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随机信号chapter③平稳随机过程

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平稳随机过程的概念

平稳随机过程的概念

所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)

a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.

平稳随机过程

平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]

T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0

随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)

随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)




- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]

随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析

随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2



X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
0 0
2018/10/2220例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中 a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度S X ( ) 的平稳随 为常数， 机过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d



a2 RX ( ) cos0e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4
X X (T , ) xT (t )e jt dt

x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
0 0

，
A
e
( j ) 0

第3章 随机过程及答案

第3章 随机过程及答案
若a(t1) = 0或a(t2)＝0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)

互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12

数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )

这与R()的实偶性相对应。
23
例题

[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )

n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。

在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。

样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t

T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )

随机信号分析与处理

随机信号分析与处理

一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。

随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。

在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。

在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。

例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。

如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。

显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。

各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。

但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。

一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。

由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。

虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。

事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。

在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。

平稳随机过程

平稳随机过程

相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )

3第二章平稳随机过程

3第二章平稳随机过程

(4)平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量 平稳过程的自相关函数是时间τ 平稳过程的自相关函数是时间 函数。 函数。
R X ( t , t + τ ) = E [ X ( t ) X ( t + τ )] =
∫∫ x x = ∫∫ x x
1 1
2
f 2 ( x1 , x 2 ; t , t + τ ) dx1 dx 2 f 2 ( x1 , x 2 ; τ ) dx1 dx 2
平稳过程自相关函数的性质
(4) 若X(t)是周期为 的周期函数，即 是周期为T的周期函数 是周期为 的周期函数， X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T ； ， τ τ+T)； (5) 若X(t)是不含周期分量的非周期过程， X(t)是不含周期分量的非周期过程 是不含周期分量的非周期过程， 当|τ|→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则 τ 时 与 τ 相互独立， 相互独立
−−−−−−−−
平稳过程自相关函数的性质
为平稳过程， 设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具 ∈ 为平稳过程 有下列性质： 有下列性质：
1） （1） （2） ） （3） ）
R
X
(0 ) ≥ 0
RX (τ ) = RX (−τ ), BX (τ ) = BX (−τ ),
RX (0) ≥| RX (τ ) |
当产生随机现象的一切主要条件可以 产生随机现象的一切主要条件可以 视为不随时间的推移而改变 这类过程 不随时间的推移而改变时 视为不随时间的推移而改变时,这类过程 可以看作为平稳的. 可以看作为平稳的 例如: 例如 电子管中散弹效应引起的电路 中的噪声电压;通信 通信,自动控制等领域的许 中的噪声电压 通信 自动控制等领域的许 多过程都可以认为是平稳随机过程。 多过程都可以认为是平稳随机过程。

平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列

平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列

信号识别与分类
互相关函数用于信号识别
通过计算不同信号间的互相关函数，可 以识别出信号间的相似性和差异性，进 而实现信号识别。
VS
互相关函数用于信号分类
根据信号间的互相关函数特征，可以对信 号进行分类，如语音信号、图像信号等。
信号参数估计
互相关函数用于信号时延估计
通过计算信号间的互相关函数，可以估计出信号间的时延，即信号传播时间差。
03
5. 根据比较结果，评估仿真实 验的准确性和有效性。
06 总结与展望
研究成果总结
平稳随机过程的互相关函数
本文研究了平稳随机过程的互相关函数，包括其定义、性质、计算方法和应用。通过理 论分析和实例验证，证明了互相关函数在信号处理、控制系统等领域中的重要作用。
平稳随机序列
本文还对平稳随机序列进行了深入研究，包括其定义、性质、生成方法和统计分析。通 过模拟实验和实例分析，展示了平稳随机序列在通信、密码学等领域中的广泛应用。
03 平稳随机序列及其特性
平稳随机序列定义
严平稳随机序列
若随机序列的任意有限维分布函数与 时间起点无关，则称该序列为严平稳 随机序列。
宽平稳随机序列
若随机序列的数学期望为常数，且自 相关函数仅与时间间隔有关，则称该 序列为宽平稳随机序列。
平稳随机序列统计特性
数学期望
平稳随机序列的数学期望为常数，不随时间变化。
互相关函数用于信号频率估计
利用互相关函数的频率特性，可以对信号的频率进行估计，如音乐信号的基频、调制信号的载波频率 等。
05 数值计算方法和仿真实验 设计
数值计算方法介绍
离散化方法
将连续时间平稳随机过程离散化，以便进行数值计算。常用的离散化方法包括时间离散化和状态离散化。

第3章平稳随机过程总

第3章平稳随机过程总

（ii）严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时 间间隔有关，而与时间起点无关
(3.1.6) (3.1.7)
CX (t1,t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
CX (0)

RX (0) mX2


2 X
(3.1.8) (3.1.9)
（4）严平稳的判断
• 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较 困难的。不过，如果有一个反例（例3.2），就可以判 断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
遍历性过程
一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻 取值，用统计方法得到数字特征。这种方法 成为统计平均或集合平均，也简称为集平均 。 辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平 稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就 从概率意义上趋近于此过程的统计均值。
任何一个样本函数的特性都能充分地代表整 个随机过程的特性。
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
RZ (t1,t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2

随机过程

随机过程

表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
无法反映随机过程在不同时刻的联系。
第3章 随机过程
协方差函数
• 定义
B[t1,t2 ] E{[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]}


[x1a(t1)][x2a(t2 )] f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1x2
遍历平稳随机过程：具有各态历经性的平稳随机 过程。
特点：遍历平稳随机过程的数字特征完全可由该 过程的任一实现的数字特征来决定，即可用时间 平均值来代替统计平均值。
第3章 随机过程
• 公式成立（条件）
a E[ (t)] lim 1
T
_
2 x(t)dt a
T T

T 2
P () 为 的偶函数
随机过程的平均功率等于功率谱密度在频域上的积分 P () 为非负函数 • 两个概念： 双边功率谱密度 单边功率谱密度：根据 P () 的偶函数性质，把负频
率范围的谱密度折算到正频率范围内，定义为单边功 率谱密度。
第3章 随机过程
例 设随机相位正弦波 (t) sin(0t ) 式中 ω0 是正
at E[ X (t)] E[a cos(t )]

2
a cos(t )
1
d
0
0
2
第3章 随机过程
自相关函数为
RX t1,t2 E[X (t1)X (t2 )] E[a2 cost1 cost2 ]

a2
2 0
cost1
相关函数
• 定义

R[t1, t2 ] E[ (t1) (t2 )] x1 x2f2 ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1x2

随机信号分析 第三章平稳随机过程(1)

随机信号分析 第三章平稳随机过程(1)

C X ( )
0, C X ( 0 ) R X ( 0 ) m X 2 X 2
2.宽平稳随机过程
如果随机过程 X (t )满足 E [ X (t )] m X (t ) m X R X [t1 , t 2 ] R X ( ) 且 E [ X (t )]
0 0 0
T
T
cos w dt lim 4T .2T .cos w
0 T 0
a2
a2 2
cos w0
可见，随机过程 X (t )的时间均值和自相关函 数满足： E [ X (t )] X (t ) 0， R X ( ) X (t ) X (t ) 因此， X (t )是各态历经过程。 a2 2 cos(w0 )
3.1.2各态历经过程
设X(t)是一个平稳过程
1 .若 x (t ) E [ X (t )] m X 以概率 1成立，则称随机过程 X (t )的均值具有各态历经性 。
2 .若 X (t ) X (t ) E [ X (t ) X (t )] R X ( )以概率 1成立， 则称随机过程 X (t )的自相关函数具有各态 历经性。
0
1
2
t1 ) a cos 2 (t1 t 2 ) a ]da
0.5, t1 t 2 0, t1 t 2
所以，X(t)是宽平稳的
3.1.2各态历经过程
辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳过程的一个 样本函数取时间均值.当观察时间充分长,将从概率意义上趋 近它的统计平均.这样的平稳过程就说它具有各态历经性或 遍历性. 各态历经过程的每个样本都经历了随机过程的各种可能 状态,任何一个样本都能充分代表随机过程的统计特性

演示文稿三平稳随机过程课件

演示文稿三平稳随机过程课件

率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
第三十一页，共78页。
数学期望
均方值 方差 协方差
mX RX ()
E[ X 2 (t)] RX (0)
2 X
RX (0) RX ()
CX ( ) RX ( ) RX ()
第三十二页，共78页。
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100
第十页，共78页。
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：
(1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZ t EX sin t Y cost
5.1.3 循环平稳性
第二十四页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第二十五页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第二十六页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
除Guass
SSS
WSS
二阶矩过程
SSCS
二阶矩过程
WSCS
第二十七页，共78页。
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( )。
5.1.3 循环平稳性
第十七页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十八页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十九页，共78页。
5.1.3 循环平稳性

随机信号分析第三章

随机信号分析第三章

§ 3.1
平稳随机过程及其数字特征
一、平稳随机过程的基本概念
1．严平稳随机过程
一个随机过程X(t), 如果它的n维概率密度(或n维分 布函数)不随时间起点选择的不同而改变，则称X(t)是 严平稳随机过程。
p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )
2 *
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程) 严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
两个随机过程平稳相依
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
R X Y (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] R XY ( ), t 2 t1 ,

(2)平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、 t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
p X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) p X ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) p( x1 , x2 ; )
所以与二维分布有关的数字特征仅是τ的函数， 而与t1,t2的本身取值无关
式中
1 x(t ) lim T 2T



x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T



x(t ) x(t )dt
分别称作X(t) 的时间均值和时间自相关函数。
各态历经过程
若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性， 则称X(t)是宽各态历经过程。 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为一相等, 则称X(t)为 严遍历过程或窄义遍历过程. 本章仅限于研究宽遍 历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过 程. 不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过 程不一定是遍历过程。 对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便 可得到其数字特征。

第3章平稳随机过程总

第3章平稳随机过程总

在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自 相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格， 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系： 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。

E(Y
2)

(1)2

2 3

22

1 3

2 3

4 3

2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2

随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)

随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)

2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,

第三章 平稳随机过程

第三章 平稳随机过程

RX
(t1, t2 )

a2 2
E{cos [0 (t1

t2 )

2]
cos[0 (t1

t2 )]}

a2 2
E{cos [0 (t1

t2 )

2]}

a2 2
E{cos [0 (t1

t2 )]}
cos[0(t1 t2 )]cos2 sin[0(t1 t2 )]sin 2 此项为零
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
X (t) A cos(t )
E[ X (t)] E[ Acos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t) cos sin(t) sin ] =0
X (t)平稳
cos( ) cos cos sin sin
随机变量在[0, 2 ]上均匀分布.
E[cos ] E[sin ] 0
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
X (t) A cos(t )
X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
随机频率的正弦信号
E[ X (t)] E[a cos(t )]
X (t) a cos(t ) X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
sin[2 (2t )] sin(2 )

第3章 平稳随机过程

第3章 平稳随机过程
上 第三章 平稳随机过程 海 大 上一章讨论的随机过程的数学特征： 学 2 2 E X ( t ) m ( t ) , ( t ) E X ( t ) , ( t ) D X ( t ) , X X X 通 RX ( t1 , t 2 ) , C X ( t1 , t 2 ) , RXY ( t1 , t 2 ) , C XY ( t1 , t 2 ) 。 信 学 1. 它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还 院 取决于不同的时刻点。 2 ( t ) 所对应的物理量都是瞬时平均值。 2. 由 mX ( t ) , X ( t ) 和 X 工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平 稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其 所 涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。 同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇 到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。
一、 互相关函数的性质


（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质


3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。

第3章随机信号

第3章随机信号

ξ(t)的功率谱
• 设ξ(t)的功率谱密度为pξ(f)， ξT(t) FT(f) 则： pξ(f)=E[ps(f)]=lim E[│FT(f)│2]/T ξ(t)的平均功率S为： S=-∞∫+∞ pξ(f)df= -∞∫+∞ lim E[│FT(f)│2]/Tdf 而： E[│FT(f)│2]/T=E{1/T -T/2∫+T/2 ξT(t)e-jωt dt ∫+T/2 ξT(t’)ejωt’ dt’} -T/2 =E{1/T -T/2∫+T/2 ξ(t)e-jωt dt -T/2∫+T/2 ξ(t’)ejωt’ dt’} =1/T-T/2∫+T/2 -T/2∫+T/2 R(t-t’ )e-jω(t-t’) dtdt’} 令：τ=t-t’,k=t+t’，则有： E[│FT(f)│2]/T=-T∫+T [1-│τ│/T]R(τ)e-jωτdτ} 因此： pξ(f)=-∞∫+∞ lim E[│FT(f)│2]/Tdf= ) =-∞∫+∞ R(τ)e-j2πfτdτ
广义平稳随机过程
• 若一ξ(t)的数学期望，方差与t无关，自相关函数只与 τ 有关，则ξ(t)为广义平稳随机过程。 • 平稳随机过程的特性：“各态历经性” 平稳随机过程：数字特征完全由随机过程中任一实现的数 字特征来决定，即： ξ(t)（t为任意时刻）的数字特征= ξ(t1)的数字特征 ξ(t)的数学期望（统计平均值）=任一实现的时间平均值； 方差，自相关函数也可以用“时间平均”来代替“统计 平均”。 也就是说，从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了 随机过程的所有可能状态。
统计特性（续） • 经计算，我们有： Rξ(0) =Rξc(0)= Rξs(0) 即： σξ2 =σξc2=σξs2
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第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()0222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a aa -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][][][][]))(cos()cos())(cos()cos(),(;][)][cos()]cos([Φ++Φ+=Φ++Φ+=+==Φ+=Φ+=X E τωωτωωτωωt t E A E t t A E t t R x A E t E A E t A E t 0020020000[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

解：)()()()()([),(tan )()()()()()([)](''''''''τφφτφφφτφφφτφφφτφττφφφφφφφφττττR d S T d S Td t t S T d T t t S t t t t R t cons dx x S T dx x S T d S Td t S T d T t S d T t S t TtT TTTT T tT T T =+=+=+++=+++=Φ++Φ+=+====+=+=+=Φ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++++0t00t00)S(1)S(1)S(11)S()])S(S(E 111111 )]S(E tE[X∴()t X 是平稳过程该随机过程是各态历经的X (t )=lim T →∞12T s (t +ϕ)dt-T T⎰=1T s (t +ϕ)dt0T ⎰=1T s (θ)d θ0T⎰=E [X (t )] X (t )X (t +τ)=lim T →∞12T x (t )x (t +τ)dt -TT⎰=lim T →∞12T s (t +ϕ)s (t +τ+ϕ)dt -TT ⎰=1T s (θ)s (θ+τ)d θ0T ⎰=R X (τ)3.4 设X(t)随相周期过程, 图？给出了其一个样本函数，周期T,幅度a 都是常数，t0为（0，T ）上均匀分布。

求均值。

解： 样本函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++≤≤+-=∑∑∞∞-∞∞-4T nT t 8T nT t )nT 4T -t -(t T8a 8TnT t nT t )nT t -(t T 8a )t (x 000000t t8a )8T ((T/8)-T 4a )4T t -(t )t -(t T 4a )dt 4Tt -(t )dt t -(t T 8a x(t)dt T 1)]t (X [E 222T/8-t T/4-t 20t T/8-t 202T/8-t T/4t 00t T/8-t 00200000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==⎰⎰⎰-∞∞- otherwise 0t X E =)]([3.6 随机过程)t (Acos )t (X 0Φ+=ω A 或为随机变量或不是， 式中0ω为常数，)2,0(~πΦ上均匀分布，求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。

（2）A 具备什么条件两种自相关函数才相等。

解：(1) 集自相关{}()(){}())(cos 21][)t t (cos 21][)t t (cos )2t t (cos E ]A [E )t (cos )t (cos A E )t ,t (R 02210221021022010221τωωωωωωA E A E =-=-+Φ++=Φ+Φ+=（2）时间自相关[]22)(dt )()(limdt )()(lim )(TTT TT T τωτωΦτωωΦτωωΦωτ0200020002cos A cos t cos 2T21A t cos t cos A 2T 1R =+++=+++=⎰⎰-∞→-∞→22A ]A [E =∴时， 即A 为常数时，两者相等。

3.7随机过程Bcost Asint )t (X += 式中，A ，B 均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。

解：E[X(t)]= 0E[B]cost E[A]sint Bcost]E[Asint =+=+0Bcost]dt [Asint 21[X(t)]E 20=+=⎰ππ()t ]cos E[B t ]sin E[A ostsint 2E[A]E[B]c t ]cos E[B t ]sin E[A ]Bcost Asint E[(t)]E[X 2222222222+=++=+=)(222202B A 41dt Bcost][Asint 21(t)][X E +=+=⎰πππ故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。

3.8 设X(t) 与Y(t)为统计独立的平稳过程，求证他们的乘积构成的随机过程Z(t)=X(t)Y （t ）也是平稳的。

解： Y X m m t E t ===)]Y [)]t (X [E )]Y )t (X [E )]t (Z [E （（{}{}{})t ,t (R )t ,t (R ))Y(t Y(t E ))X(t X(t E ))Y(t )X(t )Y(t X(t E )t ,t (R 21Y 21X 2221221121Z ===∴()t X 是平稳过程3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳，求： （1）Z （t ）=X(t)+Y(t)的自相关函数 （2）X(t)与Y （t ）统计独立时的结果（3）X(t)与Y （t ）统计独立时且均值为零时的结果。

解：{}{})()()()(),(ττττXY XY Y X 22212121221121Z R R R R ))Y(t Y(t ))Y(t X(t ))X(t Y(t ))X(t X(t E )]Y(t ))][X(t Y(t )[X(t E t t R +++=+++=++=Y X Z m 2m R R R ++=)()()(τττY X )()()(τττY X R R R Z +=3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为：πτπτττcos3cos 4e )(R X +=-（1） 求E[X2(t)]和2σ（2） 若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比 解：（1）5R 1lim 5140R )]t (X [E 2X 222X 2=-==∞==+==∞→m Tm T ψσ）（）（ πττcos3R S =)(; 10R S =)(πτττcos 4R N -=e)(； 40R N =)(41/=NS3.12随机过程X(t)为：)t (A c o s )t (X Φ+=ω，式中A,0ω, Φ统计独立随机变量， 其中 A 的均值为2，方差位4， ),(~ππ-Φ上均匀分布。

]5,5[~-ω上均匀分布，X （他t ）是否各态历经，并求出相关函数。

解：{}t]E[sin sin E E[cos t cos E A E tsin sin tcos cos E A E t A]E[cos E t E[X =Φ-Φ=Φ-Φ=Φ+=][]][][][][)]([)](ωωωωω0)dt t cos(w a 2[X(t)]E ii/20iii=Φ+=⎰ωππω所以是均值各态历经。

3.13 设X(t) 与Y(t)为平稳过程，且相互独立，他们的自相关函数分别为：()()23Y 2X 9R cos 2R τττωττ--+==ee设 Z （t ）=VX(t)Y(t)V 是均值为2，方差为9的随机变量，求Z(t)的均值，方差，和相关函数。

解：()()()()2322329902109022022YXm emee cos e==+=∞===∞=+===----ττττωτY X Y X R R R R{}{})()(V [E V [E ),(ττY X 2221221121Z R ]R ))Y(t )}E{Y(t )X(t X(t ]E )])Y(t )][VX(t )Y(t [VX(t E t t R 22===()⎪⎭⎫ ⎝⎛+*=--232926ττωττe cos eZ R()()()2600260002=∞-===Z Z Z R R R E [Z(t)]Z σ3.14 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号 1,1),(ττ<<-a t aX 是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为N(t), 于是接收到的全信号为：)t (N )-t (aX )t (Y 1+=τ（1） 若X （t ）和Y （t ）联合平稳，求互相关函数()τXY R（2） 在（1）条件下，N(t)均值为零，并与X(t)相互独立，求()τXY R 解：{}{}{}XY 12111211212X 1XN 12R (t ,t )E [(aX(t -)N(t )]Y(t )aE X(t -)Y(t )E N(t )X(t )aR -R (t t )ττττ=+=+=+（），（2）{}{}{}XY 12111211212X 1XN 12X 1R (t ,t )E [(aX(t -)N(t )]X(t )aE X(t -)X(t )E N(t )X(t )aR -R (t t )aR -ττττττ=+=+=+=（），（）3.15设X(t) 与Y(t)单独且联合平稳，且相互独立，)t bsin(Y(t)t cos a X(t)00Φ+=Φ+=ωω）（ 式中 a,b 为常量，),(~ππ-Φ上均匀分布。