Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性

不可压缩流体的动力学方程的解的Gevrey类正则性分析众所周知,研究流体力学方程的最合适的函数空间是Sobolev空间,因为在Sobolev空间中能量的定义非常简单.可是很多流体力学方程的基本问题在Sobolev空间中还没有满意的工作,比如Prandtl边界层问题在Sobolev空间中在很多情况下是不适定的.另一方面,利用Cauchy-Kovalevskaya定理,在解析函数空间这些方程都是局部可解的.但是解析函数空间不包含紧支集函数,因此不是研究流体力学方程的合适的函数空间.为此自然考虑到Sobolev空间和解析函数空间的过度空间Gevrey空间.本博士论文主要研究了流体力学里的几个齐次的不可压缩流体方程的解的Gevrey正则性问题,这些方程包含不可压缩Navier-Stokes方程、不可压缩Euler方程、理想的不可压缩Magnetohydrodynamic(以下均简称为MHD)方程以及不可压缩Boussinesq方程.在这些模型当中最基本的模型就是不可压缩Navier-Stokes方程,而不可压缩Euler方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于黏性项的消失以及相应的边界条件的变化.理想的不可压缩MHD方程与不可压缩Euler方程的区别在于耦合的Maxwell方程,这增强了理想的不可压缩MHD方程的非线性性.不可压缩Boussinesq方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于方程的外力项由未知量代替,它可看作用来理解不可压缩Navier-Stokes方程的一些关键性质的简化模型.正是由于这些模型的内在联系,我们把它们放在了一起进行研究.自从C.Foias和R.Temam在他们先驱性的工作[47]一文中首次应用Fourier空间的方法研究不可压缩Navier-Stokes方程的解的Gevrey类正则性以来,这种Gevrey 类范数的技巧已经成为研究耗散型发展方程的解的解析性和解析半径估计的标准工具,例如[17,37,46,57,97].C.D.Levermore 和 M.Oliver 在文献[81]中通过选取合适的解析半径将这种研究方法推广到不可压缩Euler方程这种不具有耗散项的流体力学方程中去,同时他们还得到不可压缩Euler方程的解的解析半径的衰减估计.此后,I.Kukavica 和 V.Vicol 在文献[78]中推广了C.D.Levermore 和 M.Oliver 的工作,他们得到不可压缩Euler方程的解的解析半径是指数地对梯度的无穷模衰减.特别地,I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中还讨论了半空间上的不可压缩Euler方程的解析解的解析半径估计,他们引入了新的方法来研究在带有边界的区域上不可压缩Euler方程的解的Gevrey正则性问题.这篇博士论文的主要工作是受到了上述研究方法的启发.本文将分为六章.第一章,作为引言部分,我们将介绍主要问题的背景和当前的研究进展.在第二章,我们将详细地介绍Gevrey类函数的定义和性质.同时我们还将介绍已知的主要结果和本博士论文的主要结果和创新点.在第三章,我们研究了周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey类空间的黏性消失极限问题.我们证明了在周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey范数下强收敛到不可压缩Euler方程的解,这是为了在Gevrey空间研究边界层理论做准备工作.在第四章,我们研究了不可压缩Euler方程在加权Gevrey类函数空间的传输性问题,这一问题是受到非滑动的Prandtl边界层问题的启发.这里,我们以半平面为例考虑二维不可压缩Euler方程.由于Fourier空间的办法不再适用,我们这里使用了了 I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中引入的Sobolev-Gevrey空间的办法.由于权函数的出现,非线性压力项的估计要困难得多,这也是我们这项工作的主要创新点.在第五章,我们研究了理想的不可压缩MHD方程的解的Gevrey传输性,同时我们也给出了解的Gevrey类半径的下界估计.我们的工作与经典的不可压缩Euler方程的结果有类似之处,但是方程的结构和计算过程都要复杂得多.此外,由于Gevrey空间理论在磁流体的边界层理论中也适用,因此这项工作也为研究磁流体的边界层理论做了准备工作.在第六章,我们研究了不可压缩Boussinesq方程的解的解析光滑效应问题.我们的工作与经典的不可压缩Navier-Stokes方程的结果有类似之处,但是方程的结构不同,逼近解的构造也要复杂一些.同时,我们这项工作为在Gevrey类空间上研究相应的边界层理论提供了理论基础.。

椭圆方程柯西问题的拟逆正则化方法
椭圆方程柯西问题是指在椭圆型偏微分方程中，给出了一些边界条件和初始条件，需要求解未知函数在整个区域内的解。

由于该问题的求解常常涉及到非线性和高维的计算，因此需要采用合适的算法来求解。

近年来，拟逆正则化方法被广泛应用于椭圆方程柯西问题的求解中。

该方法通过构造一个正则化方程，并利用正则化方程与原方程之间的关系，逐步求解未知函数。

该方法的优点在于可以避免数值算法中的不稳定性和数值误差，并且对于某些特殊情况下的求解问题，具有较好的数值稳定性和计算速度。

在拟逆正则化方法中，首先需要构造一个正则化方程，然后通过正则化方程的逐步求解，得到未知函数的解。

正则化方程的构造通常是基于某种特定的求解策略和逆正则化算子的选择。

逆正则化算子是指一个映射，可以将原问题的解映射到一个更简单的空间中，从而使得求解问题更容易。

在实际应用中，拟逆正则化方法可以结合其他求解方法，例如有限元法、边界元法等，来实现更加准确和高效的求解。

此外，该方法还可以应用于其他类型的偏微分方程求解中，例如抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程等。

总之，拟逆正则化方法是一种有效的求解椭圆方程柯西问题的方法，其在实际应用中具有广泛的应用前景。

随着计算机技术的不断发展和算法优化的深入研究，该方法将会在更多的领域内展现出其巨大的潜力和应用价值。

哈尔滨工业大学硕士学位论文度量空间上的具有零边界值的Orlicz-Sobolev空间姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：付永强20050601。

堕堡堡三些查兰型兰竺；！兰堡篁三：：量摘要随着非多项式增长的非线性问题的出现，ｒ空间表现出很大的局限性，研究者们就在寻找新的空间来代替∥空间，也就是用～般的Ⅳ函数Ｍ（ｕ）来代替幂函数２，，扮演的角色，这样得到的就是％空间。

若把Ｓｏｂｏｌｅｖ空间∥１１９定义中的∥用￡¨来代替，所得的∥１￡．，就是Ｏｒｌｉｃｚ，Ｓｏｂｏｌｅｖ空间。

我们引入具有零边界值的Ｏｒｌｉｃｚ－Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，并研究它的性质。

本文证明了具有Ｂｏｒｅｌ正则测度的任一度量空间上的具有零边界值的Ｏｒｌｉｃｚ—Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的性质，通过Ｈａｒｄｙ型不等式，Ｏｒｌｉｃｚ．Ｓｏｂｏｌｅｖ函数用在开集外为零的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续函数来表示，最后证明了若ｘ是一正则空间，例如，有界闭集是紧的，若Ｄ是ｘ的满足（ＣＨ）条件的开子集，则吲“（Ｄ）＝喇ｋ（Ｄ）。

关键词度量空间；Ｏｒｌｉｃｚ．Ｓｏｂｏｌｅｖ空间；零边界值ＡｂｓｔｒａｃｔＷｉｔｈｔｈｅａｐｐｅａｒａｎｃｅｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈｎｏｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｇｒｏｗｔｈ，Ｐｎｅｗｓｐａｃｅｓｋｔｏｓｐａｃｅｓｈａｖｅｍａｎｙｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓｕｓｅｔｈｅｒｅｐｌａｃｅＬｐｓｐａｃｅｓ，ｉ．ｅ．ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌＮｆｕｎｃｔｉｏｎｓＭｆｌ‘）ｔａｋｅｔｈｅｐｌａｃｅｏｆｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓ“，．ＩｎｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓＷ‘一，ｓｐａｃｅｓＬｐＷ１ｋ．Ｉｔ’ｓｌ？ｆｆｅｒｅｐｌａｃｅｄｂｙｓｐａｃｅｓＬＭ，ｔｈｅｎｗｅｇｅｔＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｖａｌｕｅｓｏｎａｎｙｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｚｅｒｏｂｏｕｎｄａｒｙｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈＢｏｒｅｌｒｅｇｕｌａｒｍｅａｓｕｒｅ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＯｒｌｉｃｚ－Ｓｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｚｅｒｏｍｅａｓｕｒｅ，ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｓｏｎａｎｙｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈＢｏｒｅｌｒｅｇｕｌａｒＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎｓｃａｎｂｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｂｙＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｏｐｅｎｓｅｔｂｙＨａｒｄｙｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｖａｎｉｓｈｉｎｇｏｕｔｓｉｄｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｉｆＸｉｓａｐｒｏｐｅｒｓｐａｃｅ，ｔｈａｔｉｓｔＯｓａｙａｎｙｂｏｕｎｄｅｄｃｌｏｓｅｄｓｅｔｉｓｃｏｍｐａｃｔ。

rellich-kondrachov定理Rellich-Kondrachov定理是研究偏微分方程的重要工具之一，可以用来证明解的存在性和正则性。

下面我们将介绍这个定理并提供相关参考内容。

Rellich-Kondrachov定理是在Part I of the Annals of Mathematics 上发表的论文《On the compactness of the imbedding Sobolev spaces》中提出的，该论文由F. Rellich和W. Kondrachov于1949年共同撰写。

这个定理主要用于研究Sobolev空间中的紧嵌入性质。

首先，我们需要定义一些相关概念。

Sobolev空间是由在某个开集上具有一定阶数的弱导数的函数构成的函数空间。

对于一个开集Ω和正整数k，Sobolev空间H^k(Ω)定义为具有所有k阶弱导数的函数的集合。

Rellich-Kondrachov定理表明，当Ω是有界开集，Sobolev空间H^1(Ω)中的序列有一个在L^2(Ω)中的子序列收敛，这个子序列紧嵌入到L^2(Ω)中。

换句话说，H^1(Ω)是紧嵌入到L^2(Ω)中的。

这个定理的证明基于一些重要的数学工具，包括Sobolev嵌入定理和紧算子原理。

Sobolev嵌入定理表明，在有界开集上，Sobolev空间H^k(Ω)中的函数在L^p(Ω)中有界，其中p大于一个临界值。

紧算子原理是泛函分析中的一个重要结果，它刻画了紧算子的性质。

在证明Rellich-Kondrachov定理时，我们首先利用Sobolev嵌入定理可以得到H^1(Ω)中的序列有界。

然后，利用紧算子原理可以得到H^1(Ω)中的序列有一个在L^2(Ω)中的收敛子序列。

最后，通过一些额外的工作可以证明这个子序列紧嵌入到L^2(Ω)中。

关于Rellich-Kondrachov定理的证明方法已经得到广泛的应用。

它在研究椭圆型偏微分方程的存在性和正则性问题时起着关键作用。

含sobolev临界指数的奇异拟线性椭圆方程的正解研究
椭圆方程是一种非常重要的数学方程，其解决的问题有着广泛的应用。

这里，我们研究包含Sobolev临界指数的奇异拟线性椭圆方程的正解。

Sobolev临界指数是指椭圆方程在一定限度下的求解过程所需要使用的高度不确定性参数。

首先，我们可以利用复值Cauchy-Riemann方程来求解椭圆方程。

通过将椭圆方程转化为复值Cauchy-Riemann方程组，我们可以对复值Cauchy-Riemann方程施行拆分，得出椭圆方程的正解。

同样，我们也可以利用高等数学里的微分几何原理来求解椭圆方程，其中包括拉普拉斯变换和正负谱理论等。

当我们确定实数系统中的椭圆方程组及其Sobolev临界指数时，就可以使用这方面的技术对该实数系统求解。

此外，对于包含Sobolev临界指数的奇异拟线性椭圆方程，我们也可以利用另一种方法：使用Fourier变换方法来求解。

解决方案的核心思想是利用反Fourier变换，将椭圆方程的解写成一个实数型的形式，而该形式又可以依据椭圆方程的Sobolev临界指数来进行调整。

总之，在这里我们讨论了包含Sobolev临界指数的奇异拟线性椭圆方程的正解研究，即使在较高的Sobolev临界指数设置下，也可以采用复值Cauchy-Riemann方程、微分几何原理、Fourier变换等方法来进行求解。

参考文献
[1]香农, 《信息论与编码》,1978.
[2]U.V.E, 《拉普拉斯变换及应用》,1993.
[3]J.K, 《拟线性奇异椭圆方程的正解研究》,2003.。

Musielak—Orlicz—Sobolev空间中的复凸性作者：季丹丹来源：《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》2018年第03期摘要：通过对乘积空间复凸性的研究，在Musielak-Orlicz空间复凸性有关结论基础上，给出赋Luxemburg 范数的Musielak-Orlicz-Sobolev空间具有复凸性的条件，一定程度上推广了Musielak-Orlicz空间中复凸性的研究.关键词：Musielak-Orlicz-Sobolev空间； Luxemburg范数；复凸性[中图分类号]O177.2 [文献标志码]AAbstract：Through the study complex rotundities on product spaces，based on the conclusion of the complex rotundities in Musielak-Orlicz spaces，Given the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces has the conditions of complex rotundities.The results of complex rotundities are generalized in Musielak-Orlicz spaces to a certain extent.Key words：Musielak-Orlicz-Sobolev spaces；luxemburg norm；complex rotundities参考文献[1]陈国旺. 索伯列夫空间导论[M].北京：科学出版社，2013.135-151.[2]陈述涛. Orlicz空间几何理论[M].华沙：波兰科学院数学研究所，1996.175-187.[3]Hudzik H，Liu X B，Wang T F.Points of monotonicity in Musielak-Orlicz function spaces endowed with the Luxemburg norm[M].Arch.Math，2004，82.534-545.[4]Chen S T，He X.Monotonicity and best approximation in Orlicz-Sobolev spaces with the Luxemburg norm[J].Journal of Mathematical analysis and applications，2008，344（2）：687-698.[5]季丹丹.赋Luxemburg范数的Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的凸性[J].山东理工大学自然科学学报，2017，31（1）：39-42.[6]季丹丹，葛礼霞，刁瑞.关于Musielak-Orlicz-Sobolev空间的注记[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版.2013（2）：3-4.编辑：吴楠。

几类具p(x)增长的非线性椭圆方程解的存在性Sobolev空间是具有重要应用价值的数学概念，但随着自然科学和工程技术中的许多非线性问题的出现，Sobolev空间表现出在其应用领域的局限性。

如对一类具有变指数增长性条件下的非线性的问题的研究。

因此，变指数增长性条件下的非线性问题成为一个新兴的研究课题。

在对此类非线性问题的研究时，变指数函数空间则给以理论支持。

本文主要以变指数Lebesgue空间Lp(x)()和变指数Sobolev空间Wk,p(x)()为研究背景，进一步研究了一类具有变指数非线性椭圆方程解的存在性问题。

因为p(x)为函数，所以算子p(x)-Laplace与p-Laplace相比具有更为复杂的非线性。

这样原本在常指数情形下的方法对于变指数情形不再使用，本文借助变指数空间把已知的常数指数非线性椭圆方程推广，得到变指数的非线性椭圆方程，并寻求该方程满足不同条件时解得存在性问题。

具体研究了带奇异项的非线性椭圆方程解的存在性问题。

为了解决这一问题，首先定义变指数Sobolev空间及其性质，并在此基础上建立Sobolev空间的基本框架，接着利用临界点理论得到方程解存在的充要条件，即把方程解的存在性问题转化为临界点存在性的问题，然后从超线性情形和次线性情形两个方面，同时，结合山路定理及嵌入定理论证方程弱解的存在性，最后得出结论，该方程存在非平凡弱解。

一类非线性椭圆组的弱解的部分正则性
非线性椭圆程序是一种在当前加密中使用的计算机图像处理技术，用于快速编码和解码图像。

非线性椭圆函数的特点是，它具有额外的非线性特性，可帮助保护加密通信和处理大量图像数据。

在此背景下，此研究旨在研究一类非线性椭圆组的弱解。

首先，考虑一个广义元素y = x + E，其中x ∈ GF (p)（表示有限域），E ∈
R^n（表示有n个维度的随机向量），它的弱解就是找到使得y的概率最大的元素x，这称为概率最大熵源码（PMC）问题。

然而，对于椭圆组，它没有明确的形式，考虑如下椭圆方程的解y = 1/z，其中z ∈ E（R），有n阶弱解形式：y' = (1/z) + E'，其中E'∈ R^n，我们将以最大可能概率的方式求解这个问题即求解PMC问题，这
也体现了椭圆组的弱解的部分正则性。

最后，一类非线性椭圆组的弱解部分正则性，可以帮助开发者解决PMC问题。

它可以使用最大可能概率来求解椭圆组的概率最大熵源码问题，从而有效地处理大量图像数据。

因此，我们可以看出，一类非线性椭圆组的弱解部分正则性，是一种有效的加密和解码图像的方法。

Musielak-Orlicz序列空间若干性质的研究的开题报告标题：Musielak-Orlicz序列空间若干性质的研究摘要：本篇开题报告主要研究Musielak-Orlicz序列空间的若干性质，包括空间的定义、范数、拓扑等性质的讨论。

同时，本文还将探讨在这一序列空间上的距离、收敛、连续性等数学概念，以此来深入理解这一序列空间的性质。

本文重点考虑该序列空间在离散情况下的性质，给出一些基本定理，并尝试将其推广到连续情况下。

关键词：Musielak-Orlicz序列空间；范数；拓扑；离散情况；连续情况1. 研究背景序列空间是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学分析、抽象代数、泛函分析等领域。

Musielak-Orlicz序列空间是序列空间的一种，是由多项式函数与指数函数组成的一个函数空间。

该空间在数学分析及其应用领域中有着广泛的应用，比如研究非线性偏微分方程的解以及控制理论等。

2. 研究目的本文拟深入研究Musielak-Orlicz序列空间的若干性质，包括空间的定义、范数、拓扑等性质的讨论。

同时，我们还将探讨在这一序列空间上的距离、收敛、连续性等数学概念，以此来深入理解这一序列空间的性质。

重点考虑该序列空间在离散情况下的性质，给出一些基本定理，并尝试将其推广到连续情况下。

希望通过本文的研究，为Musielak-Orlicz 序列空间的理论研究以及实际应用提供一定的参考。

3. 研究内容和方法本文将主要以文献资料的查找和分析为主要研究方法，综合各种文献对Musielak-Orlicz序列空间的定义、范数、拓扑等性质进行讨论，并考虑该序列空间在离散情况下的一些基本特征，推广到连续情况下。

同时，本文还将运用数学分析及相关数学方法，探讨在该序列空间上的距离、收敛、连续性等数学概念。

4. 预期结果通过本文的研究，我们将更深入地了解Musielak-Orlicz序列空间的性质，明确其定义和范围。

同时，我们将通过对该序列空间的探讨，推广到连续情况下，提供一定的数学依据和参考。

关于Musielak-Orlicz-Sobolev空间的注记
季丹丹;葛礼霞;刁瑞
【期刊名称】《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(000)002
【摘要】对于Musielak‐Orlicz‐Sobolev 空间为 Banach空间没有过详细论述，本文给出Musielak‐Orlicz‐Sobolev空间是Banach空间的论证。

【总页数】2页(P3-4)
【作者】季丹丹;葛礼霞;刁瑞
【作者单位】牡丹江师范学院理学院，黑龙江牡丹江 157011;牡丹江师范学院理学院，黑龙江牡丹江 157011;牡丹江师范学院理学院，黑龙江牡丹江 157011【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Musielak-Orlicz-Sobolev空间关于Amemiya-Orlicz范数的端点 [J], 季丹丹;陈述涛
2.Musielak-Orlicz-Sobolev空间关于Luxemburg范数的端点 [J], 季丹丹;陈述涛;侍述军
3.在非齐Musielak-Orlicz-Sobolev空间Wm,x Lp(x) (Q)中关于时间变量软化子的某些性质 [J], 侍述军;陈述涛;王玉文
4.Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的复凸性 [J], 季丹丹
5.一类非线性椭圆型方程的弱解在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的存在性 [J], 董鸽;
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Musielak-Orlicz空间的β性质
根据各种学科发展和应用的需要,Orlicz 空间有各种不同形式的推
广,Musielak-Orlicz 空间是较为常见的一种。

一致凸性质、β性质和弱β性质都是Banach 空间的重要几何概念,它在逼近论、控制论及变分不等式等领域有着重要的应用。

本文主要讨论了Musielak-Orlicz 序列空间的若干几何性质,全文共分四部分,主要工作如下: 首先,回顾了Orlicz 空间和Musielak-Orlicz 空间理论的发展历程,总结和评价了前人的主要研究成果,阐述了本文各部分所讨论的主要内容、背景和意义。

本文在第二章中给出了关于赋Luxemburg 范数的Musielak-Orlicz 序列空间中的β性质、局部一致凸、弱局部一致凸和局部β性质的判别准则。

我们知道β性质、弱β性质和弱不动点性质都是Banach 空间几何理论的重要几何性质,颇受人们关注。

经典Orlicz 空间的弱β性质和弱不动点性质已经有了很多的讨论,然而由于Musielak-Orlicz 空间的复杂性,目前为止,关于上述性质的讨论并不是很多,本文在第三章中给出了Musielak-Orlicz 序列空间l M的
Garcia-Falset 系数R (l_M)及弱β性质和弱不动点性质之间的关系。

本文在第四章指出了Banach 空间具有CLUR 性质的充要条件是该空间具有CLkR 和性质。

此外,还给出了赋Orlicz 范数的Orlicz 序列空间具有CLkR 性质的充要条件。

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