初三九年级数学人教版 第28章 锐角三角函数全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用

根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿
绿道继续直走多少米才能到达桥头D处(精确到1米)．(备用
数据： ≈1.414， ≈1.732)
2
3
解：由题意得∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，AB＝200. 设BD＝x，故DC＝ x.
易得AD＝DC，∴200＋x＝3 x， 解得x＝100( ＋1)≈273(米)． 3 答：小明还需沿绿道3 继续直走约273米才能到达桥头
(2)tan 30°tan 60°＋3 c8os230°－sin2 45°t3an 45°.
解：(1)原式＝ 1 ＋2－2× 4
3＋ 2
3
＝1 4
＋2－
3＋
3＝
9 4
；
(2)原式＝ × 3 ＋ －3 2 ×21＝2 1＋ － 3 ＝ 1 . 5
3 3 2 2
424
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考点 3 两个应用
应用1 解直角三角形在学科内的应用
∵ AB·OBEE＝2 OOEB2 ·AD6，2 即32 ×150×3＝ ×3 ·AD，
∴A1D＝2 . 1
1
1
5
2
2
2
2
5
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应用2 解直角三角形的实际应用
5．(中考·衢州) “五·一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村 游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步 行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏 东30°方向，如图所示．
∴∠BCD＝∠A.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝
∴sin∠BCD＝sin A＝
，
BC 4 AB 5
＝10，
AC2 BC2
cos∠BCD＝cos A＝ AC 3 ， AB 5
tan∠BCD＝tan A＝ BC 4 . AC 3
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概念2 解直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝ 3 ， D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，5 AC
解法一：如图①，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作 EF∥AB交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD. ∴四边形ABEF是矩形． ∴EF＝AB，AF＝BE. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－ 120°＝60°.
在Rt△BCE中，BE＝ BC 50 3 50 3 ＝100， cosCBE cos30 3
4．(中考·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为 圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A 作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. (1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tan∠ABC＝ 4 ，求AD的长． 3
(1)证明：如图，作OE⊥AB于E. ∵⊙O与BC相切于点C， ∴AC⊥BC. ∵∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD， ∴∠OAD＝∠ABD.
解：如图，作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形．
∴EH＝CD，CH＝DE＝340.
在Rt△ADC中，sin α＝ ，设24AC＝24x，
∴AD＝25x，由勾股定理得C2D5＝
＝7x.
∴EH＝7x.
AD2 AC2
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH＝7x.
由题意得24x＝7x＋340，解得x＝20(m)， 则AC＝24×20＝480. ∴AB＝AC－BC＝480－452＝28(m)． 答：发射塔AB的高度为28 m.
2
∴DB＝
＝2C.∴D AB＝AD＋D3 B＝3＋2＝5.
DB
2
2CD 2 3
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33
技巧2 “割补法”构造直角三角形求解的技巧
8．如图，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB， CD⊥BC，AB＝30 ，BC＝50 ，求四边形ABCD的
面积．(要求：用分割3 法和补形法两3 种方法求解)
在Rt△DCE中，DC＝C3 E·tan 330°＝1130 × ＝110.
3
3 ∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABEΒιβλιοθήκη Baidu DC·CE－ ×110×110 － ×30 ×901＝4 700
1.
AB·AE＝
3
2
2
1
1
2
32 3
3 返回
42700 . 2
3
3
2
解法二3：如图②，延长DA，CB交于点E，
则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，
∴∠E＝90°－∠ABE＝30°.
在Rt△ABE中，AE＝AB·tan 60°＝30 × ＝90，
33
BE＝
AB cos60
30 1
3
＝60
3
.
∴CE＝BE＋BC2＝60 ＋50 ＝110 .
第二十六章 反比例函数
全章热门考点整合应用
1
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考点 1 两个概念
概念1 锐角三角函数 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°.
＋CD＝9.求BE，CE的长．
解：∵sin B＝ 3 ，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴ 设sDinE＝B＝CD＝3k5DD，EB则 DAACBB. ＝ 535k，
∴CB＝8k.
∴AC＝6k，AB＝10k.
∵AC＋CD＝9，
∴6k＋3k＝9.
∴k＝1.
∴DE＝3，DB＝5.
∴BE＝
＝4.
如图，过5点2 C3作2 CF⊥AB于点F，
则CF∥DE.
∴
，
∴CDFE＝ BE，BBFD＝ 5 .
CF BF BC 8
24
32
5
5
∴EF＝BF－BE＝ 12 . 在Rt△CEF中，CE＝5 CF 2 EF 2 12 5 .
5
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考点 2 一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算： (1)(中考·成都)2－2＋ －2sin60°＋|－ |；
EC＝BC·tan ∠CBE＝50 ×tan 30°＝502 × 3 ＝50.
在Rt△DEF中，DF＝ 3
＝330. 3
∴AD＝AF＋DF＝BE＋EDFF＝ 10A0B＋303＝0 1330. tan D tan60 3
1 ∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝ (AD＋BE)·AB＋
1 BC·EC＝ 1 ×(130＋100)×30 ＋2 1 ×50 ×50＝
D处．
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6．(中考·娄底)如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达 452 m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上 的第二高楼DE高340 m，为了测量高楼BC上 发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的 仰角为α，sin α＝ ，在顶端E点测得A的仰
角为45°，求发射2塔4 AB的高度． 25
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考点 4 两个技巧
技巧1 “化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝ 3 ，AC＝
2 ，求AB的长．
2
3
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ACD中，∵AC＝2 ，∠A＝30°，
3
∴CD＝ AC＝1 ×2 1 ＝ ，
A在DR＝t△ACBC·cDos中32，0°＝＝22 ta×n B3＝3 ＝33，.3
易知∠OAD＝∠OBC，∴∠ABD＝∠OBC.
∴OE＝OC.
∴点E在⊙O上．
所以AB为⊙O的切线．
(2)解：由BC＝6，tan∠ABC＝
，得AC＝
8.
AC 4
易知AB＝10，BE＝BC＝B6C，A3E＝4.
令OE＝OC＝x，则在Rt△AEO中，(8－x)2＝42＋x2，
解得x＝3，
∴OB＝
＝3 .