(待打印)并联谐振的推导及理解

并联谐振
并联谐振
第一部分：GCL 并联谐振推导
谐振（Resonance）是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象。它的定义是： 含有 R、L、C 的单端口电路，在特定条件下出现了端口电压、电流同相位的现象时，称电 路发生了谐振。一般教材中均以 RCL 串联谐振为例来推导谐振的各种特性，在分析并联谐 振电路时仅根据对偶原理直接给出 GCL 并联谐振电路的结果。 为了更清楚的了解 GCL 并联 谐振电路，此处以 GCL 并联电路为例来推导谐振电路的特性。
（7）
I / G ，得 将式（7）两边同除以谐振时的商品电压 U 0
U U 0
1 1 j 1 1 C G L

1 0 1 jQ 0
0 0
相应的幅频特性和相频特性分别为
对于不同的 和 0 值，特征根有四种情况，它们分别对应于过阻尼、临界、欠阻尼和 等幅振荡。表 2 列出了相应的冲激相应和阶跃响应。
表 2 二阶系统的冲激响应和阶跃响应
冲激响应 h(t )
阶跃响应 g (t )
过阻尼
0
2 2 0
2 0 e ( )t e ( )t (t ) 2
第3页
并联谐振
将 R 理解为非理想电感器的内阻。电路输入导纳为
Y jC
L R 1 2 j C 2 2 2 2 2 R j L R L R L
L 0 R 2 L2
2
由此得电路前并联谐振的条件为
C
所以，电路的谐振频率为
0
1 LC
在此情况下，
L 0 L ，电路近似行将为 GCL 并联电路，如图 3，此时输入导纳为 C
Y jC
L 1 1 R R 2 2 j C 2 j C 2 2 2 2 2 L R L L R jL R L
R RC C 1 1 L ，则电路的品质因数 Q 0 。 2 2 0 L L G 0 LG R C
于是，电导 G
图 3 RLC 并联谐振与 GCL 串联谐振等效
第三部分：一些归纳总结
这里再补充一点：对于仅有储能元件（电容 C 与电感 L）组成的电路，谐振频率的个 数等于储能元件个数减去一。
并联谐振
U I G B 1 ，将式（3）代入得 0 L
2 2

I U0 G
所以谐振时端口电压的有效值取得最大值，并且完全取决于电导 G ，与电容和电感无关。 谐振时， 0 C 源自文库
0 C
C 1 1 L 0 L
式中： 为 GCL 并联谐振电路的特性阻抗，它是一个由电路参数 C 和 L 决定的量。 谐振时，流过电容和电感的电流分别为
2 0
0 t 1 e sin( t ) (t ) arctan
等幅 振荡
0 0 0
0 sin( 0t ) (t )
1 cos(0t ) (t )
对于图 5 四个电路，
R G L 或 ，前面定义 为特性阻抗，若特性阻抗的 2L C 2C
j CU j 1 I jQI I C0 0 0 G 1 U j 1 I jQI I L0 0 G j 0 L
其中
（5）
Q
C 1 1 1 C 0 G G 0 RL G L
称为 GCL 并联谐振电路的品质因数或者谐振系数，工程上简称为 Q 值。它是一个仅由电路 参数决定的无量纲的量。电导越大，Q 值越小。
iL (t )
(c )
G 2C
(d )
R 2L
图 5 几种典型的二阶 RLC/GCL 电路
第5页
并联谐振
如图 5 所示是四种 RLC/GCL 电路。图 5(a)和(b)所示电路中，若以 u s (t ) 为激励 f (t ) ，
u c (t ) 为响应 y (t ) ；图 5(c)和(d)分别是图(a)和(b)的对偶电路，若以 is (t ) 为激励 f (t ) ，iL (t )
L C C L

G2
G2
G2
若直接从信号与系统的角度来说， 0 时特征根为两个不等的实根， 0 时特征 根为两个相等的实根， 0 时特征根为一对共轭的虚根。根据特征根与响应的关系可以 得到冲激响应的收敛形式。 冲激响应可以理解为上电后给电路一部分能量后即不再有能量输入， 因此电路中的能量 慢慢地被耗能元件消耗掉；而阶跃响应可以理解为上电后一直给电路均匀地输入恒定的能 量，因此电路响应逐渐趋于稳定。 若从定性的角度来分析冲激响应，当谐振电路中的耗能元件（电阻或电导）大于两倍的 特性阻抗（导纳）时，耗能元件很快消耗了电路中的能量，因此没有振荡就归零了；谐振电 路中的耗能元件（电阻或电导）等于两倍的特性阻抗（导纳）时为一种临界状态；而谐振电 路中的耗能元件（电阻或电导）小于两倍的特性阻抗（导纳）时，则在电路中的能量不能很 快的消耗完， 在电感和电容之间经过若干次能量转换 （即振荡） 后慢慢地被耗能元件消耗掉。 当 0 即电阻或电导为零时，电路中无耗能元件，因此对于冲激响应来说，上电时给 注入的能量一直在电容和电感之间转化，而且没有能量损耗，所以做着等幅振荡。 个人认为图 5 中的(a)(d)是两种实际中的基本谐振电路，图中的 R 为非理想电感器的电 阻，(b)(c)为两种变换形式。 后记：仔细琢磨一下并联谐振本来是为了配合研究射频 C 类功率放大器的，因为 C 类 功放的导通角小于 90°（另一说小于 180°，都一样，差着二倍的关系） ，失真很严重，因 此谐波分量很丰富，因此需要用一个谐振回路将基频（选择其它频率成分就成了倍频器）选 出来。C 类功放看了好一阵子，基本把射频 CDE 三类功放的基本原理看明白了，但发现自己 的理解仅限于‘明白’，并没有多少自己的感想，因此就没敢写总结之类的东西。这篇并联 谐振的总结个人感觉写的很乱， 没有表达出自己想表达的意思， 至少没有按照一种通俗易通 的方式表达出自己的理解， 就作为自己成长路上的一个纪念吧， 主要就是课本上推导的是串 联谐振，但看 C 类功放时大部分是并联谐振，于是推导一下作为一份资料供以后查用，也许 以后此部分内容会有更新的。谐振这一块还是有些不理解的地方： 一是选用电流谐振还是电压谐振； （涉及选用串联还是并联谐振，怎么选呢？） 二是 Q 值的理解； （储能与耗能之比，还是不太理解……） 三是特性（征）阻抗的理解； （表达式与无损耗传输线相同，有啥联系呢？） 期待拨云见日的那一天……
和I 大小相等，相位相反，完全抵消。它们的有 由式（5）可知，在谐振状态下， I C L
效值都为端口输入电流有效值的 Q 倍。即
Q
I C 0 I L0 I I
全都流过电导，电导电流的有效值达 所以并联谐振又称为电流谐振。这时，端口输入电流 I
到了电大值。 当 Q 1 ，电路接近谐振状态时，流过电容和电感的会远远远大于端口输入电流。在 一些无线电设备中，利用此谐振特性可提高微弱信号的幅值，并把它选择出来。 应该指出，流过电容和电感的电流有效值的大小与频率有关，它们的最大值一般并不 出现在谐振频率处。当品质因数较高时，它们的最大值与谐振时的值相差很小。 谐振时，电容和电感中所储存的能量总和为
U U0
1 0 1 Q2 0
2
， ( ) arctan Q
（ 8）
根据通频带的定义，令 U / U 0 0.707 ，由式（8）得
0 Q 1 0
由此得通频带的上、下限频率分别为
0
L R 2C L2C
R 2C 1 1 L LC
（ 9）
由式（ 9）可知，电路的谐振频率仅由电路的参数决定。由于只有 1
R 2C 0 ，即 L
R
L L 时， 0 才是一个实数，所以只有 R ，电路才会发生谐振。 C C
在实际中，一般都选择参数满足 R
L ，则电路的谐振频率可近似为 C
I
U
I G I C I L
图 1 GCL 并联谐振电路
对图 1 所示的 GCL 并联电路，在正弦稳态下，其输入导纳为
1 Y ( j ) G j 0 C L G jB 0
（ 1）
和端口电流 I 同相，输入导纳的虚部为零，即 当电路发生谐振时，端口电压 U
0
即电路谐振时的输入导纳为一纯电导。并且有
Y G 2 B 2 Y0 G
谐振时，输入导纳的模值取得最小值；电容和电感相并联部分的支路相当于开路 。 假定端口输入电流幅值保持不变，则在谐振状态下，端口电压的有效值 U 0 为
U0 I G
而在非谐振状态下，端口电压的有效值 U 为
第1页
小于谐振频率 大于谐振频率 其它
对于仅有储能元件（电容 C 与电感 L）组成的电路，谐振频率的个数等于 储能元件个数减去一。
下面再以信号与系统的角度分析一下谐振电路。
us (t )
R 2L
uC ( t )
us (t )
G 2C
uC ( t )
(a)
(b)
iL (t )
is (t )
is (t )


( )t ( )t e 1 2 e (t ) 2
临界
0
2 t 0 te (t )
1 (1 t )e (t )
t 0
欠阻尼
0
2 0 2
t e sin( t ) (t )
CH
通频带为
0 1 1 ， CL 0 0 1 0 1 2 2Q 4Q 2Q 4Q 2
BW CH CL
0 Q
可知，当电路的谐振频率一定时，Q 值越高，通频带越窄。
第二部分：实用并联谐振电路
R C L 图 2 实用并联谐振电路
在工程上经常用电感线圈与电容并联的谐振电路，其电路模型如图 2 所示。此处可以
B 0C
或者写成
1 0 0 L
（2）
BC BL
式(2)称为 GCL 并联电路的谐振条件。由此可得电路的谐振频率为
0
或者
f0
1 LC
1 2 LC
（ 3）
（ 4）
由于谐振时输入导纳的电纳分量为零，所以，由式（1）得电路的谐振导纳 Y0 为
Y0 Y ( j ) G
第2页
并联谐振
可见，谐振时电路所储存的总能量 W (t ) 是不随时间变化的常量，且与品质因数 Q 的平方成 正比，也与端口输入电流有效值的平方成正比。 为了研究 GCL 并联电路的谐振性能，现在来讨论电路的频率特性。图 1 所示电路两端 的电压为
I U Y
I 1 G j C L
倒数
C 定义为特性导纳， 对于 和 0 的不同大小关系等价于 R (或 G )与特性阻抗（或特 L
性导纳）之间的关系，如表 3 所示。
第6页
并联谐振
表 3
和 0 的关系另一种等价
0
R2 L C C L
0

R 2L G 2C
0
R2 L C C L
R2
2 2 2 W (t ) WC (t ) WL (t ) CU 0 sin 2 0t LI L 0 cos 0 t
而
I L0
所以
1 C U0 U0 0 L L
2 2 2 2 2 W (t ) CU 0 (sin 2 0t cos 2 0t ) CU 0 LI L 0 LQ I
为响应 y (t ) ，则描述这四种电路的微分方程为
2 2 y ' ' (t ) 2y ' (t ) 0 y (t ) 0 f (t )
式中 称为阻尼系数，其值已分别标注于各图中； 0 上述微分方程的两个特征根
2 1, 2 2 0
1 ，即谐振频率。 LC
第4页
并联谐振
图 4 多谐振频率电路示例
图 4 中共有 4 个储能元件，电感 L1 和电容 C1 组成的并联电路存在一个并联谐振频率， 电感 L2 和电容 C 2 组成的并联电路存在一个并联谐振频率。电感 L1 和电容 C1 可以等效成一 个电抗元件 X 1 ， 电感 L2 和电容 C 2 可以等效成一个电抗元件 X 2 ，X 1 和 X 2 在频率不同时可 以呈现出感性或容性，因此当 X 1 和 X 2 分别表现为电容(电感)和电感(电容)时可能还存在另 外一个串联谐振频率。 下表给出了几个有关谐振的结论： 表 1 有关谐振的几个结论 条件 相当于开路 谐振频率处 端口电压取得最大值 电容和电感支路电流有效值均为端 口电流有效值 Q 倍（非最大值） 呈现感性，可等效为电感 呈现容性，可等效为电容 并联谐振 相当于短路 端口电流取得最大值 电容和电感两端电压有效值均为端 口电压有效值 Q 倍（非最大值） 呈现容性，可等效为电容 呈现感性，可等效为电感 串联谐振