高三数学高考数学二轮复习第二部分组合练二

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

综合练习题(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，∁U A ＝{1，2，5}，则集合A 等于( D ) A ．{0，1，2} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{0，3，4}【解析】 因为全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}， ∁U A ＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A ＝{0，3，4}．故选D.2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝|4-3i|(i 为虚数单位)，则z ＝( B ) A ．2＋i B ．2-i C ．1＋2iD ．1-2i【解析】 由(2＋i)z ＝|4-3i|＝42＋（-3）2＝5， 得z ＝52＋i ＝5（2-i ）（2＋i ）（2-i ）＝5（2-i ）22＋12＝2-i ，故选B. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8＞0，a 9＜0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8＋a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的充要条件．故选C.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋log 2Q10(其中a 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，其耗氧量至少需要( )个单位．( C )A ．70B ．60C ．80D ．75【解析】 由题意可得0＝a ＋log 22010，解得a ＝-1，∴v ＝-1＋log 2Q10，∴-1＋log 2Q10≥2，解得Q ≥80，故选C.5．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4＝a 3＋5，则S 9＝( C )A ．35B ．40C ．45D ．50【解析】 ∵2a 4＝a 3＋5，∴2(a 5-d )＝a 5-2d ＋5， ∴a 5＝5，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝5×9＝45，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为( A )A ．83B ．8C ．43D ．4【解析】 由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P -ABCD ， 底面ABCD 为正方形，边长为2， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2， 则该四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83.故选A ．7．已知在边长为3的等边△ABC 中，AP →＝12AC →＋13AB →，则CP →在CB →上的投影为( C )A ．154B ．-54C ．54D ．152【解析】 CP →＝AP →-AC →＝12AC →＋13AB →-AC →＝13AB →-12AC →，∴CP →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)＝13AB →2-56AB →·AC →＋12AC →2 ＝13×9-56×3×3×12＋12×9＝154， ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|＝1543＝54.故选C.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( A )A ．5-12B ．3-12 C.3＋14D ．5＋14【解析】 椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb ＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，则BA →·BF →＝0，解得b 2＝ac ，即a 2-c 2＝ac ，即e 2＋e -1＝0，e ∈(0，1)，故e ＝5-12.故选A ． 9．下列只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)的导函数的图象，则f (-1)＝( A )A ．-13B ．13C ．73D ．-13或73【解析】 因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2-1)，Δ＝4a 2-4(a 2-1)＝4＞0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x 轴有2个交点， 对称轴是x ＝-a ，结合选项(3)符合， 由f ′(0)＝a 2-1＝0且-a ＞0得a ＝-1， 故f (-1)＝-13-1＋1＝-13.故选A ．10．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[-π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【解析】 f (-x )＝sin|-x |＋|sin(-x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )则函数f (x )是偶函数，故①正确，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ， 则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[-π，0)上还有一个零点x ＝-π，即函数f (x )在[-π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2， 故④正确，故正确是①④，故选C. 11．设a ＝3π，b ＝π3，c ＝33，则( C ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a【解析】 考查幂函数y ＝x 3在(0，＋∞)是单调增函数， 且π＞3，∴π3＞33，∴b ＞c ； 由y ＝3x 在R 上递增，可得3π＞33， 由a ＝3π，b ＝π3，可得ln a ＝πln 3，ln b ＝3ln π， 考虑f (x )＝ln x x 的导数f ′(x )＝1-ln xx2， 由x ＞e 可得f ′(x )＜0，即f (x )递减， 可得f (3)＞f (π)，即有ln 33＞ln ππ，即为πln 3＞3ln π，即有3π＞π3，则a ＞b ＞c ，故选C.12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( D )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2【解析】 记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ， 边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |， 由|AF 1|-|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|-(|AN |＋|NF 2|)＝2a ， 得|MF 1|-|NF 2|＝2a ，即|F 1E |-|F 2E |＝2a ， 记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c -(c -x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴， 设直线的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°-θ2，在△CEF 2中，tan ∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan ∠DF 2O ＝tan θ2＝r 2|EF 2|， 由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线的斜率为tan θ＝2tanθ21-tan 2θ2＝21-12＝22，故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0，则z ＝x -2y 的最大值为__2__.【解析】 由z ＝x -2y 得y ＝12x -12z ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x -12z ，由图形可知当直线经过点B 时， 直线y ＝12x -12z 的截距最小，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2x -y ＝0，得B (-2，-2)．代入目标函数z ＝x -2y ，得z ＝-2-2×(-2)＝2， 故答案为2.14．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1-x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝__2__.【解析】 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (-x )＝-f (x )，又由f (x )满足f (1＋x )＝f (1-x )，则f (-x )＝f (2＋x )，则有f (x ＋2)＝-f (x )， 变形可得：f (x ＋4)＝f (x )， 即函数f (x )为周期为4的周期函数；又由f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，则f (2)＝-f (0)＝0，f (3)＝-f (1)＝-2，f (4)＝f (0)＝0， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，则有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×504＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2；故答案为2.15．已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝__-3【解析】 已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，整理得：12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，故：32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 解得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-35， 则：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-tan π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π6＝-233，故答案为-233. 16．设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是__22__.【解析】 设AB ＝AC ＝AA 1＝2m . ∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB ＝30°，于是2msin 30°＝2r (r 是△ABC 外接圆的半径)，r ＝2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半， ∴球的半径为（2m ）2＋m 2＝5m . ∴球的体积为43π×(5m )3＝4010π3，解得m ＝ 2.于是直三棱柱的高是AA 1＝2m ＝2 2. 故答案为2 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝b cos A ＋c ，(1)证明：△ABC 是直角三角形；(2)若D 是AC 边上一点，且CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由正弦定理a cos B ＝b cos A ＋c 化为：sin A cos B ＝sin B cos A ＋sin C ， ∴sin A cos B -sin B cos A ＝sin C ， ∴sin(A -B )＝sin C ，∵A -B ∈(-π，π)，C ∈(0，π)， ∴A -B ＝C 或A -B ＝π-C (舍) ∴A ＝B ＋C ，∴A ＝π2.即△ABC 是直角三角形．(2)在△BCD 中，CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，由余弦定理得cos C ＝CD 2＋BC 2-BD 22CD ×BC ＝59.∴sin C ＝2149.∴AC ＝BC ×cos C ＝103，∴AD ＝AC -CD ＝13，又AB ＝BC ×sin C ＝4143.∴S △ABD ＝12AB ×AD ＝2149.18．(本小题满分12分)(理)某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1)．(1)从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值p 0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值． 已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量，质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果：(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率．(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍，已知每件配件的生产成本为5元，根据环保要求需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价．【解析】 (理)(1)P ＝1-(1-p )(1-(2p -1))＝1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995，解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0＝0.95.(2)由(1)可知A ，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9. 即A ，B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05＝50件， 故挽回损失50×5＝250元，从B 生产线上抽检1 000件产品，不合格产品大约为1 000×0.1＝100， 可挽回损失100×3＝300元， ∴从B 生产线挽回的损失较多．(文)(1)由数表知，甲车间生产出配件的正品的频率是55＋33100＝0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65＋27100＝0.92.所以，乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元，则一等品每件的出厂价为2a 元． 由题意知：1200[120(2a -5)＋60(a -5)-20×8]≥21.7，整理得32a -5.3≥21.7，所以a ≥18，所以二等品每件的出厂的最低价为18元．19．(本小题满分12分)如图所示，△ABC 是等边三角形，DE ∥AC ，DF ∥BC ，面ACDE ⊥面ABC ，AC ＝CD ＝AD ＝DE ＝2DF ＝2.(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求四面体FABC 的体积．【解析】 (1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC ， 又△ABC 是等边三角形， ∴∠EDF ＝∠ACB ＝60°， 又AC ＝DE ＝BC ＝2DF ＝2， 在△EDF 中，由余弦定理可得，EF ＝22＋12-2×1×2×cos 60°＝3，∴EF 2＋DF 2＝DE 2，故EF ⊥DF ， 又DF ∥BC ，∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ，连接DO ，由AD ＝DC ，得DO ⊥AC ，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，∴DO ⊥平面ABC ，且求得DO ＝22-12＝ 3.由DE ∥AC ，DF ∥BC ，且DE ∩DF ＝D ，可得平面DEF ∥平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积V ＝13×12×2×2×32×3＝1. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点，当l 1⊥x 轴时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0(k 1＞0)，且3S △AMF ＝S △BMN ，求直线l 1的方程．【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 当l 1⊥x 轴时，直线l 1的方程为x ＝p2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y 2＝2px，解得y ＝±p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，-p ， 所以|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2，进而可得抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可知F (1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x -1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x -1）y 2＝4x， 得k 21x 2-(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以Δ＝(2k 21＋4)2-4k 41＝16k 21＋16＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，① 因为k 1＋k 2＝0，所以k 1＝-k 2，因为直线l 2与抛物线交于点M ，N ，所以A 与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称， 因为3S △AMF ＝S △BMN ，S △AMF ＝S △BNF ，所以3S △AMF ＝S △AMF ＋S △BFM ，所以2S △AMF ＝S △BFM ，所以2|AF |＝|BF |，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以2x 1＋2＝x 2＋1，即x 2＝2x 1＋1，代入①得(2x 1＋1)x 1＝1，解得x 1＝12或-1(舍去)， 所以x 2＝2x 1＋1＝2×12＋1＝2， 所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋12＝52， 解得k 21＝8，即k 1＝22，所以直线l 1的方程为y ＝22(x -1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x (a ∈R )．(1)若a ＝-1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋1e x -x a ，且g (x )≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，求实数a 的最小值．【解析】 (1)a ＝-1时，f (x )＝-ln x ＋x ，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则f ′(x )＝-1x ＋1＝x -1x， 令f ′(x )＞0，解得：x ＞1，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜1，故f (x )的单调减区间为(0，1)，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )≥0，可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ，即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①，令h (t )＝e t -t ，由h ′(t )＝e t -1得，当t ＜0时，h (t )递减，当t ＞0时，h (t )递增，所以①即为h (-x )≥h (a ln x )，由于求实数a 的最小值，考虑化为a ＜0，所以-x ≤a ln x ，即a ≥-xln x ，令l (x )＝-xln x ，则l ′(x )＝-ln x -1（ln x ）2， 令l ′(x )＞0，解得：0＜x ＜e ，令l ′(x )＜0，解得：x ＞e ，故l (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减，故可得l (x )的最大值为-e ，所以a 的最小值为-e.(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y -4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)．以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM |2＋1|ON |2的最小值．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，即有ρ＝4cos θ＋sin θ； 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)， 可得sin 2t ＋cos 2t ＝y 22＋x 2＝1， 则ρ2cos 2θ＋12ρ2sin 2θ＝1， 即为ρ2＝22cos 2θ＋sin 2θ＝21＋cos 2θ. (2)设M (ρ1，α)，N (ρ2，α)，其中0≤α＜3π4或7π4＜α＜2π， 则4|OM |2＋1|ON |2＝（cos α＋sin α）24＋1＋cos 2α2 ＝1＋2sin αcos α4＋3＋cos 2α4 ＝1＋sin 2α＋cos 2α4＝1＋24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝-1即α＝5π8时，4|OM |2＋1|ON |2取得最小值1-24.23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x ＋1)＞2的解集；(2)若不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝|x |，∴3f (x -1)-f (x ＋1)＞2，即3|x -1|-|x ＋1|＞2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1，-3（x -1）＋x ＋1>2①，或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1，-3（x -1）-x -1>2②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3（x -1）-x -1>2③. 解①得x ≤-1，解②得-1＜x ＜0，解③得x ＞3，综合可得x ＜0或x ＞3，所以原不等式的解集为(-∞，0)∪(3，＋∞)．(2)f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)，即|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|.因为不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，所以，|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|对于x ∈[-2，-1]恒成立．因为x ∈[-2，-1]，所以，x ＋2≥0，x ＋3≥0，所以|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|等价于|x -a |＋x ＋2≤x ＋3，即|x -a |≤1恒成立，所以a -1≤x ≤a ＋1在[-2，-1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a ＋1，解得-2≤a ≤-1， 即实数a 的取值范围为[-2，-1]．。

专题21．(2011·北京海淀)已知函数f (x )＝(ax －1)e x，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ， 所以当a ＝1时，f ′(x )＝xe x， 令f ′(x )＝0，则x ＝0，所以f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝－1.(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x )≥0，对x ∈(0,1)恒成立．又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立即可，解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，则要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≥0g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥02a －1≥0成立，解得a ≥1. 解法二：因为x >0，所以只要a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，所以只要a ≥g (0)＝10＋1＝1.2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x 人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－81100x万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ [解析] 设重组后，该企业年利润为y 万元，依题意得y ＝(2000－x )(3.5＋1－81100x )－0.5x＝－5(x ＋324x)＋9000.81， ∴y ＝－5(x ＋324x)＋9000.81，(0<x ≤100且x ∈N )， y ＝－5(x ＋324x)＋9000.81 ≤－5×2324＋9000.81＝8820.81， ∴当且仅当x ＝324x，即x ＝18时取等号，此时y 取得最大值． 即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．3．(2011·皖南八校)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N *，b ∈N ，c ∈Z . (1)若b >2a ，且f (sin x )(x ∈R )的最大值为2，最小值为－4，试求函数f (x )的最小值； (2)若对任意实数x ，不等式4x ≤f (x )≤2(x 2＋1)恒成立，且存在x 0使得f (x 0)<2(x 20＋1)成立，求c 的值．[解析] (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，对称轴方程为x ＝－b 2a .∵b >2a ，且a ∈N *，b ∈N ，∴－b2a<－1. ∵sin x ∈[－1,1]，∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[－1,1]上为增函数． 于是f (sin x )的最大值为f (1)＝a ＋b ＋c ＝2， 最小值为f (－1)＝a －b ＋c ＝－4， 由此可得b ＝3.∵b >2a ，且a ∈N *， ∴a ＝1，从而c ＝－2.∴f (x )＝x 2＋3x －2＝(x ＋32)2－174.即f (x )的最小值为－174.(2)令x ＝1，代入4x ≤f (x )≤2(x 2＋1)得 f (1)＝4，即a ＋b ＋c ＝4.从而b －4＝－a －c . 又由f (x )≥4x ，得ax 2＋(b －4)x ＋c ≥0. ∵a >0，故Δ＝(b －4)2－4ac ≤0.即(－a －c )2－4ac ≤0，(a －c )2≤0.从而a ＝c . ∵b ≥0，∴a ＋c ≤4,2c ≤4. 又a ＝c ∈N *，∴c ＝1或c ＝2.当c ＝2时，b ＝0，f (x )＝2x 2＋2.此时x 0不满足f (x 0)<2(x 20＋1)．故c ＝2不符合题意，舍去．所以c ＝1，经检验c ＝1满足题意．4．(2011·安徽理，16)设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． [解析] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.(1)当a ＝43f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.5．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x －12a －4(a ∈R )． (1)证明：曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f (x )在x ＝x 0处取得最小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3－6a由f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线经过点(2,2)．(2)由f ′(x )＝0，得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0(ⅰ)当－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值． (ⅱ)当a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得 x 1＝a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1 故x 0＝x 2，由题设知，1<－a ＋a 2＋2a －1<3 当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a <－2－1综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的取值范围是(－52，－2－1)．6．(2011·宁夏银川模拟)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0.(1)解不等式f (x ＋12)<f (1－x )；(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． [解析] (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1) ＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )是增函数． 由f (x ＋12)<f (1－x )得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1－1≤1－x ≤1x ＋12<1－x，解得0≤x <14.故不等式f (x ＋12)<f (1－x )的解集为[0，14)．(2)由于f (x )为增函数，所以f (x )的最大值为f (1)＝1，所以f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]，x ∈[－1,1]总成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]总成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]总成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，由a ∈[－1,1]知其图像是一线段． 所以t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]总成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)t ≥0t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0t 2－2t ≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2 ⇔t ≤－2或t ＝0或t ≥2.7．(2011·徐州二模)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋94)e x ，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数f (x )的图像在x ＝0处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值与最小值． [解析] (1)因为f (x )＝(x 2－3x ＋94)e x ，所以f (0)＝94，又f ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋94)e x ＝(x 2－x －34)e x ，所以f ′(0)＝－34，所以函数f (x )的图像在x ＝0处的切线方程为： y －94＝－34，即3x ＋4y －9＝0. (2)由(1)得f (x )＝(x －32)2e x ，f ′(x )＝(x ＋12)(x －32)e x.当x 变化时，函数f (x )，f ′(x )在区间[－1,2]上的变化情况如下表：函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x )max ＝max{f (－12)，f (2)}，最小值f (x )min ＝min{f (－1)，f (32)}．∵f (2)－f (－12)＝14e 2－4e －12＝e 5－164e<35－2564e<0，f (32)－f (－1)＝0－254－1<0， ∴f (x )max ＝f (－12)＝4e －12，f (x )min ＝f (32)＝0.。

高考数学第二轮复习计划一、指导思想高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。

强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。

整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说．“二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、时间安排：1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。

2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。

3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。

三、怎样上好第二轮复习课的几点建议：（一）.明确“主体”，突出重点。

第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题.第二轮复习的形式和内容1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。

大题基础练(二)数列1．已知等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足：a1＝b1＝2，b5＝a11，且3b4是b5和b6的等差中项．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和S n.解：(1)设d为数列{a n}的公差，q为数列{b n}的公比，由题意得6b4＝b5＋b6，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，因为数列{b n}各项均为正，所以q＞0，即q＝2，所以b n＝b1·q n－1＝2n.b5＝a11＝32＝a1＋10d，解得d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1；(2)由(1)得：a n＋b n＝3n－1＋2n，所以S n＝2＋21＋5＋22＋…＋3n－1＋2n＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(21＋22＋…＋2n)＝n（2＋3n－1）2＋2（1－2n）1－2＝3n22＋n2＋2n＋1－2，所以S n＝3n22＋n2＋2n＋1－2.2．(2021·广东省高三专题练习)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{b n}的前3项．(1)求a n，b n；(2)设c n＝b n＋1a n（a n＋1），求{c n}的前n项和S n. 解：(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0)，由题意，S 4＝4a 1＋4×（4－1）2d ＝4a 1＋6d ＝10，① 又因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得a 1＝d ，②联立①②可得，a 1＝d ＝1所以 a n ＝n ，b n ＝2n －1；(2)因为c n ＝b n ＋1a n （a n ＋1）＝2n －1＋1n （n ＋1）， 所以S n ＝(20＋21＋…＋2n －1)＋(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝1－2n 1－2＋1－1n ＋1＝2n －1n ＋1. 所以数列{c n }的前n 项和S n 为S n ＝2n－1n ＋1. 3．已知正项等差数列{a n }满足：S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n 4n （2a n －1）（2a n ＋1）(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)正项等差数列{a n }满足：S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，当n ＝1时，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 22＝a 31＋a 32，整理得a 22－a 2－2＝0，解得a 2＝2或－1(负值舍去)，故公差d ＝a 2－a 1＝1，故a n ＝n .(2)由(1)得：b n ＝(－1)n4n （2a n －1）（2a n ＋1）＝(－1)n 4n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T 2n ＝－1－13＋13＋15＋…＋14n －1＋14n ＋1＝14n ＋1－1＝4n 4n ＋1. 4．已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)令b n ＝(2－n )(a n －1)，如果对任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，求实数t 的取值范围．解：(1)因为a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ＝n －a n ，所以a 1＝1－a 1，解得a 1＝12，同理可得a 1＋a 2＝2－a 2，解得a 2＝34；(2)因为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，①则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)－a n ＋1，②②－①可得2a n ＋1－a n ＝1，即a n ＋1－1＝12(a n －1)，又a 1－1＝－12，所以数列{a n －1}是首项为－12，公比为12的等比数列，则有a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (3)由(2)可得a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则b n ＝(2－n )(a n －1)＝n －22n ， 因为b n ＋1－b n ＝n －12n ＋1－n －22n ＝n －1－2（n －2）2n ＋1＝3－n 2n ＋1>0，则n ＜3， 由b n ＋1－b n ＜0，可得n ＞3，所以b 1＜b 2＜b 3＝b 4＞b 5＞…＞b n ＞…，故b n 有最大值b 3＝b 4＝18，所以对任意n ∈N *，有b n ≤18，如果对于任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，即b n ≤t 2－14t 恒成立， 则(b n )max ≤t 2－14t ，所以18≤t 2－14t ，解得t ≤－14或t ≥12， 所以实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 5．(2021·佛山第一次模拟)在①log 2 a n ＋1＝log 2 a n ＋1，②a n ＋1＝a n ＋2n ，③a 2n ＋1－a n ＋1a n ＝2a 2n (a n >0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{b n －a n }为等差数列，{b n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，b 1＝2，b 3＝14，________，是否存在正整数k ，使得S k >2 021？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 解：选①：由log 2 a n ＋1＝log a n ＋1得log 2 a n ＋1－log 2 a n ＝1， 所以{log 2 a n }是首项为log 2 a 1＝1，公差为1的等差数列， 所以log 2 a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故a n ＝2n .又b 1＝2，b 3＝14，a 1＝2，a 3＝8，所以b 1－a 1＝0，b 3－a 3＝6，所以等差数列{b n －a n }的公差d ＝（b 3－a 3）－（b 1－a 1）3－1＝3， 所以b n －a n ＝b 1－a 1＋(n －1)d ＝3(n －1)，所以b n ＝2n ＋3(n －1)，S n ＝(21＋22＋23＋…＋2n )＋3(1＋2＋3＋…＋n )－3n ＝2n ＋1－2＋3n 2－3n 2.由S n >2 021得n ≥10，即存在正整数k ，使得S k >2 021.且k 的最小值为10.选②：由a n ＋1＝a n ＋2n 得a 2－a 1＝21，a 3－a 2＝22， a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，相加得a n －a 1＝21＋22＋23＋…＋2n －1＝2（1－2n －1）1－2＝2n －2， 又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ≥2)，显然a 1＝2也满足a n ＝2n (n ≥2)，故a n ＝2n .下同选①.选③：由a 2n ＋1－a n ＋1a n ＝2a 2n 整理得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2， 所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n . 下同选①.6．已知函数f (x )＝log k x (k 为常数，k >0且k ≠1)．(1)在下列条件中选择一个________使数列{a n }是等比数列，说明理由；①数列{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{f (a n )}是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列{f (a n )}是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k ＝2时，设a n b n ＝2n ＋14n 2－1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)①③不能使{a n }成等比数列．②可以：由题意f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2，得a n ＝k 2n ＋2，且a 1＝k 4≠0，所以a n ＋1a n＝k 2（n ＋1）＋2k 2n ＋2＝k 2.因为常数k >0且k ≠1，所以k 2为非零常数，所以数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＝k 4·(k 2)n －1＝k 2k ＋2，所以当k ＝2时，a n ＝2n ＋1.因为a n b n ＝2n ＋14n 2－1， 所以b n ＝14n 2－1，所以b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 7．已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①a 111使满足以上条件的数列{a n }存在；并在此存在的数列{a n }中，试解答下列两个问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝(－1)n ＋1a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1＝1，a2＝4，a3＝7，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*，若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，综上可知：a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2n＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3－a4)(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)(a n－1－a n)＝－3(a1＋a2＋a3＋…＋a n )＝－3×n （1＋3n －2）2＝－92n 2＋32n ， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－92(n －1)2＋32(n －1)＋(3n －2)2＝92n 2－32n －2，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－92n 2＋32n ，n ＝2k ，k ∈N *，92n 2－32n －2，n ＝2k －1，k ∈N *. 8．设S n 是数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，已知a 1＝4，a n ＋1＝S n ＋3n ，设b n ＝S n －3n .(1)证明：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2log 2b n －n b n＋2，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明：因为a n ＋1＝S n ＋3n ，所以S n ＋1－S n ＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，则S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )， 所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a 1－3＝1， 所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)解：由(1)得c n ＝2log 2b n －n b n＋2＝2n －n 2n －1， 设M ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，① 则12M ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，② ①－②得：12M ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ， 所以M ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－2＋n 2n －1，所以T n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。

组合练三一、选择题1．(2017·东北三省四市模拟)若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(－4，－2) D ．(－4,2)解析：由题意得，z ＝2－4ii ＝－4－2i ，∴z ＝－4＋2i ，故其在复平面内对应的点是(－4，2)，选D. 答案：D2．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶函数，故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数．故排除A ，选C. 答案：C3．“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ， ①当a ＝0时，1＞0恒成立，满足条件；②当a ≠0时，满足⎩⎨⎧a ＞0，(2a )2－4a ＜0，解得0＜a ＜1. 因此要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ，必有0≤a ＜1.故“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．(2016·银川一中模拟)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A.18种 C ．72种D ．108种解析：先涂3,5,7，有C 13种方法，再涂2,4.若2,4同色，则有C 12种方法，此时涂1，有C 12种方法；若2,4不同色，则有A 22种方法，此时涂1，有1种方法，根据对称性一共有C 13(C 12C 12＋A 22)×(C 12C 12＋A 22)＝108种涂法，故选D.答案：D5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则S 9的值是( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∵S 3＝7，S 6＝63，∴S 9－S 6＝448，∴S 9＝448＋S 6＝448＋63＝511，选C. 答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．23＋3π27B ．33＋43π27 C ．53＋3π27D ．53＋43π27解析：根据几何体的三视图，得该几何体是底部为正三棱柱，上部为一个球体的组合体，且正三棱柱底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为13× 3＝33，∴该组合体的体积V ＝V三棱柱＋V 球＝12×2×2×32×5＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝53＋4327π.故选D.答案：D7．过双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( ) A.10 B. 5 C.103D.52解析：设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知a ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，分别与双曲线的渐近线方程联立解得x B ＝－1 b ＋1，y B ＝b b ＋1，x C ＝1b －1，y C ＝b b －1，又点B 是AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3，则c ＝10，故双曲线M 的离心率e ＝ca ＝10. 答案：A8．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，b ＝－2，则输出的a 的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a ＝(－1)×(－2)＝2＜6；当a ＝2，b ＝－2时，a ＝2×(－2)＝－4＜6；当a ＝－4，b ＝－2时，a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时输出的a ＝8，故选B. 答案：B 二、填空题9．(2017·包头学业水平测试二)(1＋x )3(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．解析：(1＋x )3(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是C 23C 24＝18.答案：1810．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测试中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：由茎叶图可知，x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a∈N)，则x 乙＝83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a5≥90，解得a ≥8，所以a ＝8或a ＝9，所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为15. 答案：1511．(2017·江苏启东中学模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A cos B ＝－ab ＋2c ，则角A 的大小为________． 解析：依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ， 由正弦定理得(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ， 即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ，整理得sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ，cos A ＝－12. 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3. 答案：2π312．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图．因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点A (－3，－4)与点(4,2)连线的斜率最大为－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137。

排列组合专题突破排列组合专项突破一（两个计数原理）1.．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有()A.288种B．144种C．576种D．96种2．里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．() A．1 080B．1 280 C．1 440D．2 5604．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有种．(用数字作答)排列组合专项突破二（排数问题）1．从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．6B．12C．18D．242．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．523．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成个不同的三位数．4．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有() A．18种B．20种C．24种D．30种5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是()A．40 B．30C．20D．10排列组合专项突破三（分类问题）1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．362．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种3．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为() A．15 B．30C．35D．424．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．105.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．排列组合专项突破四（涂色问题）1. 如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有()A．24B．48C．96D．1202.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140C．240 D．2603.用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（）A．12B．13C．14D．3164.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A. 480B. 720C. 1080D. 12005．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(用数字作答)．排列组合专项突破五（相邻不相邻问题）1.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 8002.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A ．12B ．6C ．8D ．164.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．485.A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为 ． 6.在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有___________种，7.北京APEC 峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．96种排列组合专项突破六（分组分配问题）1．从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为( )A ．40B ．60C ．100D ．1202．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为 .3．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种4.数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种 B ．C 312C 39C 3634种 C.C 312C 39C 36A 4443种 D ．C 312C 39C 3643种5.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)6．（多选）下列说法正确的是( )A ．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法B ．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种C ．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法D ．用0,1，…，9十个数字可以组成没有重复数字的三位偶数328个。

卜人入州八九几市潮王学校2021年四中高考数学第二轮综合训练卷二一、选择题：每一小题5分，一共12小题，一共60分．在每一小题的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的． 1．集合},032|{},,0{2Z x x x x N a M∈<--==，假设∅≠N M ，那么a 的值是〔〕A ．1B ．2C ．1或者2D ．不为零的任意实数 2．以下函数中周期是2的函数是〔〕A ．1cos 22-=x y πB ．x x y ππ2cos 2sin +=C ．)32tan(ππ+=x y D ．sin cos y x x ππ=3．〕A ．假设直线l ∥平面M ，那么直线l 的垂线必平行于平面M ；B ．假设直线l 与平面M 相交，那么有且只有一个平面经过l 且与平面M 垂直；C ．假设直线⊂ba ,平面M ，b a ,相交，且直线l ⊥a ，l ⊥b ，那么l ⊥M ；D ．假设直线a ∥平面M ，直线b ⊥a ，那么b ⊥M ． 4．8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，那么展开式中各项系数的和为〔〕 A ．82B ．83C ．1或者83D ．1或者82 5．假设函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，那么函数)(/x f 的图象是〔〕ABCD6．实数a 满足21<<a ．)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数．1||<x 是a x <的充分不必要条件．那么〔〕A ．“B ．“C ．“┐D ．“┐P 或者┐7．两个点M 〔--5，0〕和N 〔5，0〕，假设直线上存在点P ，使|PM|--|PN|=6，那么称该直线为“B 型直线〞．给出以下直线①1+=x y ；②2=y ；③x y 34=；④12+=x y ．其中为“B 型直线〞的是〔〕 A ．①③B ．①②C ．③④D ．①④ 8．在数列{n a }中，21=a ，2)1(1++=+n n a n na 〔*N n ∈〕，那么10a 为〔〕A ．34B ．36C ．38D ．40 9．点B )0,2(，点O 为坐标原点，点A 在圆1)2()2(22=-+-y x 上，那么向量OB OA 与的夹角θ的最大值与最小值分别为〔〕A ．0,4πB ．4,125ππC ．12,125ππD ．125,2ππ 10．设函数)(x f 为定义域在R 上的以3为周期的奇函数，假设132)2(,1)1(+-=>a a f f ，那么〔〕 A ．32<aB ．132-≠<a a 且C ．132-<>a a 或D ．321<<-a 11．某商场宣传在“五一黄金周〞期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的局部给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，假设他只去一次购置同样的商品，那么应付款〔〕 A ．608元B ．57元C ．582. 12．直线1=+byax 〔b a ,不全为0〕与圆5022=+y x 的公一共点，且公一共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线一共有〔〕A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条二、填空题：每一小题4分，一共4小题，一共计16分．将答案填在题中的横线上． 13．函数)(x f 是R 上的减函数，A 〔0，--3〕，B 〔--2，3〕是其图象上的两点，那么不等式 3|)2(|≥-x f 的解集是______________．14．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，那么所选3人中至少有1名女生的概率是______．15．双曲线)1(122>=-n y nx 的两个焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+|PF 2|=22+n ，那么⊿PF 1F 2的面积为____________．16．有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为a ，如今要用一张正方形的包装纸将它完全包住．〔不能裁剪纸，但可以折叠〕那么包装纸的最小边长应为__________________．三、解答题：一共6大题，一共计74分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．此题总分值是12分〕在⊿ABC 中，角A 、B 、C 的对边为,,,c b a ，向量))sin(,2cos2(B A Cm+-=， ))sin(2,2(cos B A Cn +=，m ⊥n ．〔1〕求角C ． 〔2〕假设22221c b a+=，试求)sin(B A -的值．18．〔此题总分值是12分〕粒子A 位于数轴0=x处，粒子B 位于2=x 处，这两粒子每隔1秒向左或者向右挪动一个单位，设向右挪动的概率为32，向左移的概率为31． 〔1〕求第三秒时，粒子A 在点1=x 处的概率．〔2〕求第2秒时，粒子A 、B 同在点2=x处的概率．ABCDA 1B 1C 1D 1EF19．〔此题总分值是12分〕正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB=2， 侧棱BB 1=4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ， 交B 1C 于点F ，〔1〕求证：A 1C ⊥平面BED ；〔2〕求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值． 20．〔此题总分值是12分〕函数xx ax f 22)(-=．〔1〕将函数)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求)(x g y =的解析式． 〔2〕函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求)(x h y =的解析式；〔3〕设)()(1)(x h x f ax F +=，)(x F 的最小值是m ，且72+>m ．务实数a 的取值范围． 21．〔此题总分值是12分〕自点A 〔0，－1〕向抛物线C ：2x y=作切线AB ，切点为B ，且B 在第一象限，再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E 、F ．直线AF 、AE 分别交抛物线C 于P 、Q 两点． 〔1〕求切线AB 的方程及切点B 的坐标．〔2〕证明)(R AB PQ ∈=λλ． 22．〔此题总分值是14分〕由原点O 向三次曲线)0(323≠-=a ax x y引切线，切点为P 1),(11y x 〔O ，P 1两点不重合〕，再由P 1引此 曲线的切线，切于点P 2),(22y x 〔P 1，P 2不重合〕，如此继续下 去，得到点列：)},({n n n y x P ． 〔1〕求1x ；x〔2〕求n x 与1+n x 满足的关系式； 〔3〕假设0>a，试判断n x 与a 的大小关系，并说明理由．[参考答案]一、选择题〔每一小题5分，一共12小题，一共60分〕二、填空题〔每一小题4分，一共4小题，一共计16分〕13．),2[]0,(+∞-∞ 14．15．116．a 226+ 三、解答题：〔一共6大题，一共计74分〕 14．〔此题总分值是12分〕解：〔1〕由0=⋅nm 得0)(sin 22cos 222=+-B A C01cos cos 22=-+C C 即21cos ,1cos =-=C C 因为π<<C0，所以060=C ．〔2〕因为bca cb R b ac b c a R a A B B A B A 2222cos sin cos sin )sin(222222-+⋅--+⋅=-=- 43sin 21444)(2222====-=C R c cR c cR b a ．〔因为22221c b a=-〕 15．〔此题总分值是12分〕解：〔1〕依题意有粒子A 有以下三种走法：右右左，右右左、左右右，其概率为9431)32(2231=⋅=C P .(2)粒子A 只能为：右右走法，其概率为94)32()(2==A P ，粒子B 有两种走法：右左、左右，其概率为943132)(12=⨯⨯=C B P ，那么粒子A 、B 同在2=x 处的概率是8116)()(2==B P A P P ． 16．〔此题总分值是12分〕解法一〔1〕证明：连AC 交DB 于点O ，由正四棱柱性质可知AA 1⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ，∴A 1C ⊥BD ，又∵A 1B 1⊥侧面BC 1且BC 1⊥BE ∴A 1C ⊥BE ， 又∵BD ∩BE=B ，∴A 1C ⊥平面BDE ．〔2〕设A 1C 交平面BDE 于点K ，连结BK ，那么∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成的角在侧面BC 1中，BE ⊥B 1C ∴⊿BCE ∽⊿B 1BC∴1BB BCBC CE =又BC=2，BB 1=4，∴CE=1．连OE ，那么OE 为平面ACC 1A 1与平面BDE 的交线，∴OE ∩A 1C=K在Rt ⊿ECO 中，22221===AB AC CO ，∴322=+=EC CO OE 又CO EC CK OE ⋅=⋅∵36=CK 又621=C A ，∴36536621=-=K A 在Rt ⊿A 1BK 中，630sin111==B A K A BK A ，即为A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值．解法二：〔1〕以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -．D 〔0，0，0〕，A 〔2，0，0〕，B 〔2，2，0〕，C 〔0，2，0〕 A 1〔2，0，4〕，B 1〔2，2，4〕，C 1〔0，2，4〕，D 1〔0，0，4〕， 设点E 〔0，2，t 〕 ∵BE ⊥B 1C ，∴04041=-+=⋅t CB BE 1=t ，∴E 〔0，2，1〕又)1,0,2(-=BE ，)4,2,2(1--=C A ，)0,2,2(=BD∴0044040411=++-=⋅=-+=⋅DB C A BE C A 且∴A 1C ⊥DB ，且A 1C ⊥BE ，∴A 1C ⊥平面BDE ． 〔2〕设A 1C ∩平面BDE=K那么),22,2()1,2,0()0,2,2(n n m m n m DE n DB m DK+=+=+=∴)2,22,2(n n m m K +∴)4,22,22(1-+-=n n m m K A由K A 1⊥DB 得0)22(2)22(21=++-=•n m m DB K A∴012=-+n m ，…………①同理有K A 1DE 得04)22(21=-++=⋅n n m DE K A…②由①②联立，解得32,61==n m∴)310,35,35(1--=K A∴365||1=K A ，又易知52||1=B A∴630||sin111==B A K A BK A ，即所求角的正弦值为630．20．〔此题总分值是12分〕解：〔1〕易得2222)(---=x x a x g ．〔2〕设P ),(y x 为)(x h y =的图像上任一点，点P 关于直线1=y 的对称点为)2,(y x Q -∵点)2,(y x Q -在)(x g y =的图像上，∴2222)(2---==-x x a x g y ，即得22222)(--+-=x x ax h ．〔3〕22222)22(1)()(1)(--+-+-=+=x x x x a aa x h x f a x F 下面求)(x F 的最小值．454=-+n m①当⎪⎩⎪⎨⎧>->-014044a a a，即441<<a 时2)14)(4(24)14)(4(2)(+--=+--≥aa a a a a x F由722)14)(4()]([min+>+--=a a a x F ，得0)2)(12(<--a a ，所以221<<a ．②当⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-014044a a a即410≤<a 时)(x F 在R 上是增函数，无最小值，与m x F =min )]([不符．③当⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-014044a a a即4≥a 时，)(x F 在R 上是减函数，无最小值，与m x F =min )]([不符．④当⎪⎩⎪⎨⎧<-<-014044a a a即0<a 时，2)(<x F ，与最小值72+>m 不符．综上所述，所求a 的取值范围是221<<a ． 21．〔此题总分值是12分〕解：〔1〕设切线AB 的方程为1-=kx y ，代入2x y =得012=+-kx x ，由042=-=∆k 得2=k ，AB 的方程为12-=x y ，易得切点B 〔1，1〕． 〔2〕线段AB 的中点M)0,21(，设过点M 的直线l的方程为)21(-=x k y ，与2x y =交于),(),,(222211x x F x x E由021)21(22=+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=k kx x x y x k y 得，有k x x k x x 21,2121==+．再设P ),(233x x ，Q ),(244x x ，要证)(R AB PQ ∈=λλ，只要PQ ∥AB ，证2==AB PQk k 即可．由43342324x x x x x x k PQ+=--=．∵A 、P 、F 三点一共线，有AF APk k =，∴22232311x x x x +=+ 32232232x x x x x x +=+，∴0)1)((3232=--x x x x ，又32x x ≠∴132=x x同理由A 、E 、Q 三点一共线得141=x x∴2211121211243==+=+=+=k kx x x x x x x x k PQ所以PQ ∥AB ，有)(R AB PQ ∈=λλ．22．〔此题总分值是14分〕解：〔1〕由)0(323≠-=a ax x y 得ax x y 632/-=过曲线上的点P 1),(11y x 的切线L 1的方程为))(63()3(11212131x x ax x ax x y --=--又∵切线L 1过原点O ，有))(63()3(11212131x ax x ax x --=--化得231ax =．〔2〕过曲线上的点),(111+++n n n y x P 处的切线1+n L 方程为1+n L 过点),(n n n y x P 得))(63(331121213123+++++--=+--n n n n n n n n x x ax x ax x ax x由于1+≠n n x x ，分解因式并约简，得1211211263)(3+++++-=+-++n n n n n n n n ax x x x a x x x x∴0)(3212112=---++++n n n n n nx x a x x x x∴a x x n n 321=++．〔3〕由〔2〕得：23211a x x n n +-=+，∴)(211a x a x n n --=-+ 故有数列}{a x n -是首项为21a a x =-，公比为21-的等比数列．∴1)21(2--=-n n a a x ，∴a x nn ])21(1[--=∵0>a，∴当n 为偶数时，a x n <；当n 为奇数时a x n >．。

第2讲逻辑、算法调研一命题及逻辑用语■备考工具——————————————1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．四种命题及其关系(1)原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若綈p，则綈q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”．(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．3．全称命题与特称命题的结构注意：x(指某一类数)，“∃”后面跟的一般是单指的数x0(指某一类中的一个数)．(2)否定结论时要注意一些词语的否定方法，常见的一些词语及其否定如下：“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．■自测自评——————————————1．[2019·开封定位考试]若命题p：∀x∈R，x－ln x>0，则綈p 为()A．∃x0∈R，x0－ln x0≤0B．∃x0∈R，x0－ln x0>0C．∀x∈R，x－ln x≤0D．∀x∈R，x－ln x<0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以綈p：∃x0∈R，x0－ln x0≤0，故选A.答案：A2．[2019·湖北重点中学联考]已知p：∃x0∈R,3x0<x30，那么綈p 为()A．∀x∈R,3x<x3B．∃x0∈R,3x0>x30C．∀x∈R,3x≥x3D．∃x0∈R,3x0≥x30解析：因为特称命的否定为全称命题，所以綈p：∀x∈R,3x≥x3，故选C.答案：C3．[2019·安徽示范高中考试]已知下列两个命题，p1：存在正数a，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；p 2：函数y ＝sin x ＋cos x ＋2无零点．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 4B ．q 2，q 3C ．q 1，q 3D ．q 2，q 4解析：当a ＝1时，y ＝2x ＋a ·2－x 在R 上是偶函数，所以p 1为真命题．当x ＝5π4时，函数y ＝sin x ＋cos x ＋2＝0，所以命题p 2是假命题．所以p 1∨p 2，p 1∧(綈p 2)是真命题，故选A.答案：A4．[2019·济南质量评估]已知命题p ：关于m 的不等式log 2m <1的解集为{m |m <2}；命题q ：函数f (x )＝x 3＋x 2－1有极值．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：由log 2m <1，得0<m <2，故命题p 为假命题；f ′(x )＝3x 2＋2x ，令f ′(x )＝0得x ＝－23或x ＝0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0上单调递减，故f (x )有极值，所以命题q 为真命题．所以(綈p )∧q 为真命题．答案：C5．[2019·太原一模]下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b <0，则向量a 与b 的夹角为钝角 B ．若am 2≥bm 2，则a ≥bC ．若命题“p ∨q 是真命题”，则命题“p ∧q 是真命题”D ．命题“∃x 0∈R,<x 20”的否定是“∀x ∈R ，2x ≥x 2” 解析：对于A ，当向量a 与b 的夹角为π时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝cosπ＝－1，此时a ·b <0，但向量a ，b 的夹角不为钝角，故A 是假命题；对于B ，当m ＝0，a ＝－1，b ＝1时，满足am 2≥bm 2，但a <b ，故B 是假命题；对于C ，若p ∨q 是真命题，则p ，q 一真一假，或p ，q 均为真命题，故p ∧q 不一定是真命题，C 是假命题；命题“∃x 0∈R,<x 20”的否定是“∀x ∈R,2x ≥x 2”，故D 是真命题．选D.答案：D6．[2019·南昌二模]已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ，命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：∵命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0是假命题，∴方程f (x )＝0没有实数根，∵f (x )＝ax 2＋x ＋a ，∴方程ax 2＋x ＋a ＝0没有实数根．∵a ＝0时，x ＝0为方程ax 2＋x ＋a ＝0的根， ∴a ≠0，∴Δ＝1－4a 2<0且a ≠0， ∴a <－12或a >12，故选C. 答案：C调研二 充要条件■备考工具—————————————— 1．充分条件与必要条件(1)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件． (2)若q ⇒p 且 p q ，则p 是q 的必要不充分条件． (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(4)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的判断方法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件1．[2019·天津卷]设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．答案：B2．[2019·浙江卷]设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a 的图象，如图，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.答案：A3．[2019·北京卷]设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|>|BC →|”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若|AB→＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，即c 2＋b 2＋2bc ·cos A >c 2＋b 2－2bc ·cos A ，∴cos A >0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB→与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB→＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件，故选C.答案：C4．[2019·合肥质检一]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，由于f (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此若a >|b |≥0，则f (a )>f (|b |)，即f (a )>f (b )，所以a >|b |是f (a )>f (b )的充分条件；若f (a )>f (b )，则f (|a |)>f (|b |)，可得|a |>|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a >|b |，则a >|b |不是f (a )>f (b )的必要条件，所以“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．[2019·南昌一模]已知r >0，y ∈R ，p ：“|x |＋|y |2≤1”，q ：“x 2＋y 2≤r 2”，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)解析：由题意，命题p 对应的是菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x ＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0，由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝24＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255，故选A.答案：A6．[2019·长沙一模]在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在等比数列{a n }中，a 1·a 3＝a 22.由a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根可得a 1·a 3＝1，所以a 22＝1，所以a 2＝±1，所以“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的充分条件；由a 2＝±1得a 1·a 3＝1，满足此条件的一元二次方程不止一个．所以“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的充分不必要条件，故选A.答案：A调研三 算法■备考工具—————————————— 1．三种基本逻辑结构3.角度：(1)条件结构与分段函数相结合；(2)当型循环结构的结果输出问题；(3)直到型循环结构的结果输出问题．考查题型多为选择题，有时也以填空题形式考查，难度相对较小，属中低档题．复习时，不管面对含什么结构的程序框图，首先要做的就是弄清程序框图想要实现的最终功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．4．程序框图的补全及逆向求解问题 (1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图． 5．程序框图的应用技巧(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循环结构来解决．在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．6．注意三种统计案例 (1)更相减损术和辗转相除法． (2)秦九韶算法． (3)进位制(除k 取余法)．■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅰ]如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A解析：A＝12，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝12＋12，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝12＋12＋12，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝12＋A.故选A.答案：A2．[2019·全国卷Ⅲ]执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于()A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127解析：执行程序框图，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12， 不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＝2－121，x ＝14，不满足x ＜ε＝1100， 所以s ＝1＋12＋14＝2－122，x ＝18，不满足x ＜ε＝1100， 所以s ＝1＋12＋14＋18＝2－123，x ＝116，不满足x ＜ε＝1100， 所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x ＝132，不满足x ＜ε＝1100， 所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x ＝164，不满足x ＜ε＝1100， 所以s ＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x ＝1128，满足x ＜ε＝1100， 输出s ＝2－126，选C. 答案：C3．[2019·惠州调研]对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵a ＝18×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44， ∴S ＝18×[(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋42]＝7.故选B.答案：B3题图4．[2019·合肥调研]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i <6?D ．i <7?解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2的值，又S ＝15，所以i ＝5，当i ＋1＝6时退出循环，结合选项可知，应填i <6？.故选C.答案：C5．[2019·开封定位考试]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为( )A ．－1B ．0C ．－1或1D ．－1或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－x 2＋4＝3得x ＝－1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋2＝3得x ＝0.故选D.答案：D6．[2019·福州质量抽测]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )A．143 B．48C．16 D．5解析：开始，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2，第一次循环，v＝v x＋i ＝1×3＋2＝5，i＝1；第二次循环，v＝v x＋i＝5×3＋1＝16，i＝0；第三次循环，v＝v x＋i＝16×3＋0＝48，i＝－1，不满足条件，退出循环．输出v＝48，故选B.答案：B。

（新高考）2022届高三二轮综合卷数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知 1i 2i z ，则在复平面内复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由 1i 2i z 可得 2i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z，则在复平面内复数z 对应的点为31,22，位于第四象限，故选D．2．已知集合 2430A x x x ，集合20B x x x a ，若23A B x x I ，则a（）A．0B．1C．2D．6【答案】C【解析】 24313013x x x x x ，所以 |13A x x ，由于23A B x x I ，所以2x 是方程20x x a 的根，即2220,2a a ．此时 2222101x x a x x x x x 或2x ，,12,B U ，满足 23A B x x I ，所以2a ，故选C．3．在下列区间中，函数()2cos 3f x x的单调递减区间是（）A．2,33B．4,33C．2,33D．4,33【答案】A【解析】由题意，函数()2cos 3f x x，令22,Z 3k x k k，解得22,233k x k k Z ，令k =0，可得函数 f x 的递减区间为2[,]33，结合选项，可得函数 f x 在区间2,33上单调递减，故选A．4．已知定义域为R 的函数 f x 在 3, 上单调递减，且 3y f x 为偶函数，则关于x 的不等式24f x f 的解集为（）A．2,22,2UB．,22,22, U U C． ,22, U D．2,2 【答案】A【解析】∵ 3y f x 为偶函数，∴ 33f x f x ，∴函数 y f x 关于直线3x 对称，∴ 24f f ，又∵函数 f x 在 3, 上单调递减，∴224x ，解得22x 或22x ，即不等式24f x f 的解集为2,22,2 U ，故选A．5．实数x ，y 满足2210430x y x y y，则2yx 的取值范围是（）A．472,3B．347,23C．472,33D．471,32【答案】C【解析】作出不等式组2210430x y x y y 表示的平面区域，如图中阴影弓形CBD及内部，其中弧CBD 是圆22(2)1x y 在直线10:x y CD 及下方，(0,1),(1,2)C D ，圆心坐标为0,2，半径为1，目标函数2yx 表示平面区域内的动点(,)x y 与定点(2,0)A 确定直线l 的斜率，观察图形知，当直线l 与弓形弧CBD 相切时，其斜率最小，当直线l 经过点D 时其斜率最大，直线l 斜率的最大值为2021(2)3AD k，令直线l 与弓形弧CBD 相切时直线l 的方程为(2)y k x ，1 ，解得473k或473k (不符合题意，舍去)，即直线l斜率的最小值是43k，所以2yx的取值范围是42[,33 ，故选C．6．已知数列 31n 与数列 41n ，其中n N ．它们的公共项由小到大组成新的数列 n a ，则n a 的前25项的和为（）A．3197B．3480C．3586D．3775【答案】D【解析】数列31n n N 的各项为：4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、L ，数列41n n N 的各项为：3、7、11、15、19、23、27、31、35、39、L ，由题意可知，数列 n a 的各项为：7、19、31、L ，所以，数列 n a 为等差数列，且首项为7，公差为19712 ，因此，数列 n a 的前25项的和为25241272537752，故选D．7．若22sin 4sin cos 41a a b b b b a ，则（）A．2a b B．2a b C．|||2|a b D．|||2|a b 【答案】C【解析】令2()sin f x x x x ，∵22()sin()()sin ()f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数，∵()sin cos 2(cos 1)(sin )f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x ，则()cos 10g x x ，∴()g x 在(0,) 上单调递增，当0x 时，()(0)0g x g ，此时()0f x ，∴()f x 在(0,) 上单调递增．由22sin 4sin cos 41a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1a a a b b b ，即()(2)1f a f b ，∴()(2)f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)f a f b ，∴|||2|a b ，故选C．8．已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b 的上焦点为F ，过原点O 的直线l 交C 于点,M N ，且2FO MN ，若5612MNF，，则C 的离心率的取值范围为（）A．22，B．23，C．23，D．123，【答案】C【解析】因为直线MN 过原点，由椭圆及直线的对称性可得||||OM ON ，所以||2||MN OM，设下焦点F ，连接NF ，MF ，又因为2||||2OF MN c ，即||||FF MN 且互相平分，可得四边形MFNF 为矩形，即有MNF MF F ，在MFF Rt V 中，||||sin 2sin MF FF MF F c MF F ，||||cos 2cos MF FF MF F c MF F ，由椭圆的定义可得||||2MF MF a ，所以22(sin cos )2sin()4a c MF F MF F c MF F，所以离心率1sin()4c e aMF F，因为5[,]612MNF ，所以52[,4123MF F，所以sin(),1]42MF F ，所以1,23sin()4MF F，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量 1,1 a ， 0,2 b ，则（）A． a b bB． 2 a b bC． a b 与a 可以作为一组基底D．b 在a 方向上的投影为1【答案】BC【解析】∵2,||2 a b b ，∴|| a b b ，选项A 错误；2(2,0) a b ，∴(2)0 a b b ，∴(2) a b b ，选项B 正确；∵(1,3),(1,1) a b a ，∴ a b 与a 都是非零向量，且 a b 与a 不共线，∴ a b 与a 可以作为一组基底，选项C 正确；b 在a方向上的投影为||cos ,||||||||a b a b a a b b a b a D 错误，故选BC．10．下列说法中正确的是（）A．已知随机变量X 服从二项分布14,3B ，则 89E XB．已知随机变量X 服从正态分布23,N 且 50.85P X ，则 130.35P X C．已知随机变量X 的方差为 D X ，则 2323D X D X D．“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件【答案】BD【解析】已知随机变量14,3X B :，则 14433E X，故A 错误；因为随机变量23,X N :， 50.85P X ，所以 10.15P X ，所以 130.35P X ，故B 正确；234D X D X ，故C 错误；充分性：“A 与B 是互斥事件” “A 与B 互为对立事件”，充分性不成立；必要性：“A 与B 是互斥事件” “A 与B 互为对立事件”，必要性成立，因此“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件，故D 正确，故选BD．11．己知△ABC 中，角A ，B．C 所对的边分别是a ，b ，c ，B =3，2BP u u r =PC u u u r ，AP，则下列说法正确的是（）A．AP u u u r =23AB u u u r +13ACu u u r B．a +3c的最大值为C．△ABC面积的最大值为D．a +c 的最大值为【答案】AD【解析】对于A，在△ABC 中，因2BP u u r =PC u u u r，则11(33AP AB BP AB BC AB AC u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21)33AB AB AC u u u r u u u r u u u r=，A 正确；在△ABP 中，由余弦定理得：2222cos AP AB BP AB BP ABP 22cos 60AB BP AB BP AB BP o ，当且仅当AB BP时取“=”，于是得当AB BP AP时，max ()3AB BP ，11sin 3sin 60224ABCS AB BC B AB BPo V ，C 不正确；在△ABP 中，令BAP ，则23APB，203，由正弦定理得2sin sin sin sin 60AB BP AP APB BAP B o，则22sin ,2sin 33ac，26sin 2sin 7si )n 3a c，其中锐角由tan 7 确定，而2π3，则当2时，sin()1 ，a c取最大值，D 正确；而3a c a c ，则3a c 的最大值应大于a c 的最大值，又 ，即a +3c的最大值为不正确，故选AD．12．如图，在四面体ABCD 中，60ABC ，AD 底面ABC ，AC AD ，若四面体ABCD 的外接球的表面积为28 ，则四面体ABCD 的体积不可能是（）A．5B．6C．7D．8【答案】CD 【解析】如图：根据已知条件可将三棱锥补为直三棱柱，则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球．设直三棱柱的上下底面三角形的外接圆圆心分别为1O ，2O ，外接球球心为O ，则O 为12O O 中点，根据已知条件可知12O O ＝AD ＝A C．设外接球半径为R ，设上下底面三角形外接圆半径为2BO ＝r ．由2428R R ，设122O O AC AD x ，则2OO x ，OB ＝R，在△ABC中，由正弦定理知：322sin 22AC r r x r ABC ，在2Rt BO O V 中由勾股定理得：22222OO BO OB ，即227x r ，即22372r r，则2r，x AC ＝AD△ABC及其外接圆的如图：I 为AC 中点，则CI，22O C r ，21O I ，当B 为2IO 延长线圆的交点时，易知tan∠IBC＝3CI BI，则30IBC o，则60ABC o，和已知∠ABC 的大小符合，∵∠ABC 是优弧»AC 所对的角，∴当点B 在优弧»AC 上移动时，∠ABC 始终为60°，∴△ABC面积最大为11322AC IB ∴三棱锥D －ABC的体积最大为163AD ，故答案为CD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知某样本数据分别为1，4，3，a ，6，且样本均值3x ，则样本方差2s _______．【答案】185或3.6【解析】依题意14363,15a a ，所以 2222211813243336355s ，故答案为185．14．若2022220220122022(12)x a a x a x a x L ，则20221222022222a a aL 的值_______．【答案】1【解析】令0x ，得01a ，令12x ，得2022120220220222a a a a L ，所以202212220221222a a a L ，故答案为1 ．15．某学生在研究函数 3f x x x 时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深人研究后发现将该函数乘以一个函数g x 后得到一个新函数h x g x f x ，此时 h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③ 00h ．写出一个符合条件的函数解析式 g x ________．【答案】2x （答案不唯一）【解析】因为 3f x x x 为奇函数， h xg x f x 为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x 时， 3h x x x ，则2()31h x x ，此时(0)10h ，所以()1g x 不合题意，当2()g x x 时，53()h x x x ，因为5353()()()()()h x x x x x h x ，所以 h x 为奇函数，42()53h x x x ，由()0h x，得5x或5x ；由()0h x，得55x ，所以 h x的增区间为,5和,5，减区间为,55，所以 h x 为先增后减再增，因为 00h ，所以2()g x x 满足题意，故答案为2x （答案不唯一）．16．为了给市民提供健身场所，某市因地制宜计划在-一个圆形的区域内修建一个如图所示的内接四边形健身步道AB BC CD DA ，其中A ，B ，C ，D 为休息点，AC ，BD 为便捷通道，现已知4AB AD ，120DAB ，则BD 的最小值为_______；若ADC ABC ，则AC 的最小值为________．【答案】，4【解析】设AB x ，AD y ，则4x y ，在ABD △中，2222cos120BD x y xy22222231224x y x y xy x y xy x y x y，（当且仅当x y 时取等），min BD 四边形ABCD 内接于圆O ，且ADC ABC ，则90ADC ABC ，则AC 为该四边形外接圆的直径，由2BD R AC ，所以min 4AC ，故答案为，4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列 n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n a S （n N ）．（1）证明：数列 n a 是等比数列；（2）令 31log n n na c n aN ，求数列 n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）525443n nn T．【解析】（1）332n n a S ，11332n n a S ，相减得1133222n n n n n a a S S a ，则13n n a a ，又∵11133232a S a ，得13a ，故1333n n n a ，得证．（2）由（1）可得3n n a ，所以13n nn c，则12312231333n n n n T c c c c ，则231123133333n n n n n T ，两式相减可得112111119322111211333333313n n n n n n n TL 1111121115111525136336633623n n n n n n n n，所以525443n nn T．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，120BCD ．若CD 8AD ，______，求AB 的长．从①6BD ，75ADC ；②3cos 5ADB ，45CBD ；③ABD S △，45CBD ，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】选①AB；选②AB；选③AB．【解析】若选①，在BCD △中，∵CD 6BD ，120BCD ，∴由正弦定理可知sin sin BD CDBCD CBD，解得sin 2CBD ，又∵π02CBD，，∴45CBD ，即1801204515CDB ，∴60ADB ADC CDB ，在ABD △中，60ADB ，8AD ，6BD ．由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB，解得AB 若选②，在BCD △中，CD 120BCD ，45CBD ，由正弦定理得sin sin BD CDBCD CBD，解得6BD ，在ABD △中，3cos 5ADB ，8AD ，6BD ，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB，即AB．若选③，在ABD △中，120BCD ，45CBD，CD 由正弦定理得sin sin BD CDBCD CBD，解得6BD ，在ABD △中，由1sin 2ABD S AD BD ADB △，解得3sin 2ADB ，则60ADB 或120 ，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB ，当60ADB时，解得AB ；当120ADB时，解得AB ，综上所述：AB．19．（12分）在如图所示的多面体中，点,E F 在矩形ABCD 的同侧，直线ED 平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD ，且BCF △为等边三角形，2,ED AD AB．（1）证明：AC EF ；（2）求平面ABF 与平面ECF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）66．【解析】（1）取BC 中点M ，连接FM ，FB FC Q ，FM BC ．由平面BCF 平面ABCD ，且交线为BC ，FM 平面ABCD ．又ED 平面ABCD ，有//ED FM ，,,,E D F M 四点共面．ED Q 平面,ABCD AC 平面ABCD ，AC ED ．又在矩形ABCD 中，2AD DCDC CM∴ADC V ∽MCD △，∴CAD CDM ，∵90CDM ADM ，∴90CAD ADM ，AC DM ．又∵ED DM D I ，AC 平面EDMF ，EF Q 平面EDMF ，AC EF ．（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则有：2,0,0,2,,1,,0,0,2,0,A B F E C ．设平面ABF 的法向量 111,,x y z n，,1,0,AB BF u u u r u u u r，1110AB BF x u u u r u uu r n n ，令11z，则n ；设平面ECF 的法向量 222,,x y z m，,0,2CF CE u u u r u u r，2222020CF x CE z u u u r u u rm m ，令21z，则m u r，cos ,6∣m n m nm n，所平面ABF 与平面ECF所成锐二面角的余弦值为6．20．（12分）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间 40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计这200名学生的平均成绩；（2）用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间 80,100内的人数为X ，成绩在区间 70,100内的人数为Y ，记Z X Y ，比较 E X E Y 与 E Z 的大小关系．【答案】（1）69．5；（2） E X E Y E Z ．【解析】（1）解：平均成绩为：10450.005550.02650.025750.03850.015950.00569.5 ．（2）解：成绩落在区间 80,100内的概率为 1100.0150.0055 ，故12,5X B:．成绩落在区间 70,100内的概率为 1100.030.0150.0052 ，故12,2Y B:．所以 22160;025441152P X P Y；211224181151521;252P X C P Y C； 2222222;4211115522P X C P Y C， 5811171212252524E X E Y．由题意，Z 可能的取值为0,1,2,3,4，161400,00025425P Z P X Y P X P Y， 1618110,11,025225452P Z P X Y P X Y ，20,21,12,0P Z P X Y P X Y P X Y 161118133254254252100， 8111131,22,125425210P Z P X Y P X Y ， 11142,2254100P Z P X Y， 417012342510052331510100E Z ，故有 E X E Y E Z ．21．（12分）已知椭圆 2222:140x y C b bb ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；（2）若直线l 的方程为1y x ，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 为平行四边形，求椭圆C 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）22116455x y ．【解析】（1）依题意，设 11,A x y ， 22,B x y ， ,M M M x y ，22211222224444x y b x y b，两式相减可得222212124()0x x y y ，则2212221214y y x x ，即1212121214y y y y x x x x ，因为122M x x x ，122M y y y ，直线OM 的斜率M OM M y k x，直线l 的斜率1212l y y k x x ，于是得1212121212122(124)()()()M l OM M y y y y y y y k k x x x x x x x是定值，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．（2）设点P 的坐标为 ,P P x y ，由222144y x x y b，消去y 并整理得2258440x x b ，则1285x x，1212225y y x x ，又四边形OAPB 为平行四边形，即线段AB 与线段OP 互相平分，则1212825225P M P M x x x x y y y y，即点82(,)55P ，而点P 在椭圆C 上，于是得22282164(4()555b，解得245b ，所以椭圆C 的方程为22116455x y ．22．（12分）设函数 ln 1f x x ax ， e 1xg x ．（1）讨论 f x 的单调性；（2）当 0,x 时，若 0f x g x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[2,) ．【解析】（1）解：由题意，函数 ln 1f x x ax ，所以 1(1)1111a x f x a x x x ，当0a 时，令 0f x ，则 f x 在 1, 上单调递增；当0a 时，令 0f x ，解得111x a ；令 0f x ，解得11x a，所以函数 f x 在11,1a上单调递增，在11,a上单调递减；综上：当0a 时，函数 f x 在 1, 上单调递增；当0a 时，函数 f x 在11,1a上单调递增，在11,a上单调递减．（2）解：要证 0f x g x 成立，即证 ln 1e 10xx ax ，令 ln 1e 1,0xh x x ax x ，易知 00h ，可得 1e ,01x h x a x x，令 1e ,01x x h x a x x ，又21e 1x x x在 0, 上单调递增，且 00 ，则 00x ，所以 x 在 0, 上单调递增，所以 02x a ，则当2a 时，可得 20x h x a ，则有 h x 在 0, 上单调递增，则 00h x h ；则当2a 时，可得 020h a ，又因为 x h x 在 0, 上单调递增，则存在 00,x ，使得 00h x ，所以当 00,x x 时， 0h x ，则此时 00h x h ，不符合题意，综上所述：实数a 的取值范围[2,) ．。