重庆大学高等数学竞赛2006

重庆大学2011—2012年度学生“争先创优”候选标兵风采展示优秀学生候选标兵流水不腐，户枢不蠹——法学院法学专业李蒙蒙辅导员：刘力强中共党员，通过大学英语四级（642分）、六级（610分）和计算机二级，前三年平均学分绩点3.79，专业排名第5，综合排名第1。

该生始终秉持着‚流水不腐，户枢不蠹‛的心态，坚持以高标准严格要求自己，努力向自己的梦想靠近。

她成绩优异，多次荣获国家奖学金、重庆大学综合奖学金、祥生奖学金等；积极参加各类学科竞赛，曾获全国大学生英语竞赛特等奖、世界级赛事Jessup国际法模拟法庭比赛全国一等奖等奖项。

科研方面，该生所参与项目获第二届SRTP优秀项目；成功申报第五届国家大学生创新性实验计划，并担任项目负责人；其论文已被《法制与经济》录用。

该生曾担任法学院辩论队成员、英语辩论协会会长、班级学习委员等职务；同时多次参加关爱留守儿童、普法宣传等志愿活动，为社会发展积极奉献一己之力。

获奖情况：国家级奖励（7项）——2012年5月，获2012年全国大学生英语竞赛特等奖；2012年2月，代表重庆大学参加‚中国第十届Jessup国际法模拟法庭全国选拔赛‛获一等奖；2011年5月，获2011年全国大学生英语竞赛一等奖；2011年2月，代表重庆大学参加‚中国第九届Jessup国际法模拟法庭全国选拔赛‛获二等奖；2010-2011年，连续2次获国家奖学金；2010年5月，获全国大学生英语竞赛二等奖。

校级奖励（17项）——2009年至今，连续6次获重庆大学综合奖学金；2010-2012年连续3次被评为‚优秀学生‛；2011年12月，参与完成的《大学校园暴力犯罪的成因及防控》获第二届‚重庆大学大学生科研训练计划‛优秀项目二等奖。

朴实而饶有兴致，执着而富有激情——机械工程学院机械设计制造及其自动化专业何俊艺辅导员：赵林中共党员，以综合名次第2的好成绩（404人）保送上海交通大学硕博连读。

累计获得国家级奖励5项，重庆市级奖励2项，校级奖励7项，国家实用新型专利2项。

习题1-5 A 组1.求参数a 的值，使得函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在点2x =处连续解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为00lim ()()x x f x f x →=解：本题中22224lim ()limlim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a =2.若函数(sin cos ),0()2,0x e x x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，求a解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =lim ()lim(2)x x f x x a a --→→=+=，00lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a =3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =点处连续，求a 与b 的关系解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =20lim ()lim()x x f x a bx a --→→=+=，00sin sin lim ()lim lim x x x bx bxf x b b x bx+++→→→===则a b =4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2sin ()1x f x x =-（2）1()1x f x x -=-（3）2tan ()1x f x x =+ （4）20,0,01()42,134,3x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩ 解析：考查间断点的类型，首先要找出间断点，一般为无定义点、无极限点和函数值不等于该点的极限值的点。

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,,a b c 满足条件,a c b c ⋅=⋅则().(A) a c = (B) a b c =- (C) b c = (D) ()a b c ⊥- 知识点:向量的运算.难度等级:1. 答案:(D)分析:由a b a c ⋅=⋅得()0a b c ⋅-=,,,a b c 都非零,所以()a b c ⊥-. 2. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,x x y C e C e -=+其中12,C C 为独立的任意常数.则该方程为().(A)xy y e ''-= (B) 20y y ''-=(C)0y y ''+= (D)0y y ''-= 知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1. 答案: (D)分析:由通解中的两个独立解,x x e e -知.方程对应的特征方程的特征根为121, 1.λλ==-因此对应的特征方程是2(1)(1)10.λλλ-+=-= 于是对应的微分方程应是0.y y ''-=故应选(D).3. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2[23]x xyz dV Ω+-⎰⎰⎰().=(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 知识点:三重积分,对称性,难度等级:2. 答案:(D)分析: 积分区域关于yoz 面对称.22x xyz +为关于x 的奇函数.积分值为0,余下为3-倍体积.球体体积为4/3,π故选D. 4．设有曲线积分22,4Lydx xdyI x y -+=+⎰其中L 为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则I 的值为().命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(A)0 (B)2π (C)2π- (D)π 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2. 答案:(D)分析: 由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线L 到原点最小距离为2,a 取曲线222:4C x y a +=的顺时针方向.与曲线L 构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为0.故22222222cos sin 22.4C a a ydx xdy I d x y aπθθθπ-+-+===+⎰⎰选D.5. 经过两平面4310,x y z -+-=520x y z +-+=的交线作平面,π并使π与y 轴平行的方程为(). (A) 142130x y --= (B) 211430x z -+= (C) 211430x z +-= (D) 211430x z ++= 知识点:平面方程,平面束.难度等级:2. 答案:(C)分析:设平面π的方程为52(431)x y z x y z λ+-++-+-=即(14)(5)(31)20.x y z λλλλ++-+-+-=当5λ=时211430x z +-=与y 轴平行.6. 设()f u 具有连续导数.∑是曲面22z x y +=与228z x y --=所围成立体表面之外侧.则zdxdy dzdx yxf x dydz yx f y++⎰⎰)(1)(1=().(A) 16π (B) 16π- (C) 8π- (D)因()f u 未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2. 答案:(A)分析: 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.48416,yyD D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设函数10()0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的和函数为(),s x 则(4)s π=__________.知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1. 答案:1.2分析:傅立叶级数的和函数为()s x 是以2π为周期的周期函数.(00)(00)1(4)(0).22f f s s π-++=== 8. 设∑为平面1x y z -+=在第四卦限的上侧.(,,)f x y z 为连续函数.则[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d ______.f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++=⎰⎰知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:1.2分析:原积分{}}[(,,)],[2(,,)],[(,,)]1,1,1f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-⎰⎰)1.2xyD x y z dS dxdy ∑=-+==⎰⎰9. 曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角为__________.知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2. 答案:.4π分析:曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角θ的正切为z xy =在点(2,1处关于x 的偏导数的值.即(2,1)(2,1)tan 1,z y x θ∂===∂所以.4πθ=10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e ===到点()1 , 0 , 1B 的弧段, 则第一类曲线积分()222 LI x y z ds =++⎰的值为__________.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案:()31.3e π- 分析: ()22222 0 (t t t L I x y z ds e e dtπ=++=+⎰⎰)31.e π=- 11. 由曲线2,2y x y x ==+所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x μ=+则此薄片的质量M 为__________. 知识点:薄片的质量,难度等级:2. 答案:153.20分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故222221153(1)(1).20x Dx M x dxdy dx x dy +-=+=+=⎰⎰⎰⎰ 12. 设积分曲面∑是球面222:2,x y z az ++=则曲面积分222()_____.x y z d S ∑++=⎰⎰ 知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2. 答案:48.a π分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.12,∑=∑+∑1:∑z a =2:z a ∑=在曲面上被积函数等于2,az 计算合并化简得二重积分2222448.x y a a a π+≤=⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题00430,6,10x x y y y y y ==''''-+===的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1. 分析:求特征根,写出通解,再求特解.解: 特征方程为2430,λλ-+=其根121,3,λλ==故通解为123.x x y C e e C =+代入初值条件可解得124, 2.C C ==从而特解为342.x x y e e =+14. 求幂级数2211(!)(2)!n n n xn +∞=∑的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2 分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解: 2232221((1)!)(22)!lim lim 1(!)4(2)!n n n n n x x n n x n ++→∞→∞++=< 2.x ⇒<当2x =时,221221111(!)(!)2(2)!!2(2)!(2)!(21)!!n n n n n n x n n n n n ++∞∞∞=====-∑∑∑通项极限不为0故发散.幂级数2211(!)(2)!n n n x n +∞=∑的收敛域为 2.x <15.过两平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线作一平面π过点(1,1,1), 求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何. 分析： 写出过已知直线的平面束方程. 解： 设所求的平面方程为 431(52)x y z x y z λ-+-++-+= (1) 将点)1,1,1(代入(1)得57λ=-.将57λ=-代入(1)得 所求的平面方程为233226170x y z -+-=.16. 计算2(),I z x dydz zdxdy ∑=+-⎰⎰其中∑是抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分. 难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为 二重积分.解 : 首先,计算2(),z x dydz ∑+⎰⎰其中12,∑=∑+∑1:x ∑=前侧;2:x ∑=后侧.2()zx dydz ∑+⎰⎰2z =(-y12()z x dydz ∑=++⎰⎰⎰⎰∑+2)(2dydz x z ⎰⎰⎰⎰---+-+=yzyzD D dydz y z z dydz y z z))(2()2(222222222224.yz D y dyπ-===⎰⎰⎰⎰其次,2222211()()4.22xyD zdxdy x y dxdy d rrdr πθπ∑-=-+-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是,8.I π=四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分[]⎰-+L dy x x xf dx x yf 2)(2)(在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中(),(1)1,().f x f f x =可导且求知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程. 难度等级:2分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程. 解:由积分与路径无关的条件知:[]2()2(),yf x xf x x y x∂∂⎡⎤=-⎣⎦∂∂ 即有1()() 1.2f x f x x'+=解上面的微分方程得()f x C =+将1)(=x f 代入上式得1.3C =所以1()2).3f x x =+18．设为不自交的光滑闭曲线.求[]sin().grad x y z dr Γ++⋅⎰知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析: 斯托克斯公式解: .记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数z f x y =(,)在P x y 000(,)处有连续的偏导数.证明它在P 0处沿等值线的切线方向的方向导数为零. 知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线(,)f x y C =上一点000(,)P x y 处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x f f -由方向导数的计算公式0z z a a∂=∇⋅∂即可得到结Γ[sin()]cos()()grad x y z x y z i j k ++=++++∑ΓΓ[sin()]cos()()grad x y z dr x y z dx dy dz ΓΓ++⋅=++++⎰⎰0000dydz dzdx dxdy ∑=++=⎰⎰论.证明:函数z f x y =(,)的等值线(,)f x y C =上一点P x y 000(,)处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x a f f =-z f x y =(,)沿此方向的方向导数为(,)(,)0.y x x y f f z z a f f a a a∂=∇⋅=⋅-=∂ 20. 设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.且0()lim 0.x f x x →=证明级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 绝对收敛. 知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3 分析:由已知0()lim0x f x x→=可得(0),(0)f f ',利用泰勒中值定理建立函数()f x 与零点间的关系.证明:1. 0()lim0x f x x→= 0()(0)lim ()lim0.x x f x f f x x x→→⇒==⋅= 00()(0)()(0)limlim 0.x x f x f f x f x x∆→→∆-'⇒===∆ ⇒由泰勒中值定理.存在1(0,),nξ∈使得2111()(0)(0)().2f f f f n n nξ'''=++ 211()().2f f n nξ''⇒≤2.又)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M >使得().f x M ''≤2211().22Mf M n n n ⇒≤=⇒级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点:质心,难度等级:2分析:根据已知条件建立恰当坐标系.要求可得一方程.解方程可得结果解:设所求矩形另一边的长度为,H 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为31/.g cm ρ=由对称性及已知条件可知0,x y ==即0.Dydxdy =⎰⎰从而0.RRHdx ydy --=⎰即3221[()]0,2RR R x H dx ---=⎰亦即32210.3R R RH --=从而.H =因此,. 22．求原点到曲线221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩的最长和最短距离.知识点:条件极值.难度等级:3分析: 先写出目标函数.即曲线上的点(,,)x y z 到原点的距离.然后用拉格朗日乘数法可得条件极值点.解:原点到曲线上点(,,)x y z 的距离d =需要求出222x y z ++在221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩下的极值.令L =22222()(1),x y z x y z x y z λμ++++-+++-则由拉格朗日乘数法得2222022020.010x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪⎪=++-=⎩解方程组得驻点12x y ==-此时2z =d及驻点12x y ==-此时2z =.d。

A 组1.验证拉格朗日中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '，证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =-又因为2()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得1,21052412x ±==则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=-2.证明方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明证明：设32()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'=2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =，x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根3.若方程10110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定理的第三个条件证明：设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=即12011(1)0n n n a nxa n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根4.设2350a b -<，证明：方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根解析：考查连续函数的性质，分析题干所给条件，2350a b -<正是判断函数53()234f x x ax bx c =+++导数根的存在性的依据，而lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，则可以判断函数的根的唯一性证明：设53()234f x x ax bx c =+++，42()563f x x ax b '=++令2t x =，2()563f t t at b '=++（0t ≥）而222(6)543366012(35)0a b a b a b -⋅⋅=-=-<则2()5630f t t at b '=++=没有实数解，且lim ()x f x →+∞'=+∞因此可得()0f x '>恒成立，方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根 5.设0a b >>。

第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD.x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos6.函数211)(x x f -=的原函数是（A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c xx ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（B ）A.x 2B.2C.2x D.-28.若ce dx e xx +=⎰,则⎰xd e x22=（A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212.函数211)(x x f -=的原函数是（A ） A.c xx ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D.不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F )()(D.C x F dx x f +='⎰)()(15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（D ）. A.2x y = B.2x y -= C.12+=x y D.12-=x y 二.填空题 1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dxx f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos .14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2.16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C.22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x x dx +-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2.三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin (×)2.x x e dx e =⎰（×）3.⎰-=.cos sin x xdx (×)4.⎰+-=cx xdx cos sin (√)5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰(×)6.⎰+-=c x xdx sin cos （×）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21.解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31.解:原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e xx 1.解：原式=C e e d e x x x ++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx x x x )3sin 21(.解:原式=C x x x +++ln 3cos 225.求不定积分⎰-dx xe x 2.解:原式=C e x +--221 6.求不定积分dx x x⎰+12.解:原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(.解:原式=C xx x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(.解:原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(.解:原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin .解:原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx xx 22cos sin1.解:原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321.解:原式=C x ++32ln 2113.求不定积分xdx x arctan 112⎰+.解:原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313.解:原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411.解:原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3.解:原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x5.解:原式=C e x +--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系；（2）t s 与的函数关系.解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程. 解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完360米需多长时间？ 解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离. 解：t t t S C t tdt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰.7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰.第五章不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中,dv u ,选择正确的是（A ）.A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdx dv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4-3.=⎰2-4d x x (A).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx +2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（√）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（√）三.填空题 1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x x x cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232.解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx ex22.解：原式=C x x e x ++-)21(2122 3.求不定积分⎰++dxx x 11.解：C x x C t t dt t t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx.解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin .解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(.解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4.解：原式C x e x ++-=-)16141(48.求不定积分⎰++dxx 111.解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211.解：原式[]C x x +-+++=112ln12-10.求不定积分dxex⎰+11.解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2.解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1.解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxx x 22112.解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x 2)1,0(≠>a a .解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (32215.求不定积分dxx⎰-2941.解：原式C x +=23arcsin 31 16.求不定积分dxx ⎰sin .解：原式C x x x ++=sin 2cos -217.求不定积分⎰xdx x 3cos .解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2.解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题（增加题）第六章定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )((C)A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f (C)A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于(C)A.)(x fB.区间[]b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于(C)A.)(x fB.区间[]b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f (A)A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()(C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dxd ba )((B) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10.若1)(=x f ,则⎰=badx x f )((C)A.1B.b a -C.a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k (B)A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042(C)A.11B.12C.13D.14 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件.(×)2.a b dx ba -=⎰0.(×)3.⎰='badx x f 0))((.(×）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=.(×)三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx x e x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]a b dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A . 9..0sin 12=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x . 15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为负.四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx.解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x .解：原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxex⎰-1.解：原式eex1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212解：原式3712313==x 9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin .解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin .解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911.解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12.解：原式201)22(2-=+-=e x x ex15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2.解：原式102)1(2+=-=e x ex17.求定积分⎰-1dxxe x .解：原式e x ex2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+πππ33sin .解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f .解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()dx x x +⎰194.解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx .解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰1arcsin xdx .解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu.解:原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u 24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π.解:原式18sin cos 2122+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππx x x x25.求定积分dx x x ⎰-121221.解:原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x 1sin 1212⎰ππ.解:原式11cos12==ππx27.求定积分dx x ⎰+11210.解:原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解:原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰124dx x x .解:原式10ln 710ln 810=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1.解:原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1.解:原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π.解:原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x .解:原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12解:原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx.解:原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22.解:原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π.解:原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x .解:原式2112521032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022.解:原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212.解:原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx .解:原式[]ππ=+-=0sin cos xx x42.求定积分dx x xe⎰12ln .解:原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx .解:原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解:原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π.解:原式[][]3sin sin 23220=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221.解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x .解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx .解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8(万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量.解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S .(图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S .(图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S.(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解:24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为(C).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(- 2.一物体受连续的变力)(x F 作用,沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =,变力所做的功为(A).A.⎰b a x x F d )( B.⎰ab x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （C ）.A.dxx ⎰24π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积.（╳）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法.（√） 三.填空题 1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=2sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10,g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。

2006年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为A. 20B. 25C. 30D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

2006年中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（27人）姓名学校姓名学校邓煜深圳高级中学冯春远华南师大附中谌昭湖南雅礼中学刘建新河南省实验中学金龙东北师大附属中学朱傲雄湖南师大附中任庆春天津耀华中学甘文颖武钢三中张安如湖南省长沙市一中张神星铜陵市一中沈才立浙江镇海中学黄强连城一中张瑞祥北京人大附中魏文哲武钢三中杨光河南师大附中姚添宇江苏省启东中学汪哲楠武钢三中江建博东北师大附属中学周韦康江苏金陵中学熊欢南昌二中柳智宇湖北华师一附中王欣西工大附中蒋扬成都七中杨珏慜上海中学张子立华东师大二附中陈晨青岛二中张小楠寿光一中二等奖（47人）姓名学校姓名学校陈祖维江苏省启东中学张峻豪翠园中学姜子麟复旦大学附属中学周宁晨湖南师大附中黄昊阳安庆一中陈拉明鹰潭一中石文博辽宁省实验中学熊英大连二十四中李禄俊华东师大二附中晋捷人大附中王少峰外语学校樊昊阳西北师大附中黄溢辰南师附中张涛黄冈中学刘可然成都七中赵守琦大连育明高中钟诤杭二中何广璐成都七中何珂俊诸暨中学宿国龙东营市胜利一中谭新文湖南师大附中邱野耀华中学刘雨晨耀华中学路昊兰州一中章尧人大附中王烜深圳中学徐劼人大附中裴迪哈市师大附中王梦源石家庄二中李超江苏省苏州中学张牧河南省实验中学杨涛临川一中孙文博东北师大附属中学吴昊南昌十中王潇涵吉林市一中林楠西安高新一中刘帅成都七中金睿璋南洋模范中学王颖慧华东师大二附中郭晓朦合肥一中殷杰黄冈中学齐扬河南师大附中陆剑南南开中学应鲍龙上海中学曾宇南开中学谢腾镇海中学谢凌曦福州一中三等奖（60人）姓名学校姓名学校陈戈邯郸市一中吕诚南宁二中邢豫盛江苏省启东中学王倩倩深圳松岗中学新疆班金文超华东师大二附中谢剑波杭二中陈代晖南开中学张雅杰华中师大一附中田宇重庆一中郭嘉君南开中学戴小川天津一中陈咭雨湖南师大附中许有磊深圳松岗中学新疆班赵欣西安铁一中李冰洁人大附中方扬钦西安铁一中陈轩北京二中黄智杰仙游私立一中张一楠北京人大附中张擎天河南师大附中潘锦钊南宁二中周盛龙哈尔滨市三中罗鹏深圳中学张镞远海南中学张卓石家庄二中胡涵湖南师大附中张端阳哈市师大附中乔磊赤峰市二中闫世博吉林市一中连政星龙岩一中贾晓玮石家庄二中章光达深圳中学段聿飞海南中学邵万琦温州中学戴杰湖南师大附中周文涓兰州一中徐鑫江苏省华罗庚中学曹馨宇山西大学附属中学成宇翔山西省实验中学许蔚翔深圳松岗中学新疆班姚佳伟山西省实验中学丁薇哈尔滨市三中罗威山西省实验中学王忱大连育明高中王筑艺重庆一中张峰南开中学黄洪武南安一中佘淼成都树德中学彤一镭河南师大附中郭雨龙云南师大附中乔罡南昌十中缴麟石家庄二中刘斌东北育才学校刘笑彤实验中学刘翀成都七中马锡铠西藏民院附中赵军深圳松岗中学新疆班陈振航天中学章俊安庆一中杨攀东银川一中。

通知2006年10月15日，我省15000余名高中学生参加了“2006年全国高中数学联合竞赛”。

竞赛结果已经揭晓，现予以公布。

一、 经中国数学会、浙江省数学会2006年全国高中数学联合竞赛组织委员会评定，报浙江省学科竞赛委员会批准，本省苏炜杰等245名参赛优胜者被评为全国高中数学联合竞赛一、二等奖（其中一等奖48名，二等奖197名），并由中国数学会颁发荣誉证书。

另有722名参赛学生获2006年全国高中数学联合竞赛浙江省一、二等奖（其中一等奖280名，二等奖442名），由浙江省数学会颁发荣誉证书。

二、 经评定，温州中学等十所学校被评为2006年全国高中数学联合竞赛浙江省赛区团体优胜奖，由浙江省数学会颁奖。

现将获奖名单公布如下：（一）2006年全国高中数学联合竞赛获奖名单全国一等奖（48名，由中国数学会颁奖）序号姓名性别年级学校序号姓名性别年级学校1苏炜杰男高三余姚中学25林乔惟男高二慈溪中学2包京宇男高三温州中学26叶一超男高三衢州第二中学3周晨璐女高三镇海中学27姚 元男高二诸暨中学4陈 然男高二温州中学28张鲁嘉男高三金华一中5周铁成男杭州二中29季锦梁男高三柯桥中学6方汉隆男高二诸暨中学30钱 涛男高三金华一中7王 西男高二温州中学31吴骏巍男高二绍兴一中8梁孝度男高三温州中学32翁轩锴男高三永康一中9边新杰男高三杭州二中33陈 睿男高三舟山中学10胡 骏男高二诸暨中学34顾卓圣男高二学军中学11陈新男高三温州中学35杨振威男高三诸暨中学12沈 灵男高三诸暨中学36赵倩女高三新昌中学13李 烨男高三杭州二中37张旭怡女高三舟山中学14沈盛杰男高三效实中学38姚 垚高二诸暨中学15项文书男高三温州中学39邱立超男高三湖州中学16邬卢峰高三宁海中学40谢柏军男高三鲁迅中学17苏洲跃男高三温州中学41朱 磊男高三效实中学18陈 浩男高二温州中学42符俊涛男高三镇海中学19刘海光男高二温州中学43张 健高三嘉善高级中学 20熊杰超男高二余姚中学44蔡斌峰高三温岭中学21宋杨磊男高二诸暨中学45娄开元男高三镇海中学22黄海冬男高三温州中学46谢尚旭男高三温州中学23王 勇男高二温州中学47罗 晨男高二镇海中学24吴灏哲男高二镇海中学48尚思源女高二学军中学全国二等奖（ 197名，由中国数学会颁奖）序号姓名性别年级学校序号姓名性别年级学校1沈 洋杭州二中41姚泽梁男高三镇海中学2丁之元男高三效实中学42俞华程杭州二中3张 晨诸暨中学43夏安龙游中学4陈天笑高三平湖中学44宋翔绍兴一中5金嘉韡高二绍兴一中45周昱昊男高三效实中学6李 哲男高二温州中学46徐彬帅诸暨中学7叶哲青男高二镇海中学47吴佩之杭州二中8孙烨烽富阳中学48冯源高二私立诸暨高级中学 9戴 亮杭州外国语学校49陈宇斯男高三温州中学10胡思哲高三金华一中50俞晨冰学军中学11赵立嵊州中学51邬龙挺高三鄞州中学12陈奇杭州外国语学校52毛旭东男高三余姚中学13张 戈男高二镇海中学53张丹达高三舟山中学14傅国生诸暨中学54沈叶森男高三效实中学15周园园女高二温州中学55方戈学军中学16冯 霁男高三效实中学56陈楚男高三北仑中学17吕杨迪高三浙江省宁海中学57王川杭州二中18方泽斌杭州二中58陈远思男高二镇海中学19林恒男高三温州中学59金跃康高三东阳中学20柳音羽女高三镇海中学60卢 铮高三东阳中学21黄文昊杭州第十四中学61黄宇翔高三嘉善高级中学22朱 超男高三杭州高级中学62郑平辉男高三镇海中学23俞锦炯杭州二中63贺宇燊男高二镇海中学24谢建军高三金华一中64马鑫云男高三慈溪中学25胡 薇女高三镇海中学65金驰杭州二中26张欣宇男高三镇海中学66王婧璐高三普陀中学27王宇昕杭州二中67颜行绍兴县柯桥中学28卢斌斌男高三瓯海中学68钱景行男高三温州中学29朱欣欣高三温岭中学69连徐晨男高三台州中学(临海) 30余凌昊学军中学70章佳杰杭州二中31姚铭炜诸暨中学71卢旻龙高三金华一中32陈烨男高三慈溪中学72单佳平绍兴一中33金嘉烨绍兴一中73余越男高三效实中学34陈明男高二镇海中学74陈杰新昌中学35郑志伟男初三乐成公立寄宿学校 75蒋晓波女高二余姚中学36杜 超男高三镇海中学76俞王杰高二诸暨中学37倪建佼高二金华一中77王浩力男高三北仑中学38吴瑞之高二金华一中78沈韩男高三慈溪中学39王华海绍兴县鲁迅中学79楼 昊高三义乌中学40张一岳男高一温州中学80丁涛男高二镇海中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校81吴燊诸暨中学121陈建青绍兴一中82魏椿锋诸暨中学122钟海钢绍兴一中83张 泼男高二温州中学123徐斌萧山中学84贺 星男高三镇海中学124陈培文女高二镇海中学85王韵灵男高三效实中学125畅 帅嵊州二中86钱锦远男高三慈溪中学126叶剑波男高三衢州第二中学87徐 凯杭州高级中学127李 源高三舟山中学88朱雪涛男高三北仑中学128李其衡男高三温州中学89董思鹏男高三苍南中学129张勇军淳安中学90陈松权男高三慈溪中学130钱 斌富阳中学91温歌正高三金华二中131周传辰高三湖州中学92程杰临安中学132吴利钢嵊州一中93李 城男高三衢州第二中学133汪晓峰淳安中学94张益锋高二上虞市春晖中学134徐正扬杭州二中95顾作俊学军中学135姚淼君萧山中学96陈琨男高二镇海中学136苏里帆学军中学97赵凯波男高三镇海中学137汪云峰高二湖州中学98钱帅诸暨中学138金 烈男高三东阳中学99骆熠杭州外国语学校139张 冲男高三金华一中100陶轶男女绍兴一中140李浩男高三北仑中学101蒋紫东高三舟山中学141林旻骁高三温岭二中102张策男高三温州中学142陈康迪男高二温州中学103董跃龙男高三兰溪五中143沈鹏程男高三温州中学104张逊男高三效实中学144张海硕杭州二中105林 杰男高三温州中学145李斌学军中学106谢斐学军中学146吴洪芳三湖州二中107谈彬斌高三桐乡高级中学147杜晓明男高三东阳中学108叶 晨高二金华一中148肖 瑞高三金华一中109尹炯宇女嵊州二中149周菡女高三余姚中学110陈一峥男高三温州中学150黄 旭女高三衢州第二中学111陈龙学军中学151余 恺男高三衢州第二中学112沈鹏强余杭高级中学152陶浙锋嵊州二中113何 凡男高三东阳中学153苏意钢男高三温州中学114周沛沛男高三东阳中学154高行燕女高三舟山中学115徐 晖男高三东阳中学155谢君学军中学116滕 云男高三兰溪五中156陈 桑男高二东阳中学117何天风男高二北仑中学157朱俊儿高二湖州中学118郑燕巧男高三效实中学158董君高三嘉善高级中学119陈 涵男高三衢州第二中学159陈硕冰男高二镇海中学120陶芳波高二上虞市春晖中学160杨真建男高三温州中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校161俞斌杰男高二北仑中学180张剑男高三余姚中学162方晨翔淳安中学181赵杰男高三余姚中学163何阳军男高三东阳中学182王肖波浙江省宁海中学 164潘 超男高三东阳中学183徐远祥知恩中学165陈建卫绍兴一中184钟宇峰绍兴一中166徐若天诸暨中学185陈利洋高二新昌中学167林贤辉男高三苍南龙港高中186裴肖天男高三天台县天台中学168谢鹏伟男高三乐清中学187陈伟莉女高三瑞安中学169张力超男高三温州中学188郑金博男高三永嘉中学170鲍磊翔富阳中学189叶 楠高三舟山中学171俞萍锋萧山中学190钱龙富阳中学172张 伟高三嘉兴一中191盛怡兰高三海盐元济高级中学 173沈 富高二桐乡高级中学192姚佳杰高三平湖中学174任腾飞男高三东阳巍山高中193王腾峰男慈溪市实验高级中学175申屠展男高三东阳中学194岑佩青女慈溪市育才中学176金哲宾男高三东阳中学195沈籍树奉化中学177严海波高三东阳中学196兰宗骁男高二衢州第二中学178陈盛杰男奉化中学197凌勇高三缙云中学179邵丹琛男高三效实中学浙江省一等奖（280名，由浙江省数学会颁发证书）序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校1张晨学军中学18朱昂杭州二中2陈含光学军中学19张奕斌杭州二中3王渭权男高三东阳巍山高中20杨 骥男高三镇海中学4翁天天男高三东阳中学21赵 聪男高三衢州第二中学5胡夏雨男高二东阳中学22沈晋绍兴一中6蒋应钦男高三兰溪五中23张琪绍兴一中7范 洁男高三兰溪五中24戚斌高二诸暨中学8翁浩轩男高三兰溪五中25余宏亮淳安中学9李浩涌北仑中学26黄文翀杭州二中10郑飞女高二北仑中学27贺音卜学军中学11高盛毅男高三慈溪中学28徐斌高三湖州中学12蒋成皿男高三镇海中学29高启跃男高三慈溪中学13蒋寒青嵊州中学30叶贤佳男高三效实中学14张昊新昌中学31胡宁宁高三浙江省宁海中学15黄凌晨男高三温州中学32徐子峰高三浙江省宁海中学16郑 挺高三舟山中学33王根国高二温岭中学17徐雅齐淳安中学34尤杰男高三温州中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校35杨嘉胤杭州二中75阮海炳诸暨中学36于金扬严州中学 76金晶高二诸暨中学37许陈杰三湖州中学77李勇昂高三温岭中学38卢旭辉高三湖州中学78张元丰男高三瑞安中学39刘昕能高三嘉兴一中79叶立早男高一温州中学40毛雯蓓高三嘉兴一中80郭舟东高三普陀中学41陈波高三鄞州中学81韩 刚高三舟山中学42张 杰镇海中学82胡亢宇高三舟山中学43俞雄彬男高二衢州第二中学83林哲凯高三舟山中学44贾文镔上虞市春晖中学84蔡云梦高三平湖中学45严泳敏绍兴柯桥中学85周泱高三桐乡高级中学46孟炜杰绍兴一中86田银涛高三桐乡高级中学47余璐羽高三温岭中学87朱双厅男高三东阳中学48陈定若男高三温州中学88金 腾男高三东阳中学49蔡超男高三温州中学89叶 雨男高三效实中学50张择露男高三舟山中学90胡斐婷女余姚中学51施文绍高二富阳中学91张丹枫男高二余姚中学52张希朦杭州二中92王聪男高三余姚中学53裘元俊学军中学93罗诚男高二镇海中学54吴迪浙大附属中学 94陈铎上虞市春晖中学55金君韡高三嘉兴一中95潘贵立绍兴一中56沈 笠高三嘉兴一中96陈华栋嵊州二中57张颖恺高三平湖中学97翁子凡高二私立诸暨高级中学58蒋 伟男高三东阳中学98郑 涛诸暨中学59厉莎莎高三东阳中学99王 钦诸暨中学60柯慧婷女高三金华一中100项心江男高三瑞安中学61方忠华高三金华一中101林立勋高三舟山中学62杨 楠高二金华一中102李萌学军中学63何建宏男高三义乌三中103姚 伟男高三永康一中64吴 繁高三义乌中学104周东林男高三余姚中学65张科行北仑中学105尹传杰绍兴县鲁迅中学66陈新科男高三慈溪中学106陈宇佳女高三仙居县仙居中学67李超男高二余姚中学107焦彦嘉高三舟山中学68张苗女高三余姚中学108曹灵吉高三舟山中学69徐焱男高三育才中学109沈迦勒杭州高级中学70王媛瑱浙江省宁海中学110杨睿 高三求是高中71钟凯男高二镇海中学111刘 骜高二平湖中学72陶捷毅绍兴一中112何至初高三金华一中73叶炎军嵊州一中113王 顺男高三兰溪兰荫中学74何昆新昌中学114金含笑高三义乌中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 115孙开科男高二北仑中学155付先进衢州市常山一中116聂同舟男高三宁波中学156周梦洋高二绍兴县柯桥中学117宓鑫磊男高二效实中学157李绍欢高二绍兴县柯桥中学118陈雨惠镇海中学158赵少波绍兴一中119林炜男高二镇海中学159马辰斐绍兴一中120丁晓博高三温岭中学160裘礽晔高二嵊州二中121鲍芳琳淳安中学161刘吕浚嵊州二中122左婷婷杭州二中162楼风光诸暨中学123应一骏杭州二中163陈渺诸暨中学124鲁福韬杭州二中164金凌风男高三三门中学125钟宇浩杭州外国语学校165王加锋男高三温州中学126王玲女萧山中学166徐志霜女高三温州中学127楼佳杰萧山中学167刘雨阳男高二舟山中学128金侃学军中学168董舟涵高三舟山中学129李翔二湖州中学169干雨新高三舟山中学130席薇薇三湖州中学170俞 悦高二舟山中学131谢昇二湖州中学171李元临杭州二中132陆范菲高二嘉善高级中学172何至杭州二中133吴天琦高二嘉兴一中173邵铮铮杭州高级中学134顾振雄高三嘉兴一中174许庞杰杭州外国语学校135马亦舟高三嘉兴一中175方诚宇桐庐中学136费平平高三桐乡高级中学176宓振航余杭高级中学137华航信男高三东阳巍山高中177李犇三安吉高中138厉向宁男高三东阳中学178祁成栋三湖州中学139金冰心男高三东阳中学179杨林杰高二湖州中学140黄 蕾女高三东阳中学180姚 冰高二嘉兴一中141孙麟杰高三东阳中学181王雨辰高三嘉兴一中142朱旭剑男高三金华汤溪中学182沈 鸿高三平湖中学143周 恺男高三金华一中183杜明敏女高三东阳巍山高中144胡灏轶男高三兰溪五中184赵旭阳高三东阳中学145陈龙兵男高三兰溪五中185李瀚文高三东阳中学146杨敏华男高三磐安中学186琚 喆高二金华一中147楼建华男高三武义一中187黄佳珺女高三金华一中148陈 超男高三义乌中学188胡亦俊男高三永康一中149潘浩威男高三慈溪中学189黄国忠高三景宁中学150江薇波女奉化中学190张鑫北仑中学151朱逸杰男高三效实中学191王璐璐女北仑中学152鲍江峰男高三余姚中学192李磊斌男高三北仑中学153魏斌男高三余姚中学193沈崇辉男慈溪市浒山中学154应 俊高三浙江宁海中学194李璐女慈溪市育才中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 195诸国栋男慈溪中学235张佳威男高三临海回浦中学196郑侠男慈溪中学236金胤哲高三温岭中学197钱星鑫男高三慈溪中学237吴天一高三温岭中学198沈云骢男高一效实中学238陈德文男高三温州中学199胡仕葵女余姚中学239高 倍男高二温州中学200张斌狄镇海中学240忻添男高三舟山中学201陆恺镇海中学241胡静平淳安中学202许珂诚男高二镇海中学242陶永恺高二富阳中学203魏中晗男高三镇海中学243占 诚杭四中204傅康星男高三镇海中学244曲奕鹏学军中学205张津杰上虞春晖中学245谢浩学军中学206叶杨高二绍兴鲁迅中学246颜斌高三安吉高级中学207陶晔彬绍兴一中247张璟三湖州中学208金继雄绍兴一中248华陆桑高三湖州中学209陈栋绍兴一中249朱少华高二嘉善二高210顾铁明诸暨中学250张逸超高三平湖中学211洪婷玉诸暨中学251沈杰高三桐乡高级中学212蔡铭耿高三椒江台州一中252薛金科高三金华二中213吴文博男高三三门中学253游欧波高三金华一中214徐扬男高三天台中学254吴 瑞男高三义乌二中215陈敏惠高三温岭二中255任永平男高三义乌四中216江永波高三温岭中学256朱 标男高三义乌中学217章国银男高三玉环玉城中学257汪剑波高三缙云中学218陈祥男高三瑞安瑞阳中学258应利诚男慈溪中学219郑静军男高三定海一中259胡一中镇海中学220杨宏淼高三普陀中学260陈泽华龙游中学221王禹萧山中学261夏之江上虞市城南中学222王悦学军中学262金丽娜女高二上虞市春晖中学223杨昶学军中学263姚鑫东嵊州一中224陈波高二安吉高级中学264鲍明军嵊州一中225汪彦三湖州中学265陈赛帅诸暨中学226俞健聪高三嘉兴一中266冯海翔诸暨中学227金标军男高三东阳中学267赵益兴男高三仙居县仙居中学228金志刚男高三兰溪兰荫中学268吴菁高三缙云中学229王泽伟丽水中学269蓝永兴高三缙云中学230王成男高三慈溪中学270吕江高三丽水中学231沈国强男高三效实中学271季珍高三丽水中学232何铭上虞春晖中学272朱晔凌丽水中学233李哲敏绍兴一中273陈 明高三松阳一中234张刘挺诸暨中学274陶逸然高三椒江台州一中序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 275吴欢欢男高三三门中学278庞淑培 女高三天台中学276梁 魏男高三台州中学279王翔宇男高三天台中学277范 康男高三天台中学280林 鹏高三温岭中学浙江省二等奖（442名，由浙江省数学会颁发证书）序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校1金鑫杭州二中34冯一欣高二嘉善高级中学2石友晟杭州二中35吴静波高三嘉兴一中3贾辉杭州二中36秦 天高三嘉兴一中4骆文杰杭州二中37陈 煜高三金华一中5沈亦晨杭州外国语学校38许 赢高二金华一中6张弘毅学军中学39邓秋联男高三兰溪五中7俞 吉余杭高级中学40宋顺德男高三兰溪一中8方郑聪余杭高级中学41王 鹏男高三义乌中学9阮晓春余杭高级中学42朱军军高三义乌中学10沈晓民高三德清三中43胡肖亨男高三永康一中11沈忠强高三德清三中44杜晓霞女高三永康一中12江如俊高二嘉兴一中45陆健军男高三北仑中学13徐丹星高三金华一中46徐桑迪男慈溪中学14范晓轩高三兰溪一中47沈磊磊男高三慈溪中学15李 凌男高三浦江中学48庄健男奉化中学16沈鸿锴男慈溪中学49何文宇男奉化中学17罗威男高三效实中学50翁立波男高三效实中学18孙云女高三余姚中学51谢 峰男高三效实中学19章 程高三浙江宁海中学52吴晓晔男高三效实中学20俞毓峰绍兴鲁迅中学53陈 宸男高三效实中学21王恺绍兴一中54何崭飞男余姚中学22骆仲林诸暨中学55鲁银冰男余姚中学23邱炜森男高三瑞安中学56张旭女余姚中学24孙 乔男高三温州中学57董正蒙男余姚中学25梁 献男高二温州中学58葛腾驹男高一余姚中学26方伟军男高一温州中学59杨泽锋浙江省宁海中学27李菁女淳安中学60王 龙男高三衢州第二中学28方竞宇富阳中学61方 翔男高三衢州第二中学29王健佳杭十四中62罗敏敏上虞市春晖中学30范晨捷杭州二中63宋钦上虞市春晖中学31吴文天杭州二中64陈银龙上虞市春晖中学32吴舒颖杭州高级中学65徐俊锋绍兴一中33嵇伟宇高二湖州中学66王荣凯嵊州二中序号姓名 性别 年级 学 校 序号姓名 性别年级 学校67丁哲渊女嵊州一中107柴马竞衢州市衢州三中68菇泺镔高二嵊州中学108马越上虞市春晖中学69陈 稿诸暨荣怀学校109孙杰波上虞市春晖中学70王 勇诸暨中学110徐瑞青上虞市春晖中学71虞崇刚男高三苍南龙港高中111杨丁亮绍兴一中72谢玉旭男高三瑞安中学112袁朕辉诸暨中学73余海波男高三瑞安中学113陈新伟男高三椒江区台州一中74倪良富男高三温州中学114裘年顶男高三天台县天台中学75林昌吕男高一温州中学115张 昱高三温岭中学76倪法新男高三温州中学116毛道晓男高三乐清中学77叶昌男高三永嘉中学117李赞男高三瑞安中学78陆琴高二舟山中学118李 豪男高三温州中学79张无忌富阳中学119钱 凯男高一温州中学80王睿之富阳中学120廖刘算男高三永嘉中学81陈 恺杭州高级中学121黄立挺男高三永嘉中学82任雪丰学军中学122叶瑜建男高三永嘉中学83李伟凯高三湖州二中123郑广建淳安中学84朱涛海宁宏达高中 124盛超富阳中学85俞 磊高三平湖中学125郑 超富阳中学86应钟皓男高三东阳巍山高中126樊亦陈杭四中87郭 靖男高三东阳巍山高中127冯骏杭州二中88詹长江高三东阳巍山高中128章亦骋杭州高级中学89王大卫男高三东阳中学129许姚龙西湖高级中学90王 燕女高三东阳中学130沈煜学军中学91吕 倩女高三东阳中学131蔡敏高三德清三中92王文坚男高三义乌大成中学132顾超俊高三嘉兴一中93王裕萍男高三义乌四中133钱 能高三平湖中学94王俊康高三义乌中学134马腾钢男高三东阳巍山高中95施扬涛男高三永康一中135王 飞男高二东阳中学96胡雨乔女高三永康一中136胡卓杰男高三北仑中学97叶光湖高三松阳一中137钟松杰男高二北仑中学98屠静燕女北仑中学138宋若瑟男慈溪市育才中学99陈杰男慈溪中学139林玲女慈溪中学100卢汉体男高二慈溪中学140方腾男高三慈溪中学101杜圆女高三慈溪中学141樊堇奉化中学102陈瑜男余姚中学142胡漱鸣鄞州中学103夏文敏男高三余姚中学143鲁雨潇女余姚中学104葛东宝浙江宁海中学144周颖女余姚中学105高 巍男高三镇海中学145戎舟挺男余姚中学106张正益知恩中学146沈俊年男高三余姚中学序号姓名 性别 年级 学 校 序号姓名 性别年级 学校147王益男高三余姚中学187程鑫浙江大学附属中学148傅征浩上虞春晖中学188沈伟明男高三德清三中149董 钢嵊州二中189孙昶高三湖州中学150王云霄嵊州一中190陆森斌高二嘉兴一中151马灿龙嵊州中学191陆浙伟高三嘉兴一中152王金辉新昌中学192石 杨高三嘉兴一中153徐勇勇男高三路桥中学193沈 洪高三平湖中学154王 超女高三仙居中学194孙立立高三平湖中学155卓承效男平阳中学195范煜高三桐乡高级中学156林宇耀男高三温州中学196蒋涛高三桐乡高级中学157周 芊女高二温州中学197邵舟锋高三桐乡一中158郑伊诺女高二温州中学198马佳敏男高三东阳巍山高中159周银斌男高三永嘉中学199杜君毅男高三东阳中学160史政源高三舟山中学200王健松男高三东阳中学161方滨男高三舟山中学201张 扬高三金华一中162陈益波萧山中学202王劲松男高三浦江中学163梁旭燕女余杭高级中学203吴晓东男高三浦江中学164张琛高三湖州中学204张康康高三义乌中学165赵 滨男高三东阳巍山高中205毛晓龙高三缙云中学166朱 涛男高三东阳中学206汤迪文高三丽水中学167黄丽莎男高三义乌大成中学207林佳雯女北仑中学168潘俊杰高三缙云中学208陆梁军北仑中学169贺志军男高三北仑中学209邵宇果男慈溪市育才中学170岑荣男慈溪中学210陆雯女慈溪中学171冯主恩象山中学211史宽宽男高三慈溪中学172胡晟男余姚中学212王琪琛0宁波中学173葛凌峰浙江宁海中学213张 恺男高三效实中学174董旭镇海中学214康振兴男余姚中学175姚鲁江私立诸暨市高中215张振毅男高二镇海中学176孙寒星高三舟山中学216舒露男高二衢州第二中学177徐栋敏淳安中学217徐栋伟男高二衢州第二中学178姜建宏淳安中学218许怿文绍兴一中179姜洪涛淳安中学219陈晨曦绍兴一中180汤雨杭杭州二中220赵钰绍兴一中181徐骁帆杭州高级中学221张鑫姝女新昌中学182赵立升萧山十中222董宇辉男高三台州中学(临海) 183周洁女萧山中学223王子龙男高三台州中学(临海) 184王诗虹学军中学224木定海男高三瑞安中学185夏路严州中学新校区225杨家绮女高二温州中学186王哮滔严州中学新校区226郑建森男高三永嘉中学。

第四届高等数学竞赛决赛赛区参赛学生名单(非数学类)序号赛区姓名参赛类别学校名称奖项F2013001北京韩衍隽非数学类清华大学一等奖F2013002江西付小涛非数学类赣南师范学院一等奖F2013003上海康雨毫非数学类复旦大学一等奖F2013004安徽邹 继非数学类中国科学技术大学一等奖F2013005黑龙江向凯非数学类哈尔滨工业大学一等奖F2013006上海吴琰非数学类同济大学一等奖F2013007安徽陆颖潮非数学类中国科学技术大学一等奖F2013008北京王欣非数学类北京航空航天大学一等奖F2013009辽宁王伟光非数学类大连交通大学一等奖F2013010上海彭志兴非数学类上海理工大学一等奖F2013011国防科大韩哲非数学类解放军理工大学一等奖F2013012江苏曹　宸非数学类河海大学一等奖F2013013安徽张贵亮非数学类中国科学技术大学一等奖F2013014山东王雪峰非数学类山东大学一等奖F2013015上海张珊非数学类上海财经大学一等奖F2013016四川马骥非数学类电子科技大学一等奖F2013017湖南高日强非数学类中南大学一等奖F2013018辽宁张明昊非数学类大连理工大学一等奖F2013019湖北熊吕露非数学类华中科技大学一等奖F2013020江苏李文青非数学类南京工业大学一等奖F2013021北京刘阳非数学类北京航空航天大学一等奖F2013022国防科大肖月鑫非数学类军事经济学院一等奖F2013023江苏刘怀宇非数学类南京工业大学一等奖F2013024江苏熊丁晖非数学类河海大学一等奖F2013025山西郭明江非数学类中北大学一等奖F2013026上海金恒达非数学类上海财经大学一等奖F2013027山东管从森非数学类山东大学一等奖F2013028山东刘俊非数学类海军航空学院一等奖F2013029上海李俊昆非数学类上海电力学院一等奖F2013030北京邵思豪非数学类北京航空航天大学一等奖F2013031北京李智非数学类北京大学一等奖F2013032湖南万尚辉非数学类中南大学一等奖F2013033山西董响红非数学类山西农业大学一等奖F2013034黑龙江王檑非数学类哈尔滨工业大学一等奖F2013035湖南谢兰博非数学类湖南大学一等奖F2013036北京张秩博非数学类北京邮电大学二等奖F2013037福建曹 亨非数学类厦门大学二等奖F2013038福建黄志挺非数学类福州大学二等奖F2013039黑龙江郭亚楠非数学类哈尔滨工业大学二等奖F2013040江西黄鑫非数学类江西理工大学二等奖F2013041上海王俊豪非数学类上海电力学院二等奖F2013042四川姚青松非数学类西南交通大学二等奖F2013043四川张也平非数学类电子科技大学二等奖F2013044国防科大张江彬非数学类国防科学技术大学二等奖F2013045黑龙江刘添豪非数学类哈尔滨工业大学二等奖F2013046黑龙江刘源斌非数学类哈尔滨工业大学二等奖F2013047湖北付 鼎非数学类华中科技大学二等奖F2013048天津杨帆非数学类南开大学二等奖F2013049浙江胡长勇 非数学类浙江大学二等奖F2013050北京邹江非数学类北京科技大学二等奖F2013051北京陈光非数学类清华大学二等奖F2013052北京吴帆非数学类北京邮电大学二等奖F2013053黑龙江杨缘非数学类哈尔滨工业大学二等奖F2013054湖北孙楠博非数学类华中科技大学二等奖F2013055辽宁常威非数学类东北大学二等奖F2013056广东申艺杰非数学类华南理工大学二等奖F2013057江苏杨云涛非数学类河海大学二等奖F2013058江苏余翔非数学类南京航空航天大学二等奖F2013059山东杨化冰非数学类山东大学二等奖F2013060上海鲁齐正秋非数学类同济大学二等奖F2013061四川胡欢非数学类电子科技大学二等奖F2013062黑龙江陶俊非数学类黑龙江科技学院二等奖F2013063湖北文 俊非数学类华中科技大学二等奖F2013064江苏郑伟男非数学类南京理工大学二等奖F2013065北京徐文洋非数学类北京交通大学二等奖F2013066福建周荣宗非数学类福州大学二等奖F2013067黑龙江廖惠琴非数学类哈尔滨理工大学二等奖F2013068湖北段培虎非数学类华中科技大学二等奖F2013069山东冯帆非数学类海军航空学院二等奖F2013070天津尹仲昊非数学类天津大学二等奖F2013071甘肃阮善明非数学类兰州大学二等奖F2013072天津李宏亮非数学类天津大学二等奖F2013073湖北熊 伟非数学类武汉理工大学二等奖F2013074山西孙国亮非数学类中北大学二等奖F2013075陕西朱玉杰非数学类第二炮兵工程大学二等奖F2013076安徽叶佳威非数学类中国科学技术大学二等奖F2013077安徽苏 宇非数学类合肥工业大学二等奖F2013078陕西王 超非数学类第二炮兵工程大学二等奖F2013079陕西库涛非数学类空军工程大学二等奖F2013080浙江陶灵江非数学类浙江海洋学院二等奖F2013081陕西董鹏飞非数学类西安交通大学二等奖F2013082四川刘同科非数学类电子科技大学二等奖F2013083湖北胡圣浩非数学类湖北工业大学二等奖F2013084辽宁杨国宁非数学类辽宁工程技术大学二等奖F2013085内蒙古玄朋辉非数学类内蒙古民族大学二等奖F2013086天津杨宇非数学类天津大学二等奖F2013087广西朱发勇 非数学类广西大学 二等奖F2013088四川郑飞洋非数学类电子科技大学二等奖F2013089甘肃刘 森非数学类兰州理工大学三等奖F2013090广东李漫洁非数学类华南理工大学三等奖F2013091国防科大吴洪强非数学类解放军理工大学三等奖F2013092陕西周瑞非数学类空军工程大学三等奖F2013093重庆王 展非数学类重庆大学三等奖F2013094重庆曾 洋非数学类重庆大学三等奖F2013095四川李娇非数学类电子科技大学三等奖F2013096广东张涵非数学类中山大学三等奖F2013097江苏施志俊非数学类南京理工大学三等奖F2013098山东丁寿康非数学类山东农业大学三等奖F2013099陕西易懋鼎非数学类第二炮兵工程大学三等奖F2013100陕西王霄斌非数学类武警工程大学三等奖F2013101陕西赵晓晨非数学类西北大学三等奖F2013102天津周科科非数学类南开大学三等奖F2013103吉林曹佳诚非数学类长春理工大学三等奖F2013104陕西李朝阳非数学类空军工程大学三等奖F2013105四川李辉非数学类电子科技大学三等奖F2013106安徽夏志恒非数学类中国科学技术大学三等奖F2013107北京王愿非数学类北京科技大学三等奖F2013108湖北李 号非数学类华中科技大学三等奖F2013109湖南王坤非数学类湖南师范大学三等奖F2013110湖南朱军楠非数学类中南大学三等奖F2013111北京徐辰非数学类中国人民大学三等奖F2013112甘肃吴林峰非数学类兰州理工大学三等奖F2013113辽宁李新明非数学类大连理工大学三等奖F2013114山东孙圣哲非数学类山东大学三等奖F2013115天津冯天明非数学类南开大学三等奖F2013116广东郑彬彬非数学类华南理工大学三等奖F2013117河北贾旺旺非数学类河北大学三等奖F2013118河南吴幻非数学类信息工程大学三等奖F2013119辽宁张頔非数学类大连理工大学三等奖F2013120四川汪威非数学类电子科技大学三等奖F2013121福建刘贺宇非数学类龙岩学院三等奖F2013122广西葛浩楠 非数学类广西大学 三等奖F2013123河北侯赞非数学类河北工业大学三等奖F2013124河北吴晨豪非数学类东大秦皇岛分校三等奖F2013125江苏涂智华非数学类南京理工大学三等奖F2013126江西郑勤飞非数学类江西理工大学三等奖F2013127江西邹姚辉非数学类南昌航空大学三等奖F2013128山东解培涛非数学类山东大学三等奖F2013129上海龚旭非数学类同济大学三等奖F2013130北京徐辉非数学类北京航空航天大学三等奖F2013131北京陈飞非数学类北京科技大学三等奖F2013132北京刘瑞雪非数学类北京理工大学三等奖F2013133贵州王茂坤非数学类贵州大学三等奖F2013134河南吴 艳非数学类安阳师范学院三等奖F2013135吉林 汪子新非数学类吉林建筑工程学院三等奖F2013136陕西黄明非数学类空军工程大学三等奖F2013137重庆胡 鼎非数学类重庆大学三等奖F2013138河北王宏亮非数学类河北联合大学三等奖F2013139四川孙健非数学类电子科技大学三等奖F2013140重庆盛骏源非数学类重庆大学三等奖F2013141山西许广灿非数学类太原科技大学三等奖F2013142浙江张柠溪非数学类宁波大学三等奖F2013143重庆邵 阳非数学类重庆邮电大学三等奖F2013144江西黄康康非数学类江西师范大学三等奖F2013145辽宁陈双双非数学类大连理工大学三等奖F2013146贵州马龙非数学类贵州民族大学三等奖F2013147河南段鹏程非数学类洛阳理工学院三等奖F2013148湖北史彧铭非数学类武汉大学三等奖F2013149天津赵嘉飞非数学类南开大学三等奖F2013150辽宁陈柯锦非数学类大连理工大学三等奖F2013151广东苏国鹏非数学类华南理工大学三等奖F2013152河南赵松银非数学类信息工程大学三等奖F2013153浙江刘畅 非数学类浙江传媒学院三等奖F2013154广东张雄锋非数学类华南理工大学三等奖F2013155陕西胡晓辉非数学类西安理工大学三等奖F2013156浙江李杰非数学类浙江理工大学三等奖F2013157甘肃周小雄非数学类甘肃农业大学三等奖F2013158陕西谷天宝非数学类西安理工大学三等奖F2013159甘肃孙丽平非数学类兰州理工大学三等奖F2013160广西潘园园 非数学类广西大学 三等奖F2013161贵州李吉虎非数学类贵州师范大学三等奖F2013162内蒙古张丹丹非数学类内蒙古大学鄂尔多斯学院三等奖F2013163山西张可君非数学类太原理工大学三等奖F2013164北京陈善军非数学类北京科技大学三等奖F2013165海南范俊杰非数学类三亚学院三等奖F2013166宁夏李盼非数学类宁夏大学三等奖F2013167重庆曾 铭非数学类重庆大学三等奖F2013168海南丰翔非数学类海南大学三等奖F2013169河南赵荥非数学类郑州大学三等奖F2013170宁夏马艳芳非数学类宁夏大学三等奖F2013171宁夏邹萍非数学类北方民族大学三等奖F2013172浙江刘亮亮非数学类浙江农林大学三等奖F2013173海南谭刚非数学类海南师范大学三等奖F2013174重庆 姚大军　非数学类重庆交通大学三等奖F2013175吉林李 鹏非数学类延边大学三等奖F2013176内蒙古薛俊霞非数学类内蒙古大学鄂尔多斯学院三等奖F2013177海南肖铃非数学类琼州学院三等奖F2013178贵州曾蓉非数学类贵州财经大学三等奖。

通知2006年10月15日，我省15000余名高中学生参加了“2006年全国高中数学联合竞赛”。

竞赛结果已经揭晓，现予以公布。

一、 经中国数学会、浙江省数学会2006年全国高中数学联合竞赛组织委员会评定，报浙江省学科竞赛委员会批准，本省苏炜杰等245名参赛优胜者被评为全国高中数学联合竞赛一、二等奖（其中一等奖48名，二等奖197名），并由中国数学会颁发荣誉证书。

另有722名参赛学生获2006年全国高中数学联合竞赛浙江省一、二等奖（其中一等奖280名，二等奖442名），由浙江省数学会颁发荣誉证书。

二、 经评定，温州中学等十所学校被评为2006年全国高中数学联合竞赛浙江省赛区团体优胜奖，由浙江省数学会颁奖。

现将获奖名单公布如下：（一）2006年全国高中数学联合竞赛获奖名单全国一等奖（48名，由中国数学会颁奖）序号姓名性别年级学校序号姓名性别年级学校1苏炜杰男高三余姚中学25林乔惟男高二慈溪中学2包京宇男高三温州中学26叶一超男高三衢州第二中学3周晨璐女高三镇海中学27姚 元男高二诸暨中学4陈 然男高二温州中学28张鲁嘉男高三金华一中5周铁成男杭州二中29季锦梁男高三柯桥中学6方汉隆男高二诸暨中学30钱 涛男高三金华一中7王 西男高二温州中学31吴骏巍男高二绍兴一中8梁孝度男高三温州中学32翁轩锴男高三永康一中9边新杰男高三杭州二中33陈 睿男高三舟山中学10胡 骏男高二诸暨中学34顾卓圣男高二学军中学11陈新男高三温州中学35杨振威男高三诸暨中学12沈 灵男高三诸暨中学36赵倩女高三新昌中学13李 烨男高三杭州二中37张旭怡女高三舟山中学14沈盛杰男高三效实中学38姚 垚高二诸暨中学15项文书男高三温州中学39邱立超男高三湖州中学16邬卢峰高三宁海中学40谢柏军男高三鲁迅中学17苏洲跃男高三温州中学41朱 磊男高三效实中学18陈 浩男高二温州中学42符俊涛男高三镇海中学19刘海光男高二温州中学43张 健高三嘉善高级中学 20熊杰超男高二余姚中学44蔡斌峰高三温岭中学21宋杨磊男高二诸暨中学45娄开元男高三镇海中学22黄海冬男高三温州中学46谢尚旭男高三温州中学23王 勇男高二温州中学47罗 晨男高二镇海中学24吴灏哲男高二镇海中学48尚思源女高二学军中学全国二等奖（ 197名，由中国数学会颁奖）序号姓名性别年级学校序号姓名性别年级学校1沈 洋杭州二中41姚泽梁男高三镇海中学2丁之元男高三效实中学42俞华程杭州二中3张 晨诸暨中学43夏安龙游中学4陈天笑高三平湖中学44宋翔绍兴一中5金嘉韡高二绍兴一中45周昱昊男高三效实中学6李 哲男高二温州中学46徐彬帅诸暨中学7叶哲青男高二镇海中学47吴佩之杭州二中8孙烨烽富阳中学48冯源高二私立诸暨高级中学 9戴 亮杭州外国语学校49陈宇斯男高三温州中学10胡思哲高三金华一中50俞晨冰学军中学11赵立嵊州中学51邬龙挺高三鄞州中学12陈奇杭州外国语学校52毛旭东男高三余姚中学13张 戈男高二镇海中学53张丹达高三舟山中学14傅国生诸暨中学54沈叶森男高三效实中学15周园园女高二温州中学55方戈学军中学16冯 霁男高三效实中学56陈楚男高三北仑中学17吕杨迪高三浙江省宁海中学57王川杭州二中18方泽斌杭州二中58陈远思男高二镇海中学19林恒男高三温州中学59金跃康高三东阳中学20柳音羽女高三镇海中学60卢 铮高三东阳中学21黄文昊杭州第十四中学61黄宇翔高三嘉善高级中学22朱 超男高三杭州高级中学62郑平辉男高三镇海中学23俞锦炯杭州二中63贺宇燊男高二镇海中学24谢建军高三金华一中64马鑫云男高三慈溪中学25胡 薇女高三镇海中学65金驰杭州二中26张欣宇男高三镇海中学66王婧璐高三普陀中学27王宇昕杭州二中67颜行绍兴县柯桥中学28卢斌斌男高三瓯海中学68钱景行男高三温州中学29朱欣欣高三温岭中学69连徐晨男高三台州中学(临海) 30余凌昊学军中学70章佳杰杭州二中31姚铭炜诸暨中学71卢旻龙高三金华一中32陈烨男高三慈溪中学72单佳平绍兴一中33金嘉烨绍兴一中73余越男高三效实中学34陈明男高二镇海中学74陈杰新昌中学35郑志伟男初三乐成公立寄宿学校 75蒋晓波女高二余姚中学36杜 超男高三镇海中学76俞王杰高二诸暨中学37倪建佼高二金华一中77王浩力男高三北仑中学38吴瑞之高二金华一中78沈韩男高三慈溪中学39王华海绍兴县鲁迅中学79楼 昊高三义乌中学40张一岳男高一温州中学80丁涛男高二镇海中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校81吴燊诸暨中学121陈建青绍兴一中82魏椿锋诸暨中学122钟海钢绍兴一中83张 泼男高二温州中学123徐斌萧山中学84贺 星男高三镇海中学124陈培文女高二镇海中学85王韵灵男高三效实中学125畅 帅嵊州二中86钱锦远男高三慈溪中学126叶剑波男高三衢州第二中学87徐 凯杭州高级中学127李 源高三舟山中学88朱雪涛男高三北仑中学128李其衡男高三温州中学89董思鹏男高三苍南中学129张勇军淳安中学90陈松权男高三慈溪中学130钱 斌富阳中学91温歌正高三金华二中131周传辰高三湖州中学92程杰临安中学132吴利钢嵊州一中93李 城男高三衢州第二中学133汪晓峰淳安中学94张益锋高二上虞市春晖中学134徐正扬杭州二中95顾作俊学军中学135姚淼君萧山中学96陈琨男高二镇海中学136苏里帆学军中学97赵凯波男高三镇海中学137汪云峰高二湖州中学98钱帅诸暨中学138金 烈男高三东阳中学99骆熠杭州外国语学校139张 冲男高三金华一中100陶轶男女绍兴一中140李浩男高三北仑中学101蒋紫东高三舟山中学141林旻骁高三温岭二中102张策男高三温州中学142陈康迪男高二温州中学103董跃龙男高三兰溪五中143沈鹏程男高三温州中学104张逊男高三效实中学144张海硕杭州二中105林 杰男高三温州中学145李斌学军中学106谢斐学军中学146吴洪芳三湖州二中107谈彬斌高三桐乡高级中学147杜晓明男高三东阳中学108叶 晨高二金华一中148肖 瑞高三金华一中109尹炯宇女嵊州二中149周菡女高三余姚中学110陈一峥男高三温州中学150黄 旭女高三衢州第二中学111陈龙学军中学151余 恺男高三衢州第二中学112沈鹏强余杭高级中学152陶浙锋嵊州二中113何 凡男高三东阳中学153苏意钢男高三温州中学114周沛沛男高三东阳中学154高行燕女高三舟山中学115徐 晖男高三东阳中学155谢君学军中学116滕 云男高三兰溪五中156陈 桑男高二东阳中学117何天风男高二北仑中学157朱俊儿高二湖州中学118郑燕巧男高三效实中学158董君高三嘉善高级中学119陈 涵男高三衢州第二中学159陈硕冰男高二镇海中学120陶芳波高二上虞市春晖中学160杨真建男高三温州中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校161俞斌杰男高二北仑中学180张剑男高三余姚中学162方晨翔淳安中学181赵杰男高三余姚中学163何阳军男高三东阳中学182王肖波浙江省宁海中学 164潘 超男高三东阳中学183徐远祥知恩中学165陈建卫绍兴一中184钟宇峰绍兴一中166徐若天诸暨中学185陈利洋高二新昌中学167林贤辉男高三苍南龙港高中186裴肖天男高三天台县天台中学168谢鹏伟男高三乐清中学187陈伟莉女高三瑞安中学169张力超男高三温州中学188郑金博男高三永嘉中学170鲍磊翔富阳中学189叶 楠高三舟山中学171俞萍锋萧山中学190钱龙富阳中学172张 伟高三嘉兴一中191盛怡兰高三海盐元济高级中学 173沈 富高二桐乡高级中学192姚佳杰高三平湖中学174任腾飞男高三东阳巍山高中193王腾峰男慈溪市实验高级中学175申屠展男高三东阳中学194岑佩青女慈溪市育才中学176金哲宾男高三东阳中学195沈籍树奉化中学177严海波高三东阳中学196兰宗骁男高二衢州第二中学178陈盛杰男奉化中学197凌勇高三缙云中学179邵丹琛男高三效实中学浙江省一等奖（280名，由浙江省数学会颁发证书）序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校1张晨学军中学18朱昂杭州二中2陈含光学军中学19张奕斌杭州二中3王渭权男高三东阳巍山高中20杨 骥男高三镇海中学4翁天天男高三东阳中学21赵 聪男高三衢州第二中学5胡夏雨男高二东阳中学22沈晋绍兴一中6蒋应钦男高三兰溪五中23张琪绍兴一中7范 洁男高三兰溪五中24戚斌高二诸暨中学8翁浩轩男高三兰溪五中25余宏亮淳安中学9李浩涌北仑中学26黄文翀杭州二中10郑飞女高二北仑中学27贺音卜学军中学11高盛毅男高三慈溪中学28徐斌高三湖州中学12蒋成皿男高三镇海中学29高启跃男高三慈溪中学13蒋寒青嵊州中学30叶贤佳男高三效实中学14张昊新昌中学31胡宁宁高三浙江省宁海中学15黄凌晨男高三温州中学32徐子峰高三浙江省宁海中学16郑 挺高三舟山中学33王根国高二温岭中学17徐雅齐淳安中学34尤杰男高三温州中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校35杨嘉胤杭州二中75阮海炳诸暨中学36于金扬严州中学 76金晶高二诸暨中学37许陈杰三湖州中学77李勇昂高三温岭中学38卢旭辉高三湖州中学78张元丰男高三瑞安中学39刘昕能高三嘉兴一中79叶立早男高一温州中学40毛雯蓓高三嘉兴一中80郭舟东高三普陀中学41陈波高三鄞州中学81韩 刚高三舟山中学42张 杰镇海中学82胡亢宇高三舟山中学43俞雄彬男高二衢州第二中学83林哲凯高三舟山中学44贾文镔上虞市春晖中学84蔡云梦高三平湖中学45严泳敏绍兴柯桥中学85周泱高三桐乡高级中学46孟炜杰绍兴一中86田银涛高三桐乡高级中学47余璐羽高三温岭中学87朱双厅男高三东阳中学48陈定若男高三温州中学88金 腾男高三东阳中学49蔡超男高三温州中学89叶 雨男高三效实中学50张择露男高三舟山中学90胡斐婷女余姚中学51施文绍高二富阳中学91张丹枫男高二余姚中学52张希朦杭州二中92王聪男高三余姚中学53裘元俊学军中学93罗诚男高二镇海中学54吴迪浙大附属中学 94陈铎上虞市春晖中学55金君韡高三嘉兴一中95潘贵立绍兴一中56沈 笠高三嘉兴一中96陈华栋嵊州二中57张颖恺高三平湖中学97翁子凡高二私立诸暨高级中学58蒋 伟男高三东阳中学98郑 涛诸暨中学59厉莎莎高三东阳中学99王 钦诸暨中学60柯慧婷女高三金华一中100项心江男高三瑞安中学61方忠华高三金华一中101林立勋高三舟山中学62杨 楠高二金华一中102李萌学军中学63何建宏男高三义乌三中103姚 伟男高三永康一中64吴 繁高三义乌中学104周东林男高三余姚中学65张科行北仑中学105尹传杰绍兴县鲁迅中学66陈新科男高三慈溪中学106陈宇佳女高三仙居县仙居中学67李超男高二余姚中学107焦彦嘉高三舟山中学68张苗女高三余姚中学108曹灵吉高三舟山中学69徐焱男高三育才中学109沈迦勒杭州高级中学70王媛瑱浙江省宁海中学110杨睿 高三求是高中71钟凯男高二镇海中学111刘 骜高二平湖中学72陶捷毅绍兴一中112何至初高三金华一中73叶炎军嵊州一中113王 顺男高三兰溪兰荫中学74何昆新昌中学114金含笑高三义乌中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 115孙开科男高二北仑中学155付先进衢州市常山一中116聂同舟男高三宁波中学156周梦洋高二绍兴县柯桥中学117宓鑫磊男高二效实中学157李绍欢高二绍兴县柯桥中学118陈雨惠镇海中学158赵少波绍兴一中119林炜男高二镇海中学159马辰斐绍兴一中120丁晓博高三温岭中学160裘礽晔高二嵊州二中121鲍芳琳淳安中学161刘吕浚嵊州二中122左婷婷杭州二中162楼风光诸暨中学123应一骏杭州二中163陈渺诸暨中学124鲁福韬杭州二中164金凌风男高三三门中学125钟宇浩杭州外国语学校165王加锋男高三温州中学126王玲女萧山中学166徐志霜女高三温州中学127楼佳杰萧山中学167刘雨阳男高二舟山中学128金侃学军中学168董舟涵高三舟山中学129李翔二湖州中学169干雨新高三舟山中学130席薇薇三湖州中学170俞 悦高二舟山中学131谢昇二湖州中学171李元临杭州二中132陆范菲高二嘉善高级中学172何至杭州二中133吴天琦高二嘉兴一中173邵铮铮杭州高级中学134顾振雄高三嘉兴一中174许庞杰杭州外国语学校135马亦舟高三嘉兴一中175方诚宇桐庐中学136费平平高三桐乡高级中学176宓振航余杭高级中学137华航信男高三东阳巍山高中177李犇三安吉高中138厉向宁男高三东阳中学178祁成栋三湖州中学139金冰心男高三东阳中学179杨林杰高二湖州中学140黄 蕾女高三东阳中学180姚 冰高二嘉兴一中141孙麟杰高三东阳中学181王雨辰高三嘉兴一中142朱旭剑男高三金华汤溪中学182沈 鸿高三平湖中学143周 恺男高三金华一中183杜明敏女高三东阳巍山高中144胡灏轶男高三兰溪五中184赵旭阳高三东阳中学145陈龙兵男高三兰溪五中185李瀚文高三东阳中学146杨敏华男高三磐安中学186琚 喆高二金华一中147楼建华男高三武义一中187黄佳珺女高三金华一中148陈 超男高三义乌中学188胡亦俊男高三永康一中149潘浩威男高三慈溪中学189黄国忠高三景宁中学150江薇波女奉化中学190张鑫北仑中学151朱逸杰男高三效实中学191王璐璐女北仑中学152鲍江峰男高三余姚中学192李磊斌男高三北仑中学153魏斌男高三余姚中学193沈崇辉男慈溪市浒山中学154应 俊高三浙江宁海中学194李璐女慈溪市育才中学序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 195诸国栋男慈溪中学235张佳威男高三临海回浦中学196郑侠男慈溪中学236金胤哲高三温岭中学197钱星鑫男高三慈溪中学237吴天一高三温岭中学198沈云骢男高一效实中学238陈德文男高三温州中学199胡仕葵女余姚中学239高 倍男高二温州中学200张斌狄镇海中学240忻添男高三舟山中学201陆恺镇海中学241胡静平淳安中学202许珂诚男高二镇海中学242陶永恺高二富阳中学203魏中晗男高三镇海中学243占 诚杭四中204傅康星男高三镇海中学244曲奕鹏学军中学205张津杰上虞春晖中学245谢浩学军中学206叶杨高二绍兴鲁迅中学246颜斌高三安吉高级中学207陶晔彬绍兴一中247张璟三湖州中学208金继雄绍兴一中248华陆桑高三湖州中学209陈栋绍兴一中249朱少华高二嘉善二高210顾铁明诸暨中学250张逸超高三平湖中学211洪婷玉诸暨中学251沈杰高三桐乡高级中学212蔡铭耿高三椒江台州一中252薛金科高三金华二中213吴文博男高三三门中学253游欧波高三金华一中214徐扬男高三天台中学254吴 瑞男高三义乌二中215陈敏惠高三温岭二中255任永平男高三义乌四中216江永波高三温岭中学256朱 标男高三义乌中学217章国银男高三玉环玉城中学257汪剑波高三缙云中学218陈祥男高三瑞安瑞阳中学258应利诚男慈溪中学219郑静军男高三定海一中259胡一中镇海中学220杨宏淼高三普陀中学260陈泽华龙游中学221王禹萧山中学261夏之江上虞市城南中学222王悦学军中学262金丽娜女高二上虞市春晖中学223杨昶学军中学263姚鑫东嵊州一中224陈波高二安吉高级中学264鲍明军嵊州一中225汪彦三湖州中学265陈赛帅诸暨中学226俞健聪高三嘉兴一中266冯海翔诸暨中学227金标军男高三东阳中学267赵益兴男高三仙居县仙居中学228金志刚男高三兰溪兰荫中学268吴菁高三缙云中学229王泽伟丽水中学269蓝永兴高三缙云中学230王成男高三慈溪中学270吕江高三丽水中学231沈国强男高三效实中学271季珍高三丽水中学232何铭上虞春晖中学272朱晔凌丽水中学233李哲敏绍兴一中273陈 明高三松阳一中234张刘挺诸暨中学274陶逸然高三椒江台州一中序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校 275吴欢欢男高三三门中学278庞淑培 女高三天台中学276梁 魏男高三台州中学279王翔宇男高三天台中学277范 康男高三天台中学280林 鹏高三温岭中学浙江省二等奖（442名，由浙江省数学会颁发证书）序号姓名 性别 年级 学校 序号姓名 性别年级 学校1金鑫杭州二中34冯一欣高二嘉善高级中学2石友晟杭州二中35吴静波高三嘉兴一中3贾辉杭州二中36秦 天高三嘉兴一中4骆文杰杭州二中37陈 煜高三金华一中5沈亦晨杭州外国语学校38许 赢高二金华一中6张弘毅学军中学39邓秋联男高三兰溪五中7俞 吉余杭高级中学40宋顺德男高三兰溪一中8方郑聪余杭高级中学41王 鹏男高三义乌中学9阮晓春余杭高级中学42朱军军高三义乌中学10沈晓民高三德清三中43胡肖亨男高三永康一中11沈忠强高三德清三中44杜晓霞女高三永康一中12江如俊高二嘉兴一中45陆健军男高三北仑中学13徐丹星高三金华一中46徐桑迪男慈溪中学14范晓轩高三兰溪一中47沈磊磊男高三慈溪中学15李 凌男高三浦江中学48庄健男奉化中学16沈鸿锴男慈溪中学49何文宇男奉化中学17罗威男高三效实中学50翁立波男高三效实中学18孙云女高三余姚中学51谢 峰男高三效实中学19章 程高三浙江宁海中学52吴晓晔男高三效实中学20俞毓峰绍兴鲁迅中学53陈 宸男高三效实中学21王恺绍兴一中54何崭飞男余姚中学22骆仲林诸暨中学55鲁银冰男余姚中学23邱炜森男高三瑞安中学56张旭女余姚中学24孙 乔男高三温州中学57董正蒙男余姚中学25梁 献男高二温州中学58葛腾驹男高一余姚中学26方伟军男高一温州中学59杨泽锋浙江省宁海中学27李菁女淳安中学60王 龙男高三衢州第二中学28方竞宇富阳中学61方 翔男高三衢州第二中学29王健佳杭十四中62罗敏敏上虞市春晖中学30范晨捷杭州二中63宋钦上虞市春晖中学31吴文天杭州二中64陈银龙上虞市春晖中学32吴舒颖杭州高级中学65徐俊锋绍兴一中33嵇伟宇高二湖州中学66王荣凯嵊州二中序号姓名 性别 年级 学 校 序号姓名 性别年级 学校67丁哲渊女嵊州一中107柴马竞衢州市衢州三中68菇泺镔高二嵊州中学108马越上虞市春晖中学69陈 稿诸暨荣怀学校109孙杰波上虞市春晖中学70王 勇诸暨中学110徐瑞青上虞市春晖中学71虞崇刚男高三苍南龙港高中111杨丁亮绍兴一中72谢玉旭男高三瑞安中学112袁朕辉诸暨中学73余海波男高三瑞安中学113陈新伟男高三椒江区台州一中74倪良富男高三温州中学114裘年顶男高三天台县天台中学75林昌吕男高一温州中学115张 昱高三温岭中学76倪法新男高三温州中学116毛道晓男高三乐清中学77叶昌男高三永嘉中学117李赞男高三瑞安中学78陆琴高二舟山中学118李 豪男高三温州中学79张无忌富阳中学119钱 凯男高一温州中学80王睿之富阳中学120廖刘算男高三永嘉中学81陈 恺杭州高级中学121黄立挺男高三永嘉中学82任雪丰学军中学122叶瑜建男高三永嘉中学83李伟凯高三湖州二中123郑广建淳安中学84朱涛海宁宏达高中 124盛超富阳中学85俞 磊高三平湖中学125郑 超富阳中学86应钟皓男高三东阳巍山高中126樊亦陈杭四中87郭 靖男高三东阳巍山高中127冯骏杭州二中88詹长江高三东阳巍山高中128章亦骋杭州高级中学89王大卫男高三东阳中学129许姚龙西湖高级中学90王 燕女高三东阳中学130沈煜学军中学91吕 倩女高三东阳中学131蔡敏高三德清三中92王文坚男高三义乌大成中学132顾超俊高三嘉兴一中93王裕萍男高三义乌四中133钱 能高三平湖中学94王俊康高三义乌中学134马腾钢男高三东阳巍山高中95施扬涛男高三永康一中135王 飞男高二东阳中学96胡雨乔女高三永康一中136胡卓杰男高三北仑中学97叶光湖高三松阳一中137钟松杰男高二北仑中学98屠静燕女北仑中学138宋若瑟男慈溪市育才中学99陈杰男慈溪中学139林玲女慈溪中学100卢汉体男高二慈溪中学140方腾男高三慈溪中学101杜圆女高三慈溪中学141樊堇奉化中学102陈瑜男余姚中学142胡漱鸣鄞州中学103夏文敏男高三余姚中学143鲁雨潇女余姚中学104葛东宝浙江宁海中学144周颖女余姚中学105高 巍男高三镇海中学145戎舟挺男余姚中学106张正益知恩中学146沈俊年男高三余姚中学序号姓名 性别 年级 学 校 序号姓名 性别年级 学校147王益男高三余姚中学187程鑫浙江大学附属中学148傅征浩上虞春晖中学188沈伟明男高三德清三中149董 钢嵊州二中189孙昶高三湖州中学150王云霄嵊州一中190陆森斌高二嘉兴一中151马灿龙嵊州中学191陆浙伟高三嘉兴一中152王金辉新昌中学192石 杨高三嘉兴一中153徐勇勇男高三路桥中学193沈 洪高三平湖中学154王 超女高三仙居中学194孙立立高三平湖中学155卓承效男平阳中学195范煜高三桐乡高级中学156林宇耀男高三温州中学196蒋涛高三桐乡高级中学157周 芊女高二温州中学197邵舟锋高三桐乡一中158郑伊诺女高二温州中学198马佳敏男高三东阳巍山高中159周银斌男高三永嘉中学199杜君毅男高三东阳中学160史政源高三舟山中学200王健松男高三东阳中学161方滨男高三舟山中学201张 扬高三金华一中162陈益波萧山中学202王劲松男高三浦江中学163梁旭燕女余杭高级中学203吴晓东男高三浦江中学164张琛高三湖州中学204张康康高三义乌中学165赵 滨男高三东阳巍山高中205毛晓龙高三缙云中学166朱 涛男高三东阳中学206汤迪文高三丽水中学167黄丽莎男高三义乌大成中学207林佳雯女北仑中学168潘俊杰高三缙云中学208陆梁军北仑中学169贺志军男高三北仑中学209邵宇果男慈溪市育才中学170岑荣男慈溪中学210陆雯女慈溪中学171冯主恩象山中学211史宽宽男高三慈溪中学172胡晟男余姚中学212王琪琛0宁波中学173葛凌峰浙江宁海中学213张 恺男高三效实中学174董旭镇海中学214康振兴男余姚中学175姚鲁江私立诸暨市高中215张振毅男高二镇海中学176孙寒星高三舟山中学216舒露男高二衢州第二中学177徐栋敏淳安中学217徐栋伟男高二衢州第二中学178姜建宏淳安中学218许怿文绍兴一中179姜洪涛淳安中学219陈晨曦绍兴一中180汤雨杭杭州二中220赵钰绍兴一中181徐骁帆杭州高级中学221张鑫姝女新昌中学182赵立升萧山十中222董宇辉男高三台州中学(临海) 183周洁女萧山中学223王子龙男高三台州中学(临海) 184王诗虹学军中学224木定海男高三瑞安中学185夏路严州中学新校区225杨家绮女高二温州中学186王哮滔严州中学新校区226郑建森男高三永嘉中学。

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 向量3124a i j k =-+在向量(2)(34)b i k i j k =-⨯+-上的投影为().(A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67难度等级:2;知识点:向量代数 答案:(C).分析:102(6,2,3),134i j kb =-=-6Prj .7||b a b a b ⋅==2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有().(A)22()()0L f x y xdx ydy ++=⎰ (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=⎰ (C)22()()0L f x y dx ydy ++=⎰ ()D 22()()0Lf x y xdx dy ++=⎰难度等级:2;知识点:格林公式 答案: (B).分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足.3. 若1(),y x ϕ=2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为().(A)12()()x x ϕϕ- (B)12()()x x ϕϕ+ (C)121(()())()C x x x ϕϕϕ-+ (D)12()()C x x ϕϕ+ 难度等级:1;知识点:微分方程答案: C.分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12ϕϕ-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ϕϕ=-因此非命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密齐次方程的通解应是121()y C ϕϕϕ=-+或122().y C ϕϕϕ=-+故应选(C).4. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2(3)().x xyz dV Ω+-=⎰⎰⎰(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 难度等级:2;知识点:三重积分 答案:(D).分析:积分区域关于yoz 面对称,2x xyz +为关于x 的奇函数,积分值为0,余下为3-倍体积,球体体积为4/3,π故选D.5. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为（ ）.(A) x y z --=-8132 (B) x y z ++=8140 (C)x -y +8z =124 (D) x y z +-=8116答：（B ）难度等级：1；知识点：曲线的法平面.分析 法平面的法向量就是曲线的切向量，为(1,1,8)n =，所以法平面方程为：(4)(8)8(16)0x y z -+-+-= 即 x y z ++=8140 与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).6. 设22()x f x x e =，则(16)(0)f =______(A)17!(B) 16! (C) 16!7! (D) 7!16!答案：(C)难度等级2; 知识点：幂级数分析：因为22220()!n x n x f x x e x n ∞===∑的16x 的系数为17!，即(16)(0)116!7!f =，故 (16)16!(0)7!f =二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知sin(21),xy u e x y =++则__________.du = 难度等级1; 知识点：全微分答案: ([sin(21)][2cos(21)].xy xy ye y dx xe x y dy +++++8. 已知幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,则213nn n n a x ∞=∑的收敛半径为__________.难度等级2; 知识点：幂级数 答案:R =分析:由1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,故 2.x <即223x x <⇒<9.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-则旋度_______.rotA = 难度等级1; 知识点：旋度 答案:234.i j k ++10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,y C C x =+其中12,C C 为独立的任意常数,则该方程为__________.答案:0.y ''=分析:由通解可得特征方程为20,λ=其对应的二阶线性常系数齐次微分方程0.y ''=11.设:0,D y x a ≤≤≤≤则__________.D=难度等级2; 知识点：二重积分 答案:316a π分析:由几何意义知,该积分为顶为z =底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为a 的球体的八分之一,得结果.12. 函数0()0x x f x x πππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的系数__________.n b =答案:21(1).n n n-- 分析:1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 00000021(sin sin )11(cos cos )111((1)1)cos cos 1(1)1((1)1)sin 21(1).n n nn nxdx x nxdx nx xd nx n n x nx nxdx n n n nx n n n n nππππππππππππππ-----=+=--=---+-=--++=--⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛难度等级2; 知识点：级数的敛散性解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10,nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>知级数1n n u ∞=∑发散.--------3分又111||ln(1)ln(1)||,1n n u u n n +=+>+=+1lim ||lim ln(1)0.n n n u n→∞→∞=+=故所给级数收敛且条件收敛．---3分14. 方程组01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩确定隐函数(,),(,),u u x y v v x y ==求2,u x y ∂∂∂2.v x y ∂∂∂ 难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数 分析:用,x y 解出,,u v 再求偏导数.解: 2222,;y xu v x y x y==++222222222,;()()u xy v y xx x y x x y ∂∂-=-=∂+∂+ 22222222232232(3)2(),.()()u x y x v y x y x x y x y x y ∂-∂-==∂+∂∂+ 15. 计算二重积分cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为0,0,()(),0π和(),ππ的三角形闭区域难度等级2; 知识点：二重积分解 :积分区域可表示为:0,0.D x y x π≤≤≤≤ 于是cos()Dx x y d σ+⎰⎰00cos()xxdx x y dy π=+⎰⎰ []00sin()xx x y dx π=+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰01(cos 2cos )2xd x x π=--⎰1(cos 2cos )|2x x x π=--+01(cos 2cos )2x x dx π-⎰3.2π=- 16.计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ+++++⎰其中Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向看进去为逆时针(0).z ≥难度等级2; 知识点：第二类曲线积分分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解: 222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++⎰ 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰2()2xyxyD D x y dxdy xdxdy =-=⎰⎰⎰⎰4cos 22022cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰342224cos 16.3d ππθθπ-⨯==⎰或解:22cos 2sin 020x ty tt z π=+⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩222222()()()y z dx z x dy x y dzΓ+++++⎰2328[sin (1cos )cos ]16t t t dt ππ=-++=⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设函数()x ϕ为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程()()()dy d x d x y x dx dx dxϕϕϕ+=的通解. 难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析: 因为()x ϕ是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程. 解: 由通解公式可得()()(()())x x y e x x e dx C ϕϕϕϕ-'=+⎰()()(()())x x e x e d x C ϕϕϕϕ-=+⎰()()()(())x x x e x e e C ϕϕϕϕ-=-+即()()1.x y x Ce ϕϕ-=-+18. 函数z z x y =(,)由方程F x zyy z x(,)++=0所确定，其中F 有连续的一阶偏导数，计算: z z x yx y∂∂+∂∂难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.分析 由方程(,)zz F x y y x++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数x zG zx G ∂=-∂，y zG zy G ∂=-∂，求出,,x y z G G G 后可得,z z x y ∂∂∂∂，代入z zx y x y∂∂+∂∂即可得到结论.解12212221()1yF zF yF zF zx xxF F x-++∂=-=∂112211F F zx y F F x-∂=-=-∂1212yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂五、 证明题 (每小题6分,共12分)19. 设向量(1,1,1)a =-,(3,4,5)b =-,x a b λ=+,λ为实数，试证：其模最小的向量x 垂直于向量b . 难度等级：2；知识点：向量代数.分析 先计算出x a b λ=+，再求出它的模x ，何时x 达到最小值证 设x a b λ=+，于是22222()x a b a b λλ=++⋅，将a b 、的坐标代入得，222633245050().2525x λλλ=++=++ 当256-=λ时，模x 最小，这时 6715(1,1,1)()(3,4,5)(,,).25252525x ---=-+-=且有0x b ⋅=.故结论正确.20. 验证曲线积分(2,3)(0,1)()()x y dx x y dy ++-⎰的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分. 难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数. 证:显然,()()x y dx x y dy ++- ()()xdx ydy ydx xdy =-++2222()2().2x y d d xy x y d xy -=+-=+ 是全微分.于是(2,3)22(2,3)(0,1)(0,1)()() 4.2x y x y dx x y dy xy ⎡⎤-++-=+=⎢⎥⎣⎦⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21.求抛物面224y x z ++=的切平面,π使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（ A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（ A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（ B ）.A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（ B ）A. x 2B.2C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=⎰, 则⎰xd e x22=（ A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（ A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是（ A ） A.c xx ++1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx+=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112.15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2. 16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x x dx +-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2 . 三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xx edx e =⎰（ × ）3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos （ × ）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d exx x++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xe x 2. 解: 原式=C e x +--2216.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(. 解: 原式=C x x x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx xx 22cos sin1. 解: 原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x 5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t 时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰. 第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdxdv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx +2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（ √ ）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（ √ ） 三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx e x 22. 解：原式=C x x e x ++-)21(2122 3.求不定积分⎰++dxx x 11. 解：C x x C t t dtt t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx. 解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin . 解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(. 解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4. 解：原式C x ex++-=-)16141(4 8. 求不定积分⎰++dxx 111. 解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211. 解：原式[]C x x +-+++=112ln12- 10.求不定积分dxex⎰+11. 解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2. 解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1. 解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxx x 22112. 解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x 2 )1,0(≠>a a . 解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解：原式C x +=23arcsin 31 16.求不定积分dxx ⎰sin . 解：原式C x x x ++=sin 2cos -217.求不定积分⎰xdx x 3cos . 解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2. 解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 （增加题）第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（ D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx d ba)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )A.1B.b a -C. a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（ B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B )A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042( C )A.11B.12C.13D.14 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × ）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx x e x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A .9..0sin 12=⎰dx xdx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x .15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx. 解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解：原式21-= 4.求定积分dxx⎰--2121211 解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxe x⎰-1. 解：原式eex1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解：原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12. 解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解：原式102)1(2+=-=e x e x 17.求定积分⎰-1dxxe x . 解：原式ex e x2101)1(--=+=- 18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ33sin . 解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f . 解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +⎰194. 解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰10arcsin xdx . 解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu . 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dxx ⎰+101210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰1024dx xx . 解: 原式10ln 710ln 81=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 2322=-=πππx x 46.求定积分dxx ⎰--2221. 解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x. 解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x 五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （ C ）.A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰b adxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ） 三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。

刘霞简介刘霞女讲师博士在读2005年参加工作教过的课程：高等数学、复变函数与积分变换、实数的构造理论等。

2010年曾被学生网评为重庆大学教学50强。

魏曙光简介姓名：魏曙光性别：男出生年月：1966.07.05籍贯：重庆万州职称：副教授所在单位：数学系简历：1983.9-----1987.7 兰州大学数学系计算数学专业本科1991.9------1994.7 重庆大学数学系应用数学专业硕士研究生1987.7参加工作，直至现在。

工作：自工作以来，一直在教学第一线进行教学工作。

先后承担了多门课程的教学。

它们分别是本院数学学科专业的专业基础课《数学分析》、《解析几何》，以及公共课《数值计算》、《高等数学》、《线性代数》等。

在教学同时，发表了多篇教学、科研文章，参与了多个教改项目，还参与了《数值计算》，重庆大学出版社、《高等数学》，重庆大学出版社两本教材的编写。

其它情况：2007到2008学年度被评为重庆大学教学前50强。

研究方向：主要从事微分方程数值解以及非线性泛函分析的研究。

朱长荣简介朱长荣，副教授，硕士生、博士生导师。

2003年硕士毕业；2007年博士毕业。

朱长荣多次出国访问：2003年去意大利国际理论物理中心（ICTP）学习；2008年--2011年，加拿大Ryerson Univercity作博士后研究工作。

朱长荣有多年从教经历，先后担任过15门数学专业研究生、数学专业本科生、非数学专业公共课等课程，课程涵盖分析类、代数类、几何拓扑类。

知识面广，具有很好的数学思维，一直从事教学科研活动，获得过多种荣誉称号，如“全国百篇优秀博士学位论文提名”；主持过3项国家自然科学基金、3项省部级自然科学基金、2项中央高校基金。

王克金简介王克金，硕士研究生，讲师，担任《高等数学》、《线性代数》和《复变函数与积分变换》的教学工作，从事教学工作已满31年。

于光磊简介于光磊，男，1961年4月出生，副教授。

1982年毕业于四川师范大学数学系，本科；1988年毕业于西安交通大学数学系，硕士。

2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为( )A.＜x＜1B.x＞，x≠1C.x＞1D.0＜x＜13.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为( )A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为( )A. B. C.[1,) D.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( )A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是____.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为____.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为____.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为____.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为____.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步，设对任意1≤i，j≤5有|xi -xj|≤2，问当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.参考答案一、选择题1. 已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（C）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定[解]令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D，由，推出，令，代入上式，得，即，也即.从而有.由此可得.2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为(B)A.＜x＜1B.x＞，且x≠1C.x＞1D.0＜x＜1 [解]因为，解得x＞，x≠1，由，解得0＜x＜1；或，解得x＞1，所以x的取值范围为x＞，且x≠1.3.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为(C)A.20B.25C.30D.42[解].要使A∩B∩N={2,3,4}，则，即，所以数对(a,b)共有.4.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(A)A. B. C.[1,) D.[解]建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1,0,0)(0＜t1＜1)，E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)(0＜t2＜1).所以，.因为GD⊥EF，所以t1+2t2=1，由此推出0＜t2＜.又，，从而有.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的(A)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[解]显然为奇函数，且单调递增.于是若a+b≥0，则a≥-b，有f(a)≥f(-b)，从而有f(a)+f(b)≥0.反之，若f(a)+f(b)≥0，则f(a)≥-f(b)=f(-b)，推出a≥-b，即a+b≥0.6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为(B)A. B.C.102006+82006D.102006-82006[解]出现奇数个9的十进制数个数有.又由于以及，从而得.二、填空题7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是[0,].[解].令t=sin2x，则.因此，，即得.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为[-,].[解]依题意，得(对任意实数θ成立)故a的取值范围为[-,].9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为.[解]由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A(-8-2,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1∽△AF2P，即.(1)又由圆幂定理，|AP|2=|AF1|·|AF2|.(2)而从而有.代入(1),(2)得.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水（)πcm3.[解]设四个实心球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为的正方形.所以注水高为1+.故应注水.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为1.[解](x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005.要使等号成立，必须，即x=±1.但是x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.[解]第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.[证明]因为y2=nx-1与y=x的交点为，显然有.若(x0m,ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则.记，则，(m≥2)(13.1)由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，是正整数.现在对于任意正整数m，取，使得y2=kx-1与y=x的交点为(xm，ym).14.将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和，记，问：(1)当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最大值；(2)进一步地，设对任意1≤i，j≤5有|x i -x j |≤2，问当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最小值. 说明理由.[解](1)首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值.若x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006，且使取到最大值，则必有|x i -x j |≤1，(1≤i，j≤5). (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x 1-x 2≥2.则令，有.将S 改写成.同时有.于是有.这与S 在x 1,x 2,x 3,x 4,x 5时取到最大值矛盾.所以必有|x i -x j |≤1，(1≤i,j≤5).因此当x 1=402，x 2=x 3=x 4=x 5=401取到最大值. (2)当x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006且|x i -x j |≤2时，只有 (I)402，402，402，400，400； (II)402，402，401，401，400； (III)402，401，401，401，401； 三种情形满足要求.而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的.根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在x 1=x2=x3=402，x4＝x5=400情形取到最小值.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.[证明](1)如果a＜-2，则.(2)如果-2≤a≤，由题意f1(0)=a，f n(0)=(f n-1(0))2+a，n=2,3,…，则①当0≤a≤时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，.②当-2≤a＜0时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，有-|a|=a≤f k(0)=(f k-1(0))2+a≤a2+a，注意到当-2≤a＜0时，总有a2≤-2a，即a2+a≤-a=|a|，从而有|f k(0)|≤|a|，由归纳法，推出.=f n(0)，则对于任意n≥1，且(3)当a＞时，an.对于任意n≥1，，则. 所以，.当时，，即f n+1(0)＞2.因此.综合(1)(2)(3)，我们有.。