－ － －x x 3 ＋ 3 t＝3x 复合而成． 因此可利用复合函数的单调性判断 f(x)＝ 2 的
单调区间．
【互动探究】
3．对于函数 f(x)的定义域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下结 论： fx1－fx2 ①f(x1＋x2)＝f(x1)· f(x2)； ②f(x1· x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③ <0； x1－x2
由 0≤x1<x2, 3x1 － 3x2 <0 且 3x1 x2 >1， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 因此 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、 反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的． f(x) ＝ 3x＋3 x 3 x 3x 1 1 t＋ ， 可以看做 y ＝ 与 y ＝ 相加而得到； 也可通过 y ＝ 2 2 2 2 t
1．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此
根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算，依据为 a ＝ m
在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则，并且要注意运 an，
n m
算的顺序． 2．利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小．当幂的底数、 指数都不同时，可选择中间量进行比较．
在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a>0 且 a≠1，对于
(a b 1 ) a b
6
2 3
a b
5
.
解题思路：根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算．
2 2 解析： (1)原式＝ ×1＋(2 ) ×2 ＋(2 ×3 ) － ＝2＋ 3 3 4×27＝110.
1 3
1 3 4
1 4
1 3
1 2 6
1 3
(2)原式＝
1
1 f(－x1)＝ 2
x1
1 2 ＝ ，故⑤成立． fx1
x1
答案：①③④⑤
思想与方法 1．运用分类讨论的思想讨论指数函数的单调性 例题：(2011年上海)已知函数f(x)＝a· 2x＋b· 3x，其中常数a，
b 满足 ab≠0.
(1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时 x 的取值范围．
x
x
所以①成立，②不成立； fx1－fx2 1 x 显然函数 f(x)＝ 单调递减，即 <0，故③成立； x － x 1 2 2 fx1－1 当 x1<0 时，f(x1)>1， x <0， 1 fx1－1 当 x1>0 时，0<f(x1)<1， x <0，故④成立；
②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们是互为相反 n 数，这时，a 的 n 次方根可记作± a； ③( a)n＝a； n ④当为奇数时， an＝a； 当为偶数时， a n
n
n
a ＝|a|＝ －a
a≥0 . a<0 n
⑤0 的任何次方根仍是 0，记作 0＝0； ⑥负数没有偶次方根．
指数函数的底数 a，在不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数
学思想，分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论，以便确定其性质．
x x
(1)中
a>0， ab>0，包括 b>0
a<0， 和 b>0
a<0， 和 两种情形； b<0
两种情形．分类讨论
(2)中
a>0， ab<0，也包括 b<0
就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象 按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最 后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化 整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
4．指数函数的图象与性质
y＝ax(a>1)
y＝ax(0<a<1)
图象
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
过点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1 在 R 上是增函数 在 R 上 A．{－1,1} C．{0}
1 x＋1 M＝{－1,1}，N＝x∈Z2<2 <4
n m
m
【互动探究】 －23 1．若 x>0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝_____. 考点2 指数函数的图象
1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 2
例 2：偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝f(x＋1)，且在 x∈[0,1]时，f(x)
10 1 ＝x ，则关于 x 的方程 f(x)＝ 在0， 3 上根的个数是( 10
41 解析：(1)∵f(x)的图象过点2， 9 ，
1 2 41 －2 ∴2(a ＋a )＝ 9 ，即 9a4－82a2＋9＝0. 1 解得 a ＝9 或 a ＝9.
2 2
1 ∵a>0 且 a≠1，∴a＝3 或 a＝3. 1 x － 当 a＝3 时，f(x)＝2(3 ＋3 x)． 1 11x 1－x 1 x 当 a＝3时，f(x)＝23 ＋3 ＝2(3 ＋3－x)． 1 x ∴所求解析式为 f(x)＝2(3 ＋3－x)．
，则 M∩N
B．{－1}
D．{－1,0}
2．函数 y＝ax＋1(a＞0 且 a≠1)的图象必经过点( A．(0,1) C．(2,1) B．(1,0) D．(0,2)
D )
3．对任意实数 a，下列等式正确的是( D )
A． ( a ) a
3 1 5 3
3 1 2 2
1 3
B． (a ) a
2．(1)正数的正分数指数幂的意义 n a ＝ am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． (2)正数的负分数指数幂的意义
a
m n m n
＝
1 a
m n
＝
1 n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
a b a b a b
1 6 5 6
1 3
1 2
1 2
1 3
＝a
1 1 1 3 2 6
b
1 1 5 2 3 6
a 0 b0 1.
由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出的， 所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将根式化
成指数式的形式，依据为 a ＝ an；如果题目是以根式的形式 给出的，则结果用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的 形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不要同时含 有根号和分数指数幂．
1 3 3 5
1 2 2 3
1 3
C． ( a ) a
1 5
D． ( a ) a
1 5
0 4．方程 4x＋2x－2＝0 的解是_____. 解析：4x＋2x－2＝0⇒(2x－1)(2x＋2)＝0⇒2x＝1⇒x＝0.
1 3 5．已知实数 x 满足 x － x ＝1，则 x＋x＝___.
1 2
解析：(1)当 a>0，b>0 时，对于任意 x1，x2∈R，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝a( 2 x1 2 x2 ) b(3x1 3x2 ) ，
∵ 2 x1 2 x2 ，a>0⇒a( 2 x1 2 x2 )<0，
3x1 3x2 ，b>0⇒b( 3x1 3x2 )<0，
1 2
1 1 解析：( x － x ) ＝x＋x－2＝1，故 x＋x＝3.
1 2
1 2 2
考点1 例1：计算：
指数幂运算
(1)1. 5
1 3
70 4 0.25 × －6 ＋8 ×
1 2 1 2 1 3
2 2＋( 2× 3) － ； 3
3
6
2 3
(2)
1．根式 (1)根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 就叫做 a 的 n 次方根，其中 n>0 且
n * n∈N .式子 a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次 方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根记作 n a ；
1x fx1－1 1 ④ x <0x1≠0； ⑤f(－x1)＝ .当 f(x)＝2 时， 上述结论中正 fx1 1
确结论的序号是____________.
1 1 x 解析：因为 f(x)＝ ，f(x1＋x2)＝ 2 2
x1 x2
11 12 ＝ · ＝f(x1)· f(x2)， 2 2
第三章
第1讲
基本初等函数(Ⅰ)
指数式与指数函数
考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解 实数指数幂的意义，掌握幂的运 算． 3．理解指数函数的概念，理解指 数函数的单调性，掌握函数图象通 过的特殊点.
考纲研读 1.能够根据幂的运算法则进行 幂的运算． 2．能够利用指数函数的单调性 比较大小、解指数不等式． 3．会解指数方程，并能利用数 形结合的思想判断方程解的个 数.
【互动探究】
xax 2．函数 y＝ (0<a<1)的图象的大致形状是( D ) | x|
考点 3 指数函数的性质及应用
41 1 x －x 例 3： 函数 f(x)＝2(a ＋a )(a>0 且 a≠1)的图象经过点2， 9 .
