安徽省安庆市2021年高三数学模拟考试试题 理（安庆市三模，扫描版）(1)

安徽省安庆市2021年高三数学模拟考试试题（安庆市三模）理（扫描版）
4. 解析：双曲线的半焦距4=c ，由2=e 知2=a ，双曲线的两条准线之间的距离为222=c a .选B.
5.解析：曲线C 的一般方程为1)1(2
2=+-y x ，Q 点直角坐标为(11)，，故最大距离为2.选B. 6. 解析：由b a b a -=+λ两边平方，得0)1()1(2)1(22222=-+⋅++-b b a a λλλ.
若“a 、b 夹角为锐角”，那么0a b ⋅>，又由题设知0≥λ，故1>λ；反之，假设1>λ，那么0a b ⋅>，但a 、b 夹角不必然为锐角.选B.
7.解析：显然z 的算术平方根为椭圆1222=+z y z x 的短半轴长，故3≤z ，90≤<z .选C. 8.解析:6421=-n ，那么7=n ，由已知7722107)1()1()1()]1(2[)1(+++++++=++-=-x a x a x a a x x n 故
448)2(6171=-=C a .选B.
数学试题（理）参考答案（共7页）第1页
的单调
9.解析：P 点坐标代入得21)32sin(
=-ϕπ，因P 点在函数x y sin =递减区间上， 故
)](2
32,22[32Z k k k ∈++∈-ππππϕπ， 因此 )(,65232Z k k ∈+=-ππϕπ， 得).(62Z k k ∈--=π
πϕ 又2π
ϕ<，故6π
ϕ-=.选C.
10.解析：令x x xf x g ln )()(-=，那么)(x g 为偶函数，且当0>x 时，'()0g x >，即函数)(x g 在区间(0)+∞，上为增函数，不等式x x xf ln 1)(+>即为)1()(g x g >，即有)1()(g x g >，化为1>x ，解得：1-<x 或1>x .选A.
14.解析：由已知，
)(2
111+++=-n n n n r r r r ，*N n ∈， 故n n r r 311=+，而1r =1，因此1)31(-=n n r ,*N n ∈. 数学试题（理）参考答案（共7页）第2页
15. 解析：正确的有①、②、⑤
∵AC ∥11A C ，1BD ⊥1A D ，1BD ⊥1C D ，∴①、②正确；∵ 异面直线AC 和1A D 所成的角为60︒，∴过点B 与异面直线AC 和1A D 所成的角均为60︒的直线有且只有3条. 故③错误.设1AA a =，可求得四面体111DA C D 内切球半径为133a +，而正方体 111ABCD A B C D -内切球半径为12a ，故所求的比应为313
-.故④错误. 将正方体沿11D A 、11A B 、1B C 、CD 、1DD 展开到一个平面上，如下图，
易知截面多边形EFGHIJ 的周长为定值，等于32a
（a 为正方体的棱长），故⑤正确.
令
ααsin cos -=t ，(0)4π
α∈，，那么(01)t ∈，,
∴ 22121
2
3
(1)(44428OMPN S t t =-+=--+四边形,
当22=t 时，OMPN S 四边形有最大值83
.
数学试题（理）参考答案（共7页）第3页
现在，22
sin cos =-αα，有21)4(cos =+πα，由于()442πππ
α+∈，， A 1 A D 1 D 1 C 1 B 1 D 1 D B B
B
D C
因此12πα=为所求. …………………12分
17．（此题总分值12分）
解析：（Ⅰ）每次从5n +个球中任取两个，有25n C +种方式，
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方式有115n C C 种，
∴ 23
201420334122071510)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .
…………………12分
数学试题（理）参考答案（共7页）第4页
18. （本小题总分值12分）
解析：（Ⅰ）由AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上不同于A 、B 的
一点，知BC AC ⊥.
∵ 面ACD ⊥面ABC ，∴BC ⊥面ACD ，∴ BC AM ⊥.
∵ AC AD =，M 是CD 的中点，∴AM CD ⊥，∴AM ⊥平
面BCD .
………………… 6分
（Ⅱ）作MG BD ⊥于G ，连接AG . 由（1）AM ⊥平面BCD ，依照三垂线定理得AG BD ⊥，∴AGM ∠确实是二面角A DB C --的平面角.
∵ 2AC AD ==，120CAD ∠=︒，M 是CD 的中点，∴ 1AM =，3DM =，在Rt MGD ∆中，3sin 3sin 302MG MD MDG =∠=︒=. ∴ 在Rt AMG ∆中，123tan 33
2
AM AGM MG ∠===. …………………12分 19．（此题总分值13分）
解析：（Ⅰ）由已知不等式x
e x x x p x g x
f 2ln 2)1
()()(---⋅=-＞0对],2[e x ∈恒成立， ∴22ln 21
x x e p x +>
-对[2]x e ∈，恒成立. 令22ln 2()1x x e h x x +=-，[2]x e ∈，，那么max [()]p h x >. ∵2222(1)ln 2(2)2'()0(1)
x x x e x h x x -+---=<-. ∴)(x h 在区间[2]e ，上是减函数，
∴max 4ln 22[()](2)3e h x h +==，故4ln 223
e p +>. …………………7分 （Ⅱ）依题意min min [()][()]
f x
g x >.
数学试题（理）参考答案（共7页）第5页
∵22'()0p f x p x x =+
->，∴()f x 在[2]e ，单调递增. 又2()e g x x =在[2]e ，单调递减，故(2)()f g e >，解得44ln 23
p +>. …………………13分
20．（此题总分值13分）
解析：（Ⅰ）如下图，设四边形1122F B F B 的内切圆与边22F B 的切点为
G ，连接OG ，那么32
OG =.由2222221122
OB F S OB OF B F OG ∆=⋅=⋅，
2OB b =，2OF c =，22B F a =
，得bc =，又12
c e a ==，222a b c =+，解得2a =
，b =，故椭圆C 的方程为13
42
2=+y x . ………………5分 （Ⅱ）依照已知条件可设直线MN 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程，整理得 2222(34)84(3)0k x k x k +++-=.
设11()M x y ，，22()N x y ，，那么2
12221228344(3)
34k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
. 又(43)P k --，，由1PM MF λ=，1PN NF μ=，得1141x x λ+=-+，2241
x x μ+=-+. …………………9分
∴ 12121212121212124425()825()811(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x x x x x λμ+++++++++=--=-=-++++++， 数学试题（理）参考答案（共7页）第6页
∵ 22
1212224(3)825()825()83434k k x x x x k k
-+++=⋅+-+++ 222
2
824402432034k k k k --++==+， ∴ 0λμ+=为定值. …………………13分
21.（此题总分值13分）
解析：（Ⅰ）,666)('12=-=+x a x a x f n n n 由0)('=x f n 得：0112=+-+x a x a n n
因此=x n α、=x n β是上方程的两根，由韦达定理：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==++n n n n n n n a a a 11βαβα， 由已知n n n n n βαβα21=-+， ,3,2,1=n ， 因此n
n
n n a a a 211=-+，即n n n a a 21+=+， ,3,2,1=n …………………3分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知：n n n a a 21=-+， ,3,2,1=n ，因此
122221++++=-- n n 12-=n . ………………7分 （Ⅲ）因01>=n
n n a βα，因此11=≥T T n 当2≥n 时，1
21121)12)(12(2)12)(12(12121111111---=--<---=-==-----n n n n n n n n n n n n a βα 综上，对一切*N n ∈，均有21<≤n T 成立. …………………13分 数学试题（理）参考答案（共7页）第7页。