2019届吉林省高中高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。

【详解】由题意，根据复数的运算，故选A 。

【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力. 2.已知集合，，则（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，， 所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 3. （ ）A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。

【详解】由题意，可得，又由，∴，又，故的方程为，故选C。

【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. -3C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。

2019届高三上学期期末数学理科试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. (2 + V2i)(l-V2i)=( )A. 4-V2iB. -V2iC. 4 + V2iD. V2i2. 已知集合/1 = {X |X 2-3X -10<0}, B = {X \3-X <0}9 则AuB=( )3.1 - 2sin 267.5° = ( )4.双曲线c ：若-扫=l@>0,b>0）的左焦点为（-3,0）,且C 的离心率为I ，贝IJC 的方程为（） A."】B ・H C ・—D ・H5.曲线y = xlnx + 2/在点p （i,2）处的切线/与两坐标轴围成的三角形的面积是（）5% + 4y — 6 > 66.设x,y 满足约束条件2% - y - 5 < 0，贝ljz = y-x 的最小值为()X + 6y — 22 S 0A. 3B. —3C.-6D. 67.函数/（%） = 的图像大致为（ ） A. {x| - 2 < x < 3} B. (x\x > -2} C. {%|3<x<5} D. [x\x > -5}B.乎 D.- V32A.寻B. |C. 2D.8•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）9•中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3,圆中弓形面积为 fa@ + c) (c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差)・”据此计算，己知一个圆中弓形所 对应的弦长c = 6, a = l,质点M 随机投入此圆中，则质点M 落在该弓形内的概率为()11•设log 23 = a, log 215 = b,贝Mog 辺9岛=( )12.已知函数/(%) = 2sin(or + 0)(0 < co < 6,\(p\ V f)的图像经过点(f, 2)和(芋,-2).若函数^(x)=f(x)-m 在区间［-中,0］上有唯一零点，则m 的取值范围是()A. (-1,1]B. {-1} U (-雳]C. [-2,1)D. {-2} U (71]二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13•已知向量5的夹角为0, 口|5| = 2, |b|=V3, a-b = 3,贝的= ___________________________ •14.在空间直角坐标系0-尢yz 中,4(12-1), 8(0,1,2),则异面直线0力与BC 所成角的余弦值为 _____________ . A - i B ・点 C.盒 10.已知在2L4EC 中，角4,ZL4BC 面积的最大值是( B, C 的对边分别是a, b, c,若a = l,且b 2 + c 2 = 1 - abc,则 )°? A •弓B? C.巻 A. 3a+b2b-a 2a+b 2b-a c. 3a+b 2a-b D. 2a+b2a-b15•已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从屮选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有________________ ・(请用数字作答)16•已知椭圆C浮+护=1,设过点P(2,0)的直线2与椭圆C交于4, B两点，且"0B为钝角(其中0为三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分17•在递增的等比数列％｝中，a2 = 6,且4(a3 - a2) = a4 - 6.(1)求S訂的通项公式；(2)若b n = a n + 2n-l,求数列｛b“｝的前n项和S n.18.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的吋代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30), [30,40),…,[70,80),,并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从年龄在[20,30), [30,40), [40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示年龄在[30,40)内的人数，求X的分布列和数学期望；(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)的概率为P(X = k)(k = 0,1,2，…,20).当P(X = k)最大时,求上的值.19.如图，在直三棱柱ABC -中，AB = 2, AC = 19 CC严也,^ABC = 30°, D为AB的中点.“频率/组距0.0350.0250.0200.010.0100.005 ••…彩° 20 30 40 5060 70 80（1）证明：AC. ||平面B/D；（2）求直线DC】与平面B]CD所成角的正弦值.20.在直角坐标系xOy中，直线y = kx-2与抛物线C:x2 = -y相交于力，B两点.（1）若OA-OB = k9求\AB\-（2）若点M的坐标为（3,2）,且\MA\ = \MB\，证明：—1V/C V—£21 .已知函数/"（兀）=|%2一（a + 2）x + 2alnx 一2, °（尢）=- %2 + 4a - 10e2一3.（1）当X e [2,e2]时，求几尢）的最小值;（2）当a ＞弗时，若存在尢1 G [2,e2],使得对任意的x? G [0,4-oo）,都有/*（帀）＜ ^（%2）恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分•请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系兀Oy中，曲线G的参数方程为囂，（°为参数），以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin g- = y・（1）求曲线G，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C】，C2是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不想交，请说明理由・・23.B知I函数= |尢 + 2a\ + \x- a\.(1)当Q = 1时，求不等式/(%)>4-|x + 2|的解集；(2)设a > 0, b > 0,且fO)的最小值为t・若t + 3b = 3,求十+彳的最小值.【解析卷】2019届高三上学期期末数学理科试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.(2 + V2i)(l-V2i)=( )A. 4 - V2iB. -V2iC. 4 + V2iD. V2i【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。

2019年高三上学期期末考试数学理试题含答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或82．“”是“”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A) (B) (C) (D)4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) (B) (C) 1 (D) 25．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表开始S=0, n=0输出Sn=n+1 n>4?否是示不超过x 的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（ ）(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) -，1 8．已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) 都有f(m+3)>0 (B) 都有f(m+3)<0 (C) 使得f(m 0+3)=0 (D) 使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．已知直线y=x+b 与平面区域C:的边界交于A ，B 两点，若|AB|≥2，则b 的取值范围是________.11．是分别经过A(1,1)，B(0, 1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. 13．已知中，AB=，BC=1，sinC=cosC ，则的面积为______．14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．， ，， …（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值. 19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求、的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．丰台区xx ～xx 第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)； 13．； 14． (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）A===，..………………………..……3分B={|2,2}{|4}xy y a xy a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分 ∴或， …………………………………………………………...11分 ∴或，即的取值范围是．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，， ． ………………………………………………………2分∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………………3分∵的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分∴==+=．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=||=||, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分 ∴，∴．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分 ∴=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-． ………………………………… 13分 17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． （Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小． 解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，PD AB ． …………………………….5分 ，BC AB ，DE AB ． .... .......................................................................................................6分 又 ，AB 平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，ABPE ． ..........................................................................................................9分C_B（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．................................................................................................10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,=(1,0, )，=(0, , ）．设平面PBE的法向量，0,30,2xy⎧-=⎪⎨=⎪⎩令得．............................11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为．………………….......................................12分设二面角的大小为，由图知，121212||1cos cos,2n nn nn nθ⋅=<>==⋅，所以即二面角的大小为．..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x ae++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x xx xax b e ax bx c e ax a b x b cf xe e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-，因为，所以的零点就是2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即，………………………4分当时,g(x)<0 ,即，…………………………………………6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得， …………………………………………………………11分 所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， 为函数的极大值, …………………………………………………12分 在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分 而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：（Ⅰ）设C 1的方程为,C 2的方程为,其中．..2分 C 1 ,C 2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分 C 2的方程为．当m=时，A,C ． .………………………………………….5分 又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分 C 1 ,C 2的方程分别为，．………………………………….7分 （Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN,,1m =． …………………………………….11分，∴，． ………………………………………12分，∴，∴．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求，的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，即点A 1的坐标为（2，2），进而得．…..3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分 和均在曲线上，， ，代入（*）式得，， ………………………………………………………..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为()． ……………………………………………....8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，， ……………………………………………………9分 ，．11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nn i n ni c +=-=+++==--∑． ……………………….11分 （方法一）-=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nn n n n n n n ++---=-=+++．当n=1时不符合题意， 当n=2时，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（） 观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边, 对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分 （方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n ．()012323211...1...nn n nn n n n n n n nC C C C C n C C C =+=+++++=+++++， 并且，当时，.25303 62D7 拗36828 8FDC 远 29322 728A 犊M [21731 54E3 哣20030 4E3E 举-33425 8291 芑3_。

2018-2019学年吉林省高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．＝（）A．B．C．D．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|3﹣x≤0}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2≤x≤3}B．{x|x≥﹣2}C．{x|3≤x≤5}D．{x|x≥﹣5}3．1﹣2sin267.5°＝（）A．B．C．D．4．双曲线的左焦点为（﹣3，0），且C的离心率为，则C的方程为（）A．B．C．D．5．曲线y＝xlnx+2x3在点P（1，2）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．2D．6．设x，y满足约束条件，则z＝y﹣x的最小值为（）A．3B．﹣3C．﹣6D．67．函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．80+12πB．80+13.5πC．59+13.5πD．59+12π9．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（c为弦长，a为半径长与圆心到弦的距离之差）．”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长c＝6，a＝1，质点M随机投入此圆中，则质点M落在该弓形内的概率为（）A．B．C．D．10．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝1，且b2+c2＝1﹣abc，则△ABC 面积的最大值是（）A．B．C．D．11．设log23＝a，log215＝b，则＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象经过点和．若函数g（x）＝f（x）﹣m在区间上有唯一零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．C．[﹣2，1）D．{﹣2}∪（﹣1，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，的夹角为θ，且，，，则θ＝．14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（1，2，﹣1），B（0，1，2），C（1，1，1），则异面直线OA与BC所成角的余弦值为．15．已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有．（请用数字作答）16．已知椭圆，设过点P（2，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在递增的等比数列{a n}中，a2＝6，且4（a3﹣a2）＝a4﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）2018年是中国改革开放的第40周年．为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30），[30，40），…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在[20，30），[30，40），[40，50）内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30，40）内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…，20）．当P（X＝k）最大时，求k 的值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AC＝1，，∠ABC＝30°，D 为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣y相交于A，B两点．（1）若，求|AB|；（2）若点M的坐标为（3，2），且|MA|＝|MB|，证明：．21．（12分）已知函数，g（x）＝e x﹣x2+4a﹣10e2﹣3．（1）当x∈[2，e2]时，求f（x）的最小值；（2）当a≥e2时，若存在，使得对任意的x2∈[0，+∞），都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求a的取值范围．选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.)22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（2）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值为t．若t+3b＝3，求的最小值．2018-2019学年吉林省高中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝2+2+．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|3﹣x≤0}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2≤x≤3}B．{x|x≥﹣2}C．{x|3≤x≤5}D．{x|x≥﹣5}【分析】可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|x≥3}；∴A∪B＝{x|x≥﹣2}．故选：B．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．3．1﹣2sin267.5°＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用二倍角公式，转化求解即可．【解答】解：．故选：C．【点评】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．4．双曲线的左焦点为（﹣3，0），且C的离心率为，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的焦点坐标求出c，离心率求出a，然后求解b，即可得到双曲线方程．【解答】解：的左焦点为（﹣3，0），可得c＝3，且C的离心率为，所以a＝2，则b＝＝．所以双曲线方程为：．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．5．曲线y＝xlnx+2x3在点P（1，2）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．2D．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，得到切线方程，然后转化求解三角形的面积．【解答】解：因为y＝xlnx+2x3，所以y′＝lnx+1+6x2，所以在点P（1，2）处的切线斜率k为7，切线l的方程为y﹣2＝7（x﹣1），即y＝7x﹣5，在x，y轴上的截距分别为和﹣5，所以l与坐标轴围成的三角形面积．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．6．设x，y满足约束条件，则z＝y﹣x的最小值为（）A．3B．﹣3C．﹣6D．6【分析】画出可行域，结合图形，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：画出x，y满足约束条件的可行域，如图，由图可知，当直线z＝y﹣x过点A（2，﹣1）时，z取得最小值﹣3．故选：B．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．7．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：当x＝0时，f（0）＝＝，当x＝1时，f（1）＝0，故排除A，由于f（x）≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f（x）→1，故排除D，故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．80+12πB．80+13.5πC．59+13.5πD．59+12π【分析】由三视图知该几何体是长方体与半圆柱体的组合体，结合图形求出该组合体的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是长方体与半圆柱体的组合体，如图所示；则该组合体的表面积为S ＝S 半圆柱侧+S 半圆柱底+S 长方体﹣S 重合＝π•3•1.5+π•32+2（6×5.5+6×1+5.5×1）﹣6×1.5 ＝13.5π+80． 故选：B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．9．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差）．”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长c ＝6，a ＝1，质点M 随机投入此圆中，则质点M 落在该弓形内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由即时定义可知：弓形的面积．由勾股定理及圆的面积公式可得：圆的面积，由几何概型中的面积型问题得：质点落在弓形内的概率为．【解答】解：由题意已知一个圆中弓形所对应的弦长c ＝6，a ＝1，且圆中弓形面积为，可求得：弓形的面积．设圆的半径为r ，则r 2＝（r ﹣1）2+32，解得r ＝5，所以圆的面积，由几何概型中的面积型得：即质点落在弓形内的概率为．故选：C ．【点评】本题考查几何概型中的面积型问题、数据处理能力及阅读理解能力，属简单题． 10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝1，且b 2+c 2＝1﹣abc ，则△ABC面积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理可求cos A，结合A的范围可求A，根据余弦定理，基本不等式可求bc 的最大值，根据三角形面积公式即可解得△ABC面积的最大值．【解答】解：由题意得：＝，由A∈（0，π），故，由余弦定理，得：＝b2+c2+bc≥3bc，所以，当且仅当b＝c时取等号，所以，当且仅当b＝c时取等号．故选：C．【点评】本题考查正、余弦定理的应用，考查化归与转化的数学思想，属于基础题．11．设log23＝a，log215＝b，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用对数的定义、性质、运算法则直接求解．【解答】解：依题意，可得log25＝b﹣a，则＝．故选：A．【点评】本题考查指数、对数的化简求值，考查指数、对数的定义、性质、运算法则函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象经过点和．若函数g（x）＝f（x）﹣m在区间上有唯一零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．C．[﹣2，1）D．{﹣2}∪（﹣1，1]【分析】利用条件求出函数的解析式，结合函数零点与图象之间的关系进行求解即可．【解答】解：由题意得，k∈N，得，故，因为0＜ω＜6，k∈N，所以ω＝2．由，得，因为，故，所以，从而当时，，令，则由题意得2sin t﹣m＝0在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得m∈{﹣2}∪（﹣1，1]．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象与性质以及函数零点问题，考查推理论证能力．根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，的夹角为θ，且，，，则θ＝．【分析】由题意求出cosθ，再结合0≤θ≤π，得θ＝．【解答】解：∵cosθ＝＝＝，又0≤θ≤π，∴θ＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（1，2，﹣1），B（0，1，2），C（1，1，1），则异面直线OA与BC所成角的余弦值为．【分析】求出，，由此能求出异面直线OA与BC所成角的余弦值．【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（1，2，﹣1），B（0，1，2），C（1，1，1），，，所以．故异面直线OA与BC所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查空间向量与异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．15．已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有16．（请用数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4个球为1个排球、1个足球、2个篮球，②，选出的4个球为1个排球、2个足球、1个篮球，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4个球为1个排球、1个足球、2个篮球，有种选法；②，选出的4个球为1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，则一共有16种选法；故答案为：16．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16．已知椭圆，设过点P（2，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【分析】设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理结合∠AOB为钝角，列出不等式求解即可．【解答】解：设直线l：y＝k（x﹣2）（k≠0），代入，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，因为直线l与C交于不同的两点A，B，所以△＝64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得且k≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，＝，因为∠AOB为钝角，所以，解得，k≠0．综上所述：．故答案为：．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在递增的等比数列{a n}中，a2＝6，且4（a3﹣a2）＝a4﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用已知条件求出公比与首项，然后求解通项公式．（2）利用递推关系式，结合拆项法求解数列的和即可．【解答】解：（1）设公比为q，由4（a3﹣a2）＝a4﹣6，得4（6q﹣6）＝6q2﹣6，化简得q2﹣4q+3＝0，解得q＝3或q＝1，因为等比数列{a n}是递增的，所以q＝3，a1＝2，所以．（2）由（1）得，所以+（1+3+5+…+2n﹣1），则，所以．【点评】本题考查数列求和，等比数列以及等差数列的性质的应用，考查计算能力．18．（12分）2018年是中国改革开放的第40周年．为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30），[30，40），…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在[20，30），[30，40），[40，50）内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30，40）内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…，20）．当P（X＝k）最大时，求k 的值．【分析】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，求出年龄段的人数，得到X的可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望．（2）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为X，X服从二项分布．得到X～B（20，0.35），通过（k＝0，1，2，…，20）．设，然后求解即可．【解答】解：（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[20，30）内的人数为人，年龄在[30，40）内的人数为人，年龄在[40，50）内的人数为人．所以X的可能取值为0，1，2，所以，，，所以X的分布列为．（2）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为X，X服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30，50）内的频率为（0.010+0.025）×10＝0.35，所以X～B（20，0.35），所以（k＝0，1，2，…，20）．设＝＝，若t＞1，则k＜7.35，P（X＝k﹣1）＜P（X＝k）；若t＜1，则k＞7.35，P（X＝k﹣1）＞P（X＝k）．所以当k＝7时，P（X＝k）最大，即当P（X＝k）最大时，k＝7．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AC＝1，，∠ABC＝30°，D 为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值．【分析】（1）连接BC1交B1C于点E，连接DE，证明DE∥AC1．然后证明AC1∥平面B1CD．（2）以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，直线DC1与平面B1CD所成角为θ，求出平面B1CD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是矩形，所以点E是BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．（2）解：由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC，分别以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则有C（0，0，0），，，，所以，，，设直线DC1与平面B1CD所成角为θ，平面B1CD的法向量为，则，即，令z＝1，得，所以＝＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣y相交于A，B两点．（1）若，求|AB|；（2）若点M的坐标为（3，2），且|MA|＝|MB|，证明：．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2+kx﹣2＝0，通过韦达定理以及斜率的数量积，结合弦长公式求解即可．（2）设线段AB的中点为N（x0，y0），通过弦长公式，以及考查关系，利用函数的单调性，转化求解即可．【解答】（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2+kx﹣2＝0，则x1x2＝﹣2，，从而．故k＝2，x1+x2＝﹣2，．（2）证明：设线段AB的中点为N（x0，y0），∵x1+x2＝﹣k，∴，．∵|MA|＝|MB|，∴MN⊥AB，则，即k3+9k+6＝0．设f（x）＝x3+9x+6，则f（x）是增函数，f（k）＝0，且f（﹣1）＜0，，故．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知函数，g（x）＝e x﹣x2+4a﹣10e2﹣3．（1）当x∈[2，e2]时，求f（x）的最小值；（2）当a≥e2时，若存在，使得对任意的x2∈[0，+∞），都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）问题转化为f（x）min≤g（x）min．根据函数的单调性求出g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）因为f（x）的定义域为（0，+∞），＝．①当a≤2时，因为x≥2≥a，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，e2]上为增函数，f（x）min＝f（2）＝2aln2﹣2a﹣4；②当2＜a＜e2时，f（x）在[2，a]上为减函数，在[a，e2]上为增函数，；③当a≥e2时，f（x）在[2，e2]上为减函数，＝．（2）当a≥e2时，若存在，使得对任意的x2∈[0，+∞）都有f（x1）≤g（x2）恒成立，则f（x）min≤g（x）min．由（1）知，当a≥e2时，＝．因为g′（x）＝e x﹣2x，令h（x）＝g′（x）＝e x﹣2x，则h′（x）＝e x﹣2，令h′（x）＞0，得x＞ln2；令h′（x）＜0，得x＜ln2，所以g′（x）＝e x﹣2x在[0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，g′（x）≥g′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增．所以，则，解得，又a≥e2，，所以，即实数a的取值范围是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.)22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由．【分析】（1）在曲线C1的参数方程中消去参数α，可得出曲线C1的普通方程，将曲线C2的极坐标方程展开，利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可求出曲线C2的直角坐标方程；（2）由曲线C2与x轴的交点在曲线C1内部，可判断出这两曲线相交，然后将两曲线的直角坐标方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出两交点间的距离．【解答】解：（1）将，消去参数，得曲线C1的直角坐标方程为，将展开整理，得，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C2的直角坐标方程为．（2）由（1）知曲线C2是过定点的直线，因为点在曲线C1的内部，所以曲线C1与曲线C2相交．将代入并整理，得7y2+6y﹣1＝0，设曲线C1，C2的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故曲线C1，C2两交点间的距离．【点评】本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，解决本题的关键在于选择合适的方法求解，属于中等题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（2）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值为t．若t+3b＝3，求的最小值．【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝1，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，原不等式可化为2|x+2|+|x﹣1|≥4，①当x≤﹣2时，不等式①可化为﹣2x﹣4﹣x+1≥4，解得，此时；当﹣2＜x＜1时，不等式①可化为2x+4﹣x+1≥4，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；当x≥1时，不等式①可化为2x+4+x﹣1≥4，解得，此时x≥1，综上，原不等式的解集为．（2）由题意得，f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|≥|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3a，因为f（x）的最小值为t，所以t＝3a，由3a+3b＝3，得a+b＝1，所以＝，当且仅当，即，时，的最小值为．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

吉林省吉林市2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·茂名模拟) 已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A . （0，2]B . （0，2）C . [0，2]D . [2，+∞）2. （2分）若则的值是（）A . 1B . 0C .D .3. （2分）已知sin α= ，α∈（π，），则tan 等于（）A . －2B .C . 或2D . －2或4. （2分）(2017·天心模拟) 给出下列四个命题：①回归直线恒过样本中心点；②“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“对∀x∈R，均有x2+2x+3＞0”；④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”也是真命题．其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·重庆模拟) 如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有（）A . 8种B . 12种C . 16种D . 20种7. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 若，满足约束条件，则的范围是（）A .B .C .D .8. （2分）如图程序图输出的结果是（）A . 2，1B . 2，2C . 1，2D . 1，19. （2分） (2017高一上·昌平期末) 如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A . ω= ，A=3B . ω= ，A=5C . ω= ，A=5D . ω= ，A=310. （2分）下列关于几何概型的说法中，错误的是（）A . 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B . 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C . 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D . 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性11. （2分）(2013·安徽理) 在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A . θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B . θ= （ρ∈R）和ρcosθ=2C . θ= （ρ∈R）和ρcosθ=1D . θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=112. （2分）若方程x2-ax+4=0在[1，4]上有实数解，则实数a的取值范围是（）A . [4，5]B . [3，5]C . [3，4]D . [4，6]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·枣庄模拟) （x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为________．14. （1分）(2016·潍坊模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．15. （1分） (2016高二上·沙坪坝期中) 椭圆与双曲线有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ，则3e12+e22的最小值为________．16. （1分） (2018高一下·伊通期末) 在四边形中，，且，则四边形是________．三、解答题 (共8题；共75分)17. （15分）(2018·门头沟模拟) 在等差数列中，为其前和，若。

吉林吉林2019高三上年末考试--数学（理）数学(理科)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟.本卷须知1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上；2、答案请使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚；3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=， 其中x为样本的平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式Sh V = 24RS π=，334R V π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径第一卷【一】选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、集合}1{>=x x A ，那么（R A N ）的子集有A.1个B.2个C.4个D.8个2、α是第四象限角，且53sin -=α，那么=αtanA.43B.43-C.34D.34- 3、以下函数中，在区间〔0,1〕上为增函数的是A.xy 21log = B.xy 1=C.x y sin =D.x x y -=24、圆0622=-+x y x 过点〔4,2〕的最短弦所在直线的斜率为A.2B.- 2C.21D.1- 5、一个正方体的展开图如下图，A 、B 、C 、D 为原正方体的 顶点，那么在原来的正方体中A.CD AB //B. AB 与CD 相交C.CD AB ⊥D. AB 与CD 所成的角为 606、某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350 分到650分之间的10000名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的 频率分布直方图〔如右图〕、为了进一步 分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，那么总成绩在［400，500〕内共抽出A. 100 人B. 90人C. 65人D. 50人 7、执行如下图的程序框图，输出的M 的值为A.17B.53C.161D.4858、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x都有)4()(+=x f x f ，当），（20∈x 时，x x f 2)(=， 那么)2011()2012(f f -的值为 A.2 B.2-C.21D.21- 9、为了得到函数21cos sin 3cos 2--=x x x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象A.向左平移6π个长度单位B.向右平移6π个长度单位C.向左平移3π个长度单位D.向右平移3π个长度单位10、函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间），（11-内， 那么实数a 的取值范围是A 、〔0，2]B 、〔0，2〕C. [3，2〕D.），（23①函数x y -=10和函数x y 10=的图象关于x 轴对称； ②所有幂函数的图象都经过点〔1，1〕；③曲线2x y =与x y =2所围成的图形的面积是31；④假设}{n a 是首项大于零．．．．．的等比数列，那么“21a a <”是“数列}{n a 是递增数列”的充要条件.其中真命题的个数有A.1B.2C.3D.412、过抛物线x y 4C 2=：的焦点F 的直线l 交抛物线C 于Q P 、两点，假设点P 关于x 轴对称的点为M ，那么直线QM 的方程可能为 A.0323=++y x B.0653=+-y xC.0432=++y xD.012=+-y x第二卷【二】填空题：本大题共4个小题,每题5分。

吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学试卷（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。

【详解】由题意，根据复数的运算，故选A。

【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。

部分高中2019届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）.1.已知全集U=R，集合，则A∩（UB）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，求得，由此求得.【详解】由可得，x＞-1，∴集合A={x|x＞-1}，由log3x＜1可得0＜x＜3，∴，那么：A∩（）={x|或x≥3}.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以，得虚部为1，故选B.考点：复数的代数运算3.已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】条件因为，而关于的不等式有解，所以，条件为减函数，所以，解得，所以成立是成立的必要不充分条件.4.已知函数f（x），若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】A【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出，在代入函数的解析式，即可求出的值．【详解】∵的终边经过点，∴，∴，∴.故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及分段函数求函数值，是基础题．5.若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】A【解析】【分析】先根据，，判断出；然后再根据等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵，∴和异号；∵，，有等差数列的性质可知，等差数列的公差，当时，；当时，；又，，由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，，即，所以，选D.【点睛】双曲线（，）的渐近线方程为．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点．当时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当时，直线与抛物线相离，没有交点．7.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：广告2费用销售26额根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（）万元A. 65.5B. 66.6C. 67.7D. 72【答案】A【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，，故选A.8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==．故选B．【点睛】本题考查概率求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为而球体的体积为 .故组合体的体积为故选D10.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【详解】由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故答案为：B【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是11.已知椭圆和双曲线有共同焦点，，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：，解出．利用余弦定理化简可得关于的关系，再由基本不等式求得的最小值．【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，设，则，．，化为：．∴，∴所以，当且仅当时，取等号，则的最小值是：．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).13.已知实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：约束条件所表示平面区域为如下图所示的三角形区域，当目标函数经过可行域中的点时，有最小值，即，所以应填.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.14.已知，则二项式的展开式中的系数为_______.【答案】﹣160【解析】【分析】根据定积分计算，可求出，然后再利用二项式的展开公式可得通项公式，令，即可求出展开式中的系数.【详解】因为，则二项式的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15.从名志愿者中选出人，分别参加两项公益活动，每项活动至少有人，则不同安排方案的种数为_______.（用数字作答）【答案】70【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：第一步：从5名志愿者中选出4人，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步：从名志愿者中选出人，有种选法，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况，则有种不同的安排方案.故答案为：．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，属于基础题．16.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，()，().考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.其中正确的是_______.【答案】①③④【解析】【分析】在已知等式中取，得，取，得，可判断①是否正确；用特例：，可判断②是否正确；利用题意得，求出和，由等差、等比数列的定义判断③④．【详解】由，取，可得；取，可得，∴，故①正确；∵，∴，则，∴不是偶函数，故②错误；∵，∴，∴，，则数列为等差数列，数列为等比数列，故③④正确.∴其中正确的是①③④.故答案为：①③④.【点睛】本题考查数列与抽象函数的综合运用，考查抽象函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项公式的特点，属于中档题．三.解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意可知，由正弦定理边化角整理可得，据此可知，.（2）由题意结合余弦定理整理计算可得，结合三角形的面积公式可得.【详解】（1）∵，，成等差数列,∴，由正弦定理，，，为外接圆的半径，代入上式得：，即.又，∴，即.而，∴，由，得.（2）∵，∴，又，，∴，即，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.如图1，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示），（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2），【解析】分析】（1）设，先利用线面垂直的判定定理证明即为三棱锥的高，再将三棱锥的体积表示为的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出点坐标，从而确定点位置，再求平面的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【详解】(1)设，则∵折起前，∴折起后∴平面∴设，∵，∴在上为增函数，在上为减函数∴当时，函数取最大值∴当时，三棱锥的体积最大；(2)以为原点，建立如图直角坐标系，由(1)知，三棱锥的体积最大时，,∴,且设，则∵，∴即，∴，∴,∴当时，设平面的一个法向量为，由及得，取设与平面所成角为，则，∴∴与平面所成角的大小为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题.19.设分别是椭圆的左、右焦点．(1)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设出点P的坐标，向量坐标化得到的表达式，进而得到最值；（2）为锐角即，设出点AB的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x1x2＋y1y2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果.【详解】(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则＋y2＝1，且－2≤x≤2．所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；当x＝±2，即P(±2，0)时，(·)max＝1．(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx＋2，由消去y，化简整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，又∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，所以＜k2＜4，即k∈．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.2018年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为12月13﹣12月16日，在男子单打项目，中国队准备选派4人参加.已知国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.（1）求恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率；（2）设随机变量X表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求X的分布列；（3）男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在每局比赛中，林高远获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，前两局比赛双方各胜一局，且各局比赛的结果相互独立，求林高远获得男子单打冠军的概率.【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）【解析】【分析】（1）国家一线队共6名队员，二线队共4名队员．选派4人参加比赛，基本事件总数，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，由此能求出恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率．（2）的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）分别求出获胜、获胜、获胜的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出林高远获得冠军的概率．【详解】(1)国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.选派4人参加比赛，基本事件总数，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，∴恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率p. (2)的取值为0，1，2，3，4，，，，，，∴X的分布列为：(3)获胜的概率，获胜的概率，获胜的概率，所以林高远获得冠军的概率为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数.（1）当，求函数的极值；（2）当时，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，求的取值范围.【答案】（1）极大值为；（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极值；（2）结合直线的斜率公式可转化为函数的恒成立，结合导数可求．【详解】(1)定义域为，1，，由可得，∴函数在上单调递增，在单调递减；∴的极大值为，(2)设，不妨设，，所以，又，又，在定义域内恒成立，又,所以,所以5，，即，构造函数，所以，所以在上恒成立，又,所以恒成立，又,只需要，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的的极值及导数几何意义的应用，属于中档试题．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【答案】(1)(2)12【解析】试题分析：（1）利用消元，将参数方程和极坐标方程化为普通方程；（2）利用弦长公式求|AB|的长度，利用点到直线的距离公式求AB上的高，然后求三角形面积试题解析：(1)由曲线C极坐标方程得,所以曲线C的直角坐标方程是.由直线l的参数方程，得，代入中，消去t得，所以直线l的普通方程为.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，设A，B两点对应的参数分别为.则＝8，＝7，所以|AB|＝||＝×＝6，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12点睛：(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)．23.已知函数f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)＜0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a2＋恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|2＜x＜6}（2）(1，＋∞)【解析】试题分析：（Ⅰ）将a的值带入f（x），原不等式等价于﹣x＜x －3＜x，解之即可；（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a 的范围即可．试题解析：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－x，即|x－3|－x＜0，原不等式等价于－＜x－3＜，解得2＜x＜6，故不等式的解集为{x|2＜x＜6}．(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，原不等式等价于|x－a|－|x|＜a2，由绝对值三角不等式的性质，得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，原不等式等价于|a|＜a2，又a＞0，∴a＜a2，解得a＞1.∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.部分高中2019届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）.1.已知全集U=R，集合，则A∩（UB）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，求得，由此求得.【详解】由可得，x＞-1，∴集合A={x|x＞-1}，由log3x＜1可得0＜x＜3，∴，那么：A∩（）={x|或x≥3}.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以，得虚部为1，故选B.考点：复数的代数运算3.已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】条件因为，而关于的不等式有解，所以，条件为减函数，所以，解得，所以成立是成立的必要不充分条件.4.已知函数f（x），若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】A【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出，在代入函数的解析式，即可求出的值．【详解】∵的终边经过点，∴，∴，∴.故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及分段函数求函数值，是基础题．5.若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】A【解析】【分析】先根据，，判断出；然后再根据等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵，∴和异号；∵，，有等差数列的性质可知，等差数列的公差，当时，；当时，；又，，由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，，即，所以，选D.【点睛】双曲线（，）的渐近线方程为．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点．当时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当时，直线与抛物线相离，没有交点．7.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：广告费用2销售额26根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（）万元A. 65.5B. 66.6C. 67.7D. 72【答案】A【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，，故选A.8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==．故选B．【点睛】本题考查概率求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为而球体的体积为 .故组合体的体积为故选D10.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【详解】由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故答案为：B【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是11.已知椭圆和双曲线有共同焦点，，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：，解出．利用余弦定理化简可得关于的关系，再由基本不等式求得的最小值．【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，设，则，．，化为：．∴，∴所以，当且仅当时，取等号，则的最小值是：．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).13.已知实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：约束条件所表示平面区域为如下图所示的三角形区域，当目标函数经过可行域中的点时，有最小值，即，所以应填.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.14.已知，则二项式的展开式中的系数为_______.【答案】﹣160【解析】【分析】根据定积分计算，可求出，然后再利用二项式的展开公式可得通项公式，令，即可求出展开式中的系数.【详解】因为，则二项式的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15.从名志愿者中选出人，分别参加两项公益活动，每项活动至少有人，则不同安排方案的种数为_______.（用数字作答）【答案】70【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：第一步：从5名志愿者中选出4人，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步：从名志愿者中选出人，有种选法，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况，则有种不同的安排方案.故答案为：．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，属于基础题．16.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，()，().考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.其中正确的是_______.【答案】①③④【解析】【分析】在已知等式中取，得，取，得，可判断①是否正确；用特例：，可判断②是否正确；利用题意得，求出和，由等差、等比数列的定义判断③④．【详解】由，取，可得；取，可得，∴，故①正确；∵，∴，则，∴不是偶函数，故②错误；∵，∴，。

长春市实验中学2018-2019学年上学期期末考试高三数学试卷（理）一选择题：在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合, ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中函数的值域y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到y≥0，即A＝{y| y≥0}，由B中，x，即B＝{x| x}，则A∩B＝{x| x}，故选：C．【点睛】本题考查了交集的运算及函数定义域和值域的求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由于z为纯虚数，,.3.函数的递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t（x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，故本题即求二次函数t（x）在y=上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在y=上的增区间为，故选：C．点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若,，则则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：对于①，，，由线面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，，，，则与平行或异面，故②错误；对于③，，，，由线面垂直的判定定理得，故③正确；对于④，若，，，则与相交或平行，故④错误．故选B.5.下列判断中正确的是（）A. “若，则有实数根”的逆否命题是假命题B. “”是“直线与直线平行”的充要条件C. 命题“”是真命题D. 已知命题，使得；命题，则是真命题.【答案】D【解析】A,根据有实数根的等价条件，判断A是否正确；B,根据“直线与直线平行” 的充要条件是或，判断B；C, 根据sin x+cos x，判断C；D,先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出结果．【详解】对于A,∵有实数根,∴△＝1+4×m，∴m，∴若，则有实数根是正确的，所以逆否命题是正确的，故A错误；对于B, “直线与直线平行” 的充要条件是或，∴“”是“或”的充分不必要条件，故B错误；对于C,∵sin x+cos x sin（x），∴命题“”为假命题，故C错误；对于D，∵﹣1≤cos x≤1，∴lg cos x≤0，∴命题p为假命题，命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，∴是真命题，故D正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了命题的否定命题，考查了充要条件的判断，涉及三角函数的值域问题、平面上两直线间的位置关系判断及一元二次方程根的情况的判断等知识，解答时要细心，属于综合题. 6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】数列{b n}为“凸数列”，b n+1＝b n+b n+2，b1＝1，b2＝﹣2，可得：b3＝﹣3，进而得到b4，b5，b6，b7，b8，…，所以发现b n+6＝b n．即可得出．【详解】∵数列{b n}为“凸数列”，∴b n+1＝b n+b n+2，∵b1＝1，b2＝﹣2，∴﹣2＝1+b3，解得b3＝﹣3，同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，∴b n+6＝b n．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，∴数列{b n}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，故选：C．【点睛】本题考查了递推关系的应用、新定义、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若向量满足，则与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可求得，再根据夹角公式求向量的夹角，进而得解.【详解】∵，∴，即，∴，∴，∴，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，涉及了向量的模，向量的夹角以及同角三角函数的关系；一般情况下，在解题时需注意两向量夹角的范围是 .8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可．【详解】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥A-BCD，如图：∴该几何体的体积．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的有关计算、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3，1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．故选：B．【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．10.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．【详解】观察图象可得，函数的最小值，所以，又由图像可知函数过，即结合可得，则，显然A选项错误；对于B，，不是偶函数，B错；对于D ，当，故D错误，由此可知选C.【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．11.函数在区间上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，分离参数后借助数形结合的方法可得结果．【详解】∵，∴．∵函数在区间上有且仅有一个极值点，∴在区间上只有一个变号零点．令，得．令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，又．结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．∴实数的范围为．故选B．【点睛】本题具有综合性，解答本题时注意以下几点：（1）将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公共点的问题处理；（2）解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到．12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y＝log a x在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【详解】∵f（x））﹣f（﹣x）＝0，∴f（x）＝f（﹣x），∴f（x）是偶函数，∴，令则x=t+，∴有成立，∴f（x）是的周期为2，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，∴y＝f（x）和y＝log a x的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴，解得3＜a＜5．故选：A．【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．二填空题：将正确的答案填在横线上。

吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期期末考试试题理考试时间：120分钟分值：150分一．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合, ，则（）A． B． C． D．2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A．B． C． D．或3.函数的递增区间为A． B． C． D．4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若,，则则以上说法中正确的有( )个A． 1 B．2 C． 3 D． 45.下列判断中正确的是（）A．“若，则有实数根”的逆否命题是假命题B．“”是“直线与直线平行”的充要条件C．命题“”是真命题D．已知命题，使得；命题，则是真命题.6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2019项和为（）A．1 B．C．D．7.若向量满足，则与夹角的余弦值是（）A． B． C． D．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A． 20 B．15 C． 10 D． 59.设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（）A． B． C． D．10.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数的周期为B．函数为偶函数C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称11.函数在区间上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上13.曲线与轴所围成的封闭图形的面积是______．14.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过______心（内心、外心、垂心或重心）．15.已知圆，圆，则两圆的公共弦长是______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为__________．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(本题共10分）已知等差数列中，，前12项和(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：。