§1.1 正弦定理导学案

1.1．1 正弦定理（1）1.通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握正弦定理及其证明；2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形问题。

预习教材P2~4一、公式：1．如图，在直角三角形，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=A s i n ________=B sin ________,=C sin _______ 从而在直角三角形ABC 中，=c ________________．2. 正弦定理：______________________________二．预习检测1.在ABC ∆中，已知 30,7,14===B b a ,则=A _____________2.在ABC ∆中，已知 75,45,6====B A a ，则=c ____________3.一个三角形的两个内角分别为 30和 45，如果 45角所对的边长为8，那么30角所对的边长是_____________考点一：已知两角和一边解三角形例1已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。

导拨：在该题中，已知C 及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。

练习1：在ABC ∆中，已知 45=A ， 75=B ，8=b ，解此三角形考点一：已知两边和一角解三角形例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况练习2：已知：在ABC ∆中，100,9,7===A b a ，解此三角形。

1.在ABC ∆中，已知2,3,6===a C c π，解此三角形。

2.在ABC ∆中，10,135,30===a C A ,求c b ,1. 已知ABC ∆中，3,30,60===a B A ,求边=b （ ） A.3 B.2 C.3 D.22. 在ABC ∆中，下列等式中总能成立的是（ ）A.B b A a sin sin =B.A b B a sin sin =C.B b A a cos cos =D.A b B a cos cos =3. 在ABC ∆中，若B A 2=，则a 等于（ ）A.A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定5. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c= ．6. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．7.在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则B 的值为 8.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若B C A b a 2,3,1=+==,解此三角形。

高中数学高一年级必修五第一章 第1.1.1节 ：正弦定理导学案Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。

D ．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

E ．自主学习[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？ 提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝b c ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C . 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．F.合作探究 已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A 得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°si n 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．[解] ∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π. 又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.判断三角形的形状[例3] 在△ABC 2A 2B 2C sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径) ∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ，∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30°[易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错． 2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A .∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin A a的值相等的是( ) A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C 解析：选C 由正弦定理得asin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c . 2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3 D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°， 于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( ) A ．2 3B.2 2C. 3D. 2 解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2， ∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误.二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________.解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试数列△ABC 的形状． 解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。

编号：gswhsxbx5—01----01文华高中高一数学必修5第一章《解三角形》1.1.1正弦定理（导学案）编制人:石豹 审核人:张祖涛 编制时间:2015年4月2日班级： 组名： 姓名：学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形.2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用.3．体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去. 学习重点正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用。

学习难点正弦定理的推导及应用。

学习方法自主学习，合作探究自主学习（一）阅读教材（P 2-4）（二）预习自测在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a, b, c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

探究一、在Rt ABC 中，=c a ， =cb ， 那么=A a sin ， =Bb s i n ， 又=C sin ，所以 =A a sin = （想一想：能不能将它推广到锐角、钝角三角形中？） 探究二：当ABC ∆是锐角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。

作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 = 化作比式得 =同理可得 = = 探究三：当ABC ∆是钝角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。

作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 =CB A D CA B C c a b化作比式得 =同理可得 = =小结：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

§1.1.1 正弦定理(一)导学案学习目标:1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。

教学重点:正弦定理的证明及基本运用。

教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。

一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”1、预习教材P45---482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===. 3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。

其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4（2）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形(4) 在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________.我的疑惑:__________________________________________二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一、叙述并证明正弦定理。

第一章 解三角形§1．1．1 正弦定理【情景激趣】为了测定河岸A 点到对岸C 点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB ，并测得∠ABC =120°，∠BAC =45°，如何求A 、C 两点的距离？【目标明晰】1.知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点1.重点：正弦定理的探索和推导及其应用.2.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.学习过程（一）自主探究Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, ，有sin a A c =，sin b B c =，又s i n 1c C c ==则sin sin sin abcc A B C === 那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：1.用文字叙述正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角：a = ，b = ，c = ； ②角化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ；3.正弦定理的推论： ::a b c =从而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______【交流释疑】（二）合作探讨类型一 已知两角及一边解三角形例1. 在△ABC 中，已知b=，A= 45°，B=60°，求a 。

变式：在△ABC 中，已知c=，A= 45°，B=60°，求b 。

1.1.1 正弦定理导学案一、学习任务：1.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

二、自主学习：（根据以下提纲，预习教材第2页-第4页回答下列问题）（1）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,R 是△ABC 外接圆的半径。

正弦定理： ____________ = ____________ = ____________（2）正弦定理的三种变式形式：① a=2RsinA, b=____________ , c =____________。

②sinA=Ra2，sinB=________,sinC=_______。

③ a:b:c=_______________________ 。

（3）三角形中常见结论：①三角形内角和定理，即：______________________。

② 三角形中边角关系，即：a<b ⇔____________。

③三角形中三边的关系，即：_____________________________; ________________________。

④sin2BA +=__________ ; sin(A+B)= ____________ ;sin2(A+B)= _____________。

（4）①在△ABC 中，A=45︒，C=30︒,c=10,则a= （要求写出步骤）②在△ABC 中，A=30︒,C=105︒,b=8, 则a= （要求写出步骤）三、合作探究：问题1、已知△ABC 中，A=30︒C =45︒a=20,求b,c 。

问题2、已知△ABC 中，a=3，b=2, B=45︒,解三角形ABC 。

问题3、(1)已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求a:b:c .(2) △ABC 中,sin 2A= sin 2B+ sin 2C, 则△ABC 为（ ）A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等边三角形D 、等腰三角形 四、达标训练（巩固提升）1、△ABC 中,若sinA>sinB ，则有（ ）A 、a<bB 、a ≥bC 、a>bD 、a ，b 的大小无法确定 2、在△ABC 中，B=45︒，C=60︒，c=1，求最小边的长度。

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1。

1 正弦定理(一）导学案学习目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题;3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。

教学重点:正弦定理的证明及基本运用。

教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。

一、预习案： “我学习,我主动,我参与，我收获！”1、预习教材P45-—-482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R 。

，（其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B ，C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===。

3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形;③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。

其中正确的个数是( ）A 、1B 、2C 、3D 、4(2）在ABC ∆中,一定成立的等式是( ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ )A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形（4) 在ABC ∆中，三个内角A,B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知A:B ：C=1:2：3,则a ：b ：c=_____________________。

执笔人：审核人：2019 年8 月15日必修5 § 1.1 正弦定理（1）第_J_课时一、学习目标1. 理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。

二、学法指导1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习1. 在ABC中，已知a,b分别为A, B 所对的边，贝Ua b A ______ B sinA _____ sin B2. 正弦定理：在三角形中，3. 一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做4. 正弦定理的证明方法有哪些？四、课堂探究探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC 中，设C 90 ，贝V sinA=_____________________________________________sinB= _______ , sinC= _______即：探索2对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的. 不妨设C为最大角,若C为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C为锐角、钝角时结论也证法1若C为锐角（图（1））,过点A作AD BC于AD ADD，此时有sin B si nC，所以c bcsin B bsinC ，即b c•同理可得sin B sin Ca c 十, ab c，所以•sin A sin C sin A sin B sin C成立?若C为钝角（图（2）），过点A作AD BC，交BC的延长线于D，此A时也有sin B AD且sin C sin(180C)AD同样可得）a,b,c叫做三角形的元- - 二.综上可知，结论成立.sin A sin B sinC证法2利用三角形的面积转换，先作出三边上 的高 BE AD 、BE 、 asi nC ， 1 S ABC absin C 2CF ，贝U AD csinB ， CF bsinA .所以 1 acsin B 2 ^bcsin A ， 2 b sin B sinC B 1 a每项同除以一abc 即得： — 2 sin A 探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法•我们 知道向量也是解决问题的重要工具， 论呢？ uuu 在ABC 中，有BC 最大角，过点A 作AD uUu uuur 一 于是BC AD uuur 与AD 的夹角为 则 uuur uuur 0 |BA| | AD| ，其中，当 uur uuur BA AD cos(90C 为锐角或直角时, 因此能否从向量的角度来证明这个结 当 C 为钝角时， 90 90 .故可得 csinB bsinC 0 , C ； b sin B ―•同理可得 sinCasin A 五、数学应用 c sin C 题型1已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1已知在 ABC 中，c 10,A 45°,C 30°,求a,b 和 B【随堂记录】题型2已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和 角例 2 在 ABC 中，b . 3,B 600,c 1,求a 和A,C【随堂记录】例3 ABC中，c ,6,A 45°,a 2,求b和B,C【随堂记录】六、巩固训练(一)当堂练习1.在ABC中，B 1350,C 15°, A 5,则此三角形的最大边长为_______2. ABC 中，A 60 ,BC 3,AB 76,则C ______________ .3. 已知ABC中,a 4,b 4^3, A 30，贝y B _____________4. 在ABC 中，若A 60 ,a Ji3,c 4,则b _________________.5.在ABC 中，若b 2csin B,则C ___________(二)课后作业课课练第一课时七、反思总结1 •用三种方法证明了正弦定理：(1)转化为直角三角形中的边角关系；(2)利用向量的数量积.(3)外接圆法2 •理论上正弦定理可解决两类问题：(1) ____________________________________________________________________例3 ABC中，c ,6,A 45°,a 2,求b和B,C(2) ____________________________________________________________________。

§1.1 正弦定理(第2课时） 学习要求 1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2．学会用计算器，计算三角形中数据。

温故知新 1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）Ra A 2sin =，______________，________________. 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22（3）R abc s 4= 【问题探究】【问题1】如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．【问题2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）【问题3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。

（用计算器解答，精确到1.0）【问题4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。

巩固提高1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.103海里B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( )A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ( )A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小。

【导学案】§1.1 正弦定理(1)班级 姓名〖知识导学〗1. 会通过小组合作发现并证明正弦定理；2.通过一个题组能够较全面认识和理解正弦定理；3.能运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

一、知识探究：探究一、在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sinA=_______, sinB=________, sinC=______; 故a b csin sin sin A B C 、和之间有何关系？____________________________________探究二、在ABC ∆锐角中，BC AD 是边上的高，则在ABD AD ∆RT 中，可以用角B 表示为：AD=________ACD AD ∆RT 中，可以用角C 表示为：AD=________,故有_____________________同理,推广得：___________________________________探究三、在ABC ∆钝角中，角C 为钝角，BC AD 是边上的高，在ABD AD ∆RT 中，可以用角B 表示为：AD=________ACD AD ∆RT 中，可以用角C 表示为：AD=________故有_____________________同理,推广得：___________________________________综上得：1.正弦定理的内容：在三角形中，____________________________________________即______________________=== 2R （R 为△ABC 外接圆半径）2. 公式的变形：（2）a = 或者a =（3）sin A = 或者sin A =二、公式应用：1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，6a =，则b ＝ ______。

2．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，4a =，则c ＝ _______ 。

【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

2.三角形内角和定理是： 。

勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则 。

3.三角形面积公式： 。

Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为： 。

4．一般地，把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素。

已知三角形的 求 的过程叫做解三角形。

5．应用正弦定理解三角形可分为两类： （1）已知三角形的 与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的 与其中一边的对角，求其他的边和角。

【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于 三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式： ， ， ，每个式子中有 个量, 如果知道其中 个可以求出 （知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题： （1） ; （2） 。

1.1 正弦定理与余弦定理1．1.1 正弦定理导学案（第一课时）【知识目标】1、通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2、能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 教学难点：正弦定理的推导 教学重点：正弦定理的应用 【教学过程】《导入新课》直角三角形中的边角之间有什么关系？下面就来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==． 那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 《探究新知》问题1：求证：在锐角三角形ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，求证：sin sin sin a b cA B C==。

证明：如图，设AB 边上的高为CD ，CD ＝a sin_B ＝b sin_A ，∴a sin A ＝b sin B ，同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝c sin C， ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 问题2：求证：在钝角三角形ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，求证：sin sin sin a b cA B C==。

证明：如图，在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin_C ， BD ＝c sin_A ，故有a sin C ＝c sin_A ，∴a sin A ＝csin C ，同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.《学习新知》 新知：1．正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

§1.1.1 正弦定理 学习目标 1。

掌握正弦定理的内容； 2。

掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．(简:大角对大边)能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=． 试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。

cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4,b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理](1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3)正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，把三角形的三个角A ，B,C 和它们的对边,,a b c 叫做 。

1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。

1.1.1正弦定理学习目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．3．熟记正弦定理的有关变形公式；4．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．学习过程一、课前预习1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，222A B C ++＝π2. 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin A ，b c＝sin B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==，这个比值是三角形外接圆的直径2R .二、学习新知1．正弦定理：sin sin sin a b c A B C==＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (2) sin sin sin a b c A B C ==＝sin sin sin a b c A B C++++＝2R ； (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . 三、例题解析例1在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．例2 在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°；(2)a ＝9，b ＝10，A ＝60°；(3)c ＝50，b ＝72，C ＝135°.四、拓展训练选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋233．在△ABC 中，sin2A ＝sin2B ＋sin2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若cos cos cos a b c A B C==，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 6．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝____________.解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．13．在△ABC 中，求证：cos sin cos sin a c B B b c a A-⋅=-⋅.能力提升14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．15．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求a b的取值范围．五、课堂小结1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.3．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)2A B +＋2C ＝π2； (4)sin 2A B +＝cos 2C ，cos 2A B +＝sin 2C ，tan 2A B +＝1tan 2C . 4．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．参考答案学习过程三、例题解析例1解：由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 例2 解：a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.例3 解：(1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32， 所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1， 所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°， 所以B ＋C >180°，故三角形无解．四、拓展训练选择题1．D2．C3．A4． B5． D6． B填空题7． 75° 8．1029． 110．30°解答题11．解：∵sin sin sin a b c A B C==， ∴b ＝sin sin a B A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝sin sin a C A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12．解：a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝sin b A a＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a2＋b2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.13．证明：因为在△ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==＝2R ， 所以左边＝2sin 2sin cos 2sin 2sin cos R A R C B R B R C A -⋅⋅-⋅⋅ ＝sin()sin cos sin sin()sin cos sin B C C C B A C A C A +-=+-＝右边． 所以等式成立，即cos sin cos sin a c B B b c a A -⋅=-⋅. 能力提升14． π615．解：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin sin A B ＝sin 2sin B B＝2cos B ∈(2，3)，a故b的取值范围是(2，3)．。

高二数学正弦定理导学案1.1.1正弦定理导学案作者：邵宇春2022年8月19日4．在?abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若a?105?,b?45?,b?22，则边C探究点一：已知两角及一边解三角形当三角形的两个角和任意一边已知时，基本思想是：（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角。

（2）如果给定的边不是已知角的对边，则第三个角由三角形内角的和定理得到，其余两个边由正弦定理得到。

例1、在?abc中，已知a?45?,b?30?,a?2，解三角形。

课堂笔记【提示：根据三角形内角和定理先求出角c，再运用正弦定理求出另外两边.】研究要点2：知道两边和一边的对角解三角形（1）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解。

在?abc 中，已知a，b和a时，解的情况。

例2。

（1）知道吗？ABC的A？50，b？256，a？45?，找到B（2）B？2，c？1，b？45?，角c（3）a?5,b?2,b?120?判定三角形解的个数结论：如果你不了解三角形，如何确定解决方案的数量。

询问点3：判断三角形的形状（1）判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断。

一一、重点：正弦定理的推导及应用二、复习：你在初中学了什么？ABC的边角关系如图所示sina?sinb?sinc?想象一下：ABC和？新浪新浪公司想一想：上述关系适用于任何三角形吗？三、预习《自研教材，学与思》1.正弦定理：在三角形中，每边与对角线的比值相等，即2。

解三角形：一般来说，三角形的三个角a、B和C及其对边a、B和C称为三角形。

寻找已知三角形的其他元素的过程称为3。

思考与发现：看正弦定理公式的变化a如：1）a?2rsina2）sina?3）a:b:c?：：2rb?sinb?c?sinc?自测5分钟1.正弦定理说明：①正弦定理仅适用于锐角三形；②正弦定理不适用于直角三角形；③ 正弦定理只适用于钝角三角形；④ 在给定的三角形中，每边的正弦与其对角线的比值是常数；⑤ 哪里在ABC，新浪：SINB:sinc？正确的数字是（）a.1b 2c。