高中数学 第3章 导数及其应用 导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
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点) 培养学生数学抽象的素养.
2．理解导函数的概念，会求简 2．借助导数的几何意义解题，
单函数的导函数．(重点) 培养学生的数学运算素养.
3．理解在某点处与过某点的切
线方程的区别．(难点、易混点)
自主 预习 探新 知
1．导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时， 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的 直线PT 称为点 P 处的切线．
1．求曲线在某点处的切线方程的步骤
2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤 (1)设切点(x0，y0)； (2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)； (4)写出切线方程．
课堂 小结 提素 养
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线 上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出 切线方程，然后求出切点．
1．判断正误
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在
【例3】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
点斜式方 [思路点拨] (1) 求y′|x＝1 ―→ 求切点 ―→ 程求切线
(2) 设切点x0，y0 ―→ 求y′|x＝x0 ―→ 由y′|x＝x0＝yx00－－11 ―→ 求x0，y0
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
斜率，即k＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某
一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导 函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是 其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， 该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， 该点为(2,9).
求曲线的切线方程 [探究问题] 1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
写切线方程
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋Δx3－1 Δx
＝ lim [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3. Δx→0
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝
提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求 出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有 什么不同？
提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切 点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x) 过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲 线上也不一定是切点．
点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ lim Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A．]
1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b. 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义． 3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知 识解题．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝ －1，解得x0＝－21，所以y0＝14，即P－12，14.
解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由 这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时 要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平 行，垂直等.
[跟进训练] 2．已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx， ∴y′|x＝x0＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (4x0＋2Δx)＝4x0.
x＋2y＋4＝0
[f′(－2)＝ lim Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－21，
∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)， 即x＋2y＋4＝0.]
4．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及 a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
＝ lim Δx→0
x＋Δx2－x2 Δx
＝ lim Δx→0
(2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所
以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的 斜率为13，所以2x0·31＝－1，解得x0＝－32，所以y0＝94，即P－23，94.
f′(x)＝ lim Δx→0
x＋Δx3－2x＋ΔxΔx2＋3－x3－2x2＋3＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，
解得x0＝－23或x0＝2，
∴切点坐标为－23，4297或(2,3)． 当切点为－23，4297时，有4297＝4×－23＋a， ∴a＝12271. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a， ∴a＝－5， 因此切点坐标为－23，4297或(2,3)，a的值为12271或－5.
45° [设切线的倾斜角为α，则tan 180°)，∴α＝45°.]
α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，
3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程 是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1. ∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]
Thank you for watching !
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功
[思路点拨] 先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导 数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意 列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上， 易得y0.
[解]
设y＝f(x)，则f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
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自
课
主
堂
预
小
习
结
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探 新
复习课件
提 素
知
养
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高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
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究
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难
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第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义
学习目标 1．理解导数的几何意义，会求
核心素养
曲线上某点处的切线方程．(重 1．通过学习导数的几何意义，
[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和 曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
2．导函数的概念
(1)定义：当 x 变化时， f′(x) 便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)
的导函数(简称导数)．
fx＋Δx－fx
(2)记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝ 0，那么( )
A．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0
B．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
B [由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－12，
∴f′(x0)＝－12＜0.]
3．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．
点x＝x0处切线的斜率．
()
(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．
()
(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． ( ) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
合作 探究 释疑 难
导数的几何意义 【例1】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小 关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，
又 lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝Δlixm→0
a1＋Δx2－a Δx
＝lim (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1. Δx→0
(2)直线l的方程为4x＋4y＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
【例2】 在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 分别求出满足上述条件的点的坐标．
0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x
2 0
，由题意可知kPQ＝
y′|x＝x0，即
y0－1 x0－1
＝3x
2 0
，又y0＝x
3 0
，所以
x30－1 x0－1
＝3x
2 0
，即2x
2 0
－x0－1＝
0，解得x0＝1或x0＝－12.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
16
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在
[跟进训练]
1．(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平
行，则a等于( )
A．1
B．12
C．－12
D．－1
(2)如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2) ＋f′(2)等于( )
A．－4 C．－2
B．3 D．1
(1)A (2)D [(1)由题意可知，f′(1)＝2.
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜
率 k，则 k＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝f′(x0)．
(3)切线方程： 曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
lim
Δx→0
Δx
.
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，
则f′(1)＝( )
A．4
B．－(1)＝2，故选D．]
2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线 的倾斜角为________．
②当x0＝－
1 2
时，切点坐标为
－12，－18
，相应的切线方程为y＋
1 8
＝34x＋12，即3x－4y＋1＝0.
(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共 点？
[解] 由yy＝＝3x3x，－2， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－28，， 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公 共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．理解导函数的概念，会求简 2．借助导数的几何意义解题，
单函数的导函数．(重点) 培养学生的数学运算素养.
3．理解在某点处与过某点的切
线方程的区别．(难点、易混点)
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1．导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时， 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的 直线PT 称为点 P 处的切线．
1．求曲线在某点处的切线方程的步骤
2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤 (1)设切点(x0，y0)； (2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)； (4)写出切线方程．
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3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线 上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出 切线方程，然后求出切点．
1．判断正误
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在
【例3】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
点斜式方 [思路点拨] (1) 求y′|x＝1 ―→ 求切点 ―→ 程求切线
(2) 设切点x0，y0 ―→ 求y′|x＝x0 ―→ 由y′|x＝x0＝yx00－－11 ―→ 求x0，y0
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
斜率，即k＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某
一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导 函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是 其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， 该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， 该点为(2,9).
求曲线的切线方程 [探究问题] 1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
写切线方程
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋Δx3－1 Δx
＝ lim [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3. Δx→0
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝
提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求 出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有 什么不同？
提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切 点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x) 过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲 线上也不一定是切点．
点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ lim Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A．]
1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b. 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义． 3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知 识解题．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝ －1，解得x0＝－21，所以y0＝14，即P－12，14.
解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由 这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时 要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平 行，垂直等.
[跟进训练] 2．已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx， ∴y′|x＝x0＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (4x0＋2Δx)＝4x0.
x＋2y＋4＝0
[f′(－2)＝ lim Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－21，
∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)， 即x＋2y＋4＝0.]
4．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及 a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
＝ lim Δx→0
x＋Δx2－x2 Δx
＝ lim Δx→0
(2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所
以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的 斜率为13，所以2x0·31＝－1，解得x0＝－32，所以y0＝94，即P－23，94.
f′(x)＝ lim Δx→0
x＋Δx3－2x＋ΔxΔx2＋3－x3－2x2＋3＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，
解得x0＝－23或x0＝2，
∴切点坐标为－23，4297或(2,3)． 当切点为－23，4297时，有4297＝4×－23＋a， ∴a＝12271. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a， ∴a＝－5， 因此切点坐标为－23，4297或(2,3)，a的值为12271或－5.
45° [设切线的倾斜角为α，则tan 180°)，∴α＝45°.]
α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，
3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程 是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1. ∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]
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[思路点拨] 先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导 数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意 列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上， 易得y0.
[解]
设y＝f(x)，则f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
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第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义
学习目标 1．理解导数的几何意义，会求
核心素养
曲线上某点处的切线方程．(重 1．通过学习导数的几何意义，
[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和 曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
2．导函数的概念
(1)定义：当 x 变化时， f′(x) 便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)
的导函数(简称导数)．
fx＋Δx－fx
(2)记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝ 0，那么( )
A．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0
B．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
B [由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－12，
∴f′(x0)＝－12＜0.]
3．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．
点x＝x0处切线的斜率．
()
(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．
()
(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． ( ) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
合作 探究 释疑 难
导数的几何意义 【例1】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小 关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，
又 lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝Δlixm→0
a1＋Δx2－a Δx
＝lim (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1. Δx→0
(2)直线l的方程为4x＋4y＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
【例2】 在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 分别求出满足上述条件的点的坐标．
0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x
2 0
，由题意可知kPQ＝
y′|x＝x0，即
y0－1 x0－1
＝3x
2 0
，又y0＝x
3 0
，所以
x30－1 x0－1
＝3x
2 0
，即2x
2 0
－x0－1＝
0，解得x0＝1或x0＝－12.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在
[跟进训练]
1．(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平
行，则a等于( )
A．1
B．12
C．－12
D．－1
(2)如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2) ＋f′(2)等于( )
A．－4 C．－2
B．3 D．1
(1)A (2)D [(1)由题意可知，f′(1)＝2.
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜
率 k，则 k＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝f′(x0)．
(3)切线方程： 曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
lim
Δx→0
Δx
.
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，
则f′(1)＝( )
A．4
B．－(1)＝2，故选D．]
2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线 的倾斜角为________．
②当x0＝－
1 2
时，切点坐标为
－12，－18
，相应的切线方程为y＋
1 8
＝34x＋12，即3x－4y＋1＝0.
(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共 点？
[解] 由yy＝＝3x3x，－2， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－28，， 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公 共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．