2016_2017学年高中数学第4章定积分3定积分的简单应用课后演练提升

§3定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝∫ba f(x)d x，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫ba g(x)d x，则所求阴影部分面积为S1－S2.平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝∫b a f(x)d x－∫b a g(x)d x，f(x)≥g(x)．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42]不分割型图形面积的求解[例1] 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x 33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.分割型图形面积的求解[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3； 由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2π (sin x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.简单几何体的体积的求解[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22.答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六]1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v ­t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。

4.3.2简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。

三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。

2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。

求它的体积。

学生阅读课本P89解：圆锥体的体积为x ∆12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =， 12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。

将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。

则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程，“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。

则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。

3定积分的简单应用如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝⎠⎛a bf (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝⎠⎛a bg (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．不分割型图形面积的求解[例1] 2[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题． [精解详析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32(－x ＋2)d x －⎠⎛－32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪2－3＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)求交点，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：选D 结合函数图像可得所求的面积是定积分 ⎠⎜⎜⎛π3－π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪1－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 分割型图形面积的求解[例2][思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析] 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13 (3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A ．1 B.π4C.322D ．22－2解析：选 D S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )dx ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cosx )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B(2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012xdx －⎠⎛01xdx ＋⎠⎛122xdx －⎠⎛12x 2dx＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx ＝⎠⎛01xdx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪21＝76. 简单几何体的体积的求解[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a (a >0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a >0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝⎠⎛0 a π(2x 2)2dx ＝4π⎠⎛0 ax 4dx＝4π·15x 5⎪⎪⎪a＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x )．③确定积分上、下限a ，b.④计算体积V ＝⎠⎛a bπf 2(x )dx .6．y ＝sin x (0≤x ≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22解析：选D V ＝π∫π0sin 2xdx ＝π⎠⎛0 π1－cos 2x 2dx＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2⎪⎪⎪π＝π22.7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________．解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：⎠⎛0aπ×a 2dx ＝πa 2x ⎪⎪⎪a＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b(a <b)以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )dx .1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：选D 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：选A 设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100xdx ＝50x 2⎪⎪⎪0.06＝0.18 (J )．3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：选A S ＝－⎠⎛－10(x 2＋2x )dx ＋⎠⎛0 1 (x 2＋2x )dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝23＋43＝2. 4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：选C 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.5.如图是一个质点做直线运动的v ­t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________ m .解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为⎠⎛0434x dx ＋⎠⎛46⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m )．答案：96.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e )，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x dx )＝2e －2e x⎪⎪⎪1＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)dx＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示． ①当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a(x 2－2x )dx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？ (1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f (x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=⎰a bf(x)dx(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰abf(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c);图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a bh(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰abh(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h 1(y),x=h 2(y),然后利用S=⎰a b|h1(y)-h 2(y)|dy 求出(如图c).图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分. (1)⎰-13(4x-x 2)dx; (2)⎰0221xx +dx ；(3)⎰02π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos 2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)⎰-13(4x-x 2)dx=(2x 2-33x )|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320; (2)⎰0221x x +dx=21x+|2=(221+-1)=5-1;(3)⎰02π(x+sinx)dx=(22x -cosx)|20π=［2)2(2π-cos 2π］-(0-1)=82π+1;(4)⎰-22ππ-2πcos 2xdx=⎰-22ππ22cos 1x +dx=2x |22ππ-+41sin2x |22ππ-=2π.【例2】 求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3x x x x x x 在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和.解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx=⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232xdx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx=44x |10+3223x|21+2ln 2x|32=41+234-32+2ln 42ln 8- =2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx.思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰2πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx=-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值. 解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c,∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31.【例6】 试求曲线y=2a(a xe +a xe -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +axe -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (xa e 2-+2x]′=x a e 2+2+x ae 2-,所以V=π⎰0a y 2dx=π⎰0a 42a (a x e 2+2+a x e 2-)dx=4πa 2[2a (a x e 2-axe 2-)+2x]|0a=4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a].【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=⎰0aydx=⎰22πbsintd(acost)=⎰22πbsint·(-asint)dt=ab⎰20πsin2tdt=2ab(t-22sin t)|20π=4abπ.所以S=4P=πab.【例8】某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m3,塔壁厚度不计,π取思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为22ax-22by=1(a＞0,b＞0),则a=21AA′=7.又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有22122711by-=1, ①2222279by-=1, ②由题意,知y2-y1=20.③由①②③,得y1=-12,y2=8,b=72.故双曲线方程为984922yx-=1;(2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则 V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈×103(m 3).答:冷却塔的容积为×103 m 3. 高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。

定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 1。

一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知： 3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。

2016-2017学年高中数学 第4章 定积分 1 定积分的概念课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1．已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则⎠⎛－22f (x )d x 的值为( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定解析： 易知f (x )为奇函数，由奇函数的性质⎠⎛－20f (x )d x ＝－⎠⎛02f (x )d x ， 而⎠⎛－22f (x )d x ＝⎠⎛－20f (x )d x ＋⎠⎛02f (x )d x ＝0.答案： A2．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( )A.⎠⎛－13f (x )d xB.⎠⎛－31f (x )d x C ．－⎠⎛－13f (x )d xD ．－⎠⎛－31f (x )d x解析： 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )＜0. ∴⎠⎛－13f (x )d x ＜0，故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛－13f (x )d x . 答案： C3．定积分⎠⎛－22(－4－x 2)d x 等于( )A ．4πB ．2πC ．－2πD ．－4π解析： ⎠⎛－22(－4－x 2)d x 表示半圆x 2＋y 2＝4(y ≤0)的面积的相反数，∴⎠⎛－22(－4－x 2)d x ＝－2π. 答案： C4．如图所示，所给图形的面积S 的相应表达式中，正确的为( )S＝⎠⎛ba[f(x)－g(x)]d x S＝⎠⎛8(22x－2x＋8)d x①②S＝⎠⎛14f(x)d x－⎠⎛47f(x)d x S＝⎠⎛a[g(x)－f(x)]d x＋⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x③④A．①②B．①③C．②④D．③④解析：①应为S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x弄错了上下限．②应为S＝⎠⎛422x d x＋⎠⎛48(22x－2x＋8)d x.答案： D二、填空题5．若⎠⎜⎛π2cos x d x＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为____．解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图像与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cos x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.答案： 26．若⎠⎛12g(x)d x＝3，⎠⎛2f(x)d x＝1，⎠⎛1f(x)d x＝－2，则⎠⎛12[f(x)＋g(x)]d x＝_________.解析：⎠⎛12[f(x)＋g(x)]d x＝⎠⎛12f(x)d x＋⎠⎛12g(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x－⎠⎛1f(x)d x＋3＝6.答案： 6三、解答题7．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：(1)⎠⎛－3－2x2d x＋⎠⎛1－2x2d x；(2)⎠⎛1(1－x)d x＋⎠⎛12(x－1)d x.解析：(1)⎠⎛－3－2x2d x＋⎠⎛－21x2d x＝⎠⎛－31x2d x，所表示面积的图形如图：(2)⎠⎛1(1－x)d x＋⎠⎛12(x－1)d x＝⎠⎛2|1－x|d x，它所表示面积的图形如图：8．利用定积分的几何意义和性质求值：(1)⎠⎛－33 (9－x2－x3)d x；(2)⎠⎜⎜⎛π23π2(sin x－2)d x；(3)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x∈[0，24－x x∈[2，352－x2x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．解析：(1)如图(1)，由定积分的几何意义得⎠⎛－339－x2d x＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x3d x＝0，由定积分性质得⎠⎛－33 (9－x2－x3)d x＝⎠⎛－339－x2d x－⎠⎛－33x3d x＝9π2.(2)如图(2)，由定积分的几何意义得⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x＝0，由定积分的性质得⎠⎜⎜⎛π23π2(sin x－2)d x＝⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x－2⎠⎜⎜⎛π23π21d x＝0－2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π2＝－2π.(3)如图(3)，由定积分的几何意义得⎠⎛2x d x＝A1＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x)d x＝A2＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛35⎝⎛⎭⎪⎫52－x2d x＝A3＝12×2×1＝1.∴⎠⎛5f(x)d x＝⎠⎛2x d x＋⎠⎛23(4－x)d x＋⎠⎛35⎝⎛⎭⎪⎫52－x2d x＝2＋32＋1＝92.9．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎛1f(x)d x＝－2，求a、b、c 的值．解析：由f(－1)＝2，得a＋(－b)＋c＝2①f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝0，∴b＝0②⎠⎛1f(x)d x＝⎠⎛1(ax2＋bx＋c)d x＝⎠⎛1ax2d x＋⎠⎛1bx d x＋⎠⎛1c d x＝a⎠⎛1x2d x＋b⎠⎛1x d x＋c⎠⎛1d x＝a limn→∞1n∑i＝1n i2n2＋b li mn→∞1n∑i＝1n in＋c li mn→∞1n∑i＝1n1＝a lim n →∞ 1n3n n ＋12n ＋16＋b lim n →∞ 1n2n n ＋12＋c＝a ·13＋b ·12＋c ＝13a ＋12b ＋c ＝－2③由①、②、③可解得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P 85) 1.解:(1)定积分⎰01e xdx 中,被积函数为y=e x.被积函数的一个原函数为y=e x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.(2)定积分⎰ππ2cosxdx 中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰ππ2cosxdx=sinx|2ππ=sinπ-sin2π=-1. (3)定积分⎰01x 3dx 中,被积函数为y=x 3.被积函数的一个原函数为y=41x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=41.2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,⎰012xdx=x2|1=12-02=1;(2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,⎰012xdx=(x 2+5)|1=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,⎰012xdx=(x 2-π)|1=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,⎰012xdx=(x 2-a)|1=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分⎰01(x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1.被积函数的一个原函数为y=41x 4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 43-.(2)定积分⎰24x 1dx 中,被积函数为y=x1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得⎰24x1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分⎰40πx 2cos 1dx 中,被积函数为y=x2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰4π0x2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:⎰01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21.2.解:⎰01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-21. 3.解:⎰0πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)⎰2πcosxdx=sinx|20π=sin2π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(1+2x)dx=(x+x 2) |1=(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以⎰01(2x-7)dx=(x 2-7x)|1=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=23x +x2的一个原函数为F(x)=x 3-+2ln|x|, 所以⎰12(23x +x2)dx=(x 3-+2ln|x|)|21=(-23+2ln2)-(13-+2ln1)=23+2ln2. (3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3ln 13x,所以,⎰133x dx=(3ln 13x )|31=(3ln 133)-(3ln 131)=3ln 24. (4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,⎰-ππsinxdx=-cosx |ππ-=(-cosπ)-［-cos(-π)］=0.(5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,⎰1elnxdx=x(lnx-1)|1e =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=112+x 的一个原函数为ln(x+12+x ),所以,⎰01112+x dx=ln(x+12+x )|1=ln(1+2)-ln(0+1)=ln(1+2).(7)函数y=x 2-2x+3的一个原函数为F(x)=31x 3-x 2+3x, 所以,⎰01（x 2-2x+3）dx=(31x 3-x 2+3x)|10=(31×13-12+3×1)-(31×03-02+3×0)=231.(8)函数y=（x-1）2=x 2-2x+1的一个原函数为F （x ）=31x 3-x 2+x, 所以,⎰13(x-1)2dx=(31x 3-x 2+x)|31=(31×33-32+3)-(31×13-12+1)=232.(9)函数y=2x+x 2的一个原函数为F(x)=33122ln 1x x +, 所以⎰-11(x 2+2x )dx=(2ln 12x +31x 3)|11-=(2ln 121+31×13)-(2ln 12-1+31×(-1)3)=32ln 23+x . (10)函数y=x 21+x x 的一个原函数为F(x)=21ln|x|+52x 2x, 所以,⎰12(x 21+x x )dx=(21ln|x|+52x 2x )|21=(21ln2+52×222)-(21ln1+52×121)=21ln2+258-52. 7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |2π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为: (3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1. 被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x 1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621.2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31.该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.。

2016—2017学年高中数学 第4章 定积分 3 定积分的简单应用课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1．由直线x ＝错误!，x ＝2，曲线y ＝错误!以及x 轴所围成的图形的面积为( )A.错误!B 。

错误! C.错误!ln 2 D ．2ln 2解析： 如图所示，所围图形的面积为S ＝错误!错误!d x ＝ln x 错误!＝ln 2－ln 错误!＝2ln 2.答案： D2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3（c 〉0)围成图形的面积是错误!，则c 等于（ )A.错误!B.错误! C ．1 D 。

23 解析： 由错误!，得x ＝0或x ＝错误!(c 〉0)．则围成图形的面积S ＝错误! (x 2－cx 3）d x ＝错误!，可求得c ＝错误!。

答案： B3.错误!错误!d x 等于（ ）A 。

错误!B 。

错误!C ．πD ．2π解析： 设y ＝错误!，则(x －1）2＋y 2＝1（y ≥0），因而错误!错误!d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在x 轴上方且x ∈［0，1］的面积，即圆面积的错误!， 即⎠⎛01错误!d x ＝错误!。

答案：A4．半椭圆错误!＋错误!＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A。

16π3B.错误!πC．5πD．6π解析：V＝错误!π·2错误!d x＝2π·错误!错误!＝错误!π.答案：A二、填空题5．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A（1，0）和点B(3,0）处的切线所围图形的面积为____．解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6。

由｛y＝2x－2，y＝－2x＋6，得C(2，2）．∴S＝S△ABC－错误!(－x2＋4x－3)d x＝错误!×2×2－错误!错误!＝2－错误!＝错误!。

答案：错误!6．由曲线y＝ln x与直线y＝ln b，y＝ln a（b＞a＞0）及y轴所围成的图形的面积为____．解析：由y＝ln x，得x＝e y,故S＝错误!e y dy＝e y错误!＝e ln b－e ln a＝b－a。

【三维设计】高中数学 第四章 §3 定积分的简单应用应用创新演练 北师大版选修2-21．由曲线y ＝sin x ，直线x ＝π2和y ＝0所围成的图形是( )答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为()A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J 解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( )A ．2 B.83C.43 D.23[解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x＝－ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 21＝23＋43＝2.答案：A4．半椭圆x 24＋y 22＝1(y ≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( ) A.16π3B.173π C ．5πD ．6π 解析：V ＝⎠⎛2－2π·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33×4 |2－2[ ＝163π. 答案：A5．直线y ＝x ，y ＝0及x ＝1，x ＝2围成的图形绕Ox 轴旋转一圈所得旋转体的体积为V ＝________.解析：V ＝∫21πx 2d x ＝π·13x 3 |21＝7π3. 答案：7π36．曲线y 2＝x 与直线y ＝12x 所围图形的面积为________． 解析：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝12x 得交点坐标为O (0，0)，A (4,2)，∴S ＝∫40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x d x ＝⎝ ⎛ 23x 32－⎭⎪⎫14x 2 |40＝43. 答案：437．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．求由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积．解：由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得交点坐标为(1,1)，∴V ＝∫10π[(x )2－(x 2)2]d x＝π∫10x d x －π∫10x 4d x＝π·12x 2 |10－π·15x 5 |1＝π2－π5＝3π10.。

3 定积分的简单应用[A 组 基础巩固]1．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.11-⎰(x －x 3)d x B.11-⎰x 3－x )d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．201-⎰(x －x 3)d x 解析：∵y ＝x 3，y ＝x 为奇函数，且x ≥0时交于(0,0)、(1,1)，∴围成面积为2⎠⎛01(x －x 3)d x .答案：C2.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对应另一块，积分值为正，∴有－⎠⎛01(x2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .答案：C3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos 2<2.∴b >a >c . 答案：D4．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－01-⎰(x 2＋2x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2| 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2| 1＝23＋43＝2. 答案：A5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16D.17解析：阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝32221()32x x -| 1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C6．如图所示一个质点做直线运动的v ­t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________． 答案：97．如图所示，图中阴影部分的面积为________．答案：S ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b g (x )d x －⎠⎛ab y (x )d x.8．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围图形的面积为________． 解析：由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2， 则两切线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2y ＝－2x ＋6，得两切线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－(－13x 3＋2x 2－3x )|31＝2－43＝23. 答案：239．求曲线x ＝3y 2和直线y ＝x －2所围成的平面图形的面积．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y 2，y ＝x －2，解得交点坐标为(3,1)和(43，－23)，则对应变量y 的变化区间为[－23，1]于是所求面积S ＝231-⎰2)(23y y dy +-＝(12y 2＋2y －y 3)123-|＝12554.10．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成的图形的面积两等分，求t 的值．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝t-⎰(x 2＋2x ＋1)d x ，∴(13x 3＋x 2＋x )|－t －1＝(13x 3＋x 2＋x )|0－t . ∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0. ∴2(t －1)3＝－1，解得t ＝1－132.[B 组 能力提升]1．根据20sin xdx π⎰＝0推断，直线x ＝0，x ＝2π，y ＝0和正弦曲线y ＝sin x 所围成的图形的面积时，正确结论为( ) A ．面积为0B ．图形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．图形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．图形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 解析：作出图像可知，D 正确．2ππ⎰sin x d x ＝－⎠⎛0πsin x d x .答案：D2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13 B.12 C ．1D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得A (0,0)，B (1c ，1c2)，S ＝10c ⎰(x 2－cx 3)d x ＝(13x 3－14cx 4)|1c＝112·1c 3＝23， ∴c ＝12.答案：B3．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析：因为⎠⎛0πsin x d x ＝－cos xπ＝－cos π＋cos 0＝2，又S 矩形＝2π，所以所投的点落在阴影部分的概率是P ＝22π＝1π.答案：1π4．已知a ∈[0，π2]，当⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )a| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1，当a ＝π4时，⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值2－1.答案：π45．给定直角边为2的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．解析：在平面直角坐标系中，直角边为2的等腰直角三角形可以看成是由直线y ＝x ，x ＝2以及x 轴所围成的平面图形．则旋转体的体积V ＝π⎠⎛02x 2d x ＝π3x 3|20＝8π3. 6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1， ∴抛物线与x 轴所围图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝(x 22－x 33)|1＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，解得两交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， ∴S2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3. 又S ＝16，∴16(1－k )3＝112.∴(1－k )3＝12.∴k ＝1－312＝1－342.。

3 定积分的简单应用[A组基础巩固] 1．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于（）A.11-⎰（x－x3）d x B。

11-⎰x3－x)d xC．2错误!(x－x3）d x D．21-⎰（x－x3)d x解析：∵y＝x3，y＝x为奇函数,且x≥0时交于(0,0)、(1,1),∴围成面积为2错误!(x－x3)d x。

答案:C2。

由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是（）A。

错误!(x2－1）d xB．｜错误!（x2－1)d x|C.错误!|x2－1｜d xD。

错误!（x2－1)d x＋错误!(x2－1)d x解析：分为两块,(0,1）为一块此时积分值为负，(1，2)对应另一块，积分值为正，∴有－错误!（x2－1）d x＋错误!(x2－1)d x＝错误!｜x2－1｜d x.答案:C3．若a＝错误!x2d x,b＝错误!x3d x,c＝错误!sin x d x，则a，b，c的大小关系是( )A．a<c〈b B．a<b<cC．c〈b〈a D．c〈a〈b解析:a＝错误!x2d x＝错误!x3|错误!＝错误!,b＝错误!x3d x＝错误!x4|错误!＝4，c＝错误!sin x d x＝－cos x|错误!＝1－cos 2<2。

∴b〉a〉c。

答案：D4．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为( ）A．2 B。

错误! C。

错误!D。

错误!解析：S＝－1-⎰（x2＋2x）d x＋错误!(x2＋2x)d x＝－错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝2.答案：A5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（)A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析:阴影部分的面积为错误!(错误!－x)d x＝32221()32x x-错误!＝错误!,故所求的概率P ＝错误!＝错误!，故选C.答案：C6．如图所示一个质点做直线运动的v­t图像，则质点在前6 s内的位移为________．答案：97．如图所示，图中阴影部分的面积为________．答案:S＝错误!f(x)d x＋错误!g（x)d x－错误!y（x)d x。

4.3 定积分在几何中的应用定积分是中学新增内容，是研究数学、物理等问题的重要工具。

它的基本思想是通过无限分割、近似替代、求和、取极限来达到计算的目的。

许多实际问题，如求曲边梯形的面积、体积、变力做功、变速直线运动的路程等，都可用定积分的方法来解决。

本文通过实例来展开这种思想，探求定积分在解题中的应用。

一、求曲边梯形的面积例1、计算由抛物线22y x =在第一象限与0,1y x ==所围成的曲边梯形的面积。

分析：在区间[]0,1上插入n-1个分点，把区间分成N 个小区间，在每个小区间[],x x x +∆上，当x ∆非常小时，可近似的看做小矩形的面积，曲边梯形的面积就是这n 个小矩形的面积和，显然当n 无限大时有 1123001222033S ydx x dx x ====⎰⎰。

点评：本题的关键是“分割”使得区间化整为零，在每一小段上实现“小矩形”与“小曲边梯形”面积的近似替代，从而产生了有效的处理方法。

二、求体积例2、将抛物线22y x =在第一象限与0,1y x ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周，求所得旋转体的体积。

分析：在区间[]0,1上分成n 个小区间，在每个小区间[],x x x +∆上，当x ∆非常小时，其体积可近似看作小圆柱体的体积，于是旋转体的体积为：()11225001442055V y dx x dx x ππππ====⎰⎰。

点评：本题通过积分思想，把一个不规则旋转体，转化为熟知的几何体，进而顺利求解体积问题，体现了积分思想在几何问题中应用的广泛性。

三、求变速直线运动的路程例3、一点在直线上从时刻()0t s =开始以速度()243/v t t m s =-+运动，求：（1） 在4t s =的位置；（2） 在4t s =运动的路程。

分析：将区间[]0,4等分成n 个小区间，在每个小区间[],x x x +∆上，当x ∆非常小时，近似可以看作匀速直线运动，当n 无限大时，有在t=4s 位置就是()v t 在[]0,4上的定积分，而路程就是位移的绝对值之和。

第四章DISIZHANG定积分§1定积分的概念课后篇巩固提升A组1.一辆汽车作变速直线运动,汽车的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间具有如下函数关系:v(t)=t 22+6t,求汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程s时,将行驶时间等分成n段,下列关于n的取值中,所得估计值最准确的是()A.5B.10C.20D.50,得到的估计值越准确.2.定积分∫31(-3)d x等于()A.-6B.6C.-3D.3∫31(-3)d x表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数,故∫(-3)d x=-6.3.已知∫ba f(x)d x=6,则∫ba6f(x)d x等于()A.6B.6(b-a)C.36D.不确定∫b a f(x)d x=6,∴在∫ba6f(x)d x中曲边梯形上、下底边长变为原来的6倍,由曲边梯形面积公式,知∫ba 6f(x)d x=6∫baf(x)d x=36.4.设f(x)=x2+x4,则与∫a-af(x)d x的值一定相等的是()A.0B.2∫af(x)d xC.2∫a f(x)d xD.∫af(x)d x(x)为偶函数,故它在[-a,0]和[0,a]上的图像关于y轴对称,由定积分的几何意义可知∫f(x)d x=2∫af(x)d x.5.如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.|∫(2x2-1)dx|B.∫2(x2-1)d xC.∫2|x2-1|d xD.∫1(x2-1)d x+∫21(x2-1)d xS=∫10(1-x2)d x+∫21(x2-1)d x=∫2|x2-1|d x.6.化简∫10f(x)dx+∫21f(x)dx+∫32f(x)dx+…+∫10099f(x)d x=.1f(x)dx+∫21f(x)dx+∫32f(x)dx+…+∫10099f(x)d x=∫100f(x)d x.100f(x)d x7.比较大小:∫0-2e x d x∫0-2x d x.-2e x dx-∫0-2x dx=∫0-2(e x-x)dx,令f(x)=e x-x(-2≤x≤0).∵f(x)>0,由定积分的几何意义知∫f(x)d x>0∴∫0-2e,x d x>∫0-2x d x.8.已知定义在R上的函数f(x)与g(x),若函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,且∫af(x)d x=6,则∫a[f(x)+2g(x)]d x=.函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,∴函数f(x)的图像关于y轴对称,函数g(x)的图像关于原点对称.∴∫a-af(x)d x=2∫af(x)d x=12,∫a-ag(x)d x=0,∴∫a-a[f(x)+2g(x)]d x=∫a-af(x)d x+2∫a-ag(x)d x=12.9.用图像表示下列定积分:(1)∫21log2x d x;(2)∫62x d x.∫21log2x d x表示曲线y=log2x,直线x=1,x=2及x轴围成的曲边梯形的面积,如图①中阴影部分所示.①②(2)∫62x d x表示直线y=x,x=2,x=6及x轴围成的直角梯形的面积,如图②中阴影部分所示.10.利用定积分的性质求∫1-1(2xx4+1+sin3x-e x-1e x+1)d x.y=2xx4+1,y=sin3x显然均为[-1,1]上的奇函数.而对f (x )=e x -1e x +1,∵f (-x )=e -x -1e -x +1=1-e x 1+e x =-f (x ),∴函数f (x )=e x -1e x +1为奇函数.∴∫1-12xx 4+1d x=0,∫1-1sin 3x d x=0,∫1-1e x -1e x +1d x=0.∴∫1-1(2xx 4+1+sin3x -e x -1e x +1)d x=∫1-12xx 4+1d x+∫1-1sin3x d x-∫1-1e x -1e x +1d x=0.B 组1.设f (x )={x 2,x ≥0,2x ,x <0,则∫1-1f (x )d x 的值为( ) A .∫1-1x 2d x B .∫1-12x d xC .∫0x 2d x+∫12x d xD .∫0-12x d x+∫1x 2d xf (x )在不同的区间上的解析式不同,所以积分区间应该与之对应的解析式一致,利用定积分的性质可得正确的为D .2.已知∫2-2x d x=0,则∫2-2(x+√2-x 2)d x=( )A.πB.2πC.2D.π,可得∫2-2(x+√2-x 2)d x=∫2-2x d x+∫2-2√2-x 2d x.根据定积分的几何意义,可知定积分∫2-2√2-x 2d x 表示y=√2-x 2所表示的图形的面积,即x 2+y 2=2所表示的上半圆的面积,其中面积为π.所以∫2-2(x+√2-x 2)d x=π.故选D .3.由定积分的几何意义可得∫a-a√a 2-x 2d x (a>0)的值为 .y=√a 2-x 2,x=a ,x=-a ,y=0围成的曲边梯形的面积.∵y=√a 2-x 2≥0,即x 2+y 2=a 2(y ≥0)表示圆心在原点,半径为a 的圆在x 轴上方的半圆,∴∫a-a √a 2-x 2d x=π2a 2.24.利用定积分的几何意义比较下列各对积分值的大小. (1)∫10x 2d x 与∫10√x d x. (2)∫1010x d x 与∫15x d x.∵在区间(0,1)上有x 2<√x ,∴∫10x 2d x<∫1√x d x.(2)∵在区间(0,1)上有10x >5x ,∴∫110x d x>∫15x d x.5.求定积分∫1(√1-(x -1)2-x )d x 的值.∫1(√1-(x -1)2-x )d x=∫1√1-(x -1)2d x-∫1x d x ,因此它表示圆(x-1)2+y 2=1(y ≥0)在x=0与x=1之间部分的面积与直线y=x ,x=0,x=1及y=0围成的图形的面积之差,如图中阴影所示,故原式=14×π×12-12×1×1=π4−12.。

【关键字】高中高中数学第四章定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2练习(P85)1.解:(1)定积分exdx中,被积函数为y=ex.被积函数的一个原函数为y=ex,由牛顿—莱布尼茨公式可得exdx=ex=e1-e0=e-1.(2)定积分cosxdx中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx,由牛顿—莱布尼茨公式可得cosxdx=sinx=sinπ-sin=-1.(3)定积分x3dx中,被积函数为y=x3.被积函数的一个原函数为y=x4,由牛顿—莱布尼茨公式可得x3dx=x4=×14-×04=.2.解:(1)导函数为y′=(x2)′=2x,2xdx=x2=12-02=1;(2)导函数为y′=(x2+5)′=2x,2xdx=(x2+5)=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x2-π)′=2x,2xdx=(x2-π)=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x2-a)′=2x,2xdx=(x2-a)=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分(x3-1)dx中,被积函数为y=x3-1.被积函数的一个原函数为y=x4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得(x3-1)dx=(x4-x)=(×14-1)-(×04-0)= .(2)定积分dx中,被积函数为y=.被积函数的一个原函数为y=ln|x|,由牛顿—莱布尼兹公式可得dx=ln|x|=ln4-ln2=ln2.(3)定积分dx中,被积函数为y=.被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得0dx=tanx=tan-tan0=1.习题42(P85)1.解:dx==-e0=-.2.解:f(x)dx===-.3.解:f(x)dx=sinxcosx=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)cosxdx=sinx=sin-sin0=1.5.解:(1)f(x)=1+2x的一个原函数是F(x)=x+x2,所以f(x)=1+2x在区间[0,1]上的定积分为f(x)dx=(1+2x)dx=(x+x2) =(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx在区间[0,1]上的定积分为f(x)dx=(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x2-7x,所以(2x-7)dx=(x2-7x)=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=+的一个原函数为F(x)=+2ln|x|,所以(+)dx=(+2ln|x|)=(-+2ln2)-(+2ln1)=+2ln2.(3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3x,所以,3xdx=(3x)|31=(33)-(31)=.(4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,sinxdx=-cosx=(-cos π)-［-cos(-π)］=0. (5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,lnxdx=x(lnx-1)=e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=的一个原函数为ln(x+),所以,dx=ln(x+)=ln(1+)-ln(0+1)=ln(1+).(7)函数y=x2-2x+3的一个原函数为F(x)=x3-x2+3x,所以,（x2-2x+3）dx=(x3-x2+3x)=(×13-12+3×1)-(×03-02+3×0)=2. (8)函数y=（x-1）2=x2-2x+1的一个原函数为F （x ）=x3-x2+x, 所以,(x-1)2dx=(x3-x2+x)|31=(×33-32+3)-(×13-12+1)=2. (9)函数y=2x+x2的一个原函数为F(x)=,所以(x2+2x)dx=(2x+x3)=(21+×13)-(2-1+×(-1)3)=. (10)函数y=+x 的一个原函数为F(x)=ln|x|+x2,所以,(+x)dx=(ln|x|+x2)=(ln2+×22)-(ln1+×12)=ln2+-.7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |20π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为:(3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2. 2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e xdx=e x|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621. 2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31. 该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。