Chapter4 Controllability and Observability

u ( )d B u ( )( ) d AB
0 0
t1
t1
t1 1 n! 0

u ( )( ) n d An B
B
AB An 1 B U (t1 )
一、定常线性系统的状态能控性
例：
一、定常线性系统的状态能控性
33 线性系统理论基础讲义 龚道雄
一、定常线性系统的状态能控性
状态能控性的格兰姆矩阵判据 系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件
是对任意t1 >0矩阵Wc : e
0 t1 At
BB e
T
AT t
dt 满秩:
rankWc n
u (t ) B e
T At1
一、定常线性系统的状态能控性
MATLAB求解： >> A=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];B=[2;0;1]; >> Uc=CTRB(A,B) >> R=rank(Uc) 得： Uc = 2 -4 0 0 1 0 1 1 -5 R= 3 或 >> % Number of uncontrollable states >> unco=length(A)-rank(Uc) 得： unco= 0
子空间 向量的线性无关性 基底 向量生成的子空间 线性变换与矩阵表示 线性变换的不变子空间
矩阵的最小多项式 方程组的解
引 论
6
线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论 (卡尔曼 )
7
线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论 (卡尔曼 )
8
线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论
9
线性系统理论基础讲义 龚道雄
对于连续时间线性时不变系统，状态完全能控等价于所有
状态完全能达。
x2
x(t1 ) x x1
x2
x
x1 x(t1 ) 0
t0 0
一、定常线性系统的状态能控性
一、定常线性系统的状态能控性
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
一、定常线性系统的状态能控性
能控性秩判据
系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件 是矩阵Qc : B
2 线性系统理论基础讲义 龚道雄
内容与要点
内容 要点
一．线性系统的能控性
二．线性系统的能观测性 三．对偶原理 四．线性系统的结构分解
概念，判椐
概念，判椐 对偶系统，对偶原理 概念,分解算法
五．能控标准型和能观标准型 概念,化标准型算法 六．系统的实现与最小实现
3
概念,最小实现算法
线性系统理论基础讲义 龚道雄
At1 0
x2
x
t1
x1 x(t1 ) 0
一、定常线性系统的状态能控性
u
u
任意给定一个时刻t0 ,问：能否通过在一个有限时间段 [t0 , t f ]的给定输入（外力）u (t ) | 使得系统的状态 （摆的角度和角速度） t ), (t )在时刻t f 达到平衡状态0? （
20 线性系统理论基础讲义 龚道雄
x1 A11 x1 A12 x2 B1u x2 A22 x2
一、定常线性系统的状态能控性
基于约当标准型的能控性判据（特点在于可以直接 得出判别结果）
系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件 1）当系统化为对角标准型 x diag{1 , , n }x Bu 时B的相对于同一特征根的行向量线性无关； 2）当系统化为约当标准型 x Ax Bu 时B的对应于 同一个特征根的约当块的分块矩阵Bij ,j 1, 2, , i 的最后一行构成的向量组线性无关。
J ij
i (i 1, 2,, l; j 1, 2,, i）为i的约当块
1 i 1
一、定常线性系统的状态能控性
例：对角标准型
有重根情况
x1 1 0 x1 1 x 0 1 x 2 u 2 2
n 1
P 1 B Qc : P B
P APP B ( P AP) P 1Qc AB A B
n 1
1
1
1
n 1
P B
1
一、定常线性系统的状态能控性
基于线性变换的能控性判据
系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件 是不存在线性变换x Px 使得变换后的矩阵 A P 1 AP, B P 1 B具有如下形式 A11 A 0 n1 A12 n1 B1 n1 n , B 0 n , n2 0 A22 2 2 n2
AT t
Wc1[0, t1 ] x0
t1 0
x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt e x0 e
At1 At1

t1
0 t1
e e
At
BB e BB e
T
T
AT t
Wc1[0, t1 ]x0 dt dt Wc1[0, t1 ] x0
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论
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线性系统理wenku.baidu.com基础讲义 龚道雄
引 论
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论
16
线性系统理论基础讲义 龚道雄
一、定常线性系统的状态能控性
状态转移
输入 u (t ) 状态 x(t ) 输出 y (t )
x Rn
x Ax Bu
y Cx Du
u Rm yRp
一、定常线性系统的状态能控性
能达状态定义
对于系统 x Ax Bu. 固定时刻t1,状态x称为 （在t1时刻）能达的，如果存在控制输入u (t ) 使得 x e
0 t1 A ( t1 )
Bu ( )d
e x e
At1 0 t1 0 t1 A ( t1 )
AB An 1 B 满秩: rankQc n
At1 t1 0
Bu ( )d 0 e x e A(t1 ) Bu ( )d
x e A Bu ( )d
1 I A( ) n! An ( ) n Bu ( )d 0 t1
无重根情况
x1 1 0 x1 1 x 0 1 x 0 u 2 2
一、定常线性系统的状态能控性
例：水槽
一、定常线性系统的状态能控性
例：约当标准型
1 1 1 A
e x0 e
At1
At1
At
AT t
0
e At1 x0 e At1Wc [0, t1 ] Wc1[0, t1 ] x0 0
一、定常线性系统的状态能控性
状态能控性的PBH（Popov-Belevitch-Hautus）判 据（波波夫和贝尔维奇提出，豪塔斯指出其广泛应用性）
一、定常线性系统的状态能控性
B1 J1 , B A Bl Jl J i1 Bi1 Ji , Bi Bi J i i i
目录
一、定常线性系统的状态能控性 二、时变线性系统的状态能控性 三、离散时间线性系统的状态能控性 四、定常线性系统的状态能观性 五、时变线性系统的状态能观性 六、离散时间系统的状态能观性 七、对偶系统和对偶性原理 八、能控和能观规范型 九、线性系统的结构分解 十、最小实现
复习：线性代数知识
线性空间与线性变换
tf t0
一、定常线性系统的状态能控性
状态完全能控性 —（A,B）完全能控
如果系统的每一个非零状态都是能控的，则称系统的状态 是完全能控的。也称(A,B)是完全能控矩阵对。
注意: 1) 状态取整个状态空间;
2) 控制没有约束限制。
一、定常线性系统的状态能控性
状态完全能控性与能达性的关系
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引 论
通过线性系统的结构分析
可以更深入地了解系统的结构特征，从而揭示状态 空间描述的本质 可以更深入地揭示和沟通状态空间描述和传递函数 描述之间的联系，了解系统的能控性和能观测性与 传递函数矩阵之间的关系，并为系统的最小实现问 题或者最小系统提供理论依据； 可以为采用现代控制理论的方法来理解系统综合的 基本方法打下良好的基础。
PBH秩判据
系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件 是对A的任意特征根有 rank I A B n
PBH特征向量判据（主要用于理论分析中）
系统 x Ax Bu的状态完全能控的充分必要条件是 对任意复数 和向量z , 若 z * A z *且z * B 0, 则z 0. 即：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量。
一、定常线性系统的状态能控性
线性变换下的不变性质
:
x Ax Bu x Px y Cx Du
:
x ( P 1 AP) x ( P 1 B) u y (CP ) x Du
状态线性变换不改变能达子空间和能控性。
Qc : B
1
AB A B
Chapter 4 Controllability and Observability
本章要点
理解能控性和能观测性的概念，理解能控性、 能观测性与系统传递函数矩阵的关系； 掌握判定能控性和能观测性的条件和方法； 掌握化系统的状态空间表达式为能控和能观 标准型的方法； 理解系统结构分解的意义，掌握其方法； 掌握传递函数阵的最小实现的基本方法。
x2 x(t1 ) x x1 t0 0
对于系统 x Ax Bu. 状态x称为能达的，如果 存在有限时刻t1控制输入u (t ) 使得 x e A( t1 ) Bu ( )d
0 t1
一、定常线性系统的状态能控性
状态能控性定义
对于系统 x Ax Bu. 状态x 0称为能控的， 如果存在有限时刻t1和控制输入u (t ) 使得 e x e A(t1 ) Bu ( )d 0
一、定常线性系统的状态能控性
2 1 b111 1 b112 2 1 1 b113 2 1 2 1 1 b121 2 I A B 2 1 b122 0 1 b211 0 b212
应用秩判据进行判断
根据状态方程计算能控性判别矩阵。
一、定常线性系统的状态能控性
一、定常线性系统的状态能控性
一、定常线性系统的状态能控性
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
一、定常线性系统的状态能控性
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
一、定常线性系统的状态能控性
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
1
1 1
1
1 2
b111 b 112 b113 , B b121 b122 1 b211 b 2 212
一、定常线性系统的状态能控性
0 1 0 1 0 0 1 1I A B 0 1 2 b111 b112 b113 b121 b122 1 b211 1 2 b212
引 论
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线性系统理论基础讲义 龚道雄
引 论
能控性与能观测性这两个基本概念，深刻地揭示了 系统的内部结构关系，是最优控制和最优估计的设 计基础，在现代控制理论研究与实践中具有极其重 要的意义。
能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存 在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存 在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优 估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 本章的内容是线性定常系统综合的基础。