2 数列的极限

1 证明 要使 n < 1 + ε , 只要使 ln n < ln(1 + ε ) n 1 ln(1 + ε ) ln(1 + ε ) (不等式的方向错) < 从而由 < n ln n ln 2 ln 2 得 ∀ ε > 0, 取 N = ln(1 + ε ) + 1
n
n→ ∞
n
x3
x1
x 2 x4
xn
势？即
xn
无限趋近于某个确定的数值 能否无限趋近于某个确定的数值? 能否无限趋近于某个确定的数值? 若
这个值等于多少? 能, 这个值等于多少?
高等数学（ 高等数学（上）
例如（ 愈来愈大时, 愈来愈小, 例如（1） 1 ：当 n 愈来愈大时, − 0 愈来愈小,所以 当 n n 无限增大时, 当 n无限增大时, 1 无限趋近于 0 . n n −1 (−1) 愈来愈大时， （2 ） :当 n 愈来愈大时，动点在原点附近跳跃 n (−1)n−1 1 愈来愈小,其无限 变化， 变化，但与原点的距离 − 0 = 愈来愈小, n n 趋于0 趋于0 . （ 3） 2
⇔
lim xn = a
n→∞
1.用倒推法导出希望的条件(不是结果或事实) ； 是从 xn − a < ε 出发导出N 。 2.套极限的用用复述。即：
当 n > N 时, 有
xn − a < ε
高等数学（ 高等数学（上）
放放的放放 :
用极限用用证极限 , ∀ε > 0, 要使 xn − a < ε .
ε − N用用 :
∀ε > 0, ∃N ∈ N + ,当 n > N 时,有 xn − a < ε
⇔
lim xn = a
n→∞
(1)几何解释 几何解释: 注: (1)几何解释:即任意给定 在 {xn } 中总可以找到一项
ε > 0 ,就得到 U (a, ε )
N 项后的所有
xN ,使得
a+ε
而至多有限项落在此邻域外. 项都落在 U (a, ε ) 内,而至多有限项落在此邻域外.
4 从极限
a > b 推知数列
2个
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子数列) 定义 (子数列) 中任意选取无限多项, 在数列 {xn }中任意选取无限多项,按下 标从小到大排成一列, 标从小到大排成一列,记作 则称数列 x nk 的一个子数列. { } 为数列 {x } 的一个子数列. 注意: 注意:在子数列 {x } 中,一般项 x 的下标
加强
4 从极限 lim x n = a > 0 推知数列 ∃r , xn > r 。 n→ ∞
n→ ∞
6个 4 从极限 lim x n = a < 0 推知数列 ∃r , xn < r 。
不等式性Th也是一组命题：
∃N , 当 n > N时, x n > yn 。 4 从数列 ∃N , 当n > N时, xn ≤ yn 推知极限limxn = a ≤ b = lim yn n→∞ n→∞
n→∞
liman = a, limbn = b
n→∞
∃N ∈N+
, 当 n >N时, 恒有 an ≤ bn , 则 >N时
a ≤ b.
注: 若
an < bn ⇒ a < b ?
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保号性Th是一组命题：
4 从极限 lim x n = a > 0 推知数列 ∃N , 当 n > N时, x n > 0 。 n→ ∞ 4 从极限 lim x n = a < 0 推知数列 ∃N , 当 n > N时, x n < 0 。 n→ ∞ 4 从数列 ∃N , 当n > N时, xn ≥ 0 推知极限 lim x n = a ≥ 0 n→ ∞ 4 从数列 ∃N , 当n > N时, xn ≤ 0 推知极限 lim x n = a ≤ 0 n→ ∞
注:(1) 有界是数列收敛的必要条件. (1) 有界是数列收敛的必要条件. 如 1, 0, 1, 0, L 数列若无界, 则一定发散. (2) 数列若无界, 则一定发散. 定理3 保号性） 定理3（保号性）设 0， lim xn = a > 0，则
n →∞
∃N ∈ N + ，当 n > N
注:特别地 ∃r
( −1) ]=1 （2） lim[1 + n→∞ n
( −1) n = 0 （4）设 q < 1, 则 （3） lim 2 n → ∞ ( n + 1)
n (5) lim n = 0 n →∞ 3
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lim q = 0
n n→∞
证: 对于 ∀ε > 0, 要使
n 1 1 Q −1 = < n+1 n+1 n
a −ε
x 2 x1 x N + 1
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2ε
a x N + 2 x3
x
（2） ε 的任意性， N 的相应性. N 只依赖 ε 而变, 的任意性， 的相应性. 而变,
N = N (ε )
.但Ν不唯一. 不唯一.
例 1 利用极限定义 (ε
− N)
证明： 证明：
n
n （1） lim =1 n→ ∞ n + 1
xn − a < ε
都成立, 则称常数 a 是数列 都成立,
{xn } 收敛于 a , 收敛于
n→ ∞
{xn }的极限, 极限,
或称数列
记为
lim xn = a 或 xn → a (n → ∞ )
(*如果数列没极限,就说数列是发散的 (*如果数列没极限,就说数列是发散的) 如果数列没极限 发散
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当 n > N 时，必有 0 < n n < 1 + ε 成立
∴ lim n n = 1
n→ ∞
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b−a 有 xn − a < 2
a +b xn < 2
b−a xn − b < ,即 , ,即 2 a+b < xn 2
矛盾，所以定理得证 矛盾，所以定理得证. 定义: 有界： 定义:数列{xn } 有界
没有固定的变化趋势
有固定的趋势 趋于无穷远
趋于一个定数
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有下列关系: 定义 如果数列 {xn }与常数 a 有下列关系:对任意给 定的正数 于一切 n > N ，不等式 不论它多么小), ),总存在正整数 ε (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得对
a
∴ ∀ε > 0, ∃N > 0, 使 n > N 时, 恒有 x n − a < ε .
取 K = N , 则当 k > K 时, nk ≥ k > K = N 于是
n→ ∞
xnk − a < ε
必要性） 所以 lim xnk = a （必要性）
k →∞
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注：特别地 ，
( −1) = 0 （4）设 q < 1, 则 （3） lim 2 n → ∞ ( n + 1)
n (5) lim n = 0 n →∞ 3
lim q = 0
n n→∞
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nπ sin 2 lim 自己做 用定义证明 n → ∞ 2 n 2 + n + 1 = 0 思考题 指出下列证明lim n n = 1中的错误． 中的错误．
二、数列的定义
数列: 数列 按照某一个法则，对于每一个正整数 n，都对应一个 确用的实数 xn，那么这些 xn按下标从必到放依次排成一个 ， 序列
x1 ,
x2 , L,
xn , L
1 n
称为数列，简记为 {xn } , xn 称为一般项, 或第 n 项。 称为数列， 称为一般项, 数列
∃M > 0, 对于 ∀n ∈ N + , 都有 xn ≤ M
有界, 否则无界。 则称 {xn } 有界, 否则无界。
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有界性) 收敛的数列一定有界. 定理 2 (有界性) 收敛的数列一定有界.
证： 设 limxn = a
n→∞
则对于 即有
ε = 1 , ∃N∈N+ ,当 n> N 时有 xn − a < 1 >
n
的函数： 的函数：
xn = f (n)
(2)从几何上来看， (2)从几何上来看，数列可看作是数轴上的一串 从几何上来看 动点. 动点. x 1 , x 2 , L , x n , L . 对数列要讨论的重要问题是: 对数列要讨论的重要问题是:当 n 无限增大 重要问题是 时 ( n → ∞ ) ,对应的 x 是否会有一个确定的变化趋
lim xn = a ⇔ lim x2 k = lim x2 k −1 = a
n →∞ k →∞ k →∞
1 , n奇 n ：（1 发散， 如：（1）证明 {xn } 发散，其中 xn = n , n偶 n +1
（2）证明
nπ 发散. lim(sin ) 发散. n→∞ 4
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第二节
一、概念的引入
割圆术： 割圆术： 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
数列极限的定义
R
LL
LL
正 6 × 2 n −1 形的面积 An