专题10 最优化
例1. 4 提示：原式=1
12
-
62
-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22
+16+3y 2
=142
+4+3是开口向上，对称轴为7
1
-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+
-=+-=21322213222
2b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=21322213222
2b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0
213,b =4
13
,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=413
172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，
4
13
） 例4. （1）
121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（
x .当=4
3时，y 2
取得最大值1，a =1； 当21=
x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2
3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x
BF =AD =2.
10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x
当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有
22
4
===DA EB CA BC , 从而=AC =
3831=AB .故原式取最小值时，=3
8. (3)如图， 原式=
[]
22222
2
2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时
5423=x ，5
4
32=y .
例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--
，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得
0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以
[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为222
3-m a an S ≥）（.
∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.
例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即
20032
)
1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.
（2） 若取⎩⎨⎧=+=-2
22b
a c
b a
c ，则2)1(2
+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3
的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.
A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2
+14． 4．A 提示：原式
=27－(a +b +c )2
． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－
2
+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2
+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，
此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22
=4(m －
34)2+103
4
，由此得12+2
2最小值为10
34，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2
=1②，由①②得ab =12
(1－)，于是
有（a +b )2
=
12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12
k -=0的两实根，由Δ
≥0，得133
k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2
+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=
c
a >0，得1<0，2<0，由Δ=
b 2
－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是
c
a
