LT[sin( t)] s2 2 LT[cos(t)] s2 s 2 12 4 1 求下列各函数的拉氏变换 (2) sin t 2cost LT[sin t 2cos t] 1 s2 1 2s s2 1 2s s2 1 1 (10) cos2 (t) cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2 F(s) 1 2 LT[cos(2t)] st ds 2j j s j d 1 ds j 2 对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t 则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号] 寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t 则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0 s j F() FT[ f (t)] F(s) LT[ f (t)] f (t)e jt dt 0 f (t)estdt 0 3 单边拉普拉斯变换对 F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0 象函数 f (t) LT 1[F (s)] 1 j F (s)e st ds 2j j f (t) f (t)u(t) 0 0 LT[ (t)] 1 9 P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数 的跳变时间. (1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t) (1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt 0 2 e(s1)t 1 e2(s1) s 1 s 1 双边拉普拉斯变换对 原函数 FB (s) LTB[ f (t)] f (t)est dt f (t) LT 1[FB F j B ( s)e st ds 4 二、拉氏变换的收敛 lim f (t)et 0 t ( 0 ) 收敛域 : Re[s] 0 例 : 求LT [eatu(t)]的收敛域 LT[eat ] eatest dt e(sa)t dt 1 0 0 sa 6 3. t 的幂函数 f (t) t n (n是正整数) LT[t n ] t nest dt 1 t nd (est ) 0 s0 1 t nest 1 nt e n1 st dt n LT[t n1] 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 F () f (t)e jtdt f (t) 1 F ()e jtd 2 F() f (t)e jtdt 绝对可积条件 : f (t) dt 0 1 对于不满足绝对可积条 件的f (t), 求f (t)et的傅里叶变换 F(s), 则LT[ d dt f (t)] sF (s) f (0 ) d2 d LT[ dt 2 f (t)] sLT[ dt f (t)] f '(0 ) s[sF (s) f (0 )] f '(0 ) s2F (s) sf (0 ) f '(0 ) dn LT[ dt n f (t)] snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f '(0 ) f (n1) (0 ) 15 若LT[ f (t)] F(s), 则LT[ d dt f (t)] sF (s) f (0 ) LT [ d2 dt 2 f (t)] s2F (s) sf (0 ) 1 2 LT[1] 1 2 [ s 2 s 42 1] s 13 求函数 f (t) cos(t ) 的拉氏变换 cos(t ) cost cos sin t sin F (s) cos s sin s2 2 s2 2 s cos s2 sin 2 14 二、时域微分与复频域微分特性 1、时域微分特性 若LT[ f (t)] s 0 s0 s LT[t n ] n s LT[t n1] n(n s 1) 2 LT[t n2 ] n! sn LT[1] n! s n1 LT[t n ] n! s n 1 LT[t] 1 s2 LT[u(t)] LT[1] 1 s 7 应注意的几点 1、单边拉氏变换是从零点开始积分的, t<0区间的函数值与变换结果无关。 e at u (t ) eat ea t F(s) 1 LT 1[ 1 ] eatu(t) sa sa 8 2、当函数在t=0时刻出现跳变时,规定单 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。 F(s) f (t)estdt 0 0-系统 4、冲激函数 f (t) (t) LT[ (t)] (t)estdt (t)estdt 1 lim eatet 0 t a 0 a 满足 lim f (t)et 0的函 t 数f (t)称为指数阶函数 轴收 敛 0 标收 敛 坐 收敛区 5 三、一些常用函数的拉氏变换 1、阶跃函数 f (t) u(t) LT[u(t)] u(t)estdt estdt 1 0 0 s 2、指数函数 f (t) eat 2 (3) LT [e(t2)u(t)] e(t2)u(t)est dt 0 e2 etest dt e2 LT [et ] 1 e2 0 s 1 10 4.3 拉氏变换的基本性质 一、线性(叠加) 若LT[ f1(t)] F1(s), LT[ f2 (t)] F2 (s) 则: LT[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s) FT[ f (t)et ] F1() f (t)ete jt dt 0 s j f (t)e( j)tdt f (t)est dt F (s) 0 0 f (t)et 1 2 F1 ( )e jt d f (t) 1 2 F1()ete jt d 1 2 F1 ( )e ( j )t d 1 j F ( s)e 11 例4 1 求f (t) sin( t)的拉氏变换F(s). f (t) sin(t) 1 (e jt e jt ) 2j F (s) LT[sin(t)] LT[e jt e jt ] 2j 1 (LT[e jt ] LT[e jt ]) 1 [ 1 1 ] 2j 2 j s j s j