§1.1 正弦定理导学案

§1.1 正弦定理导学案

一．学习目标： 1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用

2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状,能根据条件判断某些三角形解的个数.

3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。

二、学法指导

1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；

2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、问题导学：

阅读课本P45—P48面回答下面的问题

1、 在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系：

sin sin a b

A B =

sin c C

=，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？ 2、 在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？ 3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？ 4、 正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？

四、抽象概括

正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________ 五、合作探究

例1

（1） 在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形； （2） 已知在三角形中，,105,8,7

===A b a 求解三角形； （3） 已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形；

思考：

1、 通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？

2、 如何判断三角形的解的个数呢？

例2

探究一

在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此

sin sin a b

A B =

sin c C

==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成立呢？

探究结果：正弦定理常用的变形公式

(1) __________________________________________________________ (2)___________________________________________________________

(3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________

探究二

在直角三角形ABC 中，C=90 ，则三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 21

21=，对于任

意的三角形ABC ，已知，则及C b a ,三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 2

1

21=，这一结论

也是成立的，怎么证明呢？

试一试：

如图在三角形ABC 中，).,(),,(v u AC y x AB ==→

→

试证明三角形ABC 的面积

yu xv S -=2

1

跟踪训练：

（1）在三角形ABC 中，其三个顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2).求三角形ABC 的面积

（2）已知三角形的面积为4

1

，外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为多少？

（3）

如图，三角形ABC 是半径为R 的圆O

求三角形ABC 的边长和三角形OBC

六、深化提高

1. 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的 周长为________

2. 在ABC ∆中,

______,cos cos 的形状为则ABC B

C b c ∆= 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则

_______sin sin sin =++++C

B A c

b a

4. ABC ∆中，A B B A 2

2sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一

定是_______

5.ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1

lg

lg -==+A c

b ，则 ABC ∆形状为_____

6ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦 定理解三角形有两解，则的取值范围是_____

7在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定 8在△ABC 2sin b A =,则B ∠为（ ） A.

3π B. 6

π C. 233ππ或 D. 566ππ或

9在△ABC 中，若cos cos a A b B =,试判断这个三角形的形状；

10已知在ABC ∆中，C=2B ，求证：

.sin 3sin b

a B B =

五、我的学习总结：

（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结