项公式的时，体现了分类讨论的思想，如果一个数列的通项不易求出时并且所求和不是很大，也可以用列举法写出各项，再求和，属基础题．10.【答案】D【解析】解：由e2x2-（ae x+4e2）x+ae x+4e2＞0，化简得e2（x-2）2＞a（x-1）e，设f（x）=e2（x-2）2，g（x）=a（x-1）e x，则原不等式即为f（x）＞g（x）．若a≤0，则当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0，∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴a＞0．∵f（2）=0，g（2）=ae2＞0，∴f（2）＜g（2）．当f（3）≤g（3），即时，设h（x）=f（x）-g（x）（x≥4），则．设，则，∴φ（x）在[4，+∞）上为减函数，∴φ（x）≤φ（4）=2e2（2-e）＜0，∴当x≥4时，h'（x）＜0，∴h（x）在[4，+∞）上为减函数，即，∴当x≥4时，不等式f（x）＜g（x）恒成立，∴原不等式的解集中没有大于2的整数．∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得．则实数a的取值范围为[，）．故选：D．化简不等式可得e2（x-2）2＞a（x-1）e，设f（x）=e2（x-2）2，g（x）=a（x-1）e x，则原不等式即为f（x）＞g（x），根据两函数的单调性分类讨论，得出不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数的不等式组解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．11.【答案】192 42【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，则{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴a4+a5+a6==42，故答案为：192；42由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后三天走的路程．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．12.【答案】；【解析】【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，是两个同底的半圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，再由圆锥的表面积公式及体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是两个同底的半圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该几何体的表面积为S=；体积为V=．故答案为；．13.【答案】10【解析】解：由二项式（-）n的展开式中，若只有第六项的二项式系数最大，即展开式共11项，即n+1=11，故n=10，由二项式（-）10的展开式通项为T r+1=（）10-r（-）r=（-）r x，令=0，解得r=6，即常数项的值为（-）6=，故答案为：10 ．由二项式定理及展开式通项公式得：展开式共11项，即n+1=11，故n=10，由二项式（-）10的展开式通项为T r+1=（）10-r（-）r=（-）r x，即常数项的值为（-）6=，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．14.【答案】【解析】解：∵BC=2，A=60°，△ABC的面积等于2=AB•AC•sin A=AB•AC•，∴解得：AB•AC=8，①∵由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A，可得：12=AB2+AC2-AB•AC=（AB+AC）2-3AB•AC=（AB+AC）2-3×8，∴解得：AB+AC=6，②∴由①②联立解得：，或（由于AB＞AC，舍去）．∴cos B===，可得：sin B==，∵AM为角平分线，可得，且BM+MC=2，∴解得：BM=，∴在△ABM中，由余弦定理可得：AM===．故答案为：，．由已知利用三角形的面积公式可求AB•AC=8，由余弦定理可得AB+AC=6，联立解得：，根据余弦定理可求cos B的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用角平分线可得，结合BM+MC=2，解得BM的值，在△ABM中，由余弦定理可得AM的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】216【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，0在个位或十位上，此时有2×C31×A52=120个符合条件的四位数；②，0即不在个位也不在十位上，此时有A32×4×4=96个符合条件的四位数；则有120+96=216符合条件的四位数；故答案为：216．根据题意，分2种情况讨论：①，0在个位或十位上，②，0即不在个位也不在十位上，分别求出每种情况下的四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：∵a+b=4，∴+==，=，=，=，设ab-1=t，∵a+b=4，∴t=ab-1=a（4-a）-1=-a2+4a-1=-（a-2）2+3≤3，令f（t）=，∴f′（t）=，令f′（t）=0，解得t=8-4，t=8+4（舍去），当f′（t）＞0时，即t＜8-4，函数f（t）单调递增，当f′（t）＜0时，即8-4＜t≤3，函数f（t）单调递减，∴f（t）max=f（8-4）===，故则+的最大值为，故答案为：由题意可得+=，设ab-1=t，构造函数f（t）=，利用导数求出函数的最值．本题考查了导数在函数最值中的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题17.【答案】6+【解析】解：由题意可知：F1（-1，0），F2（1，0），N（0，1），设M（x0，y0），由||2=2，则x02+（y0-1）2=2x02-2+2y02，整理得：x02+（y0+1）2=4，设，|=（2cosα-1，2sinα-1），=（2cosα+1，2sinα-1），则=（6cosα+1，6sinα-3），则||===≤=6+，∴||的最大值为6+，故答案为：6+．设M点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，求得，求得=（6cosα+1，6sinα-3），利用向量的模长公式，利用辅助角公式及余弦函数的性质，即可求得答案．本题考查椭圆的标准方程，向量的数量积的坐标运算，考查向量的模长公式，辅助角公式及余弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵0＜θ＜π，C=，cos（θ+C）=，∴可得θ+C=θ+是锐角，sin（θ+C）=sin（θ+）=∴cosθ=cos[（θ+）-]=×+=即…（6分）（2）∵A+B=π-C，可得sin C=sin（A+B）∴由sin C+sin（A-B）=3sin2B，得sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，即2sin A cos B=6sin B cosB，可得cos B（sin A-3sin B）=0∴cos B=0或sin A=3sin B①cos B=0，得B=，结合C=得A=∴a=，b=△ABC的面积S=ab sin C…..（4分）②若sin A=3sin B，则a=3b，由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，得1=10b2-6b2cos即7b2=1，解之得b=，从而a=△ABC的面积S=ab sin C=…（4分）【解析】（1）根据题意，得出sin（θ+C）=sin（θ+）=．结合配角θ=（θ+）-利用两角差的余弦公式，即可算出的值．（2）利用sin C=sin（A+B），结合两角和与差的正弦公式化简整理，得cos B（sin A-3sin B）=0，从而cos B=0或sin A=3sin B．再分cos B=0和a=3b两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下△ABC的面积S．本题给出三角形的一边和其对角，在已知等式的情况下求三角形的面积．着重考查了和与差的三角函数公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：连接BE，则BE=AE=2，又AB=4，∴AE2+BE2=AB2，∴AE⊥BE，又DE=2，DB=2，∴DE2+BE2=BD2，∴DE⊥BE，又DE⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，DE∩AE=E，∴BE⊥平面ADE，又BE⊂平面ABCE，∴平面ADE⊥平面ABCE．（Ⅱ）解：取AE的中点H，连接DH，AC，CH，∵AD=DE=2，AD⊥DE，∴DH⊥AE，且DH=，由（I）知平面ADE⊥平面ABCE，∴DH⊥平面ABCE，∴V D-ABC=S△ABC•DH==，∵CE=2，EH=，∠CEH=135°，∴CH==，∴CD==2，又BD=2，BC=2，∴S△BCD==，设A到平面BCD的距离为d，则V A-BCD==，∴=，解得d=，所以直线DA与平面BCD所成的角的正弦值为=．【解析】（I）利用勾股定理证明BE⊥AE，BE⊥DE，从而可得BE⊥平面ADE，于是得出结论；（II）根据V D-ABC=V A-BCD求出A到平面BCD的距离d，于是即为直线DA与平面BCD所成角的正弦值．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算与线面角的计算，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）解：当n≥2时，由S n=a n+1+n，得a n=S n-S n-1=a n+1+n-a n-（n-1），∴a n+1=2a n-1，即a n+1-1=2（a n-1）（n≥2），又a1=S1=a2+1，a1=4，∴a2=3，∴，∴（n≥2）．综上，数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：由于b n=，得，（n≥2），则当k≥2时，有＜，∴当n≥2时，有＜=＜；又当n=1时，．∴对于任意的n∈N*，都有T n＜．【解析】（Ⅰ）由S n=a n+1+n，得a n+1-1=2（a n-1）（n≥2），由等比数列的通项公式求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由于b n=，得，（n≥2），可得当k≥2时，＜，然后利用裂项相消法证明对于任意的n∈N*，都有T n＜．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设A（x0，），B（x1，），C（x2，），则D（-x0，）．由k BC=k l得：=-x0，从而x2=-2x0-x1，∴k AC==-，又k AB=，∴k AC=-k AB，∴d1=d2=|AD|，∴∠BAC=，∴△ABC为直角三角形，（Ⅱ）不妨设C在AD上方，则AB的方程为：y-=-（x-x0）由得：x2+4x-（4x0+x02）=0，可得x B=-4-x0，同理x C=4-x0，从而|AB|=|2x0+4|，|AC|=|4-2x0|，∴S△ABC=|4x02-16|=240，得x0=±8．∴A（8，16），则直线BC的方程：y=-4x-12，或A（-8，16），则直线BC的方程为：y=4x-12．【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB 的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状；（Ⅱ）利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式，属于中档题．22.【答案】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=e时，f（x）=e x-e ln x-e，，而在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=0，当0＜x＜1时，f′（x）＜f'（1）=0，则f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞f'（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（1）=0，没有极大值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x-a（ln x+1）≥0显然成立；若，由f（x）≥0得，令，则，令，由得g（x）在上单调递增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上为负，在（1，+∞）上为正，因此φ（x）在上递减，在（1，+∞）上递增，即有φ（x）min=φ（1）=e，从而0＜a≤e．因而函数y=f（x）若有两个零点，则a＞e，即有f（1）=e-a＜0，由f（a）=e a-a lna-a（a＞e）得f'（a）=e a-ln a-2，则，则f′（a）=e a-ln a-2在（e，+∞）上单调递增，即有f′（a）＞f'（e）=e e-3＞e2-3＞0，则有f（a）=e a-a lna-a在（e，+∞）上单调递增，则f（a）＞f（e）=e e-2e＞e2-2e＞0，则f（1）f（a）＜0，则有1＜x2＜a；由a＞e得，则，所以，综上得．（3）证明：由（2）知当a=e时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e x-e ln x-e≥0，即f（x）=e x-e ln x≥e，设，则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以的最大值为，即，因而，所以，即e2x-2-e x-1ln x-x≥0．【解析】（1）求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x-a（ln x+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当a=e时，显然成立，设，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．。

2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}7,5,1-=B ，则()U C A B =（ ▲ ）A.{}3,9B.{}1,5,7C.{}9,3,1,1-D.{}1,1,3,7,9-2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ▲ ） A. 624+ B. 64+C. 224+D. 24+3. 已知数列}{n a ,满足n n a a 31=+,且9642=a a a ，则 =++937353log log log a a a （ ▲ ） A.5 B. 6 C. 8 D. 114. 已知0>+y x ，则“0>x ”是“2||2||22y x y x +>+”的 （ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（第2题图）5. 函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ▲ ）6. 已知实数y x ,满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数y x z -=的最小值为－1，则实数m 等于（ ▲ ）A ．7B ．5C ．4D ．3 7. 已知αααcos sin 2tan+=M ，)28(tan8tan+=ππN ，则M 和N 的关系是（ ▲ ）A.N M >B.N M <C.N M =D. M 和N 无关 8. 已知函数2|log |,0,()1,0.x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数1|)(2|)(--=m x f x g ，且Z m ∈，若函数)(x g 存在5个零点，则m 的值为（ ▲ ）A. 5B. 3C. 2D. 19. 设,,为平面向量，2||||==，若0)()2(=-⋅-，则⋅的最大值为（ ▲ ） A. 2 B.49C. 174D. 5 10. 如图，在三棱锥ABC S -中，AC SC =,θ=∠SCB ,θπ-=∠ACB ,二面角A BC S --的平面角为α，则 （ ▲ ）A.θα≥B.α≥∠SCAC.α≤∠SBAD.SBA α∠≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z = ▲ ，|z |= ▲ .12． 251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为 ▲ ，该展开式中的常数项为 ▲ .B （第 10题图）SACB13．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为 ▲ ，将函数()f x 的图象至少平移 ▲ 个单位长度后关于直线4x π=-对称.14．一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ▲ ，这两个数字和的数学期望为 ▲ .15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ .16．从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二 位……），有 ▲ 个不同的数.（用数字作答） 17．已知实数,[1,1]x y ∈-，,,max{,},.a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分） 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 22A A -= (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)当)14a A C =+=，求c 的值.19．（本题满分15分）如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. (Ⅰ)求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.AE.BCDMα（第19题图）20．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.(Ⅰ)（i ）求数列{}n a 的通项公式； （ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； (Ⅱ) 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b为等比数列？ 并说明理由. 21．（本题满分15分）已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率 为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； (Ⅱ)若104Q （，），求MNQ ∆面积的最大值.22．（本题满分15分）已知函数()e xf x ax b =--.(其中e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；(Ⅱ)设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m的取值集合.2019 五校联考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题11．4355i-，1； 12． 3，-40 ； 13．5[,]()1212k k k Zππππ-+∈，6π； 14．12,5；15e<<； 16．1680； 17．32．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 解：(Ⅰ)由得21)2sin2(cos2=-AA,即212cos2sin21=-AA21sin=A，-------------------3分又π<<A0，02sin2cos>-AA,2sin)22sin(2cosAAA>-=π,2,222ππ<>-AAA所以6π=A-------------------7分(Ⅱ)由1421)sin(=+AC,得1421sin=B由正弦定理：BbAasinsin=,得3=b-------------------10分由余弦定理：Abccba cos2222-+=，得cc3372-+=，4=c或1-=c（舍去）所以4=c-------------------14分19. (Ⅰ)证明：由条件，ADEBE平面⊥,AEBE⊥∴,由计算得3,6,3===ADEDAE,222ADEDAE=+∴,AEED⊥又EBEED=⋂,BCDEAE平面⊥∴,而ABEAE平面⊂∴BCDEABE平面平面⊥------------------6分(Ⅱ)以E为坐标原点，直线EA,ED,EB为x,y,z轴建立空间直角坐标系，)1,6,0(),0,6,0(),2,0,0(),,0,3(CDBA,则)0,26,23(M,3(,2)22BM=-, 1)BC=-,平面α的法向量为(0,0,1)m=-------------------8分设平面MBC的法向量),,(zyxn=，由{n BCn BM⋅=⋅=20zz-=-=⇒取1,(32,1,y n==------------------11分设平面BMC 与平面α所成锐二面角为θ，则6cos ||5||||m n m n θ⋅==⋅所以平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值为5. -------------------15分20. 解：(Ⅰ) （i ）1，所以0又,212,时111211=>+=+=a a a a a n n ，…………………….1分 当,时2≥n )(2122∙∈+=+N n a a S n n n )(2121-21-1-∙∈+=+N n a a S n n n作差整理得： ,因为 ,所以，故数列{}n a 为等差数列，. ……………………………………………………..4分 （ii ）由（i ）知，4)3(+=n n S n ，所以)311(34)3(41+-=+=n n n n S n，从而=++++nS S S S 1111321)311()2111()1121()6131()5121()411((34+-++--++--++-+-+-n n n n n n )31211131211(34+-+-+-+++=n n n 922)312111611(34<+-+-+-+=n n n ， 所以922≥M ，故实数的最小值为922…………………………………….8分 (Ⅱ)由)(2412∙-∈-=N n T n a n λ知λλλ241,24+=-=n n n n T T …………………………..9分当λ6,时11==b n ，……………………………………………………10分当λλλλ241241,时211--+=-=≥--n n n n n T T b n143-=n λ所以)2(4431≥==+n b b n n n λ，…………………………………………………….12分若数列{}n b 是等比数列，则有124b b =而λ122=b ，所以212=b b 与b 2=4b 1矛盾。

2018学年第一学期期末高中教学质量检测高三数学试题注意事项:1.本科考试分考试卷和答题卷，考生须在答题卷上答题;2.本试卷分为第I卷(选择题部分)和第I卷(非选择题部分),共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I卷(选择题部分)一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则A∩B＝（）A．∅B．{2，4} C．{2，4} D．{2，4，6}2．双曲线的渐近线方程是（）A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．4x±y＝0 D．x±4y＝03．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）A．3 B．6 C．9 D．184．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．函数y＝ln（x2+1）•sin2x的图象可能是（）6．已知平面α，β，直线l满足l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时（）A．E（ξ）减小，D（ξ）减小B．E（ξ）减小，D（ξ）增大C．E（ξ）增大，D（ξ）减小D．E（ξ）增大，D（ξ）增大8．已知△ABC中，AC≥BC，D、E分别是AC、BC的中点，沿直线DE将△CDE反折成△C′DE，设∠C′DA＝θ1，∠C′EB＝θ2，二面角C′﹣DE﹣A的平面角为θ3，则（）A．θ1≥θ2≥θ3B．θ1≥θ3≥θ2C．θ2≥θ1≥θ3D．θ3≥θ1≥θ29．已知向量，满足||＝1，||＝2，若对于长度为2的任意向量都有|•|+|•|，则||的最小值为（）A．1 B．C．D．310．已知不等式xe x﹣a（x+1）≥lnx对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．D．第I卷(非选择题部分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织布量是前一天的2倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为a1，第五天的织布量为a5，则a1＝，a5＝．12．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为，最大值为13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝，C＝．14．二项式（）9展开式中x3项的系数是15．已知函数f（x），，＞，则不等式f（x）≤1的解集为，若实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），且a＜b＜c，则a+2b+c的取值范围是．16．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有种．（用数字作答）17．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，直线F2M垂直于OP 且交线段F1P于点M，若|F1M|＝2|MP|，则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．（本小题满分14分）已知sin cos（0＜α＜）．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）若角β满足sin（2α+β），求cos（α+β）的值．19．（本小题满分15分）已知四面体ABCD中，AB＝BC＝AC＝CD＝2，AD，∠BCD＝120°，E为BC中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求AD与平面ABC所成的角的正切值．20．（本小题满分15分）已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a2+a3+a4＝18，a3是a2和a5﹣1的等比中项．（Ⅰ）求a1和d的值；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n+1求证：21．21．（本小题满分15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F是其焦点，A是C上异于原点的点，过A作C 的切线与C的准线l相交于点P，点B满足BP⊥l，AB∥l．（Ⅰ）求证：FB∥AP；（Ⅱ）设直线FB与抛物线C相交于M，N两点，求△AMN面积的取值范围．22．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln（x+1）在（﹣1，）内有极值（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若x1∈（﹣1，0），x2∈（0，+∞），求证：f（x2）﹣f（x1）＞2（ln）．。

2018学年第二学期高中期末调测高二数学注意事项：1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.2.全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数1(z i i =-为虚数单位）的虚部为（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -2.已知空间向量(1,1,0)a =-v ， (3,2,1)b =-v ，则a b +=v v （ ）A. B. C. 5 D.3.已知函数2()3f x x =，则(3)f '= （ ）A. 6B. 12C. 18D. 274.设x ∈R ，则“23x <<”是“21x -<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为2y x =-，则此双曲线的离心率为（ ）A. 5 C. 54 6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别1F ，2F ，焦距为4，若以原点为圆心，12F F 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ） A. 22184x y += B. 2213216x y += C. 22148x y += D. 221164x y +=7.若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为（ ） A. 23-B.C.D. 8.若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ）A. 既有最大值又有最小值B. 有最大值无最小值C. 有最小值无最大值D. 既无最大值也无最小值 9.已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）b a < B. 33a b b a -<- C. lg lg a b b a -<- D. lg lg a b b a ->- 10.对任意的n *∈N ，不等式()11()1n a n e n n +≤+（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为（ ） A. ln21- B. 11ln 2- C. ln31- D. 11ln 3- 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知向量(),1,1a x =v ，b v ()4,1,0=，a =v x =______； a b ⋅=v v _______.12.复数12z i =-，则z =_______；1z i =+_______. 13.用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L ，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.14.已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中a ，b ∈R ，若函数()f x 仅在0x =处有极值，则实数a取值范围是_______；若4a =，则函数()f x 的所有极值点之和为_______.15.已知F 为抛物线C ：264y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FA FB >，则FA FB=_______. 16.函数()ln 2f x x =-的零点个数为__________.17.已知椭圆1C ：()222101m x y m +=<<与双曲线2C ：()22210n x y n -=>的焦点重合，1e 与2e 分别为1C 、2C 的离心率，则12e e ⋅的取值范围是__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知31()4,3f x x ax a =++∈R . （1）若4a =-，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若9a ≥-，且函数()f x 在区间[0,3]上单调递减，求a 的值.19.如图，FA ⊥平面,90ABC ABC ︒∠=，//,3,1,2EC FA FA EC AB ===，4,AC BD AC=⊥交AC 于点D .（1）证明：FD BE ⊥；（2）求直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值. 20.已知等比数列{}n a ，{}n b 的公比分别为p ，q ()p q ≠．（1）若111a b ==，24p q ==，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ； （2）若数列{}n c ，满足n n n c a b =+，求证：数列{}n c 不是等比数列．21.如图所示，已知F 是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点，直线AB ：220x y -+=与椭圆C 相切于点A ．（1）若2a =b ；（2）若FA FB =u u u v u u u v ，0FA FB ⋅=u u u v u u u v ，求椭圆C的标准方程． 22.已知函数()ln(1),(1)ln 2a f x f x =+=. （1）证明：1()f x x <；（2）若21[(2)(2)(2)]1n f f f m n ++⋯+≤+对任意的*n ∈N 均成立，求实数m 的最小值.。

1．B 【解析】分析：由题意首先求得集合A 和集合B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：求解函数的定义域可得：，求解对数不等式可得：，结合交集的定义可得：，表示为区间形式即. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C 【解析】由题意可得521i z i +=- = ()()212131312222i i i i i i +--+--===---，对应点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以在复平面对应的点在第三象限，选C.4．A 【解析】分析：由题意首先确定该几何体的空间结构，然后结合几何体的特征求解其体积即可. 详解：如图所示，在棱长为2的正方体中， 题中的三视图对应的几何体为四棱锥，其中P 为棱的中点，则该几何体的体积：.本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定取得最小值的点，最后求解股那样m的方程即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，联立直线方程可得交点坐标为：，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，据此有：，解得：.本题选择B选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．则，据此可得：可能的取值为.共有7个.本题选择A选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．8．C【解析】分析：由题意首先求得点P的坐标，然后利用中点坐标公式求得点Q的坐标，最后利用Q在双曲线上求解双曲线的离心率即可.解得：，双曲线的离心率，故.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．9．D【解析】分析：由题意结合新定义的知识首先画出函数f(x)的图像，然后结合图像逐一分析所给的选项即可求得最终结果.详解：结合新定义的运算绘制函数f(x)的图像如图1中实线部分所示，观察函数图像可知函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数，选项A的说法正确；对于选项B，若，则，此时，若，则，此时，如图2所示，观察可得，恒有，选项B的说法正确；如图3所示，观察可得，恒有，选项C的说法正确；对于选项D，若，则，，不满足，选项D的说法错误.本题选择D选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.作平面于点，点P为圆上的点，则为与面所成角，，其中为定值，则满足题意时，有最大值即可，设圆的半径为，则，，即：,则，中，由勾股定理可得，中，由勾股定理可得，为的中位线，则,，则，综上可得，与面所成角的正切值的最小值是：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查空间几何体的轨迹，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．0【解析】分析：由题意首先化简函数的解析式，然后结合函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.则，函数的最小正周期为：.点睛：本题主要考查三角函数的性质及其应用，三角函数的最小正周期公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.令，则，由可得：，由可得：，据此可得，数列中的项满足：，且，则.点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．25【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，甲的不同的选法种数为总的选法除去甲不选择物理、化学的选法，即：.乙不选择物理的概率为：，则乙、丙两名同学都不选物理的概率是.点睛：本题主要考查排列组合知识及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．23【解析】设ABC ∆三个角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ， 由于AO AB AC αβ=+， 2AB AO AB AB AC αβ⋅=+⋅ ， 2AC AO AB AC AC αβ⋅=⋅+，所以2211,22c c bc αβ=+ 221122b bc b αβ=+ ， 解得233{233bcc bαβ=-=-， 4142233333b c b c c b c b αβ⎛⎫+=-+≥⨯= ⎪⎝⎭.16．【解析】分析：由题意首先消去参数x ，得到关于y 的一元二次方程，利用判别式法得到关于z 的不等式，求解一元二次不等式即可求得最终结果.点睛：本题主要考查转化是数学思想，换元的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．【解析】分析：将原问题进行换元，转化为两个函数有两个交点的问题，然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果. 详解：不防令，则. 原问题转化为函数与函数的图像有2个交点，函数的图像是确定的，如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况)，而函数是一动态V 函数，顶点轨迹y =x ，当动态V 函数的一支与反比例函数相切时，即为所求.联立可得，则满足题意时：，解得：，注意到当V函数的顶点为时满足题意，此时.综上可得：实数的值是.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．18．（1）；（2）详解：（1），得:,得:得所以，．（2），，即．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．（1）见解析；（2）详解：（1）设的中点为，则由△、△均为正三角形分别可得：，面，于是（2）设△、△的边长均为，则，由二面角为可知.过点作，垂足为，显然；过点作，显然，，连，则就是所求的二面角的平面角.在等腰中，计算得，.于是在中，由余弦定理计算得到.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由题意可得，结合题意可得. 当时，，利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递增，在和单调递减.详解：（1），由题意知，解得.当，则，故令得：，于是在上单调递增，在和单调递减.（2）由（1）得：，令得：（），所以在上单调递增，在单调递减，于是，；另一方面在上单调递增，.根据题意，只要，解得，所以.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．（1）；（2）【解析】分析：（1）设直线：，与椭圆方程联立结合韦达定理可得中点为其中代入直线方程可得由直线与椭圆联立直线判别式大于零可得，则；详解：（1）设直线：，联立，得.设，中点为故得：，且代入得；（2）由（1）得点到直线AB的距离为，，于是.，.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由题意利用数学归纳法题中的结论即可；（2）由（1）知：，据此可得.放缩可得，故．（2）由（1）知：，，即，；.于是：得:，故．点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．。

2019届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月教学质量调测数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}|1A x x =>，则U A =ð（ ） A ．∅ B ．{}|1x x >C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】C【解析】按补集的定义，即可求解. 【详解】U =R ，{}|1A x x =>，{|1}U A x x ∴=≤ð.故选：C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．复数2i1+i的共轭复数为 A ．1+i B ．1i -C ．1+i -D ．1i --【答案】B【解析】试题分析：，故共轭复数为【考点】复数运算3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据三视图，可得几何体由四个边长为1的正方体组成，即可求出结论. 【详解】根据三视图，几何体的直观图如下图所示， 由4个边长为1的正方体组成的组合体， 所以体积为4. 故选：B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原直观图是解题的关键，属于基础题.4．双曲线()2203x y m m -=>的离心率是（ ）A ．23B 6C 2D ．2【答案】A【解析】双曲线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由220,3x m y m >-=，化标准方程为2213x y m m -=， 222224233,,1,33b a m b m e e a ∴==∴=+==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质，属于基础题. 5．函数()12cos 2f x xx -=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，再结合函数在(0,]π函数值的符号，即可求解. 【详解】 函数()12cos 2f x xx -=定义域为{|0}x x ≠，()1122cos(2)cos 2()f x xx xx f x ---=--==，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，B ，3(0,),()0,(,),()0444x f x x f x πππ∈>∈<，3(,],()04x f x ππ∈>.排除D.故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，注意函数的奇偶性和函数值正负的应用，属于基础题.6．若3nx x 的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】求出展开式的通项，令x 的指数为0，得到n 满足的等式，即可求解. 【详解】3nx x 展开式的通项为25361),0,1,n kn kkk kk n n T C x C x k n x--+===L ， 令2250,,,5nn k k k N n -==∈∴Q 为5的倍数的正整数. 故选：C.【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记通项是解题的关键，属于基础题.7．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a ra r +=+，(n N ∈，r R ∈，0r ≠)，则“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立. 【详解】当1r =时，111n n n n a ra r a a ++=+⇒=+，所以数列{}n a 为公差为1的等差数列，即充分性成立；21123,12,2n n a ra r a a r a r r +=+=∴==+Q ，所以若数列{}n a 为等差数列，则2412,1r r r r =++∴=或12r =，即必要性不成立， 综上，“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 8．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m u r，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =r ，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),((0,2,1)B D E x BD ED x ==-u u u r u u u r，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =u r ，则m BDm ED ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1t s x ==+，所以平面BDE的一个法向量(m x =+u r， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r，cos |cos ,|m n α=<>==u r r当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.9．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]8,1- D ．[]16,1-【答案】C【解析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ，2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ⋅=-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，先固定PB u u u r ，根据向量数量积的定义，求出PC uuu r 在PB u u u r上投影的最大值和最小值，再利用||PB u u u r 的范围，即可求解.【详解】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F ∴三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ， ,PE PF Q 分别为圆M ，圆N 的直径， ,,//PA AE PC CF AE CF ∴⊥⊥∴，又2,2PF PE PC PA =∴=，12PA PB PB PC ⋅=-⋅u u u ru u u r u u ur u u u r ，设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB u u u r，根据向量数量积的定义，当PC uuu r 在PB u u u r同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD u u u r 在PB u u u r 投影1||||22PH PB =+1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB ⎛⎫∴⋅≤⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭21||2||162PB PB =+≤， 当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-u u u r u u u r u u ur u u u r同理当PC uuu r 在PB u u u r 投影最小（在PB u u u r反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK u u u r 在PB u u u r 投影12||2PB -，1||2|2PB PC PB PK PB PB ⎛⎫⋅≥⋅=-⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=≥-， 当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的数量积取值范围是[8,1]-.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题. 10．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=+，11132n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >【答案】B【解析】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得115566n nn n a c b c ++≤≤，进而有156n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结论. 【详解】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知11111532326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 11111532326n n n n n n b a b a b c +=-≤+≤， 所以156n n c c +≤，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，若0n c ≠时，则156n n c c +≤，115[1()]66516nn c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.二、双空题11．我国古代数学家刘微在《九章算术·主释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”、“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现.为测量某山的高度，在A ，B 测得的数据如图所示（单位：m ），则山高MN =______，A 到山顶的距离AM =______.【答案】(5013 (10013+【解析】设MN h =，将,AM BM 用h 表示，在ABM ∆中，用余弦定理，建立h 方程，求解即可. 【详解】设MN h =，在Rt BMN ∆中，45,2MBN BM h ∠=︒=，在Rt MAN ∆中，30,2MAN AM h ∠=︒=， 在ABM ∆中，由余弦定理，得222242cos AM h BA BM BA BM ABM ==+-⋅⋅∠2100002200h h =++，210050000h h --=，解得50(13)h =+或50(13)h =（舍去） 50(13),2100(13)MN AM MN ∴=+==.故答案为：(5013；(10013+. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查测量问题，利用余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.12．若实数x ，y 满足2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y +的最小值是______，最大值是______.【答案】3 12【解析】设2z x y =+做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最值.【详解】设2z x y =+，做出满足2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2z x y =+过点A 时，取得最小值， 当目标函数2z x y =+过点B 时，取得最大值，由2y x y x =⎧⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ，由24y x y x =⎧⎨=-⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，即(4,4)B ， 2z x y ∴=+的最小值为3，最大值为12.故答案为：3，12.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，应用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()103P ξ==，()1E ξ=，则()1P ξ==______，()D ξ=______.【答案】1323【解析】设()1P x ξ==，则()223P x ξ==-，根据期望公式，建立关于x 的方程，再由方差公式，即可求出()D ξ. 【详解】设()1P x ξ==，则()223P x ξ==-， 241()2()1,333E x x x x ξ=+-=-+==，1(2)3P ξ==，()22212[(01)(11)(21)]33D ξ∴=-+-+-=.故答案为：13，23.【点睛】本题考查随机变量分布列的性质、期望、方差，考查计算求解能力，属于基础题. 14．已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______.【答案】34211-【解析】由已知可求tan θ，根据诱导公式求出()tan πθ-；利用()ααθθ=-+，再由两角和正切公式即可求解. 【详解】依题意得33tan ,tan()tan 44θπθθ=--=-=， 1tan()tan 24tan tan[()]111tan()tan 118αθθααθθαθθ--+=-+===---⋅.故答案为：34，211-.【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题.三、填空题15．设12,F F 是椭圆222:1(02)4x yC m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】根据12PF F ∆的面积列不等式，解不等式求得0||x 的取值范围. 【详解】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以202412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,1 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 16．有6个球，其中黑球3个，红、白、蓝色的球各1个，从中取4个球排成一排，则不同的排法有______种（用数字作答）. 【答案】72【解析】对黑球的个数分类讨论，分为黑球3个，2个，1个，结合排列、组合和分类加法原理，即可求解. 【详解】若黑球1个，有4424A =种排列方法， 若黑球2个，有223436C A =种排列方法， 若黑球3个，有113412C C =种排列方法，共有排列方法24361272++=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查计数原理的应用，属于基础题.17．已知不等式223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立，则+a b 的最小值是______. 【答案】2-【解析】根据题意，利用待定系数法凑出+a b ，得到t 的值后，计算+a b 的范围，从而得到+a b 的最小值. 【详解】设2()2323f t bt at b =+--由223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立，得2(22)330t b ta -+-≤，则2223t t -=时，即22320t t --=12t =-或2t =（舍去），当12t =-时，333022b a ---≤，此时2a b +≥-，现在验证存在,a b 使得等号成立，23142a b ab+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，则46,55a b =-=-， 此时2212123121()()055552f t t t t =---=-+≤， 所以223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立,故+a b 的最小值为2-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了二次函数恒成立问题，考查了等价转化思想以及计算求解能力，属于较难题.四、解答题18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()224sin cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，其中A 为锐角.（1）求A ；（2）若1b =，ABC ∆BC 边上的高.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）由降幂公式和二倍角正弦化简条件等式，可得()(sin 12sin 0A A +=，结合A 的范围，即可求解；（2）要求BC 边上的高求出a 即可，由,,A b S 求出c 边，再由余弦定理，求出a . 【详解】（1）由已知()1cos 24sin 31sin ,2A A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭⋅=+ 即()1sin 4sin 31sin 2AA A +⋅=+， 即()()sin 12sin 30A A +-=.∵A 为锐角，sin 0A ∴>， ∴3sin A =，∴3A π=.（2）∵113sin 1sin 3223S bc A c c π==⨯⨯==，∴4c =， 故由余弦定理可知：2214214cos133a π=+-⨯⨯⨯=，从而1113322S ah h ==⨯⨯=，解得23913h =. 所以，BC 边上的高为23913. 【点睛】本题考查三角恒等变换、面积公式以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.19．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CA =，23CB =，现沿ABC ∆的中位线DE 将ADE ∆翻折至'A DE ，使得二面角'A DE A --为60︒.（1）求证：'A C ED ⊥；（2）求直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）510【解析】（1）由已知可得,DE AC DE A D '⊥⊥，进而证DE ⊥平面'A AC ，即可证明结论；（2）取'AA 中点F ，连EF ，则//BA EF '，求EF 与平面'A DE 所成角即可，由（1）得平面'A DE ⊥平面'A AC ，在平面'A AC 内过F 作'FI A D ⊥于I ，连EI ，可得FI ⊥平面'A DE ，FEI ∠为EF 与平面ABC 所成的角，解Rt FEI ∆即可，或建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）因为BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥，'DE A D ⊥，AC A D D '=I ，所以DE ⊥平面'A AC ，A C '⊂平面'A AC ，所以'DE A C ⊥.（2）解法一：取'AA 中点F ，在平面'A AC 内过F 作'FI A D ⊥于I ， 连接EI ，由（1）可知，DE ⊥平面'A AC ，∴平面'A DE ⊥平面'A AC ， ∴FI ⊥平面'A DE ，∴FEI ∠为EF 与平面ABC 所成的角， 由（1）可知,DE AD DE A D '⊥⊥A DA '∴∠为二面角'A DE A --的平面角，即'60A DA ∠=︒，且'AD A D =，∴''1AA AD A D ===， ∵1'22AE A E AB ===，EF AA '∴⊥， ∴2215()2AA EF A E ''=-=， 在'Rt A FI ∆中，3'sin 60FI A F =︒=， 在Rt EFI ∆中，35sin 15FI FEI EF ∠==⋅=， ∵//'EF A B ，∴直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值也为5.解法二：由（1）得ED ⊥平面'A CA ，因为//BC ED ，所以BC ⊥平面'A CA ， 以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0D ，()1,3,0E ，33',0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0B ， 所以33',23,2A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，设平面'A DE 的法向量为(),,n x y z =r，由n DE n DA ⎧⊥⎨⊥'⎩u u u v v u u u v v ，即301302y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，0y =， 令3z =，则3x =-，所以()3,0,3n =-v，设'BA 与平面'A DE 所成角为θ，则'5sin 1215'n A B n A Bθ⋅===⋅⋅u u u u v v u u u uv v . ∴直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值也为510.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线垂直、求直线与平面所成的角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*121210,21n n S a k k n N S a ++==>∈+.（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）若124a a +=，数列{}n b 满足3log n n ncb a a =-，其前n 项和n T 满足对任意*n N ∈，3n T T ≥，求正实数．．．c 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）[]18,81【解析】（1）根据已知可得()12121n n S k S ++=+，再由12,n n n n a S S -≥=-，可得()12n n a k n a +=≥，再由21ak a =，即可证明结论； （2）令1n =代入已知递推公式，求出1a ，由124a a +=，求出k ，进而求出{}n a 的通项公式，求出n b ，要使*n N ∈，3n T T ≥，恒成立，只需3400b b ≤⎧⎨≥⎩，求解即可. 【详解】 （1）∵12121n n S k S ++=+，∴()12121n n S k S ++=+，故()()121212n n S k S n -+=+≥. 两式相减可得：122n n a ka +=，故()12n na k n a +=≥. ∵21a k a =，∴1n na k a +=为正常数，显然10a ≠，故{}n a 为等比数列. （2）在()12121n n S k S ++=+中令1n =，则()212121S k S +=+，即()()1212121a a k a ++=+，即()()1112121a a k k a ++=+，解得112k a -=. ∵()()12111142k a a a k k -+=+=⨯+=，∴29k =， 解得3k =-（舍去）或3k =，故11a =，从而()1*3n n a n N -=∈， ∵31log 13n n n n c cb a n a -=-=--递增， 由于3n T T ≥恒成立，∴342093027c b c b ⎧=-≤⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，解得1881c ≤≤.所以，c 的取值范围为[]18,81. 【点睛】本题考查递推公式证明等比数列，掌握等比数列通项公式，求数列前n 项和最小问题等价转化为数列项的正负，属于中档题.21．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，A 是抛物线上一点，过点A 的切线l 与y 轴相交于点P ，Q 是线段AF 的中点.直线AF 交抛物线于另一点B .（1）求证：PQ 垂直于y 轴； （2）求PAB ∆面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）839⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由已知(1,0)F ，设2(,2)A t t ，只需证明P 的纵坐标为t ，设切线的斜率为k ，写出切线方程，与抛物线联立，令0∆=，建立,k t 关系，即可证明；（2）设直线AB 的方程是1x sy =+，与抛物线方程联立，得到,A B 坐标关系，将点B 用t 表示，结合（1）的结论将三角形面积S 表示为t 的函数，根据函数特征求其最值. 【详解】（1）设()2,2A t t ，过A 的切线方程()22y k x tt =-+，与抛物线方程联立，消去x 得：()224420ky y kt t ---=，令()2161620k kt t ∆=+-=， 即22210k t kt -+=，解得1k t=， 故切线l 的方程是：()212y x t t t=-+， 令0x =得y t =，故()0,P t ，又()1,0F ，故AF 的中点Q 的坐标是21,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， P Q y y =，所以PQ 垂直于y 轴.（2）设直线AB 的方程是1x sy =+，代入抛物线方程得：2440y sy --=，设22(,)B x y 所以224ty =-，故212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由（1）题结论可知，()2222111222242ABP t t S PQ t y t tt∆++=⋅-=⋅+=，设t x =，令()()223111222x f x x x xx +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 则()()()2242222213111321'32222xx x xf x x x x x +-+-⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以()f x 在0,3⎛ ⎝⎦递减，在3⎫+∞⎪⎪⎣⎭递增，故()min f x f ==⎝⎭，所以PAB ∆面积的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，应用导数法求目标函数的最值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 22．已知函数()ln f x x x =-. （1）若()11f x x ax x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.【答案】（1）2a ≤；（2）见解析 【解析】（1）()11f x x ax x +>-+恒成立，等价于1x >时，()1ln 1a x x x ->+；当()0,1x ∈时，()1ln 1a x x x -<+，令()()1ln 1a x g x x x -=-+，注意(1)0g =，对a 分类讨论求出()g x 单调性即可求解；（2）求()h x '，得到()h x 的单调区间，进而求出两零点的范围是121x x <<，利用（1）的结论()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，可得()21112x m x m -+<-，再由()h x 在(1,)+∞减函数，可得222()()0h x h x <=，得到()422212x m x m -+>-，建立12,x x 不等量关系，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为()0,∞+，()11f x x ax x +>-+恒成立，即ln 11x a x x >-+恒成立， 当1x >时，即()1ln 1a x x x ->+；当()0,1x ∈时，即()1ln 1a x x x -<+，构造函数()()1ln 1a x g x x x -=-+， ()()()221211'2211a g x x a x x x x ⎛⎫=-=⋅++- ⎪⎝⎭++， 令()122x x a xϕ=++-，可知()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 当2a ≤时，()'0g x ≥，则()g x 单调递增，故满足题意， 当2a >时，()()()22221'1x a x g x x x +-+=+，方程()22210x a x +-+=有两个不相等的正根s ，t ， 由于()10g =，所以1s t <<，因此()g x 在()0,s 单调递增， 在(),s t 单调递减，(),t +∞单调递增， 因此()0g s >，()0g t <，不满足题意， 综上：2a ≤.（2）由（1）可得()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，令()()ln h x f x m x x m =+=-+，()11'1x h x x x-=-=， 所以()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，第 21 页 共 21 页 所以()()max 110h x h m ==-+>，1m >，又()0m m m h e m e m e ---=--+=-<，()()2ln 22ln 2ln ln 210h m m m m m m =-+=--<-<，所以在(),1m e -和()1,2m 各存在一个零点，由题设可知1201x x <<<， 因此()111121ln 1x x x m x -=-<+，则()21112x m x m -+<-…①， 因为()h x 在()1,+∞单调递减，因此()()222h x h x >， 即()2222222221ln 1x m x x x --+>>+，所以()422212x m x m -+>-…②， 由①②可得：()()422221111x m x x m x -+>-+， 化简可得2211x x m +>+.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、不等式恒成立以及不等式的证明，构造函数是解题的关键，要注意题中结论的合理应用，属于难题.。

高三下学期数学5月适应性考试试卷一、单项选择题1.集合满足，那么集合A可以是〔〕A. {3}B.C.D.2.x，y为正实数，那么〔〕A. B. C. D.3.z是复数，i是虚数单位，那么“ 〞是“ 〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的局部图象是〔〕A. B.C. D.5.双曲线的渐近线过点，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. 2 D.6.假设实数x，y满足约束条件，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.7.设，假设随机变量的分布列如下：-1那么以下说法错误的选项是〔〕A. B. C. D.8.底面为正方形的四棱锥，点的射影在正方形内，且到的距离等于的长，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，二面角平面角为，那么以下结论可能成立的是〔〕A. B. C. D.9.等差数列满足，，公差为d，数列满足，假设对任意的都有，那么公差d的取值范围是〔〕A. B. C. D.10.函数没有极值点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.二、填空题11.角的终边过点，那么________，________．12. ，那么________；________．13.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．为抛物线上两点，那么在A点处抛物线C的切线的斜率为________；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．14.某几何体的三视图如下列图，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，那么三视图中侧视图的面积为________；该几何体的体积为________．15.P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.假设恰好存在一个点，使得，那么________.16.把编号为的五个小球随机放入编号为的五个盒子，每盒一个小球，假设满足，那么不同的放法共有________种．17.平面向量满足：，，，那么的最大值是________．三、解答题18.如图，平面四边形中，．〔1〕假设，，求的面积；〔2〕假设，，，求t的最大值．19.如图，三棱柱各棱长均为2，．〔1〕求证：；〔2〕假设二面角为，求与平面所成角的正弦值．20.数列、满足：，，数列前n项和为．〔1〕假设，求数列的通项公式及；〔2〕假设，求证：．21.椭圆的离心率为，且过点．〔参考公式：过椭圆上一点的切线方程为〕〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．①求P点轨迹方程；②求证：的面积为定值．22.函数，.〔1〕求函数的单调区间；〔2〕函数.①假设在处取得极小值，求实数的取值范围；②假设的一个极值点为，且，求的最大值．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，集合A可以是，。

浙江省绍兴市城关中学2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个最接近的近似根为（）A． B． C．D．参考答案：C2. 设且则（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．3. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数m =（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可. 【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.4. 同理8执行如图所示的程序框图，若输出的值为14，则空白判断框中的条件可能为（）A．B． C. D．参考答案：B5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先将-x代入选项，判断是否为偶函数，如果是偶函数再判断它在区间(0,+∞)上的单调性。

【详解】由题B，C，D选项的函数为偶函数，在区间(0,+∞)上单调递减，单调递增，有增有减，故选B。

【点睛】本题考查偶函数的性质和函数的单调性，属于基础题。

6. 若，则为（）A． B． C．D．参考答案：答案：C7. 设，是两个非零向量，以下三个说法中正确的有（）个①若∥,则向量在方向上的投影为；②若，则向量与的夹角为钝角；③若，则存在实数，使得.A. 0B. 3C. 2D. 1参考答案：D8. 函数f(x)=|tanx|,则函数y＝f（x）＋log4x－1与x轴的交点个数是A、1B、2C、3D、4参考答案：C函数与x轴的交点个数，为方程的解的个数，即方程解的个数，也即函数交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C．9. 设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．解答：解：取满足题意的特殊数列a n=0，即可得到a3+a99=0选C．点评：本题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．10. 已知定义在上的函数，满足，若函数的图象关于直线对称，且，则（）A.2B.3C.4D.6参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2016秋?天津期中）函数f（x）=x?e x在极值点处的切线方程为．参考答案：y=﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】求出导数，可得极值点和单调区间，求得极值，再由切线的斜率，可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=x?e x的导数为f′（x）=e x+xe x，由f′（x）=0，可得x=﹣1，当x＞﹣1时，f′（x）＞0；当x＜﹣1时，f′（x）＜0．可得x=﹣1为极小值点，极值为﹣．在极值点处的切线斜率为0．可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、单调区间，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．12. 已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为____________．参考答案：略13. 已知：P是直线的动点，PA是圆的一条切线，A是切点，那么的面积的最小值是____________.参考答案：12、如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。

浙江省绍兴市2024届高三下学期5月模拟数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，12i1i +-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法法则计算即可.【详解】由()()()()12i 1i 12i 13i 1i 1i 1i 2+++-+==--+，对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第二象限，故选：B.2.已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（）A.1122m -≤< B.1122m -≤≤ C.12m ≤-或12m >D.12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<.故选：A3.已知向量,,a b c满足1,a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c --= （）A.1314B.14C.14-D.1314-【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅ 、a c ⋅ 、b c ⋅ ，即可求出()()a cbc -⋅- 、a c - 、b c - ，再根据夹角公式计算可得.【详解】由题意得a b c +=-r r r ，则22()a b c +=有222121a b +⋅+= ，解得12a b ⋅= ，又由a c b +=-，则22()a c b +=有222121a c +⋅+= ，解得32a c ⋅=- ，同理可得32b c ⋅=- ，所以()()2132a cbc a b a c b c c -⋅-=⋅-⋅-⋅+=，a c -==，b c -== ，所以()()13132cos ,14a cbc a c b c a c b c-⋅---==-⋅- .故选：A 4.已知ππ50,,cos 2313αα⎛⎫⎛⎫∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α=（）A.1226+ B.1226- C.526+ D.526-【答案】A 【解析】【分析】先根据平方关系求出πsin 3α⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据ππ33αα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，有π12sin 313α⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππsin sin sin cos cos sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12151213213226+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故选；A .5.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A.14B.13C.16D.112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6.若一个圆锥的体积为22π3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为π2，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC.D.【答案】C 【解析】【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积．【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，由轴截面三角形的顶角为π2，得r h =，所以圆锥的体积为231ππ333V r h r ===，解得r =所以圆锥的母线长为2l ==，所以圆锥的侧面积为ππ2S rl ===侧．故选：C ．7.已知函数()()1,02,0xx f x g x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是奇函数，则0x >时，()g x 的解析式为（）A.12x⎛⎫- ⎪⎝⎭B.12x⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2x -D.2x【答案】C 【解析】【分析】设0x >，利用0x <时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()()f x f x -=-可求得()g x 的解析式.【详解】设0x >，则0x -<，所以()122xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()2xf x -=⇒()2xf x =-，0x >.即()2xg x =-.故选：C8.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y =B.3y x =±C.2y x =±D.3y x =±【答案】B 【解析】【分析】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c，由题意可得3=，可求b ，由已知可求a ，可求渐近线方程.【详解】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，双曲线的渐近线方程为0by ax ±=，由点到直线的距离公式可得3b ===，又双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>a =所以双曲线C 的渐近线方程为30y ±=，即3y x =±.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B.m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C.若//αβ，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥D.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.【详解】A.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，不能推出m β⊥或n α⊥，则不能推出αβ⊥，故A 错误；B .若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又//n β，所以αβ⊥，故B 正确；C .若//αβ，n β⊥，则n α⊥，又m α⊂，所以m n ⊥，故C 正确；D.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则αβ⊥，故D 正确.故选：BCD10.已知函数()()6log 23xxf x =+，()()3log 62xx g x =-.下列选项正确的是（）A.1122f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()00,1x ∃∈，使得()()000f xg x x ==C.对任意()1,x ∞∈+，都有()()f x g x <D.对任意()0,x ∞∈+，都有()()x f x g x x -≤-【答案】BCD 【解析】>>即可判断A ；根据000236x x x +=，令()623x x xh x =--，结合零点的存在性定理即可判断B ；由()611log 32x x f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、()32log 23x x g x x ⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，结合复合函数的单调性可得()f x x -和()g x x -的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得()()6633f x g x x x -=-，分类讨论当()00,x x ∈、()0,x x ∈+∞时()x f x -与()g x x -的大小，进而判断D.【详解】A ：因为225+=+>+>>.因为611log log 22f ⎛⎫=>=⎪⎝⎭，311log log 22g ⎛⎫=<=⎪⎝⎭，所以1122f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B ：若()()000f x g x x ==，则()()0000606log 23log 6xx x f x x=+==，即000236x x x +=，()()0000303log 62log 3x x x g x x =-==，可得000623x x x -=，令()623xxxh x =--，因为()01h =-，()11h =，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x =，即000236x x x +=，故B 正确；C ：因为()()66662311log 23log 6log log 632x xx xx xxxf x x ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫-=+-==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1132x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()1,+∞上单调递减，所以()f x x -也单调递减，可得()611log 023f x x ⎛⎫-<+<⎪⎝⎭，因为()()3333622log 62log 3log log 233xx xxxxx xg x x ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫-=--==-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦.又223xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递增，所以()g x x -也单调递增，得()32log 203g x x ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭，即()()f x x g x x -<-，因此，对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()f x g x <，故C 正确；D ：由B 可知：()00,1x ∃∈，使得()00h x =，结合C 的结论，可知当()00,x x ∈，()f x x >，()g x x <，即()()g x x f x <<，当()0,x x ∈+∞时，()f x x <，()g x x >，即()()f x x g x <<，因为()623f x x x =+，()362g x x x =-，得()()26363f x g x x x x =-=-，即()()6633f x g x x x -=-，当()00,x x ∈时，有()()()()()661331f x xg x x g x x---=-，因为()63g x x >，所以()()6131f x x x g x ---<-，所以()()0f x x x g x <-<-，因此可得()()0g x x x f x -≤-<，即()()x f x g x x -≤-，当()0,x x ∈+∞，有()()()()()661331f x x f x g x xx ---=-，因为()63f x x >，所以()()6131x f x g x x ---<-，可得()()0x f x g x x <-<-，即()()x f x g x x -≤-，因此，对于任意的()0,x ∈+∞，都有()()x f x g x x -≤-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如()()f x g x ≥的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令()()()F x f x g x =-，利用导数或基本函数的单调性求得函数()F x 的单调性与最小值，只需()min 0F x ≥恒成立即可；2、参数分离法：转化为()a x ϕ≥或()a x ϕ≤恒成立，即()max a x ϕ≥或()min a x ϕ≤恒成立，只需利用导数求得函数()x ϕ的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数()y f x =的图象在()y g x =的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.11.如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，,,,D E F G 分别在棱1111,A B A C ，,AB AC 上，且11,,A D A E BF CG H P ===分别为1,BC A H 的中点，则（）A.//DE 平面PFGB.若,M N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为94C.若13BF AB =，过,,P F G 三点的平面截三棱柱所得截面的面积为4D.过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45︒的直线有且仅有1条【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的定义判断A ；求出点P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点的距离判断B ；计算截面面积判断C ；找出与过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45︒的直线条数判断D.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，对于A ，由11A D A E BF CG ===，得11//////DE B C BC FG ，显然FGDE 构成一个平面，连接DF ，EG ，1A B 和1AC ，正方形11AA B B 中，1A D BF =，设11A B DF O = ，显然11A DO ≌1BFO ，则111A O BO =，即1O 为1A B 的中点，于是11DO FO =，即1O 为DF 的中点，同理设12A C EG O = ，则2O 为EG 的中点，因此12O O 是1A BC 中位线，由1A H 为1A BC 中线，得P 为12O O 中点，因为12O O ⊂平面FGED ，因此P ∈平面FGED ，即平面PFG 与平面FGED 为同一个平面，则DE 在平面PFG 内，A 错误；对于B ，显然平面11A ABB 与平面11A ACC 所成锐二面角大小为60︒，计算可得点H 到平面11A ABB 和11A ACC 的距离4，由选项A 知，P 是AH 的中点，则点P 到平面11A ABB 和11A ACC 的距离338，令点P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点分别为1M ，1N ，则当M ，N 分别取直线11M N 与平面11A ABB 和11A ACC 的交点时，MNP △的周长最短，由1111|,|||1204PM PN M PN ︒==∠=，得119||4M N =，所以MNP △周长的最小值为94，B 正确；对于C ，由选项A 知，D ，E 在过P ，F ，G 三点的平面内，截面为四边形FGED ，1,2,DE FG DF EG ====1339(12)24+=，C 正确；对于D ，显然1AA BC ⊥，过点A 作BC 的平行线B C ''，则1AA B C ''⊥，与1AA 成45︒的所有直线构成以A 为顶点的两个对顶圆锥（1AA 为轴），同理与B C ''成45︒的所有直线构成以A 为顶点两个对顶圆锥（B C ''为轴），而1AA 与B C ''所成角90︒，因此圆锥面上公共直线共有两条，所以过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45︒的直线有2条，D 错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.【答案】81【解析】【分析】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式()215C 1C ,,,N 2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈,令20r k -=，即可得出．【详解】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：15C ,0,1,2,351(2,),4rr r T x r x +=-=．1(2)r x x-的通项公式：()()12C 11C ,,,N (2)()2r k k k k rk k r kr k r r k r k x x x ------≥=∈．故5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的通项为()215C 1C ,,,N2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈令20r k -=，则0k =，0r =；1k =，2r =；2k =，4r =．因此常数项2112422525412C (1)C 2C (1)C 81+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=．故答案为：81．13.记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1,N 2n n n a a S n +=∈，则2128n nS S +的最小值为__________.【答案】1553【解析】【分析】由()12n n n a a S +=，利用数列通项和前n 项和的关系求得()1,2n n n n a n S +==，再令()2128,0f x x x x=+>，利用导数法求解.【详解】当1n =时，()111112a a a S +==，则11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，由()12n n n a a S +=，得()11112n n n a a S ---+=，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+--，得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，则()1,2n n n n a n S +==，令()2128,0f x x x x =+>，则()()3222641282x f x x x x-=-='，当()0,4x ∈时，()0f x '<，当()4,x ∞∈+时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，由()12n n n S +=随n 的增大而增大，22332S ⨯==，33462S ⨯==，则222323128128155128641729,363333S S S S +=+=+=+=，所以2128n n S S +的最小值为1553.故答案为：1553.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数()2128f x x x=+判断得其单调性，从而考虑2S ，3S 的情况，从而得解.14.欧拉函数()n ϕ表示不大于正整数n 且与n 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知()12111111r n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1p ，2p ，…，r p 是n 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如()11100100114025ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.若数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则()()()()123100a a a a ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+=______.【答案】1002【解析】【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数()n ϕ计算即可得解.【详解】由题意可得132n n a -=⨯，则()()1133123a ϕϕ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()11113211223n n n a ϕ--⎛⎫⎛⎫=⋅⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()99129910012310021222222212a a a a ϕϕϕϕ-+++⋅⋅⋅+=++++=+=- .故答案为：1002.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分1n =及2n ≥进行讨论，结合题中公式求(){}n a ϕ的通项公式.四､解答题15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知(cos cos )(cos cos )sin (sin B A B A C C +-=-)B .（1）求角A 的大小;（2）若6a b c =+=，求ABC 的面积;（3）若c a D ==为BC 的中点，求AD 的长.【答案】（1）π4A =；（2）92-；（3）172【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理得9(2bc =，进而根据三角形面积公式即可求解；（3）根据向量的模长公式结合条件即可求解.【小问1详解】(cos cos )(cos cos )sin (sin )B A B A C C B +-=-，222cos cos sin sin B A C B C ∴-=-，即222sin sin sin sin C B A B C +-=.由正弦定理得222c b a +-=，由余弦定理得cos 2A =，π(0,π),4A A ∈∴=；【小问2详解】6a b c =+= ，由余弦定理得222182()2122c b bc b c bc ⎛⎫=+-⨯=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，19299(2sin 22ABC bc S bc A -∴=∴==；【小问3详解】在ABC 中，由余弦定理得225222b b =+-，即2230b b --=，又0b >，得3b =，D 为BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+，两边平方得()2221172cos 44AD b c bc A =++= ，2AD ∴= ，即中线AD 的长度为172.16.五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为p 和32p -，其中304p <<.（1）甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为3790，求p 的值；（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列及期望.【答案】（1）乙进入半决赛的可能性最大（2）23（3）分布列见解析，149()90E ξ=【解析】【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛的概率，即可求解；（2）由甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率，结合列出方程，即可求解；（3）根据题意，得到ξ的可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，甲队进入半决赛的概率为231342⨯=，乙队进入半决赛的概率为343455⨯=，丙队进入半决赛的概率为23392416p p p ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为304p <<，所以39216p p ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，显然乙队进入半决赛的概率最大，所以乙进入半决赛的可能性最大.【小问2详解】解：因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率为3790，所以133********11125225225290p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯--+-⨯⨯+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得23p =或56p =，因为304p <<，所以23p =.【小问3详解】解：由题意可知：甲、乙、丙三队进入半决赛的概率分别为135,,259，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，可得1354(0)11125945P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37(2)90P ξ==，1351(3)2596P ξ==⨯⨯=，43711(1)1459063P ξ==---=，所以ξ的分布列为:ξ0123P44513379016所以，期望为41371149()012345390690E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，已知三棱台111ABC A B C -的体积为12，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===，（1）证明：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点B 到面11ACC A 的距离；（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C --的大小为π6，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）7（3）存在，5CF =【解析】【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得11AB BB ⊥；由面面垂直和线面垂直的性质可证得1AB BC ⊥，结合BC AB ⊥可证得结论；（2）延长111,,AA BB CC 交于一点P ，根据11187P ABC ABC A B C V V --=可求得P ABC V -，利用体积桥P ABC B PAC V V --=可构造方程求得结果；（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设FE =，根据几何关系可表示出DE ，由二面角大小可构造方程求得t ，进而得到结果.【小问1详解】连接1AB ，在三棱台111ABC A B C -中，11//AB A B ；1111222AB AA A B BB === ，∴四边形11ABB A 为等腰梯形且1160ABB BAA ∠=∠= ，设2AB x =，则1BB x =.由余弦定理得：22221112cos 603AB AB BB AB BB x =+-⋅=，22211AB AB BB ∴=+，11AB BB ∴⊥；平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，平面11ABB A 平面111BCC B BB =，1AB ⊂平面11ABB A ，1AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，1AB BC ∴⊥；ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，BC AB ∴⊥，1AB AB A = ，1,AB AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .【小问2详解】由棱台性质知：延长111,,AA BB CC 交于一点P ，1112A B AB =，1114ABC A B C S S ∴= ，1118P ABC P A B C V V --∴=，1118877123P ABC ABC A B C V --∴===；BC ⊥ 平面11ABB A ，即BC ⊥平面PAB ，BC ∴即为三棱锥-P ABC 中，点B 到平面PAB 的距离，由（1）中所设：2AB BC x ==，60PAB PBA ∠=∠= ，PAB ∴ 为等边三角形，2PA PB AB x ∴===，()2311122332233P ABC PAB V S BC x x x -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯==，1x ∴=；2AB BC PA PB ∴====，AC PC ∴==122PACS ∴=⨯= ，设所求点B 到平面11ACC A 的距离为d ，即为点C 到面PAC 的距离，P ABC B PAC V V --= ，1333PAC S d d ∴⋅== ，解得：7d =.即点B 到平面11ACC A 的距离为7.【小问3详解】BC ⊥ 平面11ABB A ，BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PAB ，平面ABC ⋂平面PAB AB=∴取AB 中点N ，在正PAB 中，PN AB ⊥，PN ∴⊥平面ABC ，又PN ⊂平面PNC ，∴平面PNC ⊥平面ABC ．作FE CN ⊥，平面PNC 平面ABC CN =，则FE ⊥平面ABC ，作ED AB ⊥，连接FD ，则ED 即FD 在平面ABC 上的射影，FE ⊥ 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB FE ∴⊥，DE FE E = ，,DE FE ⊂平面DEF ，AB ∴⊥平面DEF ，FD ⊂ 平面DEF ，AB FD ∴⊥，FDE ∴∠即二面角F AB C --的平面角.设FE =，在PCN △中，作PO CN ⊥，FE CN ⊥ ，//PO FE ∴，又FE ⊥平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ，11123223323P ABC ABC V S PO PO -∴=⋅=⨯⨯⨯=，解得：PO =，由（2）知：AC PC ==，OC ∴==，EF CEPO OC =，CE ∴==，CN == ，EN ∴=，//DE BC ，222ENDE BC t CN∴=⋅==-，若存在F 使得二面角F AB C --的大小为π6，则π33tan tan6223FE FDE DE t ∠====-，解得：25t =，15CF CC ∴===<=，∴存在满足题意的点F ，5CF =.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于FE 长度的方程，从而求得结果.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，()*12231111111n n n n b b b b b b b +++++=-∈N .（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n H ，且对任意的()*1,10nn n n H n m a +⎡⎤∈---<⎣⎦N 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2n n a =，n b n =（2）1324m -<<【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，作差结合等比数列定义即可求得2n n a =，当2n ≥时，1223111111n n nb b b b b b b -+++=- ，作差变形得()111n n b b n +-=≥，利用等差数列定义求通项公式即可；（2）先利用错位相减法求得()1122n n H n +=-⋅+，然后把恒成立问题转化为(2)21n n m ⋅-<-恒成立，按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围.【小问1详解】对于数列{}n a ，当1n =时，1122S a =-，解得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，与原式作差可得()12,2n n a a n -=≥，所以{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =；对于数列{}n b ，当1n =时，122111b b b =-，解得22b =，2n ≥时，1223111111n n nb b b b b b b -+++=- ，与原式作差可得()112n n b b n +-=≥，因为211b b -=，所以()111n n b b n +-=≥，所以{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =.【小问2详解】由（1）可知2nn c n =⋅，所以()23122232122n n n H n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以()2341222232122nn n H n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式作差可得()231122222122n n n n H n n ++-=++++-⋅=-⋅- ，所以()1122n n H n +=-⋅+，所以()11122(1)20n n n n n m ++⎡⎤-⋅+---⋅<⎣⎦恒成立，化简得(2)21n nm ⋅-<-.当2,n k k +=∈N 时，112n m <-恒成立，所以34m <，当21,n k k +=-∈N 时，112nm -<-恒成立，所以12m >-.综上可得：1324m -<<.19.如图，在平面直角坐标系中，M 和N 是x 轴上关于原点对称的两个点，过点M 倾斜角为θ的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，且MB NB ⊥．（1）若N 为C 的焦点，求证：cos22θ=-；（2）过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，若2ABH θ∠=，求直线l 的方程．【答案】（1）证明见解析（2）380x -+=．【解析】【分析】（1）将MB NB ⊥转化为0NB MB ⋅=(坐标表示),从而求出点B 的坐标即可解答；或者由MB NB ⊥，可看作B 是以MN 为直径的圆与抛物线2:4C y x =交点，从而求出B 的坐标即可解答；（2）由2ABH θ∠=，易得BHM θ∠=，即BM BH =，所以点B 必在MH 中垂线上，联立直线l 与抛物线方程，再结合MB NB ⊥即可求解.【小问1详解】法一：由题可知，()()1,0,1,0N M -，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2221,4y NB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，2221,4y MB y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为MB NB ⊥，故42221016y NB MB y ⋅=-+= ，解之得，228y =．22114y NB =+=-，2MN =51sin 2NB MN θ==．2cos212sin 2θθ=-=-．法二：由题可知，()()1,0,1,0N M -，设点()22,B x y ，因为MB NB ⊥，故点B 在圆221x y +=上，又因为点B 也在2:4C y x =上，联立221x y +=与24y x =得2410x x -=+．解之得2x =-±．因为0x >，故22x =-故211NB x =+=，2MN =．51sin 2NB MN θ==．2cos212sin 2θθ=-=-．【小问2详解】因为2ABH θ∠=，AMH θ∠=，所以BHM θ∠=，故BM BH =．所以点B 必在MH 中垂线上．方法一：设(),0M m ，直线l 的方程为()y k x m =-，0k >，()()1122,,,A x y B x y ．将()y k x m =-代入24y x=得：()22222240k x k m x k m -++=()2242Δ2440k m k m =+->，212224k m x x k ++=，212x x m =．因为点B 在MH 中垂线上，故212m x x =-．所以()212212x x x x =-，即222112450x x x x +-=，左右两边同时除以21x 得222114510x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：211x x =或2114=x x ，又因为12x x ≠所以124x x =，2224m x =．因为MB NB ⊥，所以0NB MB ⋅= 即()()22220x m x m y -++=．所以243x =，83m =-，1163x =，3k =．所以直线l的方程为833y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即380x -+=．方法二：设(),0M m ，直线l 的方程为x ty m =+，0t >，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭将x ty m =+代入24y x=得：2440y ty m --=2Δ16160t m =+>，124y y t +=，124y y m =-．因为点B 必在MH 中垂线上，且AH MH ⊥,所以点B 为AM 的中点，故122y y =，222y m =-．因为MB NB ⊥，所以0NB MB ⋅= 即222222044y y m m y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以22163y =，83m =-，t =所以直线l 的方程为83x =-．即380x -+=．。