绝对值三角不等式 课件

证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,




||
||
>

≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2




||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即 3≤x≤4 时等号成立.
∴当 3≤x≤4 时,|x-3|+|x-4|取得最小值 1.
∴a 的取值范围为(-∞,1].
对于含有两个或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨
论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问
题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生
面的式子:
|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的形式是
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不一
定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放
缩的“尺度”更为准确.
一、利用绝对值三角不等式证明不等式
学过的知识的联系与区别.a-c 的变形要记住:a-c=(a-b)+(b-c),从
而不等式|a+b|≤|a|+|b|可以变形为|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
||
迁移与应用
设 f(x)=ax2 +bx+c,当|x|≤1 时,总有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7.
证明:∵当|x|≤1 时,有|f(x)|≤1,
∴|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1.
又 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,
∴|f(2)|=|4a+2b+c|
2.绝对值三角不等式的几何意义
如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a,b 换成向量 a,b,
则它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边.
预习交流 2
如何理解绝对值三角不等式的几何意义?
提示:用向量 a,b 替换实数 a,b 时,问题就从一维空间扩展到二维
空间,当向量 a,b 不共线时,a+b,a,b 构成三角形,有|a+b|<|a|+|b|.
比较好的效果,但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需
要的结果.
三、绝对值不等式的其他应用
活动与探究 3
已知函数 f(x)=x2 -x+13,|x-a|<1,求证:
|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
证明:∵|f(x)-f(a)|
=|x2 -x+13-(a 2 -a+13)|
=|x2 -a2 -x+a|
=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|
=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|
≤|3f(1)|+|f(-1)|+|3f(0)|
≤3+1+3=7.
∴|f(2)|≤7.
利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式,主要是通过适当地添
项、拆项进行放缩,并且要注意不等号的传递性及等号成立的条
以也可以视为是分段函数来求最值.
解:方法一:
||x-3|-|x+1||
≤|(x-3)-(x+1)|=4,
∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
方法二:把此函数看作分段函数.
4, < -1,
y=|x-3|-|x+1|= 2-2,-1 ≤ ≤ 3,
-4, > 3.
1.绝对值三角不等式
(1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,
等号成立.
(2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当
(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
预习交流 1
如何理解绝对值三角不等式?
提示:绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与
证明:|f(x)-f(m)|=|(x-m)(x+m-2)|
=|x-m||x+m-2|<3|x+m-2|
≤3(|x|+|m|+2).
又|x-m|<3,
所以-3+m<x<3+m.
所以 3(|x|+|m|+2)<3(3+|m|+|m|+2)=6|m|+15.
|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件为 ab≥0,应用时要注意与以前
绝对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形
式:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是
由 ab>0,ab<0,ab=0 三种情况来确定的,所以这个定理本身就是
一个分类讨论问题.“数”分正、负、零三种情况讨论,往往在所难
免.因此,对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.
当向量 a,b 共线时,a,b 同向(相当于 ab≥0),|a+b|=|a|+|b|;a,b 异向
(相当于 ab<0)时,|a+b|<|a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,
如三角形的两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘
绝对值三角不等式,更易于记忆和理解定理.绝对值三角不等式
体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”要仔细把握,如下
件.
二、利用绝对值三角不等式求函数的最值
活动与探究 2
求函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
思路分析:若把 x-3,x+1 看作两个实数,则所给的代数式符合
两个数绝对值的差的形式,因而可以联想到两个实数和差的绝对
值与两个实数绝对值的和差之间的关系,进而可转化求解.另一
思维是:这种含有绝对值的形式的函数式表示的是分段函数,所
活动与探究 1

设 m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,求证: +


<2.
2
思路分析:解答本题的关键是对题设条件的理解和运
用,|a|,|b|和 1 这三个数中哪一个最大,如果两两比较大小,将十分
复杂,而我们可以从题设中得到一个重要的信
息:m≥|a|,m≥|b|,m≥1.从而利用这一信息来求解.