中考数学复习开放性问题3[人教版]

开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2015•某某某某，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．考点：全等三角形的判定。

专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．对应训练1．（2015•某某，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2015·某某甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD 上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．考点：四边形综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．解答：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DA F=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关对应训练2．（2015•某某某某，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例如图，在四边形中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结，．（）请你添加一个条件，使得△≌△，你添加的条件是，并证明．（）在问题（）中，当与满足什么关系时，四边形是矩形，请说明理由．分析：（）根据全等三角形的判定方法，可得出当，∥，∠∠时，都可以证明△≌△，（）由（）可得出四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出时，四边形是矩形．解答：（）添加：，证明：∵点是的中点，∴，在△△和△中，，∴△≌△（）；（）解：∵，，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当时，则，∴平行四边形为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例.如图－－，边长为的正方形的对角线，相交于点.有直角∠，使直角顶点与点重合，直角边，分别与，重合，然后逆时针旋转∠，旋转角为θ(°＜θ＜°)，，分别交，于，两点，连结交于点，则下列结论中正确的是．①＝；②四边形∶正方形＝∶；③＋＝；④在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝；⑤·＝＋.图－－第题答图【解析】∵四边形是正方形，∴＝，∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＋∠＝°，∵∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△≌△()，∴＝，＝，∴＝.故①正确；∵四边形＝△＋△＝△＋△＝△＝正方形，∴四边形∶正方形＝∶.故②正确；∵＋＝＋＝＝.故③正确；如答图，过点作⊥交于点，∵＝，∴＝＝，设＝，则＝＝－，＝，∴△＋△＝·＋·＝(－)＋(－)×＝－＋，∵＝－＜，∴当＝时，△＋△最大，即在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝.故④错误；∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴∶＝∶，∴·＝，∵＝，＝，∴·＝，∵在△中，＝＋，∴＝＋，∴·＝＋.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】.如图，直线、被直线所截，若满足，则、平行．.写出一个运算结果是的算式．.如图－－，是经过∠顶点的一条直线，＝，分别是直线上两点，且∠＝∠＝∠α.()若直线经过∠的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠＝°，∠α＝°，则；－(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若°＜∠＜°，请添加一个关于∠α与∠关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．()如图③，若直线经过∠的外部，∠α＝∠，请写出，，三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图－－.如图－－①，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.()求证：△是等腰三角形；()如图②，过点作∥，交于点，连结交于点.①判断四边形的形状，并说明理由；②若＝，＝，求的长．.如图，正方形中，点，分别在边，上，，和相交于点，()观察图形，写出图中所有与∠相等的角。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

专题三 开放探究题专题提升演练1.如图,在△ABC 和△DEF 中,AB=DE ,∠B=∠DEF ,添加下列哪一个条件仍无法证明△ABC ≌△DEF ( )A.∠A=∠DB.AC=DFC.AC ∥DFD.∠ACB=∠F2.如图,在平行四边形ABCD 中,M ,N 是BD 上两点,BM=DN ,连接AM ,MC ,CN ,NA ,添加一个条件,使四边形AMCN 是矩形,这个条件是( )A.OM=12ACB.MB=MOC.BD ⊥ACD.∠AMB=∠CND3.如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A ,B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A ,B ,C 为顶点的三角形的面积为2,则满足条件的点C 的个数是( )A.2B.3C.4D.54.已知▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,请你添加一个适当的条件,使▱ABCD 成为一个菱形,你添加的条件是 .(或AC ⊥BD 等,答案不唯一)5.已知一次函数y=kx+b 的图象交y 轴于正半轴,且y 的值随x 值的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式: .2x+3(答案不唯一,满足k<0且b>0即可)6.已知点A ,B 的坐标分别为(2,0),(2,4),O 为原点,以A ,B ,P 为顶点的三角形与△ABO 全等,写出一个符合条件的点P 的坐标: .答案不唯一)7.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+5经过A (-5,0),B (-4,-3)两点,与x 轴的另一个交点为C ,顶点为D ,连接CD.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)点P 为该抛物线上一动点(与点B ,C 不重合),设点P 的横坐标为t , ①当点P 在直线BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P ,使得∠PBC=∠BCD ?若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.∵抛物线y=ax 2+bx+5经过点A (-5,0),B (-4,-3),∴{25a -5b +5=0,16a -4b +5=-3,解得{a =1,b =6.∴该抛物线对应函数的解析式为y=x 2+6x+5. (2)①如图,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点F. 在抛物线y=x 2+6x+5中,令y=0,则x 2+6x+5=0,解得x 1=-5,x 2=-1.∴点C 的坐标为(-1,0).由点B (-4,-3)和C (-1,0),可得直线BC 对应函数的解析式为y=x+1. 设点P 的坐标为(t ,t 2+6t+5). 由题意知-4<t<-1,则点F (t ,t+1). ∴FP=(t+1)-(t 2+6t+5)=-t 2-5t-4.∴S △PBC =S △FPB +S △FPC =12·FP ·3=32(-t 2-5t-4)=-32t 2-152t-6=-32t+522+278.∵-4<-52<-1,∴当t=-52时,△PBC 的面积的最大值为278. ②存在.∵y=x 2+6x+5=(x+3)2-4,∴抛物线的顶点D 的坐标为(-3,-4). 由点C (-1,0)和D (-3,-4),可得直线CD 对应函数的解析式为y=2x+2. 分两种情况讨论:Ⅰ.当点P 在直线BC 上方时,如图.若∠PBC=∠BCD , 则PB ∥CD.设直线PB 对应函数的解析式为y=2x+b. 把B (-4,-3)代入y=2x+b ,得b=5.∴直线PB 对应函数的解析式为y=2x+5. 由x 2+6x+5=2x+5,解得x 1=0,x 2=-4(舍去), ∴点P 的坐标为(0,5).Ⅱ.当点P 在直线BC 下方时,如图.设直线BP 与CD 交于点M. 若∠PBC=∠BCD ,则MB=MC. 过点B 作BN ⊥x 轴于点N , 则点N (-4,0). ∴NB=NC=3,∴MN 垂直平分线段BC. 设直线MN 与BC 交于点G ,则线段BC 的中点G 的坐标为-52,-32.由点N (-4,0)和G (-52,-32),可得直线NG 对应函数的解析式为y=-x-4. ∵直线CD :y=2x+2与直线NG :y=-x-4交于点M ,由2x+2=-x-4,解得x=-2,∴点M 的坐标为(-2,-2).由B (-4,-3)和M (-2,-2),可得直线BM 对应函数的解析式为y=12x-1. 由x 2+6x+5=12x-1,解得x 1=-32,x 2=-4(舍去). ∴点P 的坐标为(-32,-74).综上所述,存在满足条件的点P 的坐标为(0,5)和(-32,-74).。

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O 重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN 分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____．①EF ＝2OE ；②S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤. 【课堂提升】1.如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行．2.写出一个运算结果是a 6的算式 ．3.如图2－1－5，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB .E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

开放性问题一、填空题1．如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件，使得△ABP ≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是________．2．反比例函数y ＝m x (m ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象如图所示，请写出一条正确的结论：________.3．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______．4．已知x 2-ax -24在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是______(只需填一个)．5．有一个二次函数的图象三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x ＝4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：______．二、选择题6．如图，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作不同位置的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这种三角形最多可以画出( ) ．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个7.已知道三角形的三边长分别为4, 5, x ，则x 不可能是( ) ．A.3B.5C.7D.98.点A ,B ,C ,D 在同一平面内,从①AB 平行CD ;②AB =CD ;③BC 平行AD ;④BC =AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有( ) ．A.2种B.3种C.4种D.5种三、解答题9．在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余布料．现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．10．阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB 表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；(2)根据你给出的应用题分别指出x 轴、y 轴所表示的意义，并写出A 、B 两点的坐标；(3)求出图象AB 的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围．开放性问题复习当堂达标题答案1．答案不唯一，如BP ＝DP 或AB ＝CD 或∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB //CD .2.答案不唯一，如反比例函数解析式为y ＝2x或一次函数解析式为y ＝x ＋1等．故存在点 P 1(－3，－9)和点P 2(9，－9)满足题意．3. 2＋1和2-1等4.略5. ：y ＝±(51x 2-58x -3) y ＝±(71x 2-78x ＋1) 6. B 7. D 8. C9.10. 答：张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时25 km ，经过2h 到达学校．到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过5h 到家．(2)x 轴表示运动时间，单位是小时，y 轴表示运动的路程，单位是千米．A (2，50)，B (7，0)(3)设AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧=+=+07502b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=7010b k ∴ y ＝-10x ＋70(2≤x ≤7)．。