事件的独立性与相关性

为事件 A与 B的相关系数
定理1.5.1 (1) (A,B)0当且仅当 A与 B 相互独立； (2) (A,B)1; (3) ( A , B ) 0 P ( A B ) P ( A ) P ( B A ) P ( B ).
( A , B ) 0 P ( A B ) P ( A ) P ( B A ) P ( B ).
证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
其他类似可证. 注意: 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
则Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
类推得
P(B2) C 5 20.62(10.6)3
P(B3) C 5 30.63(10.6)2
P(B4) C 5 40.64(10.6)1
P(B5) C 5 50.65(10.6)0
即
Pi() B C5 i0.i 6 (1 0.5 6 i )
(i=0,1,2,3,4,5)
P(A)=P(A1+A2+A31)=P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-0.168=0.832
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例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件
事件 A 与 BC也相互独立.
证: P A ( B C ) P ( B C ) P A ( B C )
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 P(B| A)P(B)7 10
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
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定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
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1.5.3 相互独立事件的性质
性质1: 如果 n个事件 A 1,A 2, ,A n相互独立，则 将其中任何 m (1m n 个)事件改为相应的对立事 件，形成新的 个n事件仍然相互独立.
性质2: 如果 n 个事件 A 1,A 2, ,A n相互独立，则有
n
n
n
P ( A i) 1 P (A i) 1 (1 P (A i))
则Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
P(B0) =
P(A1A2A3A4A5)
=(1-0.6)=5 0.45 C 5 00.60(10.6)5
P(B1)=P (A 1A 2A 3A 4A 5A 1A 2A 3A 4A 5A 1A 2A 3A 4A 5
A 1A 2A 3A 4A 5A 1A 2A 3A 4A 5)
贝努里公式： 在n重贝努里试验中,如果“成功”在
每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成 功”出现k 次”P ,( 则B k ) C n k p k ( 1 p ) n k ( k 0 , 1 ,2 , ,n )
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例1.5.7 同时掷四颗均匀的骰子,试计算:
(1) 恰有一颗是6点的概率;
k2
k0
0.9914
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例1.5.9 从1,2, ,10十个数字中有放回地任取5个
数字, 求取出的5个数字中按由小 到大排列, 中间 的那个数等于 4 的概率.
解: 设取出的5个数按由小到大排列为
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
令 (x34)表示所求的事件
( x 3 4 ) ( x 3 4 ) ( x 3 3 )
推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
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推论2:在 A与 B, 与A B,A与 ，B 与 A 这四B 对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。
i 1
i 1
i 1
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例1.5.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
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例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与 听力都有缺陷，记
A=“学生视力有缺陷”P ，(A)0.30 B=“学生听力有缺陷”P ，(B)0.07 AB=“学生听力与视力都有缺陷”，P(A)B 0.03 现在来研究下面三个问题： （1）事件 A与 B 是否独立？ 由于
(x34): 1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;
1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8;
所取的5个数字中至少有3个数字不大于4
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令 Ak 表示所取的5个数字中恰有k 个不大于4
则
P(Ak)C5 k140 k160 5k
5
(x3 4) Ak
k3
A kA m , km
5
P(x34)P(Ak)
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1.5.2 有限个事件的独立性
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事A1,A2,…,An, 若对任何正整数m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n ,都有 P （ A i1A i2 A im )P （ A i1)P (A i2) P (A im )
则称这n个事件相互独立.
(2) 至少有一颗是6点的概率.
解: 这是一个4重贝努里试验,
掷每一颗骰子就是一个基本试验.
每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以
(1) 恰有一颗是6点的概率为 C 4 1(1 6)1(11 6)4 1 C 4 1(1 6)1(6 5)3
(2) 至少有一颗是6点的概率为
1 C 4 0 (1 6 )0 ( 1 1 6 )4 0 1 精C 品4 0 p( p1 6 t )0 (6 5 )4 1 (6 5 )4
B2
P(S2) 2 P(Ai Bi)2pp2 2 i1 p2(2p)2 p2(2p2)
P (S2)P (S 1)
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例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次 击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数. 解：击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射 中,(i=1,2,...,5),
的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两
系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.
A1
A2
S1:
B1
B2
P ( S 1 ) P ( A 1 A 2 ) P ( B 1 B 2 ) P ( A 1 A 2 B 1 B 2 ) 2p2p4p2(2p2)
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S2:
A1
A2
B1
=5×0.6×(1-0.6)4C 5 10.61(10.6)4
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例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次 击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.
解： 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设
Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射 中,(i=1,2,...,5),
P ( A ) P ( B ) 0 .0 0 . 3 0 0 7 .0 2 P(AB1 )
所以事件 A与 B不独立，即该校学生视力与听力
缺陷有关生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？
这要求计算条件概率 P(BA),由定义知
P(BA)P(A)B 0.031 P(A) 0.3010
P(B)P(C)P(B)C P(A)B P(A)C P(AB )C
P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( B ) C
P(A)P(BC)
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例1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中 含有肝炎病毒的概率.
若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点:
(1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败;
(2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变;
(3) 基本试验之间相互独立;
(4) 在相同条件下,试验可以重复进行.
则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由 于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.
P(Bn)1(1)n, 01 n1,2,
n l i m P(Bn)1
注意：不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要 发生．
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例1.5.5 系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件 (或系统)的可靠性.
系统由元件组成,常见的元件连接方式：
串联 并联
1
2
1
2
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设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作
若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.
注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个 事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的 影响.
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例1.5.2 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上 一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数.
k3
k 53C5k140k1605k
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由于 (x 3 3 ) (x 3 4 ) P ( x 3 4 ) P ( x 3 4 ) P ( x 3 3 )
k 5 3 C 5 k 1 4 k 0 1 6 5 0 k k 5 3 C 5 k 1 3 k 0 1 7 5 0 k
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？
类似地可算条件概率
P(AB)P(A)B 0.03 3 P(B) 0.077
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定义 设 0 P ( A ) 1 , 0 P ( B ) 1 ,称 (A ,B ) P (A) B P (A )P (B ) P (A )1 ( P (A )P )(B )1 ( P (B ))
则 P (A ) P (B ) P (C ) 1 /2
P (A ) B P (B ) C P (C ) 1 A /4
P ( A ) P ( B ) P ( B ) P ( C ) P ( C ) P ( A )
但 P(AB)C 0 1 /8P (A )P (B )P (C )
本例说明: 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
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易计算：概率最大的击中目标次数为3.
一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标 的概率为p，则： 当（n+1）p为整数时，概率 最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1; 当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标 次数为(n+1)p的整数部分.
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1.5.4 Bernoulli概型
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例1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发 炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击 毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被 击毁的概率.
解：设一门炮击中目标为事件A, P(A)=0.6
设目标被击毁为事件B, 则
P(B) 8C8k0.6k0.48k1 1C8k0.6k0.48k
概率论与数理统计
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1
1.5 事件的独立性与相关性
1.5.1 两个事件的独立性与相关性 1.5.2 有限个事件的独立性 1.5.3 相互独立事件的性质 1.5.4 Bernoulli概型
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2
1.5.1 两个事件的独立性与相关性
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai (i =1,2,…,100 ).
则
100
A Ai
i 1
100
P(A)11P(Ai) i1
1 (1 0 .0) 0 10 4 0 0 .33
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14
若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则