广东广州高二上学期期中考试数学(文)试卷

2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．485．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=08．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．512．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+115．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．=2S n+1（n≥1）．21．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{}的前n项和+++…+．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；D．若直线的倾斜角为α，时，则直线的斜率不存在，因此不正确．故选：D．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用线面平行的性质定理即可判断出．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b⊂α，∴a与b的位置关系是平行或异面．故选：D．3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线平行，平面与平面平行，直线与平面平行的判定方法和几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：对于①，分别在两个平面内的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于②，若两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面也无公共点，必平行于另一个平面，故正确；对于③，如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行，故错误；对于④，如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，存在两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；故正确的命题是：②④，故选：B4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120所以a1+a10=24故选B5．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程．【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选B．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】PQ与直线l垂直，斜率之积等于﹣1，PQ中点在直线l上，PQ中点的坐标满足直线l的方程．【解答】解：设点P（﹣3，4）关于直线l：x+y﹣2=0对称的点Q的坐标（x，y）则PQ中点的坐标为（），利用对称的性质得：K PQ==1，且，解得：x=﹣2，y=5，∴点Q的坐标（﹣2，5），故选B．10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到x+，然后得到函数解析式．【解答】解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移个单位长度；得到函数y=sin（x+），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（x+）的图象，所得到的曲线C/对应的函数解析式是y=sin（x+）．故选D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．5【考点】数列递推式；数列的求和．=（n∈N且n≥1），a2=1，令n=1，可得a1+1=，解得a1．则【分析】数列{a n}满足a n+a n+1S21=a1+（a2+a3）×10．=（n∈N且n≥1），a2=1，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+a n+1∴a1+1=，解得a1=﹣．则S21=a1+（a2+a3）×10=﹣+=．故选：A．12．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】把直线l化为一般式方程后，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用|a|=以及完全平方公式化简后，由基本不等式即可求出距离d的最大值．【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）的方程化为kx﹣y﹣2k=0，所以点P（﹣1，3）到该直线的距离为d===3=3，由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3，故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据它们的斜率相等，可得=﹣1，解方程求a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，∴它们的斜率相等，∴=﹣1∴a=2故答案为：2．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=2n+1﹣3．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+1【考点】数列递推式．+3=2（a n+3）（n≥1），由此可知该数列的通项a n=2n+1﹣3．【分析】由题意知a n+1=2a n+3（n≥1），【解答】解：在数列{a n}中，若a1=1，a n+1∴a n+3=2（a n+3）（n≥1），+1即{a n+3}是以a1+3=4为首项，为公比的等比数列，a n+3=4•2n﹣1=2n+1，所以该数列的通项a n=2n+1﹣3．15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱柱，根据三视图的数据，求出它的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱，底面是正三角形，其底边上的高为，则边长为6；由三视图可得棱柱高为4，它的体积：V=Sh=（×6×3）×4=36；故答案为36．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要使PM的最小，只需CM最小即可，作CH⊥AB于H，连PH，根据线面垂直的性质可知PH⊥AB，PH为PM的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，∵PC⊥面ABC，∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，而CH=2，PC=4，∴PH=2．故答案为：2三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）先取DE的中点P，利用N，P为中点，可以推出PN∥DC，且PN=DC，再利用四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，可以推出AM∥DC，且AM=DC，故有PN∥AM，且PN=AM，⇒四边形AMNP是平行四边形，⇒MN∥AP即可证：MN∥平面DAE；（2）先利用BC⊥平面ABE⇒AE⊥BC，再利用BF⊥平面ACE⇒AE⊥BF，可以证得AE⊥平面BCE，进而可证AE⊥BE．【解答】证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN∥DC，且PN=DC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM=DC，所以PN∥AM，且PN=AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP．而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE．（2）因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF，又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）直线AC的方程为x﹣2y+c=0，将A坐标代入求c即可；（2）求出AB长度，利用方程组求出B的坐标，从而利用两点式求直线方程．【解答】解：（1）由条件知直线AC垂直于直线2x+y﹣6=0，设直线AC的方程为x﹣2y+c=0，把A（1，﹣1）代入得c=﹣3，故直线AC的方程为x﹣2y﹣3=0，…因为AC⊥BC，所以A到直线BC的距离为AC=，…（2）由AC=得到AB=…设B（x，y），则，…解得B（2，2）或者B（4，﹣2），…所以直线AB的方程为3x﹣y﹣4=0或x+3y+2=0…20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）令f （x ）=0，求出函数的零点即可；（2）求出a +3的范围，从而求出t 的范围．【解答】解：（1）a=3时，f （x ）=4x ﹣2x +1﹣3，令4x ﹣2x +1﹣3=0，得：（2x ﹣3）（2x +1）=0，∵2x +1≠0，∴2x ﹣3=0，故函数f （x ）的零点是log 23；（2）若f （x ）有零点，则a=（2x ﹣1）2﹣1，∵2x ＞0，∴a=（2x ﹣1）2﹣1∈2，+∞）， ∴∈（0，3﹣2，1）．21．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ≥1）．（1）求{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }的各项为正，前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求数列{}的前n 项和+++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ． 由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，（d ＞0），再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1（n ≥1）．可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，∴a n +1=3a n ，又a 2=2S 1+1=3，∴a 2=3a 1．故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n =3n ﹣1．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ．又a 1=1，a 2=3，a 3=9．由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，或﹣10．∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，因此d=2，b 1=3，∴T n =3n +=n 2+2n ． =． ∴数列{}的前n 项和+++…+=+++…++==﹣．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF，推导出EF∥A1C，A1C∥平面AD1E．（2）推导出AD1⊥A1D，CD⊥AD1，从而AD1⊥平面A1CD，进而平面AD1E⊥平面A1CD，作DP⊥A1C于P，得到DP⊥EF，从而DP⊥平面AD1E，由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP=，由此求出当CP=时，DP⊥平面AD1E．（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，B1到平面AD1E的距离为B1Q，由此能求出三棱锥B1﹣AD1E体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF．…因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，又E是CD的中点，所以EF∥A1C．…因为EF⊂平面AD1E，A1C⊄平面AD1E，所以A1C∥平面AD1E．…解：（2）在对角线A1C上存在点P，且CP=，使得DP⊥平面AD1E．证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．…因为AD1⊂平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．…作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．因为DP⊂平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，所以DP⊥平面AD1E．…由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP===．所以当CP=时，DP⊥平面AD1E．…（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，由（2）知DP⊥平面AD1E，由题意知B1Q⊥平面AD1E，故B1到平面AD1E的距离为B1Q=，…===，…∴===．…2016年11月28日。

文科数学(问卷)说明：1、本试卷共20题，共6页，全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2、考生在答卷前，请填写好装订线内姓名、学号等栏目。

3、请用蓝（黑）墨水钢笔（或圆珠笔）作答。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题（每小题5分，共10题，满分50分）1、已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则=N M C u )(( ) A ．{ 3 } B ．{ 2 } C ．{ 2，3，4 } D ．{0，1，2，3，4}2、函数1lg )(-=x xx f 的定义域是 ( ) A ．[0，+∞) B ．(0,+∞) C ．),1()1,0[+∞⋃ D ．),1()1,0(+∞⋃ 3、已知x ，y 之间的一组数据如下表，则y 与x 的线性回归方程y=a+bx 必经过点( )A ．（2，2）B ．（1.5，0）C ．（1.5，4）D ．（1，2）4、先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为( ) A ．18 B ．38 C ． 58 D ．785、“2>x ”是“0)2)(1(>-+x x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、给出系列函数①3x x y -=，②x x x y cos sin +=，③x x y cos sin =，④x x y -+=22，其中是偶函数的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 7、右边的框图的功能是计算表达式210111222+++的值， 则在①、②两处应填入（ ）A ．0 10n n =≤和B ． 1 10n n =≤和C ．0 10n n =<和D ． 1 10n n =<和8、从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个黒球与都是黒球B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球9、函数3()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 10、给出以下三个命题：①若0≤ab ，则0≤a 或0≤b ；②在∆ABC 中，若B A sin sin =，则B A =； ③在一元二次方程02=++c bx ax 中，若042<-ac b ，则方程有．实数根。

广州市第二中学2017学年上学年高二期中（文科）解析一、选择题1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以．考点：集合的交集运算．2. 已知命题，，则为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：因为命题是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.考点：全称命题的否定.3. 已知向量，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，设向量的夹角为，则由，，所以，故选D．4. 若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由茎叶图知：这组数据的中位数是，故选B．考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征．5. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则为偶函数，当时，为偶函数当不成立，即“”是“为偶函数”的充分不必要条件，故选A．6. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件；满足条件；满足条件；不满足条件，推出循环，输出的值为，故选B．7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由可知，点横坐标为，代入椭圆方程求的点坐标为，在直角三角形中，，故，由椭圆性质可知：，故，，．故选．8. 已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意画出图形如图，直线与两坐标轴围成的区域为，为三角形及其内部区域，其面积为，不等式组所形成的区域为为图中阴影部分，联立，计算得出，其面积为，.....................由几何概型可得：点落在区域的概率是，故选D．9. 某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）用电量（度）由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量约为（）．A. 度B. 度C. 度D. 度【答案】A【解析】试题分析：根据图表，可以求得，所以均值点在回归直线上，求得，将代入求得，故选A.考点：回归直线.10. 已知的面积为，，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】因为∵，，的面积为，∴解得：，∴，故选．11. 如图，已知四棱锥的度面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中点，连接，中，，，∴，∴，设的中心为球心为，则，设到平面的距离为，则，∴，，∴四棱锥的外接球的表面积为，故选．点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.12. 已知函数，若，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，即;当时0，即;当时，由图可知;综上的取值范围是,选D.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.视频二、填空题13. 一支田径有男女运动员人，其中男运动员有人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．【答案】12【解析】试题分析：由题意知，抽样比例为，故应抽取女运动员人数是（人）．考点：分层抽样.视频14. 已知，，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】因为田径队有男女运动员人，其中男运动员有人，∴这支田径队有女运动员人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有女运动员人，∴女运动员抽取人．15. 已知数列为等比数列，若，则__________．【答案】100【解析】因为数列为等比数列，由等比中项的概念有，，，所以．点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16. 已知，，若是的必要非充分条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意知，或，，由已知：，，则是的合集，∴或，即或，∴的取值范围为．点睛：本题考查必要不充分判断及应用，解得中对于充要条件判定问题与应用中若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件，本题解答中要注意命题的否定的书写是本题的一个易错点．三、解答题17. 已知是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式．（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）用首项和公差表示得出数列的，利用等比中项概念列式求得公差，得出数列的通项公式即可；（2）由（1）得到数列的通项公式，利用乘公比错位相减法，即可求数列的前项和．试题解析：（Ⅰ），，，已知：，，∴或（舍去），∴，（Ⅱ），，，∴，∴．18. 已知函数，是函数的一个零点．（Ⅰ）求的值，并求函数的单调增区间．（Ⅱ）若、，且，，求的值．【答案】(Ⅰ)，单调增区间是．(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）利用函数的零点的定义列出方程，求出的值再代入解析式，利用两角差的正弦公式化简解析式，再由整体思想和正弦函数的单调增区间求出的增区间；（2）由（1）和条件分别求出，再由角的范围和平分关系求出，利用两角和的正弦公式求出的值．试题解析：（Ⅰ）∵是函数的一个零点，∴，∴，∴，由，得，∴函数的单调增区间是．（Ⅱ）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．19. 某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率（Ⅰ）分别求出，，，的值．（Ⅱ）从年龄在答对全卷的人随机抽取人授予“环保之星”，求年龄在的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求求出n，a，b，c的值，（2）年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可．试题解析：（1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100-(40+10+20)=30.年龄在中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b==0.4.年龄在中，抽取份数为20份，答对全卷人数占本组的概率为0.1，所以=0.1，得. 根据频率直方分布图，得(0.04+0.03+c+0.01)×10=1，解得.（2）因为年龄在与中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在中答对全卷的4人记为，，，，年龄在中答对全卷的2人记为，，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：，，，，，，，，，，，，，，,共15种(8分)．其中所抽取年龄在的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：，，，，，，，，共9种．故所求的概率为.20. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从月份的天中随机挑选了天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期月日月日月日月日月日温差/℃发芽数/颗（）从这天中任选天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，均不小于”的概率．（）从这天中任选天，若选取的是月日与月日的两组数据，请根据这天中的另天的数据，求出关于的线性回归方程．（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：．【答案】(1)；(2)；(3)得到的线性回归方程是可靠的．【解析】试题分析：（1）用数据表示选出2天的发芽情况，列举法可得的所有取值情况，分析可得均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程；（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所得的方程是可靠的．试题解析：（），的所有取值情况有，，，，，，，，，，共有个，设“，均不小于”为事件，则事件包含的基本事件有，，，所以，故事件的概率为．（）由数据得，，，，又，，∴，，所以关于的线性回归方程为．（）当时，，，当时，，，所以得到的线性回归方程是可靠的．21. 如图，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形．（）求证：平面．（）若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）要证平面，只需证明与平面内的两条相交直线垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）解法一：通过，利用等体积法，即可求解点到平面的距离；解法二：过点作直线的垂线，角的延长线于点，证明平面，说明为点到平面的距离，一是利用等面积求解，二是利用解直角三角形求解．试题解析：（）证明：在正中，是的中点，∴，∵是的中点，是的中点，∴，故，又，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，，平面，∴平面．（）解法：设点到平面的距离为，∵，是的中点，∴，∵为正三角形，∴．∵，，∴，∴，∵．由（）知，∴，在中，，∴，∵，∴，即，∴，故点到平面的距离为．点睛：本题考查了直线与平面垂直的判断与证明，点到直线的距离的求法等知识点，此类题目是立体几何中的常见问题，解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等．22. 已知椭圆经过点，离心率为，动点．（）求椭圆的标准方程．（）求以（为坐标原点）为直径且直线截得的弦长为的圆的方程．（）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意将点的坐标代入椭圆方程中得到，同时联立即可得到的值，即椭圆的方程；（2）根据题意所求圆心为的中点，半径为，利用圆心到直线的距离为，得到关于的方程，得到所求圆的方程；（3）根据题意过点作的垂线，垂足设为及平面几何知识得到：，设直线的方程为：与的直线方程联立求得，进而求得得到的长为定值.试题解析：（1）由题意得，又由椭圆经过点P，得，又联立解得，所以椭圆的方程为；（2）以为直径的圆的圆心为，半径，所以圆M的方程为。

2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线370x y +-=的一个方向向量为（ ） A ．(3,1) B ．(1,3)C ．(3,1)-D ．(1,3)-【答案】D【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由直线方程知：直线方向向量有()1,3-及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．两平行直线3210x y --=和6430x y -+=间的距离是（ ） A ．51326B ．41313C ．21313D ．31313【答案】A【分析】将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得；【详解】解：直线3210x y --=即为6420x y --=，所以两平行直线6420x y --=和6430x y -+=间的距离()22236513264d --==+-；故选：A4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB = A ．2 B ．42C ．6D ．210【答案】C【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.【解析】切线长5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点，则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．1010C ．22D ．1【答案】A【分析】分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1AG 和EF 的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()12,0,2A 、()1,0,0G 、()2,1,0E 、()0,1,1F ，所以()11,0,2AG =--，()2,0,1EF =-， 设异面直线1A G 与EF 所成角为θ， 则()()111221cos 055AG EF AG EF θ⋅-⨯--⨯===⨯⋅ ，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.6．如图，己知二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l ．若4,6,8,217AB AC BD CD ====α与平面β的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，进而确定平面α与平面β的夹角为CAE ∠，结合已知及题图确定二面角的大小.【详解】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，由BD l ⊥且BD β⊂，故//AE BD 且AE BD =，又AC l ⊥，AC α⊂，l αβ=，所以平面α与平面β的夹角为CAE ∠，且ABDE 为矩形，即DE AE ⊥，由//DE l ，则DE AC ⊥，又AC AE A ⋂=，,AC AE ⊂面CAE ，则DE ⊥面CAE ，CE ⊂面CAE ，故DE CE ⊥，又4,6,8,17AB AC BD CD ====8,4AE ED ==， 在直角△CDE 中22213CE CD ED -在△CAE 中，2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以，如图，锐二面角的大小为π3.故选：C7．已知直线20kx y -+=和以(3,1),(2,5)--M N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．72≤-kB ．13k ≥C ．7123-≤≤kD ．72≤-k 或13k ≥【答案】D【分析】先求出20kx y -+=所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k 的范围. 【详解】由题设，20kx y -+=恒过点(0,2)A -，则121303AM k -+==-，527202AN k +==---，又A 在y 轴上，,M N 在y 轴两侧，故直线20kx y -+=的斜率71(,][,)23k ∞∞∈--⋃+.故选：D8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1， 设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，1B (1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C (0,1，1)，()1B E a 1,1,c 1=---，DB (1,=1，0)，1DC (0,=1，1)，设平面1DBC 的法向量n (x,=y ，z)， 则1n DB 0n DC 0x y y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-， 1B E //平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=，解得a c 1+=，()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，设直线1B E 与直线AB 所成角为θ， AB (0,=1，0)，(11AB B E cos θAB B Ea ⋅∴==⋅2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，sin θ∴===≥=∴直线1B E 与直线AB故选B ．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC10．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．． 【答案】BD【分析】A 令0k =即可判断正误；B 由2l 过定点(0,1)-，再由定点与1l 的关系判断正误；C 令12k =-即可判断正误；D 利用直线垂直的判定判断k 值的存在性即可. 【详解】A ：当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，错误；B ：2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，正确；C ：当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，错误；D ：要使1l 与2l 都垂直则(1)(1)0k k ++-=，显然不存在这样的k 值，正确. 故选：BD11．已知(1,0),(4,0)A B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有（ ） A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则弦MN 的中点的轨迹方程是221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为422- 【答案】BCD【分析】A 由定点到圆心距离及圆的半径判断；B 首先判断A 在圆C 内，再根据所截弦长最短知直线与CA 垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C 由题意E 的轨迹是以CA 为直径的圆，即可得圆的方程；D 根据切线性质判断D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.【详解】由题设，圆心C 为(0,0)且半径2r =，则||4OB =，故||422OB r -=-=， 所以圆C 上到B 的距离为2的点有一个，A 错误；由221014+=<，即A 在圆C 内，故过A 的直线被圆C 所截得的弦长最小，只需直线与CA 垂直，故直线为1x =，此时2||2123MN r =-=，B 正确；若过A 的直线被圆C 所截得的弦MN 的中点为E ，则CE AE ⊥，故E 的轨迹是以CA 为直径的圆，所以轨迹方程为2211()24x y -+=，C 正确；若D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，所以D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，即228x y +=，而||4OB =， 故该圆上点到B 的最小值为422-，D 正确. 故选：BCD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则下列命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4B ．点C 到平面11ABCD 的距离为22C ．异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4D ．线段PQ 长度的最小值为433【答案】ABD【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证1CB ⊥面11ABC D ，进而确定直线BC 与平面11ABC D 所成的角、C 到平面11ABC D 的距离，由11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠求大小，过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ，利用线面垂直及勾股定理求PQ 的最小值.【详解】正方体中AB ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，故1AB CB ⊥，又11BC CB ⊥，由1AB BC B =，1,AB BC ⊂面11ABC D ，故1CB ⊥面11ABC D ，而BC面11BCC B B =，故直线BC 与平面11ABC D 所成的角1π4CBC ∠=，A 正确； C 到平面11ABC D 的距离为142222CB ==B 正确； 因为11//BC AD ，故异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠， 而△1CD A 为等边三角形，故1π3CD A ∠=，C 错误； 过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ， 面1DCC ⊥面ACD ，面1DCC 面ACD CD =，PE ⊂面1DCC ，故PE ⊥面ACD ，AC ⊂面ACD ，则PE AC ⊥，又PE EQ E =，,PE EQ ⊂面PEQ ，所以AC ⊥面PEQ ，易知：PQ 即为异面直线1C D ，AC 上两点的距离， 令[0,4]DE PE x ==∈，则4CE x =-，2)EQ x =-， 所以2222224323()(4)381633222x x x x PQ PE EQ x -+--+=++=当43x =时，min 164333PQ ==，D 正确.故选：ABD三、填空题13．若平面α的一个法向量为()2,6,s m =-，平面β的一个法向量为()1,,2n t =，且αβ∥，则s t -=______．【答案】7【分析】由αβ∥，得m n ∥，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由αβ∥，得m n ∥，所以2612s t -==，解得3t =-，4s =，∴7s t -=． 故答案为：714．已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数=a ______． 【答案】57【分析】由12l l //由12210A B A B -=有(2)(75)0a a --=，即可求a ，然后验证1l 、2l 是否重合. 【详解】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线； 当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //；∴57a =， 故答案为：5715．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，高为1，则点D 到平面ACD 1的距离是_____．【答案】63163【分析】利用等体积法，根据11D ACD D ACD V V --=可得.【详解】因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，2AD CD ==，11DD =，所以1122,5AC AD CD ===，记AC 中点为O ，则1D O AC ⊥，所以2211523D O AD AO =-=-=，记三棱锥1D ACD -的高为h ，因为11D ACD D ACD V V --=，所以11112212233232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得63h =. 故答案为：63.16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A -、()2,4B ，其欧拉线的方程为0x y -=，则ABC 的外接圆方程为______. 【答案】()()221110x y -+-=【分析】求出线段AB 的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出ABC 的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出ABC 的外接圆方程.【详解】直线AB 的斜率为40122AB k -==+，线段AB 的中点为()0,2M ， 所以，线段AB 的垂直平分线的斜率为11AB k k =-=-， 则线段AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，即20x y +-=，联立200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即ABC 的外心为()1,1D ，所以，ABC 的外接圆的半径为()()22210110r AD ==--+-=因此，ABC 的外接圆方程为()()221110x y -+-=. 故答案为：()()221110x y -+-=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．四、解答题17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）32120x y +-=；（2）5200x y +-=． 【分析】（1）先根据斜率公式得23=BC k ，由于BC 边上的高与BC 所在直线垂直且过()4,0A ，故根据点斜式求解即可；（2）由题知BC 中点为()3,5M ，故5,AM k =-再根据点斜式求解即可. 【详解】（1）BC 边所在直线的斜率732603BC k -==- 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为1-，所以BC 高线的斜率为32-，又因为BC 高线所在的直线过()4,0A所以BC 高线所在的直线方程为30(4)2y x -=--，即32120x y +-=（2）设BC 中点为M ，则中点()3,5M ，又5,AM k =-所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为：5(3)5y x =--+，即：5200x y +-=【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为1-，考查运算求解能力，是基础题.18．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：2260x y x m +-+=.(1)若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值;(2)在(1)的条件下，若直线l 过点(2，1)，且与圆2C 的相交弦长为23，求直线l 的方程. 【答案】(1)m=5 (2)20x -=或10y -=【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【详解】（1）圆1C ：221x y +=，则1(0,0)C ，半径r 1=1， 由圆2C ：2260x y x m +-+=，得22(3)9x y m -+=-， 则2(3,0)C ，半径29(9)r m m =-<.∵圆1C 与圆2C 外切， ∴1212C C r r =+，∴913m -+=，解得m=5. （2）由(1)得m=5，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，则2(3,0)C ，r 2=2.由题意可得圆心2C 到直线l 的距离24(3)1d =-=， 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-，化为一般形式为210kx y k --+=，则圆心(3，0)到直线l 的距离2111k d k +==+，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l 的方程为20x -=或10y -=.19．如图，在棱长为4的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．【答案】(1)证明见解析； (2)22.【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF a ==且04a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数a ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF a ==且04a ≤≤，所以(0,4,4)C '，(4,0,4)A '，(4,,0)E a ，(4,4,0)F a -，则(4,4,4)C E a '=--，(,4,4)A F a '=--，故44(4)160C E A F a a ''⋅=-+-+=， 所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1），三棱锥B BEF '-体积取最大，即△BEF 面积()()21142222S a a a =-=--+最大， 所以，当2a =时max 2S =，故,E F 为AB ，BC 上的中点，所以(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(4,4,4)B '，故(0,2,4),(2,0,4)EB FB ''==，若(,,)m x y z =为面B EF '的法向量，则240240m EB y z m FB x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅''=+=⎪⎩，令1z =-，故(2,2,1)m =-，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11|cos ,|||||313||||m n m n m n ⋅-<>===⨯，由图，平面B EF '与平面BEF 的夹角正切值为220．（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【答案】（1）x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0；（2）x ＋y －2＝0【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点()4,3-可得； （2）求出M ，N 两点坐标，利用坐标表示出OMN 面积，分离常数后使用基本不等式可得.【详解】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1， 解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. （2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +， ∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2， 当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立． 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.21．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，,E F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．(1)证明：BA BC ⊥(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大？ 【答案】(1)证明见解析 (2)112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用线面垂直性质可知111BB A B ⊥，结合11BF A B ⊥可证得11A B ⊥平面11BCC B ，由11//AB A B和线面垂直性质可证得结论；（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，1BB ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111BB A B ∴⊥，又11BF A B ⊥，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，1BB BF B ⋂=， 11A B ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，11BC A B ∴⊥；四边形11AA B B 为正方形，11//AB A B ∴，BA BC ∴⊥.（2）以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 为,,x y z 轴可建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0E ，()0,2,1F ，设1B D a =，则(),0,2D a ，则()1,1,1EF =-，(),2,1FD a =-， 设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则020EF n x y z FD n ax y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，解得：1y a =+，2z a =-，()3,1,2n a a ∴=+-； 又平面11BCC B 的一个法向量()1,0,0m =，()()222cos ,912127222m n m n m na a a ⋅∴<>===⋅+++-⎛⎫-+⎪⎝⎭ 则当12a =时，max 6cos ,m n <>=即当112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大.22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【分析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上, ∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,00r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQPNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PN x y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P在圆M上,()()223318x y∴-+-=,即22660x y x y+--=,()()()()2222221161610x y x yλλλλ∴-+-----=,()22226122220aaλλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232aλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q为33,22⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。

广州市高二级第一学期期中考试试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡和答卷一并交回．试卷要自己保存好，以方便试卷评讲课更好开展.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i n ii x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑，ˆa y bx =-第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B ⋂=（ ）A ．}{1x x ≥ B ．}{11x x -≤< C ．{}1x x <- D ．{}21x x -≤< 2.设,x y R ∈，则“3x y +>”是“1x >且2y >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若命题“()p q ∧⌝”与“p ⌝”均为假命题,则（ ） A.p 真q 真B.p 假q 真C.p 假q 假D.p 真q 假4.设等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若318S =，39a =，则6a =（ ）A ．12B ．15C ．18D ．215.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，且满足b B a 3sin 2=，则角A 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π6.已知两条不同直线m 、l ,两个不同平面α、β,下列命题正确的是（ ）A.若//l α,则l 平行于α内的所有直线B.若m α⊂,l β⊂且l m ⊥,则αβ⊥C.若l β⊂,l α⊥,则αβ⊥D.若m α⊂,l β⊂且//αβ,则//m l7.已知变量,x y 的取值如下表所示：x4 5 6 y867如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ2ybx =+，则ˆb 的值为（ ） A ．1 B ．32 C ．45D ．568.已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图的圆心角为60︒,则此圆锥的表面积为（ ） A. 3πB. 5πC.7πD.9π9.阅读程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A ．15B ．105C ．245D ．945 10．函数)6sin(π+=x y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图像1C ,再把图像1C 向右平移6π个单位，得到图像2C ,则图像2C 对应的函数表达式为（ ） A ．x y 2sin = B ．)421sin(π+=x y C ．x y 21sin= D ．)1221sin(π+=x y 11.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，且135a =，则2018a = （ ）A ． 15B ．25C ．35D ．4512.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，)8,...,2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则)8,...,2,1(=⋅→→i AP AB i的不同值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 13. 函数()32f x x=-的定义域为____________．14.已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．15.若直线220ax by -+=（0a >，0b >）经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11a b+的最小值为___________．16. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为__________． 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10分）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中20,0,0πϕω<<>>A ）的图象如图所示⑵ 函数)(x f 的解析式； ⑵设)32,6(,53)2(ππαα∈=f ，求)322sin(πα+的值.某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率． 19.（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差/x ℃ 10 11 13 12 8 发芽数y /颗 2325302616(1)从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A 均为正方形，090BAC ∠=，D 为BC 的中点.(1)求证：11//A B ADC 面; (2)求证：11C A B C ⊥.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*122n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11,b =点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项n a ，n b ； (2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ； (3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围．22.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆C 相切． (1)求圆C 的标准方程；(2)设点()0,1P ，若直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围．数学参考答案一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B ACACACBDAA二、填空题13. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭14. 15.4 16. [0，2]三、解答题17．（本小题满分10分）解：（1）由图可得1=A ，且πππ=-=)6125(4T ，从而πωπ=2，2=ω-------2分 又)(x f 图像过点)1,127(-π，1)1272sin(-=+⨯∴ϕπ即1)67sin(-=+ϕπ--------3分 又20πϕ<<356767πϕππ<+<∴，∴2367πϕπ=+， ∴3πϕ=∴)32sin()(π+=x x f . --------5分（2）由（1）可知53)3sin()2(=+=πααf , --------6分 )32,6(ππα∈ ，ππαπ<+<∴320)3cos(<+∴πα 54)3(sin 1)3cos(2-=+--=+∴παπα--------8分 )3(2sin )322sin(παπα+=+∴ =2512)54(532)3cos()3sin(2-=-⋅⋅=++παπα --------10分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， --------1分 由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2， ∴全班人数为2250.08=． --------3分 （Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为3/100.01225=．--------5分 （Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b 2， --------6分在[80， 100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）共10个， --------8分其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，分别为（a 1，b 1），（a 1，b 2）a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） --------10分 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是70.7.10=．--------12分 19.（本小题满分12分） 解：（1）,m n 的所有取值范围有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16).共有10个. --------2分设“,m n 均不小于25”为事件A,则事件A 包含的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26),所有()310P A =. --------3分 故事件A 的概率为310. --------4分 （2）由数据得212,27,3972,3432x y xy x ====，又3321397797255977,432,,271234344322ˆˆ2i i ii i x y x b a ==-=====-⨯=--∑∑--------8分 所有y 关于x 的线性回归方程为ˆ532yx =-. --------9分 （3）当10x =时，22,222ˆ23y=-<. 当8x =时，17,112ˆ76y=-<. 所有得到的线性回归方程是可靠的. --------12分20.（本小题满分12分）证明：⑴连结1A C 交1AC 于点O ，则O 为1A C 中点。

广东省数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） 若直线经过 A. B. C. D.两点，则直线 的倾斜角为（ ）2. （1 分） (2018·虹口模拟) 直线与圆交于 ， 两点，且，过点 ， 分别作 的垂线与 轴交于点 ， ，则等于（ ）A. B.4C. D.8 3. （1 分） (2017 高一下·钦州港期末) 直线 l 过 P（1，2），且 A（2，3），B（4，﹣5）到 l 的距离相等， 则直线 l 的方程是（ ） A . 4x+y﹣6=0 B . x+4y﹣6=0 C . 3x+2y﹣7=0 或 4x+y﹣6=0 D . 2x+3y﹣7=0 或 x+4y﹣6=0 4. （1 分） (2017 高一下·彭州期中) 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ）第 1 页 共 20 页A.B.C.D. 5. （1 分） (2016 高二上·包头期中) 利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（ ） A . ①② B.① C . ③④ D . ①②③④第 2 页 共 20 页6. （1 分） (2017 高二下·故城期末) 已知是球 的球面上两点，的动点，若三棱锥体积的最大值为 36，则球 的半径为（ ）， 为该球面上A.6B.8C . 12D . 167. （1 分） 长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中，长、宽、高分别为 3，2，1，一只蚂蚁从点 A 出发沿着长方体的 表面爬行到达点 C'的最短路程是（ ）A.B.3C.D. 8. （1 分） 棱长为 1 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中截去三棱锥 B1﹣A1BC1 ， 剩下几何体的体积为（ ）A.B.C.D. 9. （1 分） 下列叙述正确的是（ ） A . 若 P∈α，Q∈α，则 PQ∈α B . 若 P∈α，Q∈β，则 α∩β=PQ第 3 页 共 20 页C . 若 AB⊂ α，C∈AB，D∈AB，则 CD∈αD . 若 AB⊂ α，AB⊂ β，则 A∈α∩β 且 B∈α∩β10. （1 分） 在右图的正方体中，M．N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，则异面直线 AC 和 MN 所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°11. （1 分） 下列命题中，假命题为（ ）A.,B . 存在四边相等的四边形不是正方形C . 若 x，y∈R，且， 则 x，y 至少有一个大于 1D.的充要条件是 ＝－112. （1 分） (2019 高二上·恩施期中) 已知 出下列命题：， 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，给①若，存在 ， ，使，，则；②若，，则；③若 ， 是异面直线，则，，且；④若 ， 不垂直，则不存在，使．其中正确的命题有（ ）． A . 1个第 4 页 共 20 页B . 2个 C . 3个 D . 4个二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高三上·湖南月考) 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体 的体积为________．14. （1 分） (2019 高二上·濠江期中) 已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，M 分别是线段 AB、 AD、AA1 的中点，又 P、Q 分别在线段 A1B1、A1D1 上，且 A1P＝A1Q＝x(0<x<1).设平面 MEF∩平面 MPQ＝l，现有下 列结论：①l∥平面 ABCD； ②l⊥AC； ③直线 l 与平面 BCC1B1 不垂直； ④当 x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号) 15. （1 分） 下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)第 5 页 共 20 页①若 a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；②命题“∃ x0∈R， ＋x0＋1＜0” 的否定是“∀ x∈R，x2＋x＋1≥0”；③命题“若|x|≥2，则 x≥2 或 x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x ＜2”；④函数 f(x)＝ln x＋x－ 在区间(1,2)上有且仅有一个零点．16. （1 分） (2020 高二上·绵阳期中) 已知方程：①该方程表示圆，且圆心在直线上；②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为 ，则曲线 上的点到直线的最大距离为；④若 直线方程为，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为．，则 所在的以上四个命题中，是正确的有________（填序号）三、 解答题 (共 5 题；共 10 分)17. （2 分） (2017 高二上·佳木斯月考) 已知直线 （1） 求定点 的坐标；恒过一定点 .（2） 若，求与直线 垂直且经过点的直线方程.18. （2 分） (2020·随县模拟) 已知椭圆截得的弦长为 ，椭圆 的离心率为.（1） 求椭圆 的标准方程；，过 的焦点且垂直于 轴的直线被（2） 经过右焦点 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点，求直线 的方程.19. （2 分） 四棱锥 P﹣ABCD 的四条侧棱长相等，底面 ABCD 为正方形，M 为 PB 的中点．第 6 页 共 20 页（1） 求证：PD∥平面 ACM；（2） 若 PA=AB，求异面直线 PD 与 DM 所成角的正弦值．20. （2 分） (2018 高二上·佛山月考) 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，的交点．,，是的中点， 是平面与直线（1） 证明：；（2） 求点 到平面的距离．21. （2 分） (2018 高二上·安吉期中) 如图，在几何体 ABCDE 中，△AED 为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°， ∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE第 7 页 共 20 页（Ⅱ）求直线 BE 与平面 AED 所成的角的大小．第 8 页 共 20 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 9 页 共 20 页答案：4-1、 考点： 解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 10 页 共 20 页答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共10分)答案：17-1、答案：17-2、考点：答案：18-1、答案：18-2、考点：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

第I 卷（共50分）参考公式：球体的表面积公式24S r π=，其中r 为球体的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知}6,5,4,3,2,1{},5,4,3{},6,4,2,1{===U B A 求=B A C u ( ) A }6,5,4,3,2,1{ B }6,4,2,1{ C 、}5,4,2{ D 、}5,4,3{2． 函数2sin(2)2y x π=+是 （ ）A ．周期π的奇函数B ．周期π的偶函数C ．周期2π的奇函数D ．周期2π的偶函数3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= A .-3 B.-1 Ｃ.１ Ｄ.34.已知{}n a 是等差数列，154=a ，555S =，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．41 C ．－4 D ．－14 5.已知向量(,1)a x =，(3,6)b =，且a b ⊥，则实数x 的值为( )A ．12B ．2-C ．2D ．21-6．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．16B ．11C ．8D．3www.k@s@5@高#考#资#源#网8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）0.00040.00030.00020.0001A ．π32B ．π16C ．π12D ．π89．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=( )AB ．2C ． ．410．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为( ) A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

广东实验中学2021—2021学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷共4页，满分150分，考试历时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必需维持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列叙述中不正确．．．的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tan α2．已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 3．下面四个命题：①别离在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③若是一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ④若是一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③4．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是 （）A ．12B ．24C ．36D ．485．已知1sin()23πα+=，则cos(2)πα+的值为（ ） A ．79- B ． 29 C ． 79 D 23-俯视图侧视图正视图3346．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立．．．的是 ( ) A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 7．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝08．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．56π9．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(2，－5) B ．(－2,1) C ．(－2,5) D ．(4，－3) 10．将函数x y sin =的图象C 按顺序作以下两种变换：⑴向左平移3π个单位长度；⑵横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所取得的曲线/C 对应的函数解析式是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π+=x y 11．{}n a 知足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，则S 21 为 （ ） A ．29B ．211C ．6D ．512．设点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为d(k ),则d(k )的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=彼此平行，那么a 的值等于14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n≥1),则该数列的通项a n =_________. 15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 .16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB上一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题题（六小题 共70分） 17．（本小题满分10分）在锐角．．△ABC 中，a 、b 、c 别离为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A (1)肯定角C 的大小：（2）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。

广东省广州市三校（南实、铁一、广外）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题别为14cm 、62cm ，水深为12cm .则玻璃容器里面水的体积是（）A ．33336cmB ．33337cmC ．33338cmD ．33339cm 二、多选题A ．函数()f x 最小正周期为C ．()f x 在区间5ππ,126⎡⎤--⎢⎥⎣⎦根11．2022年4月16日9时56地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点短轴与半圆的直径重合，下半圆与A ，与下半圆交于点B ，则下列说法正确的有（A ．椭圆的长轴长为42B ．线段AB 长度的取值范围是4,2+⎡⎣C ．ABF △面积的最小值是4D ．AFG 的周长为442+12．如图，在棱长为1的正方体ABCD -为线段11C D 上的动点，则下列结论正确的是（A ．存在点P ，使得PM 与1BC 异面B ．不存在点P ，使得MN NP⊥C ．当P 在直线11C D 上运动时，三棱锥D ．过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三、填空题13．若a ，b 为正实数，直线()21x a y +-最大值为.14．如图，电路中A 、B 、C 三个电子元件正常工作的概率分别为四、解答题17．圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心(1)求圆M 的方程．(2)过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是53，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差s 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB 梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，AB AD =(1)证明：//PC 平面EBD ；(2)求直线PD 与平面EBD 所成角的正弦值．20．已知,,a b c 分别为三角形ABC 三个内角(1)求角A ；(2)若D 为边BC 上一点，且2CD AD ==21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心为圆C 上一点，线段1MF 与圆222x y +=(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上是否存在三个点是平行四边形？若存在，求出直线22．中国古代数学名著草也．甍，屋盖也．”翻译为是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为两个全等的等腰梯形，(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD 平面EFN；(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．。

广州市第一学期期中考试高二年级试卷 数学 学科第I 卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．直线320x y +-=的斜率为（ ） A ．π3 B ．5π6 C ．3- D ．33- 2．若(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则a b ⋅等于（ ）A ． 5-B ．1-C ．5D ．73．若直线2y x m =+是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4．两圆()()22214x y -+-=与()()22121x y ++-=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．空间直角坐标系中，已知()1,1,1A -，()3,1,1B ，则点()1,0,2P 到直线AB 的距离为（ ）A ．22B ．32 C ．62D ．3 6．已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为 A ．(3,4) B ．(4,5) C ．(5,4)-- D ． (4,3)--7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（ ）A ．22πB ．32C ．63D ．33π8．已知(1,0),(0,2)A B -，直线:2230l x ay a -++=上存在点P ，满足||||5PA PB +=， 则l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．直线()():2311l a y a x -=--不过第二象限，则a 的可取值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．310．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．向量a ，b ，若0a b ⋅=，则a b ⊥B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c a c -++也是空间的一组基底D ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线11．已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（ ）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 与圆C 相离C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F DC λ=，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则（ ） A ．当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B ．当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94π C ．若直线CP 与平面ABCD 所成角的正弦值为23，则13μ= D ．存在唯一的实数对(,)λμ，使得DP ⊥平面EFP第II 卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________.14．若直线1:60l x ay ++=，2:(2)320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为___________. 15．若圆1O ：225x y +=与圆2O ：()2220x m y ++=相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为______．16．三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ===点Q 为平面ABC 内的动点，且满足PQ =记直线PQ 与直线AB 的所成角为θ，则sin θ的取值范围为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17．(本题10分) 求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点()2,1A ，且斜率为12-； (2)过点()1,4A ，()2,3B ；(3)过点()2,1P 且在两坐标轴上的截距相等．18．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAD ⊥底面ABCD ，2PA AD =，,,E F H 分别是,,PA PD AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．19．（本题12分）已知圆C 过点()4,0A ，()0,4B ，且圆心C 在直线l ：60x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M 发出的光线经过直线y x =-反射，反射光线1l 恰好平分圆C 的圆周， 求反射光线1l 的一般方程.(3)若点Q 在直线l 上运动，求22QA QB +的最小值.20．（本题12分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CA a =，CB b =，1CC c =，11CA CB CC ===，2,,3a b a c π==，,2b c π=，N 是AB 中点． (1)用a ，b ，c 表示向量1A N ；(2)在线段11C B 上是否存在点M ，使1AM A N ⊥？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．21．（本题12分）在直角坐标系xOy 中，直线:340l x y --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切.(1)求圆O 的方程；(2)设点()00,N x y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；(3)是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时， 恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标：若不存在，说明理由.22．（本题12分）如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，23AB =，60BCD ∠=.E 为线段CD 上的点，且3CE CB ==.将BCE 沿BE 折起，得到四棱锥1C ABED -(如图2)，使得11C A C B =.（1）求证：平面1AC D ⊥平面1ABC ；（2）求二面角1C DE A --的余弦值.。

广州市第二中学2021-2022上学期高二中段考试题文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的并集运算进行计算即可．【详解】由B={x|x﹣3＜0}，得B={x|x＜3}，则A∪B={x|x≤3}=（﹣∞，3]，故选：C．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，比较基础．2.在等比数列中，，公比，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求k的值．【详解】在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a k=a2a5，则a1q k﹣1=a12q5，可得k﹣1=5，即k=6，故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.下列函数中，在区间上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据常见函数的单调性分别判断即可．【详解】对于A，函数在区间[0，+∞）上单调递减，不合题意；对于B，函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于C，在（0，1）递减，不合题意；对于D，函数在[0，+∞）递增，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键．4.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A. 两次都中靶B. 至少有一次中靶C. 两次都不中靶D. 只有一次中靶【答案】A【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．【点睛】本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得x=1，k=10执行循环体，x=3，k=11不满足条件x＞2k，执行循环体，x=7，k=12不满足条件x＞2k，执行循环体，x=15，k=13不满足条件x＞2k，执行循环体，x=31，k=14此时，满足条件x＞2k，退出循环，输出k的值为14．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值．【详解】∵tanθ=2，则sin2θ====．故选：A．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．7.在中，“”是“是直角三角形”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】结合两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1得sin（A﹣B+B）≥1，即sinA≥1，∴sinA=1，即A=，此时“△ABC是直角三角形，当B=时，满足△ABC是直角三角形，但sinA≥1不成立，∴“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的成立的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用两角和的正弦公式是解决本题的关键．8.已知变量，满足约束条件则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x﹣2y得y=x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，2）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=﹣1﹣2×2=﹣5．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故选：B．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若，∥，∥, 则B. 若，，，则C. 若∥，，，则D. 若∥，，，则【答案】D【解析】【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．10.已知函数，若，，，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可．【详解】∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，即20.9＜log39.1＜log310，则f（20.9）＜f（log39.1）＜f（log310），即c＜b＜a，故选：C．【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．11.若函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数y=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，得到y=sin（2x ﹣+φ）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，可得﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z．令k=0，可得φ=，故选：C．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.12.已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的性质和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在a∈R使得f （a）+g（b）=1，得到g（b）=b2﹣2b﹣4≤，解不等式可得实数b的取值范围．【详解】当x＜﹣1，f（x）=+（）2=（+）2﹣，∵x＜﹣1，﹣1＜＜0，则﹣≤f（x）＜0，当x≥﹣1时，x+2≥1，则ln（x+2）∈[0，+∞），综上f（x）≥﹣，若存在a∈R使得f（a）+g（b）=1，∴g（b）=1﹣f（a）≤1+=则g（b）=b2﹣2b﹣4≤，即4b2﹣8b﹣21≤0，解得﹣≤b≤故b的范围为[﹣，]，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量，，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=2m+（﹣3）×（﹣2）=0，解得m 的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量=（2，﹣3），=（m，﹣2），若⊥，则有•=2m+（﹣3）×（﹣2）=0，解可得m=﹣3；故答案为：﹣3【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．14.已知命题方程有两个不等的实根；命题方程无实根，若“”为真，“”为假，则实数的取值范围为___________.（写成区间的形式）【答案】【解析】【分析】分别求出命题p、q为真命题时，a的取值范围，根据复合命题真值表判断若“”为真，“”为假时，命题p、q一真一假，可求a的取值范围．【详解】∵方程x2+ax+1=0有两个不等的实根，∴△=a2﹣4＞0⇒a＞2或a＜﹣2，命题p为真时，a＞2或a＜﹣2；∵方程4x2+2（a﹣4）x+1=0无实根，∴△=4（a﹣4）2﹣16＜0⇒2＜a＜6，命题q为真时，2＜a＜6；由复合命题真值表知：若“”为真，“”为假时，命题p、q一真一假当p真q假时，⇒a≥6或a＜﹣2，当p假q真时，⇒a∈∅，综上a的范围是a≥6或a＜﹣2．【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意解不等式公式的合理运用．15.向面积为的△内任意投一点，则△的面积不小于的概率为_____.【答案】【解析】【分析】根据题意知是在面积为S的△ABC内部任取一点P，使△PBC的面积小于的概率，可考虑画图求解的方法，根据图形求出面积比即可．【详解】记事件A={△PBC的面积不小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，如图所示；事件A的几何度量为图中去掉阴影部分的面积，其中DE是三角形的中位线；因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=1﹣=1﹣=．故答案为：．【点睛】几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积。